UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matemática
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PRESENTACIÓN
En el presente trabajo de investigación utilizaremos las herramientas
matemáticas que nos permitan dar un e...
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OBJETIVOS
I. Objetivo General
Elaborar un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y
CvaR para luego aplicarlas...
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HIPOTESIS
 Las medidas de riesgo VaR y CVaR se les puede dar un enfoque
matemático así como aplicar al IGBVL bajo las c...
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TEORÍA DE RIESGO
I. Medida de Riesgo
P)F,,(LM 0

(X)X
RM:

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
Representemos los riesgos financieros por el conjunt...
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MEDIDA DE RIESGO COHERENTE
MEDIDA
DE
RIESGO COHERENTE
INVARIANCIA
POR
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SUBADITIVIDAD
POSITIVAMENTE
HOMOGENEA
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AXIOMAS DE COHERENCIA
I. Invariancia por translación
quetenemosRmtodoyMX      mXmX  
II. Subaditividad
  ...
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Value-at-Risk (VaR)
Dado un intervalo de confianza ).1,0( El VaR de nuestro portafolio
a un determinado nivel de confi...
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Expected Shortfall
Para una pérdida L con |)(| LE y función de distribución LF el
Expected Shortfall con un nivel de c...
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VaR vs ES
Value-at-Risk Expected Shortfall
• Fácil interpretación e
implementación
• No es una medida de riesgo
coheren...
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APLICACIÓN: Métodos de Estimación
Modelos No Paramétricos Modelos Paramétricos
• Los modelos más generales
son los mode...
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APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Utilizamos el IGBVL ya que resume el comportamiento bursátil del mercado
peruano es decir refl...
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APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Trabajaremos con los retornos aritméticos.
 Se pueden apreciar periodos de alta volatilidad d...
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APLICACIÓN: Caso IGBVL
 Análisis estadístico gráfico: Histogramas y qqplots.
 Gran concentración alrededor de un valo...
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APLICACIÓN: Var y ES al 99%
APLICACIÓN: Var 95% y VaR 99%
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APLICACIÓN: ES 95% y ES 99%
APLICACIÓN: ES 95% y VaR 99%
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CONCLUSIONES
 La importancia de los axiomas de coherencia para poder establecer una
adecuada medida de riesgo así como...
ANEXOS
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INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN
quetenemosRmtodoyMX 
    mXmX  
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SUBADITIVIDAD
     YXYXquetenemosMYX   ,
 Riesgo puede ser reducido por diversificación (principio en ec...
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MONOTONICIDAD
   YXYXMYX   ,/,
 Posiciones o portafolios más riesgosos requieren más capital o tienen más
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POSITIVAMENTE HOMOGENEA
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  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA Facultad de Ciencias Escuela Profesional de Matemática 1 «ENFOQUE MATEMATICO PARA LAS MEDIDAS DE RIESGO VaR Y CVaR» TESIS QUE PRESENTAN: Br. LUIS VALENTIN PURIZACA ROSILLO Br. LUIS JHOAN ALDANA PURIZACA ASESOR: Mg. JOSE VALENTIN PURIZACA MARTINEZ
  2. 2. 2 PRESENTACIÓN En el presente trabajo de investigación utilizaremos las herramientas matemáticas que nos permitan dar un enfoque matemático a las medidas de riesgo VaR y CVaR para luego aplicarlas en un caso real y concreto para su respectivo análisis.  Medida de Riesgo • VaR • CVaR  Axiomas de Coherencia  Métodos Estimación • Paramétrico • No Paramétrico  IGBVL Teoría de Riesgo Aplicación
  3. 3. 3 OBJETIVOS I. Objetivo General Elaborar un enfoque matemático para las medidas de riesgo VaR y CvaR para luego aplicarlas al IGBVL II. Objetivos Específicos  Definir los conceptos básicos de Teoría de la Medida y Probabilidad.  Estudiar los principales temas de estadística relacionados con las medidas de riesgo (VaR y CVaR).  Construir las ideas principales en el calculo de las medidas de riesgo financiero ( VaR y CVaR).  Analizar las medidas alternativas que cumplen con un conjunto de condiciones mínimas tal que pueden ser llamadas medidas coherente de riesgo.  Definir las medidas de riesgo: VaR y CVaR así como su aplicación al IGBVL para cada caso.
  4. 4. 4 HIPOTESIS  Las medidas de riesgo VaR y CVaR se les puede dar un enfoque matemático así como aplicar al IGBVL bajo las condiciones de invarianza por translación, subaditividad, positivamente homogénea, monotonocidad. Frecuencia Pérdidas 99.57% VaR ES
  5. 5. 5 TEORÍA DE RIESGO I. Medida de Riesgo P)F,,(LM 0  (X)X RM:     Representemos los riesgos financieros por el conjunto de variables aleatorias, asumiremos que M es un cono convexo. Una medida de riesgo es un mapeo de M en R. 0(X) 0(X)  SiRequerimiento de capital No
  6. 6. 6 MEDIDA DE RIESGO COHERENTE MEDIDA DE RIESGO COHERENTE INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN SUBADITIVIDAD POSITIVAMENTE HOMOGENEA MONOTONICIDAD
  7. 7. 7 AXIOMAS DE COHERENCIA I. Invariancia por translación quetenemosRmtodoyMX      mXmX   II. Subaditividad      YXYXquetenemosMYX   , III. Monotonicidad    YXYXMYX   ,/, IV. Positivamente Homogénea    XXquetenemostodoyMX   0
  8. 8. 8 Value-at-Risk (VaR) Dado un intervalo de confianza ).1,0( El VaR de nuestro portafolio a un determinado nivel de confianza  es dado por el menor número l tal que la probabilidad que las pérdidas L excedan l no es mayor que )1(          LFRlínf lLPRlínfVaR : 1:
  9. 9. 9 Expected Shortfall Para una pérdida L con |)(| LE y función de distribución LF el Expected Shortfall con un nivel de confianza )1,0( es definido    1 1 1    duFqES Lu donde )()( uFFq LLu   es la función quantil de .LF El expected shortfall es por lo tanto relacionado al VaR    1 1 1   duLVaRES
  10. 10. 10 VaR vs ES Value-at-Risk Expected Shortfall • Fácil interpretación e implementación • No es una medida de riesgo coherente: Falla en la subaditividad • Medida de riesgo coherente: Permite una adecuada asignación de capital • Difícil interpretación. Ventajas Desventajas Frecuencia Pérdidas 99.57% VaR ES
  11. 11. 11 APLICACIÓN: Métodos de Estimación Modelos No Paramétricos Modelos Paramétricos • Los modelos más generales son los modelos no paramétricos los cuales basan sus posibles escenarios de distribución de rendimientos en función de la data histórica. •Los modelos paramétricos son la forma más simple de calcular ambas medidas de riesgo: VaR y ES. Estos modelos asumen de antemano una distribución de rendimientos conocida que en la mayoría de casos suele ser una distribución normal. Definición • No se realiza ningún supuesto • Condicionado a la historia. • Fácil implementación • Supuestos no testeados Ventajas Desventajas
  12. 12. 12 APLICACIÓN: Caso IGBVL  Utilizamos el IGBVL ya que resume el comportamiento bursátil del mercado peruano es decir refleja la tendencia promedio de los rendimientos alcanzados de las acciones más significativas de la negociación bursátil.  El periodo de análisis: Enero 2000 hasta diciembre 2012 con frecuencia diaria
  13. 13. 13 APLICACIÓN: Caso IGBVL  Trabajaremos con los retornos aritméticos.  Se pueden apreciar periodos de alta volatilidad debido a la alta fluctuación de las condiciones de mercado.  Se trabajará con el software estadístico R 2.13.1 .
  14. 14. 14 APLICACIÓN: Caso IGBVL  Análisis estadístico gráfico: Histogramas y qqplots.  Gran concentración alrededor de un valor, quantiles no coinciden con los de una distribución normal.
  15. 15. 15 APLICACIÓN: Var y ES al 99% APLICACIÓN: Var 95% y VaR 99%
  16. 16. 16 APLICACIÓN: ES 95% y ES 99% APLICACIÓN: ES 95% y VaR 99%
  17. 17. 17 CONCLUSIONES  La importancia de los axiomas de coherencia para poder establecer una adecuada medida de riesgo así como el avance matemático en el campo de las finanzas especialmente en riesgos.  El VaR como medida de riesgo tiende a subestimar el riesgo ante la presencia de eventos extremos o de colas anchas sin embargo tiene una aceptación en la industria debido a su fácil interpretación e implementación.  El CVaR como alternativa para medir el riesgo de un portafolio es una medida adecuada ya que cumple con los axiomas de coherencia de manera principal el de subaditividad.  Se demostró de manera practica a través de la aplicación con el IGBVL que el CVaR es un medida de riesgo mas conservadora que el VaR, dado que el CVaR solo considera las perdidas en la cola.
  18. 18. ANEXOS 18
  19. 19. 19 INVARIANCIA POR TRANSLACIÓN quetenemosRmtodoyMX      mXmX  
  20. 20. 20 SUBADITIVIDAD      YXYXquetenemosMYX   ,  Riesgo puede ser reducido por diversificación (principio en economía y finanzas)  Si no se cumple, las instituciones tendrían incentivos a separarse legalmente en varias subsidiarias.  Si se cumple se puede realizar una correcta asignación de capital.
  21. 21. 21 MONOTONICIDAD    YXYXMYX   ,/,  Posiciones o portafolios más riesgosos requieren más capital o tienen más pérdidas.
  22. 22. 22 POSITIVAMENTE HOMOGENEA    XXquetenemostodoyMX   0
  23. 23. 23 RETORNOS Sea el retorno del portafolio definido por tt rrr  1 donde son los valores del portafolio en el tiempo t y t+1.tt rr ,1 1  t t g r r LnR 1 1    t tt a r rr R ag RLnR  1 Tasa de Retorno Geométrica Tasa de Retorno Aritmética
  24. 24. FUNCION DE DISTRIBUCIÓN Sea un espacio probabilístico, un espacio medible y una variable aleatoria. La distribución de X se define por la función: . es una función de probabilidad definida en que cumple ADR  PF,,  ,E EX : 1  XPPX  XP  ,E        11   PEXPEPX
  25. 25. En el caso particular de que ,es decir cuando X es un vector aleatorio denotaremos: Para el caso d=1 tenemos la distribución de la variable aleatoria X denotada por es una función definida sobre . Si entonces: La función de distribución de X, es la función definida sobre R ADR     dd RRE  ,,      d X RXPXPBP   ,][][ 1 XP  R     ][ ]1,0[:   XPBP RP X X  x,       xXPxXPPX  , .XF      ][, ]1,0[: xXPxxFx RP X X  
  26. 26. α- teal mean Definición: Sea ; se define por: Ahora Expect Shortfall se puede definir: Sea ADR  ][XE meantail                     xXPxXEXTMx xX    }{1 1       xXESES )...(0][,1 0][,1 1 }{1 ][ ][ }{ }{ }{ IxXPsi xXPsi xX xXP xXP xX xX xX               
  27. 27. Podemos verificar que: En efecto demostraremos (2) para el caso ADR       )2...(1,01 }{   xX  xX                                       xXP xFq xFxF xF xXP xXP xXxX             1 11 }{
  28. 28. La segunda igualdad se define por: luego la pertenencia se da por: La expresión (1) también cumple: En efecto tenemos: ADR              xFxFxXPx ,          XFXFqXF                            xXE qE xX xX }{ 1 }{ 1 1        qq xX q q xX xXP xFq EE             11 }{
  29. 29. Por linealidad de esperanza tenemos: Debido a la definición de tenemos que el segundo término de la ecuación (3) es igual a 0, por lo nos quedaría En el caso de que la función indicadora de la ecuación (3)se hace ambos términos, entonces tenemos: ADR          )3...(11             qq xX q q xX xXP xFq EE  qxX 1 qxX       qxXPE qxX q 1 qxX           q q q q xFEq xFEq xXP xFq E               1 1 1 1
  30. 30. Pues . Tenemos que el valor esperado es q . ADR          qqqq xXPxXPExXPxFE 
  31. 31. Subaditividad del ES Dada dos variables aleatorias X y Y con se cumple para cualquier . Demostración: Definamos , por (1) tenemos ADR       XEyXE      YESXESYXES    1,0 YXZ                                                          0 1111 1111 111                  yx YyEx YXE YXZE ZESYESXES yYzZxXzZ yYzZxXzZ zZzZzZ
  32. 32. En la desigualdad empleamos lo siguiente: Lo cual es como consecuencia de la propiedad 1 ADR                         )4...( ,011 ,011                xXsi xXsi xXzZ xXzZ

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