Mathematik als Anwendungsfall und Herausforderung für das Semantic Web

Motivation Ansatz Doktorarbeit Fazit

Mathematik als Anwendungsfall und
Herausforderung für das Semantic Web
Doktorandenforum Natur+Wissenschaft

Christoph Lange

Jacobs University Bremen

8. Dezember 2008

Ch. Lange (Jacobs University) Mathematik im Semantic Web 8. Dezember 2008 1


Hello, World!

Christoph Lange, Informatik, Jacobs University Bremen
Fachgebiet: Semantic Web, Mathematical Knowledge
Management (Verbindung von beidem)
Stadium: Bausteine zu Ende führen und in größeren
Zusammenhang setzen
Vortragsthema: Überblick über das Forschungsthema



Semiformales mathematisches Wissen

Arbeit mit mathematischem Wissen liegt zwischen den Extremen
völlig unstrukturierter und informaler Text: z. B. Tafelanschrieb
vollständige Formalisierung: z. B. algebraische Spezifikation
Neue Theorien (Definitionen, Axiome) in Entwicklung, Beweisskizzen,
Lehrmaterialien, . . .
Example
Wenn der Dozent weiß, dass eine Beweisskizze korrekt ist, sollte er sie
als „Beweis“ klassifizieren und bei einer Suche als solchen finden
können.



Kollaboration an mathematischem Wissen

Forschung und Lehre sind kollaborativ:
Forschung: Ideen kursieren in der Arbeitsgruppe → Ausarbeitungen
publizieren, Peer-Review” große kollaborative
Entwicklungen
Lehre: Professor, Assistenten und gute Studenten erarbeiten
zusammen Übungsaufgaben
Im Computerzeitalter arbeiten wir immer noch mit Bleistift und
Papier.
Ziel: Integrierte Umgebung zum kollaborativen Bearbeiten, Erkunden
und Kommentieren



Ein Wiki für semiformales mathematisches Wissen

Mathematisches Wissen fürs Informationsmanagement zu
strukturieren ist harte Arbeit
Lösung: semantisches Markup: Sagen, was Symbole und
Strukturen bedeuten – nicht wie sie aussehen
Dazu muss man denken und Aufwand treiben

Leitgedanke meiner Forschung
„Wie können Anwender unterstützt werden, den Aufwand zu treiben,
gemeinsam mathematisches Wissen zu strukturieren. Welches
zusätzliche Wissen kann aus ihren Beiträgen erschlossen werden, und
wie kann dieses Wissen wiederum genutzt werden, um die
Zusammenarbeit zu verbessern?“



Mathematisches (Nicht-)Wissen in Wikis

Fragen, die Wikipedia nicht
beantworten kann (Bsp. Pythagoras):
Suche sqrt{a^2 + b^2} = c
oder x^2 + y^2 = z^2
Alle Sätze über Dreiecke, für die
ein Beweis im Wiki steht
√
„Was bedeutet ?“



SWiM, ein Semantisches Wiki für Mathematik
http://swim.kwarc.info, http://wiki.openmath.org



Bausteine und ihr Zusammenhang
OpenMath–Wiki andere

Fallstudie
?
Evaluation

Frontend/Backend SWiM Diskussion
Integration anregen
navigieren
schreiben
abfragen
verstetigen
ermöglicht
Wissens-
verbessern
(Inter)aktive repräsentation
Argumentation
Dokumente Strukturen
abgreifen Gesprächs-
Annotation
thema


Forschungsmethode

1 Anwendungszenarien untersuchen, Anforderungen
vorhandener Projekte bzgl. Kollaboration sammeln: OpenMath
Content Dictionaries, Flyspeck, . . .
2 Durch vorhandene Formalismen gegebene
Wissensrepräsentation
erweitern/verbessern/anpassen/zurechtstutzen und auf
integrierte Web-Kollaborationsplattform zuschneiden
3 System-Prototypen basierend auf dieser Wissensrepräsentation
bauen, ausgewählte Anforderungen aus (1) erfüllen
4 System in diesen Projekten einsetzen, Feedback aus Fallstudien
sammeln. GOTO 1.
In Wirklichkeit keine so strikte Trennung


Ergebnisse

Strukturen mathematischen Wissens Semantic-Web-gerecht
modelliert
. . . und integriert mit Metadaten, rhetorischen Strukturen und
Argumentation über math. Wissen
Semantic-Web-Ontologien auf „mathematischere“ Art
modellieren (expressiver, besser dokumentiert)
Kollaborativer Editor (Wiki) für mathematische Dokumente



Fragen
Jedes Teilthema für sich ist nach oben oﬀen; wo den
Schlussstrich ziehen?
Ergebnisse überprüfen: Machbarkeit bestimmter Vermutungen zu
prüfen ist leicht; ob es wirklich Anwender unterstützt oder gar
motiviert, ist schwer.
Sehr spezielles Anwendungsgebiet:
Vorteil Anwender kennen sich aus, haben sehr genaue
Wünsche und Vorstellungen
Nachteil Anwender kommen auch ohne mein System
zurecht, haben überzogene Wünsche („Ich würde ja
gern, aber. . . “)
Viel Programmieraufwand, hoher Integrationsaufwand: viel
Eigenleistung, aber auch auf Assistenten angewiesen


Fazit

Web-Kollaboration an semiformalem mathematischem Wissen
in einer Umgebung, die das Wissen bearbeiten und
nutzen kann
für Forschung, Entwicklung, Lehre
mit einem semantischen Wiki
Experimenteller Ansatz: Anforderungen untersuchen, formales
Modell entwickeln, in echtem System und echten Anwendungen
testen



Fazit

Web-Kollaboration an semiformalem mathematischem Wissen
in einer Umgebung, die das Wissen bearbeiten und
nutzen kann
für Forschung, Entwicklung, Lehre
mit einem semantischen Wiki
Experimenteller Ansatz: Anforderungen untersuchen, formales
Modell entwickeln, in echtem System und echten Anwendungen
testen

Web 2.0 für Mathematiker



Das Semantic Web
Ein herkömmliches Wiki bzw. webbasiertes System versteht das
Wissen nicht, das es enthält.
Vision des Semantic Web:
Bedeutung von Web-Inhalten für Maschinen
verständlich machen (schwache KI)
„Internet der Dinge“; Ressourcen mit
Metadaten und Beziehungen untereinander
Agenten erschließen Zusammenhänge: z. B.
in der Nähe einen guten Arzt ﬁnden, der die
Krankheit meiner Mutter behandeln kann
und heute oﬀen hat [Berners-Lee et al. 2001]
Intelligenter als „Web 2.0“ (aber noch nicht
so verbreitet)
Theoretischer Hintergrund: Ontologien,
Formale Logik, Automatisches Beweisen


Semantische Wikis
Wie „versteht“ ein semantisches Wiki? Wie macht man Wissen
explizit?
normalerweise: 1 Seite = 1 reales Konzept
Seiten und Links haben Typen
z. B. „ist Arzt“, „behandelt Krankheit . . . “, „hat Praxis in . . . “
Typen deﬁniert in Ontologie, je nach Anwendung mehr oder
weniger formal
Typhierarchien: „Sokrates ist ein Mensch, alle Menschen sind
sterblich, also ist Sokrates sterblich.“
Nutzen: Bessere Navigation, stärkere
Suchfunktion, kontextabhängige
Präsentation, neue Lernmöglichkeiten
Arbeitsablauf: Schrittweise Formalisierung
der Wiki-Seiten mit verteilten Rollen
Beispiel: Semantic Wikipedia


Math. Knowledge Representation on the Semantic
Web
Knowledge stored in OMDoc, but extracting an RDF outline to make
it operational:
Example
An OMDoc document: Extracted RDF graph:
Proof proves Theorem
<omdoc>
<proof id="pyth-proof" type type
for="pythagoras"> pyth-proof pythagoras
... proves
</proof>
</omdoc>
<pyth-proof, rdf:type, math:Proof>
<pyth-proof, math:proves, pythagoras>

Developing ontology based on OMDoc and OpenMath


Ontologies for Mathematical Documents (1)
Previous State
I had a basic ontology that modelled structures of notDef
mathematical knowledge; mainly statements (deﬁnition, renders-
Symbol
theorem, proof, examples)
sym
used in SWiM for navigation, queries, internal uses- uses-
Symbol Symbol
bookkeeping
fmp ex
fmp ex
fmp ex
contains contains

symDef
symDef
symDef
contains

cd
cd
cd



Ontologies for Mathematical Documents (1)
Previous State
I had a basic ontology that modelled structures of notDef
mathematical knowledge; mainly statements (deﬁnition, renders-
Symbol
theorem, proof, examples)
sym
used in SWiM for navigation, queries, internal uses- uses-
Symbol Symbol
bookkeeping
fmp ex
fmp ex
fmp ex
Next Challenge
contains contains
Semi-formal knowledge often comes in documents
symDef
symDef
symDef
that also contain text
There is a document structure (chapter, section, contains

cross-reference), and a rhetorical structure, both cd
cd
cd
of which can be independent from the
Ch. Lange (Jacobs University) structure. Mathematik im Semantic Web
mathematical 8. Dezember 2008 16


Annotation

Sections in the
editor



Annotation

The toolbar
Sections in the
editor
(Implementation by Gordan Ristovski)



Visualisation of Rhetorical Structures

Rhetorical Blocks (SALT)



Visualisation of Rhetorical Structures

Rhetorical Blocks (SALT)

Rhetorical Relations
(SALT, implementing RST)

(Implementation by Jana Giceva)


Argumentation about Mathematical Knowledge
Items

Take the survey:
tinyurl.com/5qdetd



Domain-Speciﬁc Argumentation
Assumptions
Possible problems depend on the type of knowledge item
Possible solutions depend on the type of knowledge item and the
type of problem
Standard problems have standard solutions, with which software
can assist



Domain-Specific Argumentation
Assumptions
Possible problems depend on the type of knowledge item
Possible solutions depend on the type of knowledge item and the
type of problem
Standard problems have standard solutions, with which software
can assist

Survey (tinyurl.com/5qdetd)
Common issues: wrong, incomprehensible, uncommon style,
underspecified, redundant, truth uncertain
Common solutions: directly improve affected knowledge item,
split it
When issues remain unresolved, it’s mostly due to insufficient
Ch. Lange (Jacobs University) support
restructuring Mathematik im Semantic Web 8. Dezember 2008 20


Domain-Speciﬁc Argumentation (Example)

User Interface



Domain-Speciﬁc Argumentation (Example)

hasDiscussion
forum1 theorem
(IkeWiki ontology)
has_container exemplifies
post1: Issue
(Incomprehensible) example
responseTo
has_reply resolvesInto
post2: Idea
(ProvideExample)
positionOn knowledge
post3: Agree items
(OMDoc ontology)
on wiki pages
post4: Disagree onIdea

post5: Agree onIssue
withPositions
post6: Decision
physical structure argumentative
(SIOC) discussion page structure

RDF Graph
User Interface


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