2.- PROBABILIDAD


• Experimento.- cualquier proceso o
  procedimiento para el cual hay más de un
  resultado.

• Espacio ...
• Jacob Bernoulli (1654-1705) introdujo la
  definición del concepto de probabilidad
  de un evento como la proporción ent...
2.1 Función e Importancia de la Probabilidad


    • La probabilidad nos permite
      cuantificar la variabilidad en el
 ...
• La probabilidad tiene como fin predecir,
  con algun grado de certeza, la frecuencia
  de ocurrencia de un evento.

• Im...
• Las señales que tienen esta
  propiedad, comunmente se refieren
  como señales estocásticas.

• Si no es este el caso, u...
• Una aplicación de la teoría de la
  probabilidad es en la confiabilidad
  (reliability). En el diseño de
  productos, ta...
2.2 Clasificación de la Probabilidad



   • El concepto de la probabilidad de un
     evento particular en un experimento...
2.2.1 Teórica


• Es la proporción entre el número de formas en que el
  evento puede ocurrir (que se de el caso considera...
• Ej. se lanza una moneda honesta. El número
  total de posibles resultados es 2 (cara o cruz);
  la probabilidad de que e...
• Ej. Se lanza un dado no cargado
   ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado
   sea un número menor o igual a 3? (1,2...
• Ej. Se toma una baraja de 52 cartas y se
  selecciona una de ellas. ¿Cuál es la
  probabilidad de que la carta sea:

 un...
• Ej. En un salón de clase hay 18 niños y 12 niñas. El
  profesor escoge estudiantes al azar. ¿Cuál es la
  probabilidad d...
• Ej. Se escoge una letra al azar de cierta
  palabra. Encontrar la probabilidad de que
  la letra sea una vocal si la pal...
2.2.2 Subjetiva

• Si se dice que un ingeniero geólogo manifestó
  que "hay una posibilidad de 60% de encontrar
  petróleo...
• La mayoría de nosotros interpretará esto de una de
  estas dos maneras, ya sea suponiendo que

1. el geólogo siente que,...
• A las dos interpretaciones anteriores de la
  probabilidad de un evento se les conoce como la
  interpretación de la fre...
• En la interpretación subjetiva, no se considera
  la probabilidad de un resultado como una
  propiedad del experimento, ...
2.2.3 Frecuencial

• Los problemas y paradojas de la interpretación clásica
  de la probabilidad motivó el desarrollo del ...
2.2.4 Axiomática

Axioma:

Proposición tan clara y evidente que se
 admite sin necesidad de demostración.

Cada uno de los...
• Probabilidad axiomática, teoría de la
  probabilidad con un fundamento formal
  lógico, como ciencia matemática.

• El p...
2.3 Espacio Muestral y Eventos


• Un conjunto de todos los posibles resultados
  de un experimento se llama espacio
  mue...
• En estadística, los términos
  “experimento” y “resultado” se usan
  en un sentido muy amplio.

• Un experimento puede c...
• En consecuencia, el resultado de un
  experimento puede ser una simple
  elección entre 2 opciones, el producto
  de una...
• Ej. si 4 contratistas compiten por la
  construcción de una carretera y
  procedemos de tal forma que a, b, c y
  d deno...
• De igual manera, si un organismo
  gubernamental debe decidir dónde
  ubicar 2 nuevos centros de investigación
  en comp...
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}


• Donde la primera coordenada es el
  número de centros de investigación ...
• Geométricamente este espacio muestral puede
  representarse gráficamente como en la figura, de
  donde se deduce clarame...
S = {a, b, c, d}      S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}



• El uso de puntos tiene la ventaja de facilitar l...
• Los siguientes son ejemplos de espacios
  muestrales no finitos.

• Si a unas personas encargadas de verificar la
  emis...
• Dado que ignoramos cuán lejos trendrían que
  llegar, consideramos como espacio muestral la
  totalidad del conjunto de ...
• En general, se dice que un espacio muestral es
  discreto si posee elementos en forma finita.


• Si los elementos de un...
• En estadística, a todo subconjunto de un espacio
  muestral se le llama evento.

• Por subconjunto entendemos cualquier ...
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}

• Ej. con referencia a la figura anterior,

 C = {(1,0), (0,1)}
es el even...
2.4 Teoría de Conjuntos


2.4.1 Definición de Conjuntos

 • La teoría de conjuntos es una división de
   las matemáticas q...
• El concepto de conjunto es intuitivo y se podría
  definir como una "colección de objetos"; así, se
  puede hablar de un...
• El conjunto de los bolígrafos azules está
  bien definido, porque a la vista de un bolígrafo
  se puede saber si es azul...
• Sigue siendo célebre la definición que publicó
  Cantor:

 Se entiende por conjunto a la agrupación en un
 todo de objet...
2.4.2 Operaciones con Conjuntos

• Usualmente los conjuntos se representan con una
  letra mayúscula: A, B, K,...

• Llama...
• De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c, d, e
  todos sus elementos, es común escribir:

           A = {a, b, c,...
• Para representar que un elemento x pertenece a un
  conjunto A, escribimos x A (léase "x en A",
  "x pertenece a A" o bi...
• El conjunto universal, que siempre representaremos
  con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de
  todas las cosas s...
• Existe además, un único conjunto que
  no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío
  y que se denota por Ø. Es ...
• Por otro lado, si todos los elementos x de un
  conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que
  pueda ser expresada ...
• Por ej. el conjunto A = {1,2,3,4} puede definirse por:


         A     n    N :1   n    4


donde el símbolo N represen...
• Si A y B son dos conjuntos cualesquiera en un
  espacio muestral S, su unión A B es el
  subconjunto de S que contiene t...
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
                      C = {(1,0), (0,1)}
                      D = {(0,0), ...
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
                      C = {(1,0), (0,1)}
                      D = {(0,0), ...
S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
                      C = {(1,0), (0,1)}
                      D = {(0,0), ...
2.4.3 Diagramas de Venn

• Los espacios muestrales y los eventos, y
  particularmente las relaciones entre eventos,
  a me...
• En cada caso el espacio muestral está
  representado por un rectángulo, mientras
  que los eventos están representados p...
• Las regiones sombreadas de los cuatro
  diagramas de Venn representan
  respectivamente el evento A, el complemento
  de...
• Los diagramas de Venn se usan a menudo
  para verificar relaciones entre conjuntos, lo
  que vuelve innecesario aplicar
...
• Cuando tratamos con 3 eventos, trazamos los
  círculos como en la siguiente figura. En este
  diagrama, los círculos div...
• Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
  principales de defectos.
 Si A es el evento en el que el eje es de...
• Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
  principales de defectos.
 Si A es el evento en el que el eje es de...
• Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos
  principales de defectos.
 Si A es el evento en el que el eje es de...
57
¿de cuántas maneras diferentes?
                                       2.5 Técnicas de Conteo

                        ...
• ¿De cuántas maneras diferentes podría
               clasificarse una máquina con esta prueba de
clasificar



         ...
• Si prosiguieramos de esta manera,
  podríamos listar todas las posibilidades,
  aunque quizá omitiéramos
  al menos una ...
donde las 3
alternativas de
facilidad de
operación están
denotadas por
E1, E2 y E3
el precio es P1 o P2,
y las 3 alternati...
• Siguiendo un curso
  dado de izquierda a
  derecha por las
  ramas del árbol,
  obtenemos una
  clasificación en
  parti...
• También habríamos
  podido obtener este
  resultado mediante la
  observación de que
  hay 3 ramas E, de que
  cada rama...
63

                           • Este resultado es un caso especial del
Principio multiplicativo
                         ...
• Ej. ¿De cuántas maneras diferentes una
           sección sindical con 25 miembros puede
           elegir un presidente...
• Ej. Si una prueba se compone de 12
  preguntas de verdadero-falso, ¿de
  cuántas maneras diferentes puede
  contestar un...
2.5.3 Permutaciones
seleccionar




              • La regla para la multiplicación de
                probabilidades se u...
• Permutación es cada una de las
  posibles ordenaciones de los
  elementos de un conjunto.

• Ej. en el conjunto {1, 2, 3...
• Existe un total de 6 permutaciones para
  estos elementos:

 1)   "1,2,3"
 2)   "1,3,2"
 3)   "2,1,3"
 4)   "2,3,1"
 5) ...
• A fin de determinar una fórmula para el número total
      de permutaciones de r objetos seleccionados de un
      conju...
• En consecuencia, por efecto de la regla de la
  multiplicación de las probabilidades (slide 63),
  el número total de pe...
• donde 1! = 1
         2! = 2 · 1 = 2
         3! = 3 · 2 · 1 = 6
         4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
..., y en general n! =...
• Para expresar la fórmula de nPr en
  términos factoriales, multiplicamos por y dividimos
  entre (n-r)!, con lo que obte...
• Ej. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar
  una primera, segunda, tercera y cuarta selección
  entre 12 empre...
• Ej. Un mecanismo electrónico requiere de 5 chips de
  memoria idénticos. ¿De cuántas maneras puede
  ensamblarse este me...
2.5.4 Combinaciones

• Hay muchos problemas en los que debemos
  determinar el número de maneras en las
  cuales pueden se...
• Se tiene un conjunto con 6 objetos
escoger



            diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se
            desea e...
• El número de formas de escoger r
  elementos a partir de un conjunto de n,
  puede denotarse de varias formas:
         ...
• Los números C(n,r) se conocen como
  "coeficientes binomiales", pero es frecuente
  referirse a ellos como
  "combinacio...
(selección ordenada: Permutación)

                                                                           A
          ...
• Sin embargo, en tal conteo, el orden en que
                      se escogen los elementos hace diferencia.
            ...
• De esta forma, el resultado obtenido (60) no
dividir




            es la cantidad de subconjuntos de 3
            ele...
(selección ordenada: Permutación)

                                    • El argumento presentado para el ejemplo
         ...
• Ahora, hay que dividir el producto anterior
                     entre el número de selecciones
dividir entre r!



    ...
• Concluimos que el número de subconjuntos
  con r elementos, escogidos de un conjunto
  con n elementos es

          n  ...
• La expresión anterior puede escribirse de
  forma más compacta usando factoriales


              n         n!
         ...
• Ej. ¿De cuántas maneras diferentes pueden
  seleccionarse 3 de 20 asistentes de
  laboratorio para colaborar en un
  exp...
• Ej. Se requiere la realización de un estudio
  de calibración para comprobar si los registros
  de 15 máquinas de prueba...
88

                                            n        n!
                                            r
                ...
2.6 Axiomas de Probabilidad




                                                          ¿Cuál es la probabilidad…?
    •...
• Los axiomas de probabilidad son las
  condiciones mínimas que deben verificarse para
  que una función que definimos sob...
• Dado un espacio muestral finito S y un
    evento A, definimos P(A), la probabilidad
    de A, como valor de una función...
Axioma 2    P(S) = 1.

 Al espacio muestral en su conjunto se le
 asigna una probabilidad de 1, lo que
 expresa la idea d...
93




     • Axioma 3 Si A y B son cualesquiera eventos
       mutuamente excluyentes en S, entonces

      P(A   B) = P(...
• Los axiomas de probabilidad restringen las
  maneras en las que se asignan probabilidades a
  los diversos resultados de...
• Ej. Si un experimento tiene los 3 resultados
  posibles y mutuamente excluyentes A, B, C,
  verifique en cada caso si la...
b) P(A) = 0.64, P(B) = 0.38 y P(C) = -0.02
La asignación no es permisible, porque
P(C) es negativa.

c) P(A) = 0.35, P(B) ...
• El tercer axioma de probabilidad puede
  ampliarse para incluir cualquier número de
  eventos mutuamente excluyentes.

•...
• Ej. La probabilidad de que un ingeniero que prueba el
  servicio de un nuevo dispositivo anticontaminante para
  automóv...
Regla de cálculo de probabilidad



                                   • Regla de cálculo de probabilidad de un evento.
  ...
• Ej. Con referencia al
  ej. de las
  máquinas industriales,
  (slide 60) supongamos
  que las probabilidades
  de los 18...
Al sumar las
probabilidades de
los resultados
comprendidos en
los respectivos
eventos,
obtenemos:

P(E1) = 0.07 + 0.13
+ 0...
P(P1) = 0.07 +
0.13 + 0.06 +
0.07 + 0.14 +
0.07 + 0.02 +
0.03 + 0.01
= 0.60
P(C1) = 0.07 + 0.05
+ 0.07 + 0.08 + 0.02
+ 0.01 = 0.30
P(E1    P1) = 0.07 +
0.13 + 0.06 = 0.26
P(E1    C1) = 0.07 +
0.05 = 0.12
• Otra ampliación del tercer axioma nos permite
  determinar la probabilidad de la unión de 2 eventos
  cualesquiera en S,...
107


      • Las letras I y G representan la obtención de un
        empleo en la industria o en el gobierno, de modo
   ...
108

                                                        0.54
      • Si hubiésemos empleado erróneamente el
        t...
0.54

• Por lo tanto, obtendríamos
      P(I   G) = P(I) + P(G) – P(I    G)
               = 0.30 + 0.36 – 0.12
          ...
Regla General de la adición



                              • Regla General de la adición. Teorema: Si A y B son
        ...
111


         • Ej. Con referencia al ej. de clasificación de
           máquinas industriales, determine la probabilidad...
• Ej. Si las probabilidades de que, en condiciones de
  garantía, un automóvil nuevo requiera
  reparaciones del motor, la...
2.7 Probabilidad Condicional e Independencia


• Hasta aquí hemos definido probabilidad de un
  evento en relación a un es...
• Así, cuando empleamos el símbolo P(A) para
  la probabilidad de A, aludimos en realidad a la
  probabilidad de A dado al...
• Leemos P(A|S) como la
  probabilidad condicional de A en relación con
  S, de modo que toda probabilidad es una
  probab...
• Supongamos que 500 partes de maquinaria
  son inspeccionadas antes de su embarque,
  que I denota que una parte ha sido
...
• Los números son
 N(I    D') = 20
 N(I    D) = 10
 N(I'   D) = 5
 N(I'   D') = 465




                    Clasificación ...
• Suponiendo iguales probabilidades en la
  selección de una de las partes para su
  inspección, la probabilidad de obtene...
• Para verificar si la probabilidad es la misma
  cuando la selección se restringe a las partes
  de maquinaria que han si...
• En consecuencia obtenemos
                N (D       I)   10   1
    P(D | I )
                  N (I )        30   3

•...
• De modo que la probabilidad de obtener una
  parte con 1 o más componentes defectuosos
  se ha incrementado de 3/100 = 0...
• Adviértase que si dividimos el numerador y el
     denominador de la fórmula de P(D|I)
     entre N(S), obtenemos
      ...
• Abordando este ejemplo de otra manera,
  obsérvese que con respecto al espacio
  muestral S en su conjunto tenemos

    ...
10    1                    20    2
  P(D   I)              y   P(D ' I )
             500   50                   500   50
...
10    1                    20    2
  P(D   I)              y   P(D ' I )
             500   50                   500   50
...
10        1                        20    2
  P(D    I)                   y   P(D ' I )
               500       50        ...
• Lo cual coincide con el resultado obtenido
  anteriormente.

• Esto explica porqué tuvimos que
  dividir entre P(I) (sli...
• La división entre P(I), o la multiplicación por
  1/P(I), toma en cuenta el
  factor de proporcionalidad que hace que la...
129


                                     • Como consecuencia de estas observaciones,
                                   ...
• Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo
  lanzamiento de un dado resulte un número
  menor que 4,

   a) no se da n...
• Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo
  lanzamiento de un dado resulte un número
  menor que 4,

   b) se da la i...
• Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
  (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso),
  10 transistore...
• Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
  (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores
...
• Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos
  (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores
...
• Ej. El señor Martínez piensa que hay un
      30% de probabilidad de que la empresa
      donde labora abra una sucursal...
• Ej. Se tiran un par de dados, hallar:
    1) la probabilidad de que salga un 2 en al
    menos uno de los dados, y
    2...
• Ej. Se tiran un par de dados, hallar:
              1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno
              d...
• Ej. Un lote contiene 12 objetos, de los cuales
  4 son defectuosos. Se sacan 2 objetos al azar,
  uno detrás del otro. H...
Regla Especial de la Multiplicación

                                             Independencia
                          ...
• Ej. Hallar la probabilidad de obtener al menos
  un 4 en 2 lanzamientos de un dado honrado.


A = {4 en el primer lanzam...
• Ej. Se extraen 2 cartas al azar de un juego de
  52. ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 ases si:
  a) la primera carta e...
• Ej. Si P(C) = 0.65, P(D) = 0.40 y
  P(C D) = 0.24 ¿los eventos C y D son
  independientes?

  si se cumple P(A   B) = P(...
• Ej. A es el evento en el que se dispone de
  materia prima cuando se necesita y B es el
  evento en el que el tiempo de ...
2.8 Regla de Eliminación

• Las reglas generales de la multiplicación son
  útiles para la resolución de muchos
  problema...
• Si 95% de los reguladores de B1, 80% de los
  de B2 y 65% de los de B3 se desempeñan
  de acuerdo con las especificacion...
• Si A denota el evento en el que un regulador
  de voltaje recibido en la planta se
  desempeñe
  de acuerdo con las espe...
P( A)     P( A       B1 )     P( A      B2 )     P( A         B3 )
 • Si aplicamos la segunda regla de la
   multiplicació...
• Para visualizar este resultado, nos basta con
  elaborar un diagrama de árbol donde la
  probabilidad del resultado fina...
• En el ejemplo anterior sólo había
                         3 alternativas en la etapa intermedia, pero si
              ...
• Para visualizar este resultado, nos basta con
  elaborar un diagrama de árbol donde la
  probabilidad del resultado fina...
• Supongamos que queremos conocer la
  probabilidad de que
  un regulador en particular, del que
  sabemos que se desempeñ...
P(A          B3 )
                                                     P( B3 | A)
                                        ...
P ( B3 )·P(A | B3 )
 P ( B3 | A)     3

                      P ( Bi )·P(A | Bi )
                i 1
                    ...
• Ej. Se ha nominado a 3 miembros de un club
  para ocupar la presidencia del mismo. La
  probabilidad de que se elija al ...
Considérense los siguientes eventos:

A: se incrementan las cuotas de ingreso

B1: se elige al señor Adams

B2: se elige a...
Al hacer
referencia al
siguiente
diagrama de
árbol, se
encuentra que
las 3 ramas
dan las
probabilidades

  P (B1) P(A|B1) ...
P ( B3 )·P(A | B3 )
                                           P ( B3 | A)        3

                                     ...
P ( Br )·P ( A | Br )
                              P ( Br | A)   n

                                                  P (...
P ( Br )·P ( A | Br )
                                 P ( Br | A)   n

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probabilidad y estadistica 2/2 grupo 022 armad0o

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probabilidad y estadistica 2/2 grupo 022 armad0o

  1. 1. 2.- PROBABILIDAD • Experimento.- cualquier proceso o procedimiento para el cual hay más de un resultado. • Espacio de muestreo.- conjunto de todos los posibles resultados experimentales. 21
  2. 2. • Jacob Bernoulli (1654-1705) introdujo la definición del concepto de probabilidad de un evento como la proporción entre el número de resultados favorables al evento, y el número de resultados posibles en el experimento. • Bernoulli probablemente fue el primero en hacer la distinción entre la probabilidad de un evento y la frecuencia de su realización.
  3. 3. 2.1 Función e Importancia de la Probabilidad • La probabilidad nos permite cuantificar la variabilidad en el resultado de un experimento cuyo resultado exacto es imposible de predecir con seguridad.
  4. 4. • La probabilidad tiene como fin predecir, con algun grado de certeza, la frecuencia de ocurrencia de un evento. • Implícita en esta idea está la noción de que existe alguna incertidumbre asociada con la generación del evento o que la información con la que se determina el resultado exacto del evento es incompleta.
  5. 5. • Las señales que tienen esta propiedad, comunmente se refieren como señales estocásticas. • Si no es este el caso, un evento o cierta señal se dice que es determinística.
  6. 6. • Una aplicación de la teoría de la probabilidad es en la confiabilidad (reliability). En el diseño de productos, tales como automóviles y electrónica para consumidores, se utiliza la teoría de la confiabilidad para establecer la probabilidad de falla, la cual puede ser asociada con la garantía del producto.
  7. 7. 2.2 Clasificación de la Probabilidad • El concepto de la probabilidad de un evento particular en un experimento está sujeto a varios significados o interpretaciones.
  8. 8. 2.2.1 Teórica • Es la proporción entre el número de formas en que el evento puede ocurrir (que se de el caso considerado) entre el número total de posibilidades. Número de resultados favorables • P (evento) = Número total de resultados posibles
  9. 9. • Ej. se lanza una moneda honesta. El número total de posibles resultados es 2 (cara o cruz); la probabilidad de que el resultado sea cara es ½ y es igual a la probabilidad de que caiga cruz.
  10. 10. • Ej. Se lanza un dado no cargado ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número menor o igual a 3? (1,2,3) 3/6 = ½ ¿Cuél es la probabilidad de obtener un número non? (1,3,5) 3/6 = ½ ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor de 2? (3,4,5,6) 4/6 = 2/3
  11. 11. • Ej. Se toma una baraja de 52 cartas y se selecciona una de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea: una carta negra? (la mitad de las cartas son negras 52/2 = 26); la probabilidad es 26/52 = ½ un rey? (hay 4 reyes); la probabilidad es 4/52 = 0.077 un 8 de espadas: (sólo hay 1) 1/52 = 0.019
  12. 12. • Ej. En un salón de clase hay 18 niños y 12 niñas. El profesor escoge estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer estudiante seleccionado sea: un niño? (18+12 = 30 alumnos en total); 18/30 = 0.6 una niña? 12/30 = 0.4
  13. 13. • Ej. Se escoge una letra al azar de cierta palabra. Encontrar la probabilidad de que la letra sea una vocal si la palabra es: ALGEBRA (tiene 7 letras en total, 3 son vocales); la probabilidad es 3/7 = 0.429 PROBABILIDAD (tiene 12 letras en total, 5 son vocales); la probabilidad es 5/12 = 0.417
  14. 14. 2.2.2 Subjetiva • Si se dice que un ingeniero geólogo manifestó que "hay una posibilidad de 60% de encontrar petróleo en una determinada región", probablemente todos nosotros tendremos una idea de lo que se está diciendo.
  15. 15. • La mayoría de nosotros interpretará esto de una de estas dos maneras, ya sea suponiendo que 1. el geólogo siente que, a la larga, en el 60% de las regiones en las que las condiciones ambientales sean muy semejantes a las condiciones en la región en consideración, hay petróleo. o suponiendo que 2. el geólogo cree que es más probable que haya petróleo en la región, a que no haya. 0.6 es una medida de la creencia del geólogo en la hipótesis de que en la región haya petróleo.
  16. 16. • A las dos interpretaciones anteriores de la probabilidad de un evento se les conoce como la interpretación de la frecuencia y la interpretación subjetiva (o personal) de la probabilidad. • En la interpretación de la frecuencia, se considera que la probabilidad de un resultado dado en un experimento es una "propiedad" del resultado. • Se supone que esta propiedad se puede determinar operacionalmente mediante una repetición continua del experimento; la probabilidad del resultado será considerada como la proporción de ocaciones en que se obtenga este resultado.
  17. 17. • En la interpretación subjetiva, no se considera la probabilidad de un resultado como una propiedad del experimento, sino más bien se considera como la creencia que tiene la persona que evalúa la probabilidad de que ese resultado ocurra. • En esta interpretación, la probabilidad se vuelve un concepto personal, y no tiene significado más allá de expresar el grado de creencia de uno.
  18. 18. 2.2.3 Frecuencial • Los problemas y paradojas de la interpretación clásica de la probabilidad motivó el desarrollo del concepto de frecuencia relativa de la probabilidad. • Los frecuentistas hablan sobre probabilidades solo cuando se tratan experimentos aleatorios bien definidos. • La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento es una medida de su probabilidad.
  19. 19. 2.2.4 Axiomática Axioma: Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.
  20. 20. • Probabilidad axiomática, teoría de la probabilidad con un fundamento formal lógico, como ciencia matemática. • El primero en desarrollar este punto de vista fue Sergei Bernstein en 1917.
  21. 21. 2.3 Espacio Muestral y Eventos • Un conjunto de todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral, ya que usualmente se compone de todas las cosas que pueden ocurrir cuando se extrae una muestra. • Los espacios muestrales suelen denotarse con la letra S.
  22. 22. • En estadística, los términos “experimento” y “resultado” se usan en un sentido muy amplio. • Un experimento puede consistir en el simple proceso de advertir si un interruptor está encendido o apagado, en la determinación del tiempo que tarda un automóvil en alcanzar una velocidad de 50 km por hora, etc.
  23. 23. • En consecuencia, el resultado de un experimento puede ser una simple elección entre 2 opciones, el producto de una medición o conteo directos o la respuesta obtenida luego de dilatados cálculos y mediciones. • Cuando estudiamos los resultados de un experimento, usualmente identificamos las diversas posibilidades con números, puntos u otro tipo de símbolos.
  24. 24. • Ej. si 4 contratistas compiten por la construcción de una carretera y procedemos de tal forma que a, b, c y d denoten que el proyecto le ha sido concedido al sr. Alvarez, la sra. Bárcenas, el sr. Cárdenas o la srita. Dávila, el espacio muestral de este experimento es el conjunto S = {a, b, c, d}
  25. 25. • De igual manera, si un organismo gubernamental debe decidir dónde ubicar 2 nuevos centros de investigación en computación y si resulta de interés indicar cuántos de ellos se ubicarán en Monterrey y cuántos en Guadalajara, podemos formular el espacio muestral como S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)}
  26. 26. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} • Donde la primera coordenada es el número de centros de investigación que se ubicarán en Monterrey y la segunda los de Guadalajara.
  27. 27. • Geométricamente este espacio muestral puede representarse gráficamente como en la figura, de donde se deduce claramente, por ej. que en 2 de las 6 posibilidades Monterrey y Guadalajara obtendrán igual número de centros. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} Espacio muestral para el número de nuevos centros de investigación en computación por ubicar en Monterrey y Guadalajara.
  28. 28. S = {a, b, c, d} S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} • El uso de puntos tiene la ventaja de facilitar la visualización de las diversas posibilidades. • Por lo general, los espacios muestrales se clasifican de acuerdo con el número de elementos que contienen (finitos o infinitos). • En los 2 ejemplos anteriores, los espacios muestrales tienen 4 y 6 elementos (contratistas y centros), de manera que a ambos se les conoce como finitos
  29. 29. • Los siguientes son ejemplos de espacios muestrales no finitos. • Si a unas personas encargadas de verificar la emisión de óxido de nitrógeno de automóviles les interesa saber el número de autos que deben inspeccionar antes de observar cuál es el primero que no satisface los reglamentos, podría ocurrir que fuera el primero, el segundo,…, el quincuagésimo,…, y que tuvieran que verificar miles de autos antes de encontrar uno que no satisfaga los reglamentos gubernamentales.
  30. 30. • Dado que ignoramos cuán lejos trendrían que llegar, consideramos como espacio muestral la totalidad del conjunto de números naturales, de los que existe una cantidad infinita. • Más aún, si les interesara la emisión de óxido de nitrógeno de determinado auto en g/km, el espacio muestral tendría que consistir en todos los puntos de una escala contínua (cierto intervalo en la línea de números reales), de los cuales existe un continuo.
  31. 31. • En general, se dice que un espacio muestral es discreto si posee elementos en forma finita. • Si los elementos de un espacio muestral constituyen un continuo –ej. todos los puntos de una linea o de un segmento o de un plano-, se dice que el espacio muestral es continuo.
  32. 32. • En estadística, a todo subconjunto de un espacio muestral se le llama evento. • Por subconjunto entendemos cualquier parte de un conjunto, incluidos el conjunto en su totalidad y, comúnmente, un conjunto llamado conjunto vacío y denotado por Ø (phi), el cual no posee ningún elemento. • En muchos problemas de probabilidad nos interesan eventos que puedan expresarse en términos de la formación de uniones, intersecciones y complementos entre 2 o más eventos.
  33. 33. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} • Ej. con referencia a la figura anterior, C = {(1,0), (0,1)} es el evento en el cual tanto Monterrey como Guadalajara obtendrán uno de los dos centros, D = {(0,0), (0,1), (0,2)} es el evento en el que Monterrey no obtendrá ninguno de los 2 centros, y E = {(0,0), (1,1)} es el evento en el que Monterrey y Guadalajara obtendrán igual número de centros. Los eventos C y E no tienen elementos en común: son eventos mutuamente excluyentes.
  34. 34. 2.4 Teoría de Conjuntos 2.4.1 Definición de Conjuntos • La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. • El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
  35. 35. • El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "colección de objetos"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. • Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.
  36. 36. • El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. • El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
  37. 37. • Sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor: Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
  38. 38. 2.4.2 Operaciones con Conjuntos • Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,... • Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
  39. 39. • De esta manera, si A es un conjunto, y a, b, c, d, e todos sus elementos, es común escribir: A = {a, b, c, d, e} para definir a tal conjunto A. Esta notación empleada para definir al conjunto A se llama notación por extensión.
  40. 40. • Para representar que un elemento x pertenece a un conjunto A, escribimos x A (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de x A se escribe x A (léase x no pertenece a A).
  41. 41. • El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de todos los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades.
  42. 42. • Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por Ø. Es decir Ø={} • La característica importante de este conjunto es que satisface la propiedad de que todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir x x Ø
  43. 43. • Por otro lado, si todos los elementos x de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición p(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir: A x U : p( x) • Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen con la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que", este símbolo puede ser remplazado por una barra |.
  44. 44. • Por ej. el conjunto A = {1,2,3,4} puede definirse por: A n N :1 n 4 donde el símbolo N representa al conjunto de números naturales.
  45. 45. • Si A y B son dos conjuntos cualesquiera en un espacio muestral S, su unión A B es el subconjunto de S que contiene todos los elementos que se encuentran en A, en B y en ambos; su intersección A B es el subconjunto de S que contiene todos los elementos que se encuentran tanto en A como en B, y el complemento A' de A es el subconjunto de S que contiene todos los elementos de S que no se encuentran en A.
  46. 46. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} • Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: a) C E Puesto que C E contiene todos los elementos que se encuentran en C, en E o en ambos, C E ={(1,0), (0,1), (0,0), (1,1)} es el evento en el que ni Monterrey ni Guadalajara obtendrán los 2 centros.
  47. 47. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} • Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: b) C D Puesto que C D contiene todos los elementos que se encuentran tanto en C como en D, C D = {0,1)} es el evento en el que Monterrey no obtendrá ninguno de los dos centros y Guadalajara obtendrá uno.
  48. 48. S = {(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)} C = {(1,0), (0,1)} D = {(0,0), (0,1), (0,2)} E = {(0,0), (1,1)} • Ej. con referencia al espacio muestral de la figura anterior y a los eventos C, D y E que hemos definido, liste los resultados que comprendan cada uno de los siguientes eventos y exprese asimismo los eventos en palabras: c) D ' Puesto que D' contiene todos los elementos del espacio muestral que no se encuentran en D, D' = {(1,0), (1,1), (2,0)} es el evento en el que Monterrey obtendrá al menos uno de los centros de investigación.
  49. 49. 2.4.3 Diagramas de Venn • Los espacios muestrales y los eventos, y particularmente las relaciones entre eventos, a menudo se describen por medio de diagramas de Venn, como los que aparecen en las siguientes figuras.
  50. 50. • En cada caso el espacio muestral está representado por un rectángulo, mientras que los eventos están representados por regiones (o áreas) dentro del rectángulo, usualmente por círculos o partes de círculos.
  51. 51. • Las regiones sombreadas de los cuatro diagramas de Venn representan respectivamente el evento A, el complemento del evento A, la unión de los eventos A y B y la intersección de los eventos A y B.
  52. 52. • Los diagramas de Venn se usan a menudo para verificar relaciones entre conjuntos, lo que vuelve innecesario aplicar pruebas formales basadas en el álgebra de conjuntos.
  53. 53. • Cuando tratamos con 3 eventos, trazamos los círculos como en la siguiente figura. En este diagrama, los círculos dividen el espacio muestral en 8 regiones, numeradas del 1 al 8, y es fácil determinar si los eventos correspondientes son partes de A o A’, B o B’ y C o C’.
  54. 54. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos. Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande, B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y C el evento en el que las conexiones eléctricas son insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están representados por las siguientes regiones del diagrama de Venn de la figura. a) región 2 Dado que esta región está contenida en A y B pero no en C, representa el evento en el que el eje es demasiado grande y las bobinas inadecuadas, pero las conexiones eléctricas satisfactorias.
  55. 55. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos. Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande, B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y C el evento en el que las conexiones eléctricas son insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están representados por las siguientes regiones del diagrama de Venn de la figura. b) regiones 1 y 3 juntas En vista de que esta región es común a B y C, representa el evento en el que las bobinas son inadecuadas y las conexiones eléctricas insatisfactorias.
  56. 56. • Ej. A un fabricante de motores le preocupan 3 tipos principales de defectos. Si A es el evento en el que el eje es demasiado grande, B es el evento en el que las bobinas son inadecuadas, y C el evento en el que las conexiones eléctricas son insatisfactorias, exprese verbalmente qué eventos están representados por las siguientes regiones del diagrama de Venn de la figura. c) regiones 3,5,6 y 8 juntas Como ésta es toda la región fuera de A, representa el evento en el que el eje no es demasiado largo
  57. 57. 57 ¿de cuántas maneras diferentes? 2.5 Técnicas de Conteo 2.5.1 Principio Multiplicativo y 2.5.2 Diagramas de Arbol • A veces puede resultar sumamente difícil, o al menos tedioso, determinar el número de elementos en un espacio muestral finito mediante la enumeración directa. • Para ilustrarlo, supongamos que un consumidor realiza pruebas de servicio y clasifica máquinas industriales según sean fáciles, promedio o difíciles de operar; de alto o bajo costo, y de alto, promedio o bajo costo de reparación. Slide 111
  58. 58. • ¿De cuántas maneras diferentes podría clasificarse una máquina con esta prueba de clasificar servicio? • Existen muchas posibilidades: una máquina podría clasificarse como  fácil de operar, de bajo costo, pero de alto costo de reparación;  difícil de operar, de alto costo y bajo costo de reparación;  ni fácil ni difícil de operar, de bajo costo y con un costo promedio de reparación,  etc.
  59. 59. • Si prosiguieramos de esta manera, podríamos listar todas las posibilidades, aunque quizá omitiéramos al menos una o dos. • Para el manejo sistemático de este tipo de problema, es útil trazar un diagrama de árbol, como el que se muestra en la siguiente figura,
  60. 60. donde las 3 alternativas de facilidad de operación están denotadas por E1, E2 y E3 el precio es P1 o P2, y las 3 alternativas de costo de reparación están denotadas por C1, C2 y C3. Diagrama de árbol para la clasificación de máquinas industriales.
  61. 61. • Siguiendo un curso dado de izquierda a derecha por las ramas del árbol, obtenemos una clasificación en particular, a saber, un elemento particular del espacio muestral, además de lo cual salta a la vista que en total existen 18 posibilidades.
  62. 62. • También habríamos podido obtener este resultado mediante la observación de que hay 3 ramas E, de que cada rama E se bifurca en 2 ramas P y de que cada rama P se bifurca a su vez en 3 ramas C. • Así, existen 3 · 2 · 3 =18 combinaciones de ramas, o rutas.
  63. 63. 63 • Este resultado es un caso especial del Principio multiplicativo siguiente teorema: Teorema: Si los conjuntos A1, A2, ... , Ak contienen, respectivamente, n1, n2, ..., nk elementos, existen n1 · n2 ··· nk maneras de elegir primero un elemento de A1, después un elemento de A2,..., y finalmente un elemento de Ak. • En nuestro ejemplo teníamos n1 = 3, n2 = 2 y n3 = 3, y por lo tanto 3 · 2 · 3 = 18 posibilidades. Slide 70 Slide 88
  64. 64. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes una sección sindical con 25 miembros puede elegir un presidente y un vicepresidente? elegir Puesto que el vicepresidente puede ser elegido de 25 maneras y, subsecuentemente, el presidente de 24, existen en total 25 · 24 = 600 maneras en las que puede tomarse la decisión completa.
  65. 65. • Ej. Si una prueba se compone de 12 preguntas de verdadero-falso, ¿de cuántas maneras diferentes puede contestar un estudiante con una respuesta para cada pregunta? Dado que cada pregunta puede contestarse de 2 maneras, existen en total 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 212 = 4,096 posibilidades.
  66. 66. 2.5.3 Permutaciones seleccionar • La regla para la multiplicación de probabilidades se usa a menudo cuando se realizan varias selecciones de un conjunto y nos interesa el orden en que se les hizo. • En general, si r objetos son seleccionados ordenar de un conjunto de n objetos distintos, cualquier disposición, u orden particular de estos objetos se llama permutación.
  67. 67. • Permutación es cada una de las posibles ordenaciones de los elementos de un conjunto. • Ej. en el conjunto {1, 2, 3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.
  68. 68. • Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: 1) "1,2,3" 2) "1,3,2" 3) "2,1,3" 4) "2,3,1" 5) "3,1,2" 6) "3,2,1"
  69. 69. • A fin de determinar una fórmula para el número total de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos, observamos que: 1-1=0 1 la primera selección se realiza a partir del conjunto entero de n objetos, 2 la segunda selección a partir de los n-1 objetos 2-1=1 restantes despues de realizada la primera selección r ..., y la résima selección a partir de los n-(r-1) = n – r + 1 objetos restantes tras realizadas las r-1 primeras selecciones. r-1=r-1
  70. 70. • En consecuencia, por efecto de la regla de la multiplicación de las probabilidades (slide 63), el número total de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto de n objetos distintos es n Pr n(n 1)( n 2 )...( n r 1) para r = 1,2,...,n • Puesto que los productos de números enteros consecutivos aumentan en muchos problemas relativos a permutaciones u otro tipo de selecciones especiales, será conveniente introducir aquí la notación factorial
  71. 71. • donde 1! = 1 2! = 2 · 1 = 2 3! = 3 · 2 · 1 = 6 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 ..., y en general n! = n(n-1)(n-2)··· 2 · 1 • Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde n hasta 1. • Se define 0! = 1
  72. 72. • Para expresar la fórmula de nPr en términos factoriales, multiplicamos por y dividimos entre (n-r)!, con lo que obtenemos n(n 1)( n 2 )...( n r 1)( n r )! n Pr (n r )! n! n pr (n r )!
  73. 73. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes se puede realizar una primera, segunda, tercera y cuarta selección entre 12 empresas arrendadoras de equipo para construcción? Para n = 12 y r = 4, la primera fórmula n Pr n ( n 1)( n 2 )...( n r 1) da como resultado 12P4 = 12 · 11 · 10 · 9 = 11,880 n! y la segunda fórmula n Pr (n r )! da como resultado 12 ! 12 ! 12 ·11·10·9·8 ! 12 P4 11 ,880 (12 4 )! 8! 8!
  74. 74. • Ej. Un mecanismo electrónico requiere de 5 chips de memoria idénticos. ¿De cuántas maneras puede ensamblarse este mecanismo colocando los 5 chips en las 5 posiciones dentro del controlador? Para n = 5 y r = 5, la primera fórmula n Pr n ( n 1)( n 2 )...( n r 1) da como resultado 5P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 n! y la segunda fórmula n Pr (n r )! da como resultado 5! 5! P 5 5 5! 120 (5 5 )! 0!
  75. 75. 2.5.4 Combinaciones • Hay muchos problemas en los que debemos determinar el número de maneras en las cuales pueden seleccionarse r objetos de un conjunto de n objetos, pero sin tomar en cuenta el orden en que se realiza la selección. • Ej. ¿de cuántas maneras pueden elegirse 3 de 20 asistentes de laboratorio para colaborar en un experimento?
  76. 76. • Se tiene un conjunto con 6 objetos escoger diferentes {A,B,C,D,E,F}, de los cuales se desea escoger 2 (sin importar el orden de elección). Existen 15 formas de efectuar tal elección: A,B A,C A,D A,E A,F B,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,E D,F E,F
  77. 77. • El número de formas de escoger r elementos a partir de un conjunto de n, puede denotarse de varias formas: n n C(n,r), nCr, C ,o r r Así, en el ejemplo anterior se tiene entonces que C(6,2)=15, A,B A,C A,D A,E A,F {A,B,C,D,E,F} puesto que hay B,C B,D B,E B,F 15 formas de escoger C,D C,E C,F 2 objetos a partir de un conjunto con D,E D,F 6 elementos. E,F
  78. 78. • Los números C(n,r) se conocen como "coeficientes binomiales", pero es frecuente referirse a ellos como "combinaciones de n en r", o "combinaciones de n en grupos de r" simplemente "n en r". n • Por tanto, el coeficiente binomialr es el número de subconjuntos de r elementos escogidos de un conjunto con n elementos.
  79. 79. (selección ordenada: Permutación) A • Supongamos que un conjunto B original tiene 5 elementos, de los C cuales se deben escoger 3. Al D momento de escoger el primero, E se tiene 5 opciones disponibles, pero una vez fijo el primero, sólo hay 4 opciones para el segundo, y por tanto sólo 3 opciones para el Hay 5 4 3 formas de último (pues no se puede repetir escoger ordenadamente 3 los escogidos en los primeros 2 objetos de un conjunto pasos). De este modo, la con 5. selección puede hacerse de 5 4 3=60 formas.
  80. 80. • Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen los elementos hace diferencia. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, es una selección diferente de tomar B, luego C y cuáles se escogen luego E. • Pero en la definición de coeficiente binomial, no importa el orden en que se eligen los objetos, únicamente cuáles se escogen. • Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB,EBC son todas equivalentes. • Del mismo modo, las elecciones ABC,ACB, BCA,BAC, CAB, CBA son equivalentes, y así para cualquier terna de letras.
  81. 81. • De esta forma, el resultado obtenido (60) no dividir es la cantidad de subconjuntos de 3 elementos de {A,B,C,D,E}, sino que cada subconjunto está contado 6 veces, por lo que la cantidad de subconjuntos es realmente 60/6 = 10.
  82. 82. (selección ordenada: Permutación) • El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la siguiente forma. Si se tiene un conjunto con n elementos, de los cuales se van a escoger r de ellos, la elección (ordenada) puede hacerse de n (n-1) (n-2) ... (n-r+1) ya que en el primer paso se tienen n opciones, en el segundo se tienen n-1, en el tercero n-2, y así sucesivamente, terminando en el paso r que tendrá n-r+1 opciones.
  83. 83. • Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones dividir entre r! "equivalentes". • Pero si se tiene r objetos, hay r! formas de permutarlos, es decir, r! formas de listarlos en distinto orden. • Recordemos que r! se lee r-factorial y es igual a r! = 1 2 3 ... r
  84. 84. • Concluimos que el número de subconjuntos con r elementos, escogidos de un conjunto con n elementos es n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1) r 1·2·3···(r - 1)·r
  85. 85. • La expresión anterior puede escribirse de forma más compacta usando factoriales n n! r r! ( n r )!
  86. 86. • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes pueden seleccionarse 3 de 20 asistentes de laboratorio para colaborar en un experimento? n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1) r 1·2·3···(r - 1)·r n Para n = 20 y r = 3 la primera fórmula de r da como resultado 20 20 ·19·18 3 1,140 3!
  87. 87. • Ej. Se requiere la realización de un estudio de calibración para comprobar si los registros de 15 máquinas de prueba ofrecen resultados similares. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 3 de las 15 para la investigación? n n(n 1)( n 2 ) ···(n - r 1) r 1·2·3···(r - 1)·r 15 15 ·14·13 3 455 3!
  88. 88. 88 n n! r r! ( n r )! • Ej. ¿De cuántas maneras diferentes el director de un laboratorio de investigación puede seleccionar a 2 químicos entre 7 candidatos y a 3 físicos entre 9 candidatos? 7 Los 2 químicos pueden seleccionarse de 2 21 maneras y los 3 físicos de 9 3 84 maneras. Por efecto de la regla de multiplicación, la • slide 63 selección total puede realizarse de 21· 84 = 1,764 maneras.
  89. 89. 2.6 Axiomas de Probabilidad ¿Cuál es la probabilidad…? • En esta sección definiremos matemáticamente las probabilidades como valores de funciones aditivas de conjuntos, lo que significa que el número que asigna a la unión de 2 subconjuntos sin elementos en común, + es la suma de los números asignados a cada uno de los subconjuntos en los individual. • Con ello podemos determinar el número de elementos de A [o valor de N(A) ] para cualquier subconjunto A de S.
  90. 90. • Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos. • La probabilidad P de un suceso A, denotada por P(A), se define con respecto a un "universo" o espacio muestral S, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933.
  91. 91. • Dado un espacio muestral finito S y un evento A, definimos P(A), la probabilidad de A, como valor de una función aditiva de conjuntos que satisface las 3 condiciones siguientes: Axioma 1 0 P(A) 1 para cada evento A en S. Las probabilidades son números reales en el intervalo de 0 a 1.
  92. 92. Axioma 2 P(S) = 1. Al espacio muestral en su conjunto se le asigna una probabilidad de 1, lo que expresa la idea de que la probabilidad de cierto evento, un evento que debe ocurrir, es igual a 1.
  93. 93. 93 • Axioma 3 Si A y B son cualesquiera eventos mutuamente excluyentes en S, entonces P(A B) = P(A) + P(B). Las funciones de probabilidad deben ser aditivas. Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes. Slide 107 Slide 108
  94. 94. • Los axiomas de probabilidad restringen las maneras en las que se asignan probabilidades a los diversos resultados de un experimento. • Las probabilidades se asignan con base en: experiencias pasadas, un detenido análisis de las condiciones subyacentes del experimento, evaluaciones subjetivas o supuestos; por ej. el supuesto común de que todos los resultados son igualmente probables.
  95. 95. • Ej. Si un experimento tiene los 3 resultados posibles y mutuamente excluyentes A, B, C, verifique en cada caso si la asignación de probabilidades es permisible: a) P(A) = 1/3, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3 La asignación de probabilidades es permisible, porque todos los valores se encuentran en el intervalo de 0 a 1 y la suma es 1/3+1/3+1/3 = 1.
  96. 96. b) P(A) = 0.64, P(B) = 0.38 y P(C) = -0.02 La asignación no es permisible, porque P(C) es negativa. c) P(A) = 0.35, P(B) = 0.52 y P(C) = 0.26 La asignación no es permisible, porque 0.35+0.52+0.26 = 1.13, lo que excede de 1. d) P(A) = 0.57, P(B) = 0.24 y P(C) = 0.19 La asignación es permisible, porque todos los valores se encuentran en el intervalo de 0 a 1 y su suma es 0.57+0.24+0.19 = 1.
  97. 97. • El tercer axioma de probabilidad puede ampliarse para incluir cualquier número de eventos mutuamente excluyentes. • Teorema: Si A1, A2,...,An son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S, entonces P ( A1 A2 ... An ) P ( A1 ) P ( A2 ) ... P ( An )
  98. 98. • Ej. La probabilidad de que un ingeniero que prueba el servicio de un nuevo dispositivo anticontaminante para automóviles lo clasifique como muy deficiente, deficiente, suficiente, bueno, muy bueno o excelente son 0.07, 0.12, 0.17, 0.32, 0.21 y 0.11. ¿Cuáles son las probabilidades de que las clasificaciones del dispositivo sean a) muy deficiente, deficiente, suficiente o bueno; b) bueno, muy bueno o excelente? Puesto que las posibilidades son mutuamente excluyentes, la sustitución directa en la fórmula del teorema anterior da como resultado a) 0.07 + 0.12 + 0.17 + 0.32 = 0.68 b) 0.32 + 0.21 + 0.11 = 0.64
  99. 99. Regla de cálculo de probabilidad • Regla de cálculo de probabilidad de un evento. Teorema. Si A es un evento en el espacio muestral S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados individuales comprendidos en A.
  100. 100. • Ej. Con referencia al ej. de las máquinas industriales, (slide 60) supongamos que las probabilidades de los 18 resultados son las que se indican en la siguiente figura. Determine: P(E1), P(P1), P(C1), P(E1 P1) y P(E1 C1)
  101. 101. Al sumar las probabilidades de los resultados comprendidos en los respectivos eventos, obtenemos: P(E1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 + 0.05 + 0.07 + 0.02 = 0.40
  102. 102. P(P1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 + 0.07 + 0.14 + 0.07 + 0.02 + 0.03 + 0.01 = 0.60
  103. 103. P(C1) = 0.07 + 0.05 + 0.07 + 0.08 + 0.02 + 0.01 = 0.30
  104. 104. P(E1 P1) = 0.07 + 0.13 + 0.06 = 0.26
  105. 105. P(E1 C1) = 0.07 + 0.05 = 0.12
  106. 106. • Otra ampliación del tercer axioma nos permite determinar la probabilidad de la unión de 2 eventos cualesquiera en S, independientemente de que sean mutuamente excluyentes. • Para motivar el siguiente teorema, consideremos el siguiente diagrama de Venn, referente a las solicitudes de empleo de estudiantes recientemente graduados de la escuela de ingeniería.
  107. 107. 107 • Las letras I y G representan la obtención de un empleo en la industria o en el gobierno, de modo que del diagrama se desprende que P (I) = 0.18 + 0.12 = 0.30 P (G) = 0.12 + 0.24 = 0.36 P (I G) = 0.18 + 0.12 + 0.24 = 0.54 • Podemos sumar las diversas posibilidades porque representan eventos mutuamente excluyentes.
  108. 108. 108 0.54 • Si hubiésemos empleado erróneamente el tercer axioma de probabilidad (slide 93) para calcular P(I G), habríamos obtenido P(I) + P(G) = 0.30 + 0.36 = 0.66, lo que excede del valor correcto por 0.12 • Este error resulta de incluir P(I G) dos veces, una en P(I) = 0.30 y otra en P(G) = 0.36, lo que podríamos corregir restando 0.12 de 0.66. Slide 93
  109. 109. 0.54 • Por lo tanto, obtendríamos P(I G) = P(I) + P(G) – P(I G) = 0.30 + 0.36 – 0.12 = 0.54 lo que coincide con el resultado obtenido anteriormente. • En consonancia con esto, ahora se enuncia el siguiente teorema:
  110. 110. Regla General de la adición • Regla General de la adición. Teorema: Si A y B son cualesquiera eventos en S, entonces P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) • Probabilidad de complemento. Teorema: Si A es cualquier evento en S, entonces P(A') = 1 – P(A)
  111. 111. 111 • Ej. Con referencia al ej. de clasificación de máquinas industriales, determine la probabilidad de que una de ellas sea clasificada ya sea como fácil de operar, con un alto costo de reparación o P(E1) = 0.40 ambas condiciones, es decir, P(E1 C1). P(C1) = 0.30 P(E1 C1) = 0.12 Mediante el uso de los resultados obtenidos anteriormente (slides 101-105), P(E1) = 0.40, P(C1) = 0.30 y P(E1 C1) = 0.12, sustituimos en la fórmula del teorema anterior y obtenemos P(E1 C1) = 0.40 + 0.30 – 0.12 = 0.58 Slide 57
  112. 112. • Ej. Si las probabilidades de que, en condiciones de garantía, un automóvil nuevo requiera reparaciones del motor, la transmisión o ambos son 0.87, 0.36 y 0.29, ¿cuál es la probabilidad de que un auto requiera uno o el otro o ambos tipos de reparación durante el periodo de garantía? Al sustituir estos valores dados en la fórmula del teorema anterior, obtenemos: 0.87 + 0.36 – 0.29 = 0.94
  113. 113. 2.7 Probabilidad Condicional e Independencia • Hasta aquí hemos definido probabilidad de un evento en relación a un espacio muestral S dado. • Buscar la probabilidad de que un ingeniero gane al menos 40 mil dólares al año carece de significado, a menos que especifiquemos si nos referimos a todos los ingenieros del Continente Americano, a todos los ingenieros de Estados Unidos o de México, a los de cierta industria o cierta universidad, etc.
  114. 114. • Así, cuando empleamos el símbolo P(A) para la probabilidad de A, aludimos en realidad a la probabilidad de A dado algún espacio muestral S. • Puesto que la elección de S no siempre es evidente, y puesto que hay problemas en los que nos interesan las probabilidades de A con respecto a más de un espacio muestral, la notación P(A|S) sirve para aclarar que nos referimos a un espacio muestral S en particular.
  115. 115. • Leemos P(A|S) como la probabilidad condicional de A en relación con S, de modo que toda probabilidad es una probabilidad condicional. • Cuando la elección de S se sobreentiende, optamos por la notación simplificada P(A).
  116. 116. • Supongamos que 500 partes de maquinaria son inspeccionadas antes de su embarque, que I denota que una parte ha sido inadecuadamente ensamblada, D denota que contiene uno o más componentes defectuosos y la distribución de las 500 partes entre las diferentes categorías es la que se muestra en el siguiente diagrama de Venn.
  117. 117. • Los números son N(I D') = 20 N(I D) = 10 N(I' D) = 5 N(I' D') = 465 Clasificación de 500 partes de maquinaria
  118. 118. • Suponiendo iguales probabilidades en la selección de una de las partes para su inspección, la probabilidad de obtener una con uno o más componentes defectuosos es 10 5 3 P(D ) 500 100
  119. 119. • Para verificar si la probabilidad es la misma cuando la selección se restringe a las partes de maquinaria que han sido inadecuadamente ensambladas, nos basta con remitirnos al espacio muestral reducido de la siguiente figura, y suponer que cada una de las 30 partes inadecuadamente ensambladas tiene la misma oportunidad de ser seleccionada.
  120. 120. • En consecuencia obtenemos N (D I) 10 1 P(D | I ) N (I ) 30 3 • Puesto que se sabe que I ha ocurrido, se convierte en el nuevo espacio muestral reemplazando el original S
  121. 121. • De modo que la probabilidad de obtener una parte con 1 o más componentes defectuosos se ha incrementado de 3/100 = 0.03 a 1/3 = 0.33.
  122. 122. • Adviértase que si dividimos el numerador y el denominador de la fórmula de P(D|I) entre N(S), obtenemos N (D I) N (S ) P(D I) P(D | I ) N (D I) N (I ) P(I ) P(D | I ) N (I ) N (S )
  123. 123. • Abordando este ejemplo de otra manera, obsérvese que con respecto al espacio muestral S en su conjunto tenemos 10 1 20 2 P(D I) y P(D ' I ) 500 50 500 50
  124. 124. 10 1 20 2 P(D I) y P(D ' I ) 500 50 500 50 • Suponemos, como antes, que cada una de las 500 partes tiene la misma oportunidad de ser seleccionada.
  125. 125. 10 1 20 2 P(D I) y P(D ' I ) 500 50 500 50 • Las probabilidades de que la parte seleccionada contenga o no uno o más componentes defectuosos, concediendo que ha sido inadecuadamente ensamblada, deberían corresponder a la razón 1 a 2.
  126. 126. 10 1 20 2 P(D I) y P(D ' I ) 500 50 500 50 • Puesto que las probabilidades de D y D' en el espacio muestral reducido deben sumar 1, de ello se deduce que 1 2 P(D | I ) y P ( D '| I ) 3 3
  127. 127. • Lo cual coincide con el resultado obtenido anteriormente. • Esto explica porqué tuvimos que dividir entre P(I) (slide 122) cuando formulamos P(D I) P(D | I ) P(I )
  128. 128. • La división entre P(I), o la multiplicación por 1/P(I), toma en cuenta el factor de proporcionalidad que hace que la suma de las probabilidades en el espacio muestral reducido sea igual a 1.
  129. 129. 129 • Como consecuencia de estas observaciones, establezcamos la siguiente definición general: Regla General de la Multiplicación • Probabilidad condicional. Si A y B son eventos en S y P(B) 0, la probabilidad condicional de A dado B es P( A B) P( A | B) P(B) • La probabilidad de la intersección es P( A B) P(B)P( A | B) • Es la probabilidad de que ambos eventos ocurran (también llamado evento compuesto).
  130. 130. • Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado resulte un número menor que 4, a) no se da ninguna otra información Si A denota el suceso {menor que 4}, ya que A es la unión de los sucesos 1, 2 ó 3 observamos que P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ suponiendo probabilidades iguales para los puntos muestrales.
  131. 131. • Ej. Hallar la probabilidad de que en un sólo lanzamiento de un dado resulte un número menor que 4, b) se da la información de que el lanzamiento resultó en un número impar. Si B es el suceso {número impar} observamos que P(B) = 3/6 = ½. También P(A B) = 2/6 = 1/3. Entonces 1 P(A B) 3 2 P(A | B) P(B) 1 3 2 Por tanto, el saber que el resultado del lanzamiento es un número impar aumenta la probabilidad de ½ a 2/3
  132. 132. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan después de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable? Ya que el transistor no falla inmediatamante, sabemos que no es uno de los 5 defectuosos y, entonces la probabilidad buscada es: P{aceptable | nodefectuo so } P( A B) P { aceptable , nodefectuo so } P( A | B) P(B) P { nodefectuo so } Si es aceptable, será tanto aceptable como no defectuoso P { aceptable } P { nodefectuo so } 25 40 25 0 . 71 35 35 40
  133. 133. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan después de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable? Otra forma de resolverlo: A = aceptable N(A) = 25 B' = defectuoso N(B') = 5| B = no defectuoso N(B) = 40 - 5= 35 P(B) = (40 – 5)/40 = 35/40 C = parcial N(C) = 10 N(A B) = 25 P(A B) = 25/40 B 35 B' A C 5 25 25 10 P( A B) 40 25 P( A | B) P(B) P(A|B) 35 0 . 71 35 40
  134. 134. • Ej. Un recipiente contiene 5 transistores defectuosos (inmediatamente fallan cuando se ponen en uso), 10 transistores parcialmente defectuosos (fallan después de unas horas en uso) y 25 transistores aceptables. Del recipiente se toma aleatoriamente un transistor y se pone en funcionamiento. Si no falla inmediatamente, ¿cuál es la probabilidad de que sea aceptable? Otra forma de resolverlo: Esta probabilidad también se hubiera obtenido del espacio muestral reducido. Como sabemos que el transistor no es defectuoso, el problema se reduce a calcular la probabilidad de que un transistor, tomado de un recipiente con 25 aceptables y 10 parcialmente defectuosos, sea aceptable. Esto es, 25 35
  135. 135. • Ej. El señor Martínez piensa que hay un 30% de probabilidad de que la empresa donde labora abra una sucursal en La Paz. Si lo hace, el tiene un 60% de seguridad de que será nombrado director de esta nueva oficina. ¿Con qué probabilidad el señor Martínez será el director de la nueva sucursal en La Paz? Si B denota el evento de que la compañía abra una oficina filial en La Paz y A el evento que el señor Martínez sea nombrado su director, entonces la probabilidad buscada es P(B A), que se obtiene de P(B A) = P(B) P(A|B) = (0.3)(0.6) = 0.18
  136. 136. • Ej. Se tiran un par de dados, hallar: 1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno de los dados, y 2) la probabilidad de que salga un 2 en uno de los dados, si la suma ha salido 6. 1) A = {que salga un 2 en al menos uno de los dados} A se compone de los siguientes 11 elementos: A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2) S tiene 36 elementos P(A) = 11/36
  137. 137. • Ej. Se tiran un par de dados, hallar: 1) la probabilidad de que salga un 2 en al menos uno de los dados, y 2) la probabilidad de que salga un 2 en uno de los dados, si la suma ha salido 6. 2) A = {salga 2 en uno de los dados} B = {la suma es 6} Se pide hallar P(A|B). B se compone de 5 elementos: B = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} 2 de ellos pertenecen a A, es decir A B = (2,4) y (4,2) N (A B) P( A | B) N (B ) (slides 120, 122) P(A|B) = 2/5
  138. 138. • Ej. Un lote contiene 12 objetos, de los cuales 4 son defectuosos. Se sacan 2 objetos al azar, uno detrás del otro. Hallar la probabilidad de que los 2 no sean defectuosos. La probabilidad de que el primero no sea defectuoso es 8/12, ya que 8 de los 12 no son defectuosos. Si el primero no es defectuoso, entonces la probabilidad de que el segundo no lo sea es de 7/11, ya que sólo 7 de los restantes 11 no son defectuosos, entonces P( A B) P(B)P( A | B) slide 129 (se multiplican) P = (8/12)(7/11) = 56/132 = 0.42
  139. 139. Regla Especial de la Multiplicación Independencia • Si P(A|B) = P(A), es decir, la probabilidad de que A ocurra no está afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de B, entonces decimos que A y B son sucesos independientes. Esto es equivalente a P(A B) = P(A) P(B) P(B A) = P(B) P(A|B) • Inversamente, si se cumple lo anterior, entonces A y B son independientes.
  140. 140. • Ej. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en 2 lanzamientos de un dado honrado. A = {4 en el primer lanzamiento} B = {4 en el segundo lanzamiento} Requerimos A B = {4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o ambos} P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) (regla gral. adición slide 110) Los eventos A y B son independientes, por tanto = P(A) + P(B) – P(A) P(B) (slide 139) = 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36
  141. 141. • Ej. Se extraen 2 cartas al azar de un juego de 52. ¿Qué probabilidad hay de obtener 2 ases si: a) la primera carta es reemplazada antes de que se extraiga la segunda. b) sin reemplazo a) dado que entre los 52 cartas hay 4 ases, obtenemos (4/52)(4/52) = 1/169 b) dado que entre los 51 cartas restantes, tras de separar un as, sólo quedan 3 ases, obtenemos (4/52)(3/51) = 1/221 Nótese que cuando el muestreo es sin reemplazo la independencia se viola.
  142. 142. • Ej. Si P(C) = 0.65, P(D) = 0.40 y P(C D) = 0.24 ¿los eventos C y D son independientes? si se cumple P(A B) = P(A) P(B) entonces son independientes (slide 140) Puesto que P(C)·P(D) = (0.65)(0.4) = 0.26 y no 0.24, estos 2 sucesos no son independientes.
  143. 143. • Ej. A es el evento en el que se dispone de materia prima cuando se necesita y B es el evento en el que el tiempo de operación de la maquinaria es inferior a 1 hora. Si P(A) = 0.8 y P(B) = 0.7, asigne probabilidad al evento A B. Puesto que los eventos A y B se refieren a pasos del proceso de manufactura sin relación entre si, invocamos la independencia y establecemos la asignación P(A B) = P(A)P(B) = (0.8)(0.7) = 0.56
  144. 144. 2.8 Regla de Eliminación • Las reglas generales de la multiplicación son útiles para la resolución de muchos problemas en los que el resultado final de un experimento depende de los resultados de varias etapas intermedias. • Supongamos, por ej. que una planta de ensamblado recibe sus reguladores de voltaje de 3 proveedores diferentes, 60% del proveeedor B1, 30% del proveedor B2 y 10% del proveedor B3.
  145. 145. • Si 95% de los reguladores de B1, 80% de los de B2 y 65% de los de B3 se desempeñan de acuerdo con las especificaciones, lo que querríamos saber es la probabilidad de que cualquier regulador de voltaje recibido en la planta se desempeñe de acuerdo con las especificaciones. Proveedor B1 B2 B3 Recepción 0.60 0.30 0.10 Desempeño 0.95 0.80 0.65
  146. 146. • Si A denota el evento en el que un regulador de voltaje recibido en la planta se desempeñe de acuerdo con las especificaciones y B1, B2 y B3 son los eventos en lo que esto es atribuible a los respectivos proveedores, podemos formular que A A ( B1 B2 B3 ) A (A B1 ) (A B2 ) (A B3 ) dado que A B1 , A B 2 y A B3 son mutuamente excluyentes, P ( A) P( A B1 ) P( A B2 ) P( A B3 )
  147. 147. P( A) P( A B1 ) P( A B2 ) P( A B3 ) • Si aplicamos la segunda regla de la multiplicación a P ( A B1 ), P ( A B 2 ) y P ( A B3 ) obtenemos (slide 129) P ( A) P ( B 1 )· P ( A | B 1 ) P ( B 2 )· P ( A | B 2 ) P ( B 3 )· P ( A | B 3 ) y la sustitución de los valores numéricos dados nos da P(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65) = 0.875 Proveedor B1 B2 B3 Recepción 0.60 0.30 0.10 Desempeño 0.95 0.80 0.65 es la probabilidad de que cualquier regulador recibido en la planta se desempeñe de acuerdo con las especificaciones
  148. 148. • Para visualizar este resultado, nos basta con elaborar un diagrama de árbol donde la probabilidad del resultado final esta dada por la suma de los productos de las probabilidades correspondientes a cada una de las ramas del árbol. Proveedor B1 B2 B3 Recepción 0.60 0.30 0.10 Desempeño 0.95 0.80 0.65 P(A) = (0.60)(0.95)+(0.30)(0.80)+(0.10)(0.65)
  149. 149. • En el ejemplo anterior sólo había 3 alternativas en la etapa intermedia, pero si si hay n alternativas mutuamente regla de eliminación excluyentes B1, B2,…,Bn en la etapa intermedia, una argumentación similar nos conducirá al siguiente resultado, llamado regla de eliminación o regla de probabilidad total: Teorema. Si B1,B2,…,Bn son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces n P ( A) P ( B i )· P ( A | B i ) i 1
  150. 150. • Para visualizar este resultado, nos basta con elaborar un diagrama de árbol donde la probabilidad del resultado final esta dada nuevamente por la suma de los productos de las probabilidades correspondientes a cada una de las ramas del árbol.
  151. 151. • Supongamos que queremos conocer la probabilidad de que un regulador en particular, del que sabemos que se desempeña de acuerdo con las especificaciones, proceda del proveedor B3. • Simbólicamente, deseamos saber el valor de P(B3|A), y para determinar una fórmula para esta probabilidad establecemos primeramente que P(A B3 ) (slide 129) P ( B 3 | A) P ( A)
  152. 152. P(A B3 ) P( B3 | A) P( A) • Luego, al sustituir P(B3)· P(A|B3) por P(A B 3) y 3 ( P ( B i )·P(A | B i ) por P(A), i 1 (slides 129 y 149) P ( B 3 )·P(A | B 3 ) obtenemos la fórmula P ( B3 | A ) 3 P ( B i )·P(A | B i ) i 1 que expresa a P(B3|A) en términos de probabilidades dadas. Al sustituir los valores numéricos (de la tabla o del diagrama) obtenemos
  153. 153. P ( B3 )·P(A | B3 ) P ( B3 | A) 3 P ( Bi )·P(A | Bi ) i 1 Proveedor B1 B2 B3 Recepción 0.60 0.30 0.10 Desempeño 0.95 0.80 0.65 (0.10)(0.6 5) P ( B 3 | A) 0 . 074 ( 0 . 60 )( 0 . 95 ) ( 0 . 30 )( 0 . 80 ) ( 0 . 10 )( 0 . 65 ) • Adviértase que la probabilidad de que un regulador sea provisto por B3 decrece de 0.10 a 0.074 una vez que se sabe que se desempeña de acuerdo con las especificaciones.
  154. 154. • Ej. Se ha nominado a 3 miembros de un club para ocupar la presidencia del mismo. La probabilidad de que se elija al señor Adams es de 0.3; la de que se haga lo propio con el señor Brown es de 0.5 y la de que gane la señora Cooper es de 0.2. En caso de que se elija al señor Adams, la probabilidad d que la cuota de ingreso se incremente es de 0.8; si se elige al señor Brown o a la señora Cooper, las correspondientes probabilidades de que se incremente la cuota son de 0.1 y 0.4 ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en la cuota de membresía?
  155. 155. Considérense los siguientes eventos: A: se incrementan las cuotas de ingreso B1: se elige al señor Adams B2: se elige al señor Brown n B3: se elige a la señora Cooper P( A) P( Bi )·P( A | Bi ) i 1 Al aplicar la regla de eliminación, se puede escribir P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)
  156. 156. Al hacer referencia al siguiente diagrama de árbol, se encuentra que las 3 ramas dan las probabilidades P (B1) P(A|B1) = (0.3)(0.8) = 0.24 P (B2) P(A|B2) = (0.5)(0.1) = 0.05 P (B3) P(A|B3) = (0.2)(0.4) = 0.08 y por lo tanto P(A) = 0.24 + 0.05 + 0.08 = 0.37
  157. 157. P ( B3 )·P(A | B3 ) P ( B3 | A) 3 P ( Bi )·P(A | Bi ) 2.9 Teorema de Bayes i 1 • El método empleado para resolver el ejemplo de los proveedores puede generalizarse para dar como resultado la siguiente fórmula: Teorema. Si B1, B2,…Bn son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces P ( B r )· P ( A | B r ) P ( Br | A) n P ( B i )· P ( A | B i ) i 1 para r = 1, 2,…,n.
  158. 158. P ( Br )·P ( A | Br ) P ( Br | A) n P ( Bi )·P ( A | Bi ) i 1 • Nótese que la expresión en el numerador es la probabilidad de alcanzar A vía la r-ésima rama del árbol y que la expresión en el denominador es la suma de las probabilidades de alcanzar A vía la n ramas del árbol. • El teorema de Bayes ofrece una fórmula para determinar la probabilidad de que el “efecto” A haya sido “causado” por el evento Br.
  159. 159. P ( Br )·P ( A | Br ) P ( Br | A) n P ( Bi )·P ( A | Bi ) i 1 • En el ej. anterior determinamos la probabilidad de que un regulador aceptable haya sido producido por el proveedor B3. • Las probabilidades P(Bi) se llaman probabilidades “anteriores”, o “a priori” de las causas Bi.
  160. 160. • Ej. 4 técnicos se encargan regularmente de las reparaciones de una linea de producción automatizada en caso de descomposturas. El “empleado 1”, quien se ocupa del 20% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez de 20; el “empleado 2”, quien atiende 60% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez en 10; el “empleado 3”, quien atiende el 15% de las descomposturas, hace una reparación incompleta 1 vez en 10; y el “empleado 4”, quien se ocupa del 5% de las descomposturas, realiza una reparación incompleta 1 vez en 20.
  161. 161. Para el siguiente problema con la línea de producción, atribuido en el diagnóstico a una reparación incompleta, ¿cuál es la probabilidad de que tal reparación inicial haya sido por el “empleado 1”? Empleado 1 2 3 4 Atención a 0.20 0.60 0.15 0.05 descomposturas Reparaciones 1 de 20 1 de 10 1de10 1 de 20 incompletes
  162. 162. Empleado 1 2 3 4 causa B Atención a descomposturas 0.20 0.60 0.15 0.05 Reparaciones efecto A incompletes 1 de 20 1 de 10 1de10 1 de 20 Sustituyendo las diversas P ( Br )·P ( A | Br ) P ( Br | A) probabilidades en la formula del n P ( Bi )·P ( A | Bi ) teorema de Bayes obtenemos i 1 (0.20)(0.05) P( B1 | A) 0.114 (0.20)(0.05) (0.60)(0.10) (0.15)(0.10) (0.05)(0.05) resulta de interés notar que aunque el “empleado 1” realice una reparación incompleta sólo 1 de cada 20 veces (5% de las descomposturas), más del 11% de las reparaciones incompletas son responsabilidad suya.
  163. 163. x •M xi | i fi k 2 xi f i ·

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