Εκφωνήσεις και Αναλυτικές Λύσεις
στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Επαναληπτικών Πανελλαδικών 2013
Επιμέλεια Λύσεων: Για το Κέντρο μάθησης ΛΑΜΔΑ
Λαύκας Δημήτρης, Φωτακοπούλου Γεωργία
Κέντρο μάθησης ΛΑΜΔΑ εκπαιδεύουμε...
10. ΘΔΜΑ Β
B3. Γηα ηνπο παξαπάλω κηγαδηθνύο αξηζκνύο z, w ηνπ εξωηήκαηνο
Β1 λα απνδείμεηε όηη:
z w 10 θαη z w 10
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έζηω Μ(z), Λ(w) νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ z,w αληίζηνηρα. Η
απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηνπο ηζρύεη 1 20 z w 2(ξ ξ )
αθνύ εθάπηνληαη εμωηεξηθά ζην ζεκείν Γ. (ζρήκα 2)
σχήμα 2
11. ΘΔΜΑ Β
B3.Απάληεζε
Άξα 1 20 z w 2(ξ ξ ) 2 1 4 10 z w 10 Η ηζόηεηα
(κέγηζηε ηηκή) ιακβάλεηαη γηα ηα αληηδηακεηξηθά ζεκεία Α(z),Β(w).
Γηα ην w ηζρύεη:
2 2(OK) ξ w (OK) ξ 1 w 9 άξα
2 z w 10 z w 10
Όκωο z w z w από ηελ ηξηγωληθή αληζόηεηα,
άξα z w 10
12. ΘΔΜΑ Β
B3.Απάληεζε
Δδώ πξέπεη λα ηνληζηεί εδώ όηη ε ζρέζε z w z ( w) πνπ
εθθξάδεη ηελ απόζηαζε ηωλ εηθόλωλ ηνπ z από ηηο εηθνλεο ηνπ -w
πνύ είλαη ζπκκεηξηθόο ηνπ w ωο πξόο ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ. Άξα
ζα κπνξνύζε λα ιπζεί αθξηβώο όκνηα κε πξηλ
1 20 z w 2(ξ ξ ) 2 1 4 10 z w 10 (ζρήκα 3)
ζρήκα 3
13. ΘΔΜΑ Β
B4. Από ηνπο παξαπάλω κηγαδηθνύο αξηζκνύο z ηνπ εξωηήκαηνο
Β1 λα βξείηε εθείλνπο, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη:
2
2z 3z 2zz 5
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έζηω z=x+yi κε x,y∈ℝ , έρνπκε z x yi θαη z z 2yi .
2
2z 3z 2zz 5 z(2z 3 2z) 5 z 2z 3 2z 5
22 2
2(z z) 3 5 3 4yi 5 ( 3) 4y 5 9 16y 25
2
y 1 άξα y=1 ή y= -1
Όκωο 2 2 2
z 1 x y 1 x 1 1 x 0 άξα z i ή z i .
14. ΘΔΜΑ Γ
Έζηω ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: ℝ ⟶ ℝ γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
2
2xf(x) x f (x) 3 f (x) γηα θάζε x∈ℝ
1
f(1)
2
Γ1.Να απνδείμεηε όηη
3
2
x
f(x) , x
x 1
¡
θαη ζηε ζπλέρεηα όηη ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ℝ
Μνλάδεο 6
Απάληεζε
Έρνπκε 2 2 2
2xf(x) x f (x) 3 f (x) 2xf(x) x f (x) 3x f (x)
2 2 3 2 3
x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x)
άξα ππάξρεη c ¡ ώζηε 2 3
x f(x) x f(x) c
15. ΘΔΜΑ Γ
Γ1. Απάληεζε
... όκωο
1
f(1)
2
άξα γηα x=1 έρνπκε:
2 3 1 1
1 f(1) 1 f(1) c 1 c c 0
2 2
.
Άξα
3
2 3
2
x
x f(x) x f(x) f(x)
x 1
γηα θάζε x ¡ .
Παξαγωγίδνληαο ηελ f έρνπκε:
2 2 3 4 2 4
2 22 2
3x (x 1) x 2x 3x 3x 2x
f (x)
x 1 x 1
4 2 2 2
2 22 2
x 3x x (x 3)
f (x) 0
x 1 x 1
γηα θάζε x ¡ .
Άξα ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην ℝ.
16. ΘΔΜΑ Γ
Γ2. Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο
ζπλάξηεζεο f ηνπ εξωηήκαηνο Γ1.
Μνλάδεο 4
Απάληεζε
H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην ¡ άξα ζπλερήο ζην ¡ νπόηε θαηαθόξπθεο
αζύκπηωηεο δελ έρεη.
Τώξα γηα πιάγηεο:
3 3 3
3 32x x x x
f(x) x x x
lim lim lim lim 1
x x x xx x 1
Οκνίωο
x
f(x)
lim 1
x
.
3 3
2x x x
x x
lim(f(x) x) lim x lim
x 1
3
x
2 2x x
x x 1
lim lim 0
x 1 x 1 x
Οκνίωο
x
lim(f(x) x) 0
.
Άξα ε (ε):y=x πιάγηα αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην
θαη ζην .(ζρήκα 4)