1. L A R S V. T. O C C H I O N E R O
2005 2133
DETEKTION
AF EXOPLANETER
GENNEM
MIKROLINSER
V E J L E D E R : H A N S K J E L D S E N
B A C H E L O R P R O J E K T I F Y S I K
I N S T I T U T F O R F Y S I K O G A S T R O N O M I
A A R H U S U N I V E R S I T E T
2 4 / 0 8 - 2 0 0 9

2. Resumé
At nde planeter som ligner Jorden, er en af moderne astronomis
store udfordringer. I dette Bachelor-projekt vil jeg kigge på én bestemt
metode, som har potentiale til at bestemme sådanne planeter: anvendel-
sen af gravitationelle mikrolinser.
Jeg vil i opgaven starte med generelt at se på, hvordan mikrolinser kan
hjælpe os med at nde planeter. Jeg vil her komme ind på hvor vigtig høj-
præcision fotometri er for bestemmelsen af planeter med Jordlignende
forhold.
Jeg vil dernæst kigge på den software, MiNDSTEp pipelinen, man i
dag anvender ved det danske 1.54 m teleskop på La Silla til at detekte-
re exoplaneter. Dette vil jeg sammenligne med DAOPHOT, som noget
software specikt designet til at foretage fotometri i felter med en stor
tæthed af stjerner, ved at anvende stjernernes punkspredningsfunktion.
Vi vil hermed se hvordan vi gennem denne sidste form for fotometri
kan opnå højere præcision og mere robuste målinger, som vil forbedre
vores chancer for at nde små planeter, og forbedre muligheden for at
bestemme deres masse og bane med større nøjagtighed.
Endelig vil jeg diskutere, hvordan vi ydeligere kan forbedre mulighe-
derne for at bestemme planeter ved at kombinere mikrolinsningsteknik-
ken med andre teknikker, noget man har tænkt sig at gøre i praksis i den
danske SONG netværk af teleskoper.
Abstract
To nd planets similar to Earth is one of modern astronomy greatest
challenges. In this Bachelor-thesis I shall look on one specic method,
with the property to potentially detect such planets: the usage of gravi-
tational microlenses.
In this thesis I shall begin by generally observing how microlenses
can help us nd planets. I shall herein analyse the importance of high-
precision photometry for the detection of Earthlike planets.
I shall thereafter examine the MiNDSTEp pipeline, which is the soft-
ware used by the 1.54 m Danish telescope at La Silla for detecting ex-
oplanets. I shall compare this with DAOPHOT, a software specically
designed to make photometric measurements in crowded star-elds, by
usage of the point spread function of the stars.
Thereby I will analyse how we, using this last kind of photometry,
can achieve a better precision and more robust measurements, which will
improve our chances of nding small planets, and improve the possibility
of observing their masses and orbit parameters with greater precision.
Finally I shall discuss how we can improve the possibility of detecting
exoplanets by combining detection through microlenses with other tech-
niques, something which is intended to be done practically in the Danish
SONG telescope network.
i

3. Indhold
Indledning iii
1 Exoplaneter 1
1.1 Mikrolinser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Detektion af exoplaneter ved mikrolinsning . . . . . . . . . . . 3
1.3 Observationelle egenskaber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Formålet med dette projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 MiNDSTEp Pipelinen 10
2.1 Blændefotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Pipelinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 make-ref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 re-reduce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Usikkerhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Om dierentiel fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Spredning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Problemer og usikkerheder forbundet med Pipelinen . . . . . . 22
2.4.1 Generelle problemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Usikkerheden og betydning for planetdetektion . . . . . 23
3 DAOPHOT 24
3.1 PSF-Fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 DAOPHOTs PSF-fotometri . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Usikkerhed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Diskussion af DAOPHOTs usikkerheder . . . . . . . . . . . . . 29
4 Forbedring af Pipelinen 30
4.1 Sammenligning af de to programmer . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.1 Spredning på referencestjernerne . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.2 Spredning af objekternes lyskurve . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Præcisionens betydning for planetdetektion . . . . . . . . . . . 33
4.3 Implementering af DAOPHOT i Pipelinen . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Ydeligere mulige forbedringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Konklusion 37
Litteratur 39
ii

4. Indledning
Eventyr og historier om eksotiske lokationer, ora og fauna på den anden side
af stjernerne er et koncept som har givet brændsel til menneskets fantasi i
uendelige tider. Vi fejrer netop i år 400-året for Galileis første opdagelse (IYA-
2009, 2009), altså den første opdagelse nogensinde foretaget ved at kigge på
himlen med en kikkert. Galilei viste verden, for 400 år siden, at Universet
er væsentlig mere mangfoldigt end man havde troet, med kratere på månen,
pletter på solen og måner omkring Jupiter. Sidenhen har mennesket drømt om
hvad andet der kan være derude i universet, og hvorvidt der kan eksistere andet
intelligent liv i universet. Den britiske astronom Sir William Hershel, mente
at alle solsystemets planeter (Solen inklusiv) var fulde af liv. I viktoriansk tid,
efter Giovanni Schiapparellis opdagelse af Mars' kanaler, begyndte historier om
marsmænd, månemænd og andre rumvæsner at blive en del af den folkelige
kulturarv, eksempelvis gennem romaner som H.G. Wells' Klodernes Kamp.
Hundreder af år er gået, men vores fantasi og lyst til at vide hvorvidt andet
intelligent liv eksisterer, er ikke formindsket, tværtimod. Muligheden for eksi-
stensen af en eller ere tvillinger af Jorden, med dens eget økosystem har været
én af de store drivkræfter bag astronomien. I dag bliver store rumprogrammer
specikt designet til at søge efter Jordlignende planeter, eksempelvis Kepler
missionen fra i år, og vi har gennem studier fra Jorden på blot 14 år fundet op
mod 400 exoplaneter, altså planeter uden for vores solsystem, gennem diverse
teknikker. Desværre er langt de este af disse planeter store gaskæmper, som
Jupiter og Saturn, som er ligger langtfra hvad vi forstår med Jordlignende.
Men nye teknikker muliggør i dag opdagelsen af relativt små planeter, i baner
omkring deres stjerne, som muliggør eksistensen for ydende vand, og dermed
liv.
Jeg vil i denne opgave se på én bestemt metode til detektion af exoplaneter;
mikrolinseteknikken. Med denne teknik anvender man den velkendte relativi-
stiske eekt, at lys afbøjes i tyngdefelter. Teknikken muliggør opdagelsen af
Jordlignende planeter, og er dermed meget aktuel i forhold til exoplanetforsk-
ningen. Til gengæld har teknikken nogle meget høje krav til målepræcision og
god databehandling for at kunne nde planeterne, og i særdeleshed til at kunne
bestemme disses masse og baneradius. Jeg vil starte med at skitsere hvordan
mikrolinseteknikken virker, og se på de fordele den giver os, samt de problemer
vi kan arbejde med. Jeg vil dernæst kigge på ét af de problemer, man støder
ind i, nemlig selve fotometrien, altså databehandlingen hvor man kigger på
hvor lysstærkt et objekt er, og hvordan dennes lysstyrke ændrer sig. Jeg vil
her sammenligne den nuværende anvendte pipeline, på det danske 1.54m te-
leskop på La Silla, af MiNDSTEp gruppen på Københavns Universitet, med et
mere avanceret fotometriprogram, kaldet DAOPHOT, som anvender en mere
kompleks form for fotometri. Jeg vil se hvorvidt usikkerheden på målingerne
kan forbedres ved at skifte til et andet program, og jeg vil diskutere i hvor
høj grad dette har betydning for resultaterne. Endelig vil jeg diskutere hvilke
andre forbedringer man kan foretage for at gøre systemet bedre, i særdeleshed
det i lyset af et snarligt samarbejde med teleskopnetværket SONG, som vil give
muligheder for at detektere exoplaneter mere nøjagtigt end før.
I forbindelse med at skrive denne opgave har jeg fået stor hjælp af Køben-
havns Universitet og MiNDSTEp gruppen, ledet af Ue Gråe Jørgensen, og jeg
vil specielt takke Mikkel Mathiasen for stor hjælp med at køre deres pipeline.
iii

5. Samtidig vil jeg gerne takke Søren Frandsen, Frank Grundahl og Hans Kjeld-
sen fra Aarhus Universitet, som har hjulpet mig med DAOPHOT og andre
fotometriprogrammer.
iv

6. 1 Exoplaneter
Siden den første exoplanet blev opdaget i 1995 (Mayor og Queloz, 1995), har
man med forskellige teknikker opdaget omkring 400 planeter. De este af disse
er blevet fundet gennem målinger af moderstjernens radialhastighedsændringer
forsaget af planetens gravitationelle tiltrækning af stjernen. En anden stor del
planeter er blevet opdaget ved okkultation, hvor man observerer stjernens fald
i luminositet efter transit af en planet, som derved skygger for stjernen. Disse
to metoder er dem som primært er blevet anvendt, men de er begrænset til kun
at nde store planeter, som helst er så tæt på moderstjernen som muligt. Med
disse teknikker har man fundet ere hundrede planeter på størrelse med Jupiter
og over, og har herigennem også opdaget eksistensen af store gaskæmper i nær
kredsløb om stjerner, de såkaldte Hot Jupiters.
Der er endnu ikke blevet fundet planeter med en masse som er omtrent lig
Jordens, som samtidig også er i en bane om deres moderstjerne, hvor eksistensen
af ydende vand ikke er umuligt (den såkaldte habitable zone). Faktisk er kun
ganske få planeter med masse omtrent lig Jorden blevet fundet. Disse inuerer
nemlig ikke synderligt på stjernens bevægelse, eller har mulighed for at dække
en tilpas stor portion af stjernens overade til at give en observerbar ændring
af luminositeten. Vi skal derfor nde en hel anden teknik til at kunne detektere
disse. Vi vil i denne opgave fokusere på detektion af exoplaneter, ved at anvende
de gravitationelle mikrolinser, de kan danne.
1.1 Mikrolinser
Èt af de velkendte resultater ved den generelle relativitetsteori er at lys afbøjes
i tyngdefelter. Dette fænomen blev allerede set i forbindelse med en solformør-
kelse i 1919, hvor man observerede forskydningen af en stjernes lys pga. dens
passage i solens tyngdefelt.
Når et massivt objekt bevæger sig mellem et lysende objekt (som en stjerne)
og observatøren (os), vil lyset fra baggrundsobjektet blive afbøjet. Denne afbøj-
ning vil medføre, at meget af det lys som normalt ville blive spredt væk fra os,
bliver afbøjet ind mod observatøren, hvilket vil medføre, at baggrundsobjektets
luminositet vil vokse. Dette er kendt som gravitationel linsning. På gur 1.1
tv. ser vi en skematisk tegning af et linsningsfænomen set fra siden.
På guren ser vi, at en ydeligere eekt ved linsning er, at baggrundsobjek-
tet for observatøren vil se ud som om man har to objekter (i I1 og I2) som
er deformeret. Afstanden og deformationen er afhængig af synslinien mellem
observatør, linse og baggrundsobjekt. Hvis vi forstiller os, at vi har en lige syns-
linie mellem disse tre punkter, vil de to resulterende objekter være i samme
afstand fra centrum, og når man ser at lyset må blive spredt symetrisk omkring
linsen, vil dette resultere i at objektet fremstår som en cirkel, einsteincirkel,
med radius θE, einsteinvinklen. Einstein selv postulerede, at sådanne fænome-
ner er mulige, men fandt det usandsynligt at man nogensinde ville observere
nogen. Faktisk ser man dog en lang række Einstein-ringe, og generelt erdob-
lede og deformerede objekter pga. gravitationel linsning i kosmologien, hvor
baggrundsobjekter og linsende objekter, er galakser eller galaksehobe. I min-
dre målestoksforhold kan man ikke direkte observere einsteinringe, men kun
observere en forøgelse af luminositeten fra baggrundsobjektet. Disse fænome-
1

7. Figur 1.1: TV: Linsningsfænomen set fra siden. Linsen bliver frembragt af
objektet L som forøger lysstyrken på baggrundsobjektet S. Fra observatøren O
vil det se ud som om objektet er placeret i punkterne I1 og I2. TH: Samme
linsningsfænomen set fra observatøren. Einsteinradius er markeret. Figuren er
taget fra Sackett (1999, Fig. 10)
ner betegnes som mikrolinser, men selv for disse kan einsteinvinklen beregnes,
og anvendes typisk som størrelsesskala for mikrolinsingsfænomener. Einstein-
vinklen er givet ved (Sackett, 1999):
θE =
4GMDLS
c2DLDS
(1.1)
Hvor M er det linsende objekts masse, DL og DS er afstande fra observatøren
til hhv. linsen og baggrundsobjektet, som på gur 1.1 og DLS som er afstanden
mellem linsen og baggrundsobjektet.
Som det fremgår i Sackett (1999), er lysforøgelsen af baggrundsobjektet ved
passage gennem linsen givet ved:
A =
u2
+ 2
u
√
u2 + 4
(1.2)
hvor u netop betegner forholdet u = θS/θE, som er forholdet mellem vinkelaf-
standen mellem objekterne (som på gur 1.1) og einsteinvinklen.
Da man kun kan observere denne lysforøgelse, kan man kun observere mi-
krolinsefænomener, hvor man observerer en luminositetsændring, altså fæno-
mener hvor det linsende objekt og baggrundsobjektet bevæger sig i forhold til
hinanden. Antager vi at baggrundsobjektet bevæger sig gennem einsteincirklen,
vil værdien for u ændres og mindskes efterhånden som baggrundsobjektet kom-
mer nærmere centrum af einsteincirklen, for dernæst øges igen. I det punkt hvor
baggrundsobjektet er tættest på centrum af einsteincirklen, vil lysforøgelsen,
som angivet i (1.2), blive maksimal, hvorefter lysforøgelsen mindskes. Antager
vi bevægelsen af baggrundsobjektet sker som en ret linie gennem einsteincirk-
len, vil u ændre sig som funktion af tiden så, (Sackett, 1999).
u =
(t − t0)2
t2
E
+ u2
min
2

8. hvor t0 normeres til tiden for maksimal lysforøgelse og tE er, einsteintiden som
tilsvarende einsteinvinklen er en størrelseskala for tiden, givet ved dén tid det
ville tage at passere hele einsteincirklen: tE = θEDL/v⊥.
Vi vil for denne model opnå en lysforøgelse af baggrundsobjektet som star-
ter med at vokse når lyset fra objektet kommer ind i einsteinlinsen, indtil et
maksimum hvor lyset passerer det punkt, hvor den er tættest på centrum af
cirklen, hvorefter lyset falder igen.
Figur 1.2: TV: Forskellige passager af baggrundsobjekter forbi et linsende ob-
jekt med einsteinvinklen θE. TH: Tilsvarende lyskurver for passagerne gennem
guren til venstre. Figuren er taget fra Sackett (1999, Fig. 12)
Vi ser altså, at lyskurven for fænomenet bliver en symetrisk klokke-funktion
omkring maksimumsværdien, som man kan se på gur 1.2.
Mikrolinsning er et fænomen man har anvendt siden 1986, (Sackett, 1999)
i søgen på store, mørke, massive objekter (MACHO), så som små sorte huller,
udbrændte stjerner o.l., som ikke lyser, men stadig har en masse, og dermed en
tyngdekraft. Dette blev bl.a. foretaget i søgen efter det mørke stof, som man
kunne forestille sig var lavet af sådanne objekter. Men der var først i Mao og
Paczynski (1991), det blev foreslået at anvende denne metode i søgen på exo-
planeter. Hér kigger man efter dobbelte (eller erdobbelte) mikrolinsesystemer,
da man både har en stjerne og én (eller ere) planet(er). Denne metode vil jeg
nu kigge nærmere på.
1.2 Detektion af exoplaneter ved mikrolinsning
Sidder man en solskinsdag, og nyder et glas koldt vand, vil man kunne obser-
vere, at lysets passage gennem glasset, frembringer nogle interessante møntre
på bordet. Tydeligt fremtræder nogle helt konkrete, meget klare, lyse linier.
De impressionistiske malere i 1870'erne, som eksempelvis Monét, var dybt op-
taget at fange øjeblikket og et af deres yndlingsmotiver var lysets reeksion
på en vandspejl, hvor man observerer klare lysglimt i helt små områder. Disse
fænomener fremkommer når lyset brydes i passagen gennem glasset eller re-
eksion på vandspejlet. Disse kan beskrives som systemer, bestående af ere
klassiske linser, altså et er-linse-system. I sådanne systemer vil man kunne
se en kaustisk kurve, som er en én-dimensionel kurve, hvor systemet giver en
særdeles kraftig forøgelse. De kaustiske kurver deneres således, at en punkt-
klides lys' passage gennem kurven, vil medføre en uendelig forstørrelse af dens
3

9. lysstyrke. Lysets passage gennem disse kurver giver anledning til de beskrevne
fænomener, som kaldes kaustikker.
Mikrolinser opfører sig på mange måder lige som klassiske optiske linser. Ser
vi på ligning (1.2) kan vi se at for θS → 0 går lysforøgelsen, A, mod uendeligt.
Dette sker altså kun, hvis man netop passerer lige gennem linsens centrum.
Har vi ere linser, viser det sig, ganske som for klassiske linser, at denne eekt
giver anledning til en kaustisk kurve. Da forstærkningen af lyset gennem disse
kurver, i princippet, er uendeligt, udgør det et godt værktøj til at søge efter
erlegeme-systemer, som f.eks. en planet i kredsløb om en stjerne.
Figur 1.3: TV: Forskellige passager af baggrundsobjekter forbi en kaustik for-
årsaget af to massive objekter. TH: Tilsvarende lyskurver for passagerne i fra
guren til venstre. Figuren er taget fra Sackett (1999, Fig. 13)
På gur 1.3 ser vi afbilledet et erlegeme system og dens kaustik. TV har
vi to massive objekter, markeret med punkterne, og imellem disse ser vi den
kaustiske kurve, de danner. Vi forestiller os nu, at lyset fra en stjerne passerer
bag ved systemet, gennem de farvede bånd. Hver af disse passerer gennem
den kaustiske kurve forskelligt, og giver anledning til forskellige lyskurver, som
kan ses TH. Vi kan se at lyskurven er nu, modsat gur 1.2, asymmetrisk, da
kaustikkerne giver nogle skarpe spidser.
Hvis vi har et system bestående af en planet i kredsløb om en stjerne, vil
kaustikken ikke være så simpel som den på gur 1.3. Formen og størrelsen af
kurven, afhænger af stjernen og planetens masse, samt deres indbyrdes afstand.
Kurven bliver mindre, jo mindre massen og baneradius for systemet er. Dette
betyder i praksis, at mikrolinsning, som ved alle andre planetdetektionsmeto-
der har størst sandsynlighed for at opdage store planeter, som kredser tæt på
deres stjerne. Men da lysforstærkningen gennem kaustikken ikke er afhængig
af planetes størrelse, er detektion af små Jordlignende planeter ikke umulig,
blot mindre sandsynlig. Derfor åbner denne metode op for muligheden for at
detektere planeter af Jordlignende størrelse, med Jordlignende baneradius.
Hvis vi går væk fra antagelsen om, at vi arbejder med punktkilder, både når
det gælder linser og baggrundsobjekter, ser vi, at en kaustik ikke bliver uendelig
stor. Dette betyder i praksis, at massen af den linsende planet og stjerne vil
have en betydning for kaustikkens størrelse. Dette umuliggør dog ikke, at man
4

10. kan opdage Jordlignende planeter, men det gør det til gengæld umuligt at se
meget små objekter om andre stjerner, som dværgplaneter, kometer m.v.
Figur 1.4: Lyskurve, med kaustik for en Jupiter-størrelse exoplanet. I forstør-
relserne ses en forstørrelse af området mellem de to store kaustikker, samt den
beregnede bane af baggrundsstjernen forbi kaustikken. Figuren er taget fra
Udalski et al. (2005, Fig. 1)
Den målte kaustiks form vil være en funktion af mange uafhængige pa-
rametre, så som stjernens og planetens masse, indbyrdes afstand, afstand til
planetsystemet, afstand til baggrundsstjernen, samt andre knap så interessante
variable så som lysets passage gennem stjernen, vinkel m.v. Alt dette gør at
kernestørrelser som masse og kredsløbradius, bliver relativt svære at bestemme.
Dette kan dog gøres ud fra modelberegninger. På gur 1.4 ser vi en lyskurve,
med en tydelig kaustik. På billedet ses også den fundne kaustiks form, og bag-
grundsstjernens passage gennem denne. Ud fra formen kan man se at lyset må
være passeret gennem to kraftige, og en mindre spids i kaustikken, hvilket sva-
rer til de to skarpe peaks, med den lille imellem sig på lyskurven. Netop denne
lyskurve viser eksistensen af en planet på et sted mellem 0.04 Mjup og 5 Mjup.
På gur 1.5 ser vi en lyskurven, for et andet objekt. På denne har vi til sidst
en lille kaustik, som viser eksistensen af en planet på 3.8 MJord til 11 MJord.
5

11. Figur 1.5: Lyskurve med kaustik for en 5.5 MJord exoplanet. I forstørrelsen ses
kaustikken, samt ere t af modeller. Figuren er taget fra Beaulieu et al. (2006,
Fig. 1)
På begge lyskurver ser vi et af metodens problemer. Bestemmelse af para-
metrene, som masse, radius m.v. sker ved at tte de målte punkter med nogle
modelkurver og undersøge, hvilken kombination er bedst, gennem χ2
-metoden.
Dette giver en usikkerhed som er relativt stor, som eksempelvis kommer til ud-
tryk i de store usikkerheder på de bestemte masser. Specielt på gur 1.5 ser vi,
i forstørrelsen af kaustikken, at to forskellige kurver er indtegnet, og man ikke
kan bestemme parametrene mere nøjagtigt, da man ikke kan se hvilket kurve
er den mest korrekte. Mikrolinseteknikken er derfor afhængig af så nøjagtig
fotometri som muligt, for at kunne bestemme disse parametre nøjagtigt. Vi
ser også at mikrolinseteknikken stiller et krav om at kunne observere objektet
jævnligt, og kunne blive ved med at observere, selv efter linsen er forbi. Som vi
kan se på gur 1.5 kan kaustikken dukke op før eller efter linsen. Vi skal altså
stille store krav til måleusikkerhed, til god reduktion af data, samt have mulig-
hed for at have kikkertsystemer, som kan se på samme udsnit af himlen i mange
nattetimer i træk. For at have en stor sandsynlighed for, at vi ser en linse, skal
vi ydermere observere et sted hvor der er et stort antal baggrundsstjerner. Ob-
servation i sådanne crowdede felter giver os nogle problemer i forbindelse med
at lave fotometrien, da man let kommer til at tælle ekstra stjerner osv. Vi skal
i opgaven kigge på hvordan fotometri i disse områder kan udføres, og hvordan
den kan forbedres i forhold til de metoder man anvender i dag.
1.3 Observationelle egenskaber
For nærmere at se, hvilke fordele og ulemper mikrolinseteknikken giver os,
vil jeg nu kigge på de egenskaber man har observeret ved nogle af de fundne
6

12. planeter, og her kigge på de begrænsninger de forskellige metoder giver os.
Figur 1.6: Fundne planeter plottet i et diagram over masse som funktion af
baneradius. Markeret er hvilken metode, de enkelte planeter er fundet med,
samt hvilke grænser de enkelte metoder har for at nde planeter. Samtidig er
solsystemets planeter indtegnet, samt, i grønt, de forskellige klassikationer for
planeternes masse: ikke-beboelige faste, beboelige faste, gaskæmper og brune
dværge. Se teksten for ydeligere forklaring. Figuren er taget fra Gråe Jørgensen
(2008, Fig. 2)
På guren 1.6 ses afbilledet alle de, i september 2007, fundne exoplaneter,
som funktion af masse og baneradius. Som blå cirkler er markeret de planeter,
som er blevet fundet gennem transitmetoden, de sorte trekanter viser de plane-
ter fundet ved radialhastighedsmålinger og de re store røde ovaler, er planeter
fundet ved mikrolinsning. Vi kan på guren sammenligne de fundne planeter
med solsystemets planeter, markeret med store trekanter. Vi kan gennem de
grønne stiplede linier se i hvilket område de fundne planeter bender sig i, om
de er jordplaneter eller gaskæmper og om hvorvidt de er i den habitable zone.
En af de mere relevante elementer på guren er de to blå, den sorte og de røde
stiplede linier. Disse beskriver den nedre grænse for detektion af exoplaneter
med de forskellige systemer (blå for radialhastighedsmålinger, sort for transit
og rød for mikrolinsning).
Vi kan observere, at stort set alle de fundne planeter har meget høj masse
og/eller meget lille baneradius. Dette viser, hvad vi også har talt om før, at
de gængse metoder til observation af exoplaneter, Radialhastighedsmetoden
(Doppler-metoden) og transit-metoden, ikke er gode til at nde Jordlignende
planeter.
Vi ser, at der pr. september 2007 kun er opdaget re planeter med mikrol-
7

13. inseteknik. Det bemærkelsesværdige ved disse er, at to ligger i samme område
som de planeter opdaget ved radialhastighedsmålinger, mens de to andre er
planeter med masser svarende til Uranus eller Neptun, altså væsentlig lavere.
Da sandsynligheden for at nde en lettere planet med mikrolinseteknikken, er
lavere end at nde en tung planet, kunne det tyde på at antallet af små planeter
er væsentlig større end antallet af store planeter. Dette giver os et optimistisk
perspektiv for sandsynligheden for at nde små planeter med mikrolinser, selv
Jordlignende planeter.
På guren kan man tydeligt se et af mikrolinseteknikkens større problemer.
Da bestemmelse af masse og baneradius er bestemt ved modelberegninger af
modeller som indeholder mange forskellige variable, er usikkerhederne på disse
meget højere end både transit og radialhastighedesmetoden. Dette er et af de
punkter som kan forbedres ved bedre målinger og bedre fotometri.
En anden mulighed for forbedring man arbejder på, er at kombinere for-
skellige teknikker. På gur 1.6 er der med en stiplet linie markeret grænserne
for planetdetektion med forskellige teknikker. Her er det tydeligt at se, at de
forskellige teknikker har deres forskellige forcer. Kombination af eksempelvis
transitmålinger og radialhastighedsmålinger er noget man allerede foretager,
da den første er god til at nde mange planeter hurtigt, men den anden er
bedre til massebestemmelse. En anden kombination man arbejder på, er kom-
bination af radialhastighedsmålinger med mikrolinser. Denne blanding gør det
muligt at nde små planeter, og dernæst med større sikkerhed bestemme deres
parametre. Kombinationen er ét af de videnskabelige mål, den jordbaserede
SONG mission har. SONG (Stellar Oscillation Network Group) er et netværk
bestående af omkring otte 1 m teleskoper, placeret på nogle geogrask favorable
steder, som muliggør observation af samme objekt uafhængigt af Jordens ro-
tation o.l. (se mere på Jørgensen et al. (2007) og Gråe Jørgensen (2008)). Som
det fremgår af navnet, er SONG designet til observation af stjernesvingninger,
dog er den store præcision og konstante mulighed for observation, netop det
samme som er krævet til bestemmelse af planeter, hvilket gør, at disse to gre-
ne af astronomien ofte anvendes sideløbende af hinanden. På gur 1.6 ses at
SONG ifølge beregningerne burde kunne observere Jordlignende planeter, og
endda Marslignende.
Men for at et så ntfølende stykke apparatur som SONG anvendes til dets
fulde potentiale, er det yderst nødvendigt at sikre sig, at de anvendte algoritmer
til fotometri er så gode som mulige. Fotometri i stjernetætte områder er et stort
videnskabeligt felt, som har skabt mange forskellige løsninger. Jeg vil nu kigge
på forskellige tilgangsvinkler til at foretage fotometri på sådanne områder.
8

14. 1.4 Formålet med dette projekt
I dette projekt vil jeg kigge på to forskellige tilgangsvinkler til at lave fotome-
tri. Den ene metode er den som den danske MiNDSTEp gruppe anvender i dag
til netop detektion af exoplaneter med mikrolinser. Denne metode baserer sig
på blændefotometri, som diskuteres i det følgende afsnit. Jeg vil sammenligne
denne fotometri med én, foretaget gennem DAOPHOT som er et stykke softwa-
re specikt designet til fotometri i stjernetætte felter, som dem vi kigger på.
DAOPHOT benytter sig af PSF-fotometri, som vil blive diskuteret i afsnit 3.
Jeg vil gennem dette projekt komme ind på følgende problemstillinger:
• Undersøge om DAOPHOT giver mere nøjagtige målinger end det nuvæ-
rende system.
• Diskutere nogle mange af de problemer som er forbundet med det nuvæ-
rende program, så som parametervalg, forskelligartede billeder mv., kan
løses med DAOPHOT.
• Diskutere hvordan forskellige dele af DAOPHOT eventuelt vil kunne im-
plementeres i det nuværende program.
• Diskutere andre elementer som kan forbedre de nuværende målinger.
9

15. 2 MiNDSTEp Pipelinen
Danmark bidrager også til at nde exoplaneter. Omend radialhastigheds- og
transitmetoden dominerer den videnskabelige scene, har Danmark også bidra-
get til detektion af exoplaneter, med mikrolinseteknikken. Eksempelvis har
Københavns Universitet, i forbindelse med PLANET-gruppen, været med til
at identicere den første lille exoplanet på 5.5 jordmasser i 2005 (Beaulieu
et al., 2006).
De fotometriske målinger foregår bl.a. gennem et dansk 1.54 m teleskop ved
ESO (European Southern Observatory) på La Silla. Når data er blevet optaget,
bliver alle billeder reduceret gennem en pipeline, som er noget software skabt
til direkte at identicere objektet i forhold til de andre billeder og foretage
fotometrien.
Jeg vil i følgende afsnit kigge på den pipeline Københavns Universitets
MiNDSTEp gruppe benytter sig af, til at lave deres fotometri.
2.1 Blændefotometri
MiNDSTEp pipelinen benytter en fotometrisk metode kaldet blænde fotometri.
Jeg vil kort komme ind på konceptet i denne teknik.
Formålet med at lave en fotometrisk måling, er at bestemme uxen fra
en stjerne. Da alle professionelle kikkerter idag anvender en CCD-chip til at
detektere lyset, skal vi anvende CCD-fotometri. Den simpleste metode er blæn-
defotometrien.
Når lyset fra en stjerne opfanges i vores kikkert, vil den påvirke apparaturets
CCD. Lyset vil dermed kunne måles som en værdi i det påvirkede område på
chippen, og værdien vil være en funktion af lysstyrke. Ved blændefotometri
anvender man noget software, som ganske enkelt placerer en virtuel blænde
rundt om den stjerne man vil observere, og direkte bestemmer uxen, ved at
tælle den samlede værdi af pixelsene i blænden. Omend metoden lyder meget
simpel, er denne faktisk ofte den mest eektive teknik til at udføre fotometri.
For at man kan anvende teknikken, skal der dog foretages nogle korrektioner.
Da vi ønsker at se et objekts udvikling, over mange forskellige billeder, skal man
sørge for, at baggrunden er fjernet. Dette kan opnås ved at trække uxen fra
baggrunden fra den målte stjerneux på alle billeder. Baggrundsuxen kan
bestemmes på forskellig vis. Den simpleste metode er at ganske enkelt foretage
blændefotometri et sted på billedet uden stjerner. Her gælder det om at have en
så stor blænde som muligt, med dog ikke så stor at den kommer til at indeholde
stjerner.
At tælle værdien i pixels er reelt set den bedste metode til at udføre en
fotometrisk måling på. Det er simpelt og eektivt, og da vi ikke foretager nogle
antagelser om modeller o.l. slipper vi for de usikkerheder som følger med ts
osv.
Metoden har dog sine problemer. Som vi vil se, skal man være meget på-
passelig med størrelsen og placeringen af blænden. Anvender man for lille en
blænde, har man ikke et stort nok område at tage et gennemsnit over, anvender
man for stor en blænde, risikerer man at få mere med end blot den stjerne man
er interesseret i.
Da vi ønsker et stort antal baggrundsstjerner, for at øge sandsynligheden for
10

16. at observere en linse, skal vi kigge i felter som indeholder store koncentrationer
af stjerner. Her bliver blændefotometriens problemer alvorlige, da sandsynlighe-
den for at både objektblænden og baggrundsblænden på et tidspunkt kommer
til at indeholde mere end blot det interessante område, ganske stor.
Problemet kan medføre at man på nogle billeder kommer til at tælle på to
stjerner, og dermed få en fotometri som pludselig er højere end den reelle, eller
en måling af baggrunden som er meget højere end den rigtige, da man tæller
en stjerne med.
2.2 Pipelinen
Vil vil nu kigge på selve pipelineprogrammet.
Systemet er skitseret på gur 2.1. Før vi påbegynder en måling, skal vi ud-
vælge et objekt. Dette gøres ved at modtage en mikrolinsning-advarsel fra OG-
LE eller MOA. Disse to store projekters formål er netop at observere områder
på himlen med relativ stor stjernetyder (som mod mælkevejens centrum f.eks.)
og kigge efter begyndende mikrolinser. Disse kan dermed indikere hvor andre
teleskoper skal kigge efter linsen. Når en sådan advarsel er modtaget, kan man
foretage observationer af linsen med det danske 1.54 m teleskop i Chile. Man
tager således billedet af det indikerede felt hvorefter man grund-reducerer
billedet, ved at eliminere himmelbaggrund og støj (Flat-eld og BIAS). Der-
næst udvælges et billede, hvis seeing
1 er så god som muligt. Dette billede kan
nu anvendes gennem make_ref som basis til bestemmelse af objekt, samt re-
ferencestjerner (se mere i næste afsnit, 2.2.1). Derefter kan selve fotometrien
udføres. Fotometrien udføres af MiNDSTEp pipelinen, et program som auto-
matisk, ved kikkerten, foretager fotometrien baseret på de data, man har givet
gennem make_ref så snart en måling er foretaget. For at kunne foretage ana-
lysen på ny, er pipelinens fotometriske rutine dog også skrevet i programmet
re_reduce, som kan anvendes til at foretage fotometrien på en serie af alle-
rede tagne billeder. Så snart fotometrien er foretaget, kan dataene sendes til
ARTEMIS, som er en international database, således at det danske teleskop,
sammen med andre, kan bidrage til en samlet observation af objektet. Da de
variationer man ønsker at observere, er relativt kortvarige, er det meget vigtigt
at man, på denne måde, kan samle data fra forskellige kilder rundt omkring på
Jorden, så man ikke blive afhængig af Jordens rotation o.l.
Jeg vil nu kigge nærmere på de to store dele af programmet.
2.2.1 make-ref
For at kunne foretage den fotometriske analyse på alle billeder, skal vi først
sørge for at programmet kan nde det samme objekt i alle billeder. Til dette
anvendes make-ref. I programmet åbner man billedet med bedst seeing, som i
forvejen er grund-reduceret (adt-felt og bias), angivet ved et R. i starten af
billedlen. Billedet med bedst seeing bestemmes vha. et eksternt program som
ds9. Når billedet er fundet, vil programmet bede om en række parametre.
Det første vigtige parameter man bliver spurgt om, er fotometri-radius. Det-
te er den radius, i pixels, som ens blænde vil have som man laver fotometri over,
altså det område hvor programmet senere vil tælle antallet af fotoner. Dette
1se mere i afsnit 3.1
11

17. Figur 2.1: Oversigt over optagelse og reduktion af data med MiNDSTEp Pipe-
linen. Alt over den vandrette stiplede linie er ting, som er foretaget inden man
anvender selve programmet.
12

18. har som tidligere nævnt sine problemer; laver man området for lille, risikerer
man ikke at opnå tilstrækkelig data. Laver man området for stort, risikerer
man at inkludere ere objekter end det ønskede. En størrelse på omkring 3-4
pixels er normalt anvendt. Det næste parameter er baggrundsradius. Tilsva-
rende angives denne før målingen, således baggrunden siden hen kan trækkes
fra ens måling. Jo større radius, jo større område midler man uxen over, og
kan opnå en mere repræsenterende mål for baggrunden. Men er området for
stort risikerer man igen at inkludere objekter, som giver anledning til en fejl.
En typisk størrelse på denne er omkring 4-5 pixels. Det sidste store numeri-
ske parameter man bliver bedt om er pixel-samplingstallet. Dette bruges til at
opdele billedet i rkantede områder (med sidelængde svarende til det angivne
tal), som siden anvendes til mønstergenkendelsen i programmet, til at placere
ens objekt i forhold til 10 referencestjerner. Er tallet for stort, opdeles billedet
i for store områder, og mønstergenkendelsen slår fejl. Anvender man et for lille
tal, vil billedet blive opdelt i et meget tyndmasket gitter, men det forøger den
tid det tager at køre programmet. En værdi på 5 er et godt kompromis mellem
hastighed og præcision (Hinse, 2008).
Når disse parametre er indtastet, vil man blive præsenteret for det valgte
billede. Inden man giver sig i kast med at identicere objektet skal man, som
det sidste parameter, angive den søgeradius man vil anvende (standard er 2.00
pixels). Denne anvender programmet til at identicere ens objekt. Identikation
foregår ved at klikke på billedet på ens objekt, de 10 referencestjerner, samt et
baggrundsområde. Programmet vil dernæst kigge inden for ens søgeradius efter
objektet. Da man arbejder med stjernefrugter som med meget store tætheder,
kan man dog risikere, at programmet identicerer et forkert objekt. Derfor
kan man manuelt ændre koordinaterne til objektet, som med større præcision
kan bestemmes vha ds9. Selve objektet kan identiceres ved at anvende en
Finding-Chart fra den survey som har givet mikrolinsning-advarslen (OGLE
eller MOA).2. På ds9 kan man ændre kontrasten af billedet så objektet nemt
kan ses. Dette kan ikke lade sig gøre i make-ref, men her kan man i programmet
ændre parameteren low_cut til et lavere tal, hvis billedet er for lyst.
Når objektet er placeret skal man nde 10 referencestjerner som program-
met senere vil anvende til at bestemme linsens position igennem alle billederne.
Disse 10 objekter klikker man ind som objektet. At nde nogle gode reference-
stjerner er vigtigt, da mønstergenkendelsen er en vigtig del af programmet, da
man ellers let risikerer at lave fotometri på et nærliggende objekt, i stedet for
ens korrekte objekt. Derfor er bestemmelsen af referencestjerner en hel kunst
i sig selv (Hinse, 2008) som jeg ikke vil gå i dybden med. Men generelt er det
en god idé at anvende stjerner, hvis luminositet er sammenlignelig med ens
objekt, og ikke er for lysstærke, så man er sikker på de ikke er overeksponerede
på nogen billeder. Stjernerne skal være godt isolerede, så man ikke tager fejl
af den og en nærliggende. Endelig må placeringen af dem ikke være for tæt på
objektet, da man i så fald ikke får en god mønstergenkendelse, men heller ikke
for tæt på kanten af billedet, da man så risikerer, at stjernen ikke er med på
nogle af de andre billeder.
Det sidste man skal bestemme, er et baggrundsområde. Her er det meget
2 Objektnavnene er angivet som Zxxyy***w hvor Z angiver at der er data fra det danske
teleskop xx kan være OB eller KB, efter hhv. OGLE eller MOA (og B for Bulge), yy
angiver advarselsåret, *** er advarslens løbenummer og w er enten R eller I, og angiver den
anvendte lter. For eksempel han vi have et MOA objekt fra 2009, som hedder ZKB09249I
13

19. vigtigt at man anvender ds9 for at sikre sig, at der ikke er en svag stjerne i
det område, man vil anvende som baggrund. Et eksempel på et udvalgt objekt,
referencestjerner og baggrund kan ses på gur 2.2.
Når make_ref er færdigkørt, vil den producere en l, indeholdende koordi-
naterne for ens objekt og referencestjernerne, samt diverse parametre man har
tastet ind i starten. Dette anvendes senere til at lave mønstergenkendelsen.
Figur 2.2: Eksempel på et målt felt (ZKB09349, se fodnote 2). Markeret med
en rød ring er objektet vi er interesseret i. I grønt ses markeret de udvalgte
referencestjerner og i blåt det udvalgte baggrundsområde.
Når alt dette er gjort producerer programmet len ref_posns.txt som
indeholder alle de givne oplysninger. Denne l anvendes nu i re-reduce.
2.2.2 re-reduce
re-reduce er det program som udfører selve fotometrien. Her angiver man
blot hvilket objekt man vil lave fotometri på, hvorefter programmet selv, ud
fra ref_posns.txt selv udfører både mønstergenkendelse, fotometri samt træk-
ker baggrund fra fotometrien. I løbet af programmet udføres også fotometri på
de 10 referencestjerner man har angivet, samt et plot over ux som funktion
14

20. af stjernenr. vises. Dette gøres, så man kan holde øje med at ens reference-
stjerners ux ikke afviger for meget fra billede til billede. Når programmet er
slut, produceres en l med endelsen *.pysis som indeholder objektets relative
ux i forhold til de 10 stjerner, som funktion af tidspunktet billedet er blevet
taget på (som hentes ned fra headeren i ts-len) samt usikkerhed. Så snart
dette er blevet gjort, bliver denne l sendt til ARTEMIS-databasen, hvor den
sammen med bidrag fra andre kikkerter kan være med til at skabe lyskurven
for objektet, og dermed se hvorvidt der skulle være en planet.
Figur 2.3: Eksempel på skærmudskrift fra pipelinen, efter kørsel (for
ZKB09249). De forskellige vinduers funktion er beskrevet i teksten.
Under kørslen vil pipelinen, som beskrevet, give os de målte ux af objektet,
samt de 10 udvalgte stjerner. Jeg har anvendt disse data til videre reduktion
og test af programmets usikkerhed. Et oversigt over programmets funktioner
kan fås på gur 2.3. På guren ses følgende vinduer:
Vindue 1 Terminalen, hvorfra programmet køres. Her kan man følge med i
de målte ux af objekt og referencestjerner.
Vindue 2 Et lille plot af de 10 referencestjerners ux som funktion af løbe-
nummer, som man kan anvende til at se efter, at disse stjerner ikke selv
er variable.
Vindue 3 Det billede, man er ved at foretage analyse af, hvorpå man kan se
placeringen af objekt og referencestjerner. På denne måde kan man se
efter om mønstergenkendelsen fungerer, og kigge efter dårlige billeder.
Vindue 4 Den fundne lyskurve for objektet. Denne dukker op på skærmen
når programmet er slut.
Programmet har to store funktioner. Først sørger den for at vi laver foto-
metri på de rigtige objekter. Dette anvender den dataene fra make_ref til. Alle
billeder bliver opdelt i mindre stykker, svarende til pixel-rate X pixel-rate. Når
15

21. objektet og referencestjernerne er bestemt, kan programmet undersøge vinkler
og afstande mellem de enkelte objekter, med basis i gitteret. Man kan nu søge
at nde tilsvarende mønster i feltet, ved at starte omkring samme gitterposi-
tion som referencebilledet. Når samme mønster er bestemt, har man fundet sit
objekt på et andet billede.
Ved de 11 objekter, samt baggrundsområdet placeres nu en virtuel blænde,
med de angivne mål. Værdien af pixelene i alle disse blænder tælles op hvorefter
middelværdien af pixelene i baggrundsblænden trækkes fra. Når dette er gjort
summeres pixelene, og vi får vores ux. Fluxen for vores objekt i det ene billede
vil altså være givet ved:
Fobj =
x,yrob
(V (x, y) − B)
hvor rob er objektens blænderadius, V er værdien i pixlen og B er middelbag-
grunden fundet ved baggrundsblænden ved:
B =
x,yrbgb
V (x, y)
4πrbgb
altså summen af værdierne inden for baggrundsblænden, rbgb divideret med
arealet af blænden.
Dette gøres for alle billeder, hvorefter programmet laver en lyskurve for
objektet på baggrund af disse ux.
Metoden er relativ simpel, men har sine mangler. Mønstergenkendelsen er
ikke altid perfekt, specielt når man har roterede billeder, og dette betyder at
de enkelte blænder hurtigt, i vores tætte felter, kan komme til at indeholde
objekternes og baggrundens nabostjerner, som dermed også bliver talt med.
Jeg vil nu se om hvor stor indvirkning bl.a. dette har på fotometrien.
2.3 Usikkerhed
Jeg vil nu kigge på kørslen på de to felter som jeg har fortaget, og herigennem
undersøge usikkerheden af pipelinen, som vi senere vil sammenligne med usik-
kerheden på DAOPHOT for de samme felter. De anvendte felter er ZOB08349
og ZKB09249 (se fodnote 2.)
2.3.1 Om dierentiel fotometri
Som skrevet vil jeg anvende de data, som bliver printet ud i terminalen, mens
programmet køres. Disse data indeholder uxen af objektet samt de 10 udvalgte
referencestjerner. Men ux er en størrelse, man ikke direkte kan anvende fysisk,
da den afhænger af mange ikke-fysiske ting, så som programmets o-set, CCD-
kamera m.v. Normalt vil man derfor sørge for, at inkludere nogle stjerner i
ens billede, med kendt luminositet, som kan anvendes til at kalibrere uxen.
Heldigvis er vi ikke interesseret i den absolutte fotometri, da vi blot ønsker
at detektere ændringer af lysstyrke. Vi kan derfor benytte os af dierentiel
fotometri. I dierentiel fotometri vil vi kigge på forholdet mellem objektets
luminositet og referencestjernernes middelluminositet. Da der ikke sker noget
med referencestjernerne, men kun objektet, vil dette forhold give os et billede
af lyskurven, som vi dernæst kan anvende.
16

22. Først vil vi ændre enheden af vores målinger. Flux er, som vi kan se, en ikke
særligt sigende enhed. Derfor starter vi med at konvertere vores ux til stør-
relsesklasser. Størrelsesklasse (eller magnitude) er en astronomisk enhed, som
har rødder helt tilbage til Hipparchus og Ptolemæus i antikkens Grækenland
(Bradt, 2004). Enheden er baseret på ændringer, man kan observere med det
blotte øje. Skalaen er omvendt normen, således at jo større størrelsesklasse, jo
svagere objekt, altså jo lavere ux. Det menneskelige øje kan observere til og
med størrelsesklasser omkring 56, hvor en stjerne som Vega har en størrelses-
klasse på 0.
Størrelsesklasse deneres som:
m = −2.5 log(F) + K (2.1)
hvor m er størrelsesklassen, F er uxen og K er en konstant, som er baseret
på CCD, luft og alle de andre ting vi tidligere diskuterede vedr. ux, men altså
er den samme for alle stjerner på et billede. Enhedens store fordel kommer til
udtryk når vi prøver at se på forhold mellem ux. Her ser vi at:
m2 − m1 = −2.5 log(F2) + K − (−2.5 log(F1) + K)
= −2, 5 log
F2
F1
+ K − K
Vi får altså at:
m2 − m1 = −2, 5 log
F2
F1
(2.2)
Vi ser altså at konstanten K bliver ligegyldig, og vi kan nøjes med at trække
størrelsesklasser fra hinanden for at opnå en forhold mellem ux. Vi kan dermed
angive en arbitrær konstant, når vi omskriver vores uxer til størrelsesklasser.
Jeg har valgt at anvende en K = 25 da det ofte giver nogle resultater som
ligger tæt på det rigtige, men konstanten kan som beskrevet vælges komplet
arbitrært, uden at påvirke resultatet. For at kunne omskrive til størrelsesklasser
kræver det dog at vores uxer ikke er negative. En negativ ux er reelt set også
uvidenskabelig, men disse fremkommer blandt dataene. Disse skyldes dårlige
billeder hvor mønstergenkendelsen ikke har fastholdt de rigtige objekter, og
baggrunden eksempelvis er landet på en stjerne, hvormed der bliver trukket
et højt tal fra alle ux, som kan dermed resultere som negative. Data med
negative ux er dermed blevet kasseret.
Vi kan nu foretage vores dierentielle fotometri. Vi starter med at tage
middelværdien af de 10 referencestjerner, billede for billede. Vi kan nu for hvert
billede trække dette middel fra objektets størrelsesklasse:
mdiff,obj(billedei) = mobj(billedei) − mstj(billedei)
På denne måde bestemmer vi et forhold mellem objekt og reference som er uaf-
hængig af billedets kvalitet, da de 10 referencestjerners luminositet er konstant.
Dette kan tilsvarende gøres for alle referencestjernerne, så disses størrelsesklas-
ser tilsvarende bliver dierentielle størrelsesklasser som objektets.
mdiff,stj;j(billedei) = mstj;j(billedei) − mstj;j(billedei)
Vi kan nu normere vores objekts lyskurve, ved at nde middelværdien af alle de
fundne relative størrelsesklasser, og trække dette fra de enkelte størrelsesklasser
for objektet som funktion af billede. Således får vi en lyskurve som afviger fra 0.
17

23. Figur 2.4: Lyskurve for hhv. ZKB09249 og ZOB08349 (se fodnote 2). Stør-
relsesklasse som funktion af juliansk dato (tid). Markeret med røde cirkler er
de punkter som er blevet fjernet til det videre arbejde. Noter at y-aksen er
inverteret.
18

24. Vi kan således producere lyskurven på vores objekt.
Som vi ser på gur 2.4 er der nogle af punkterne, på guren markeret
med røde cirkler, som afviger meget fra kurven. Disse punkter skyldes dårlige
billeder, hvor mønstergenkendelsen eks. ikke har fungeret, eller der er sket nogle
forskydelser med kikkerten mens billedet er blevet taget, (som i vindue 3 på
gur 2.3) men som vi ikke har sorteret væk da vi ikke direkte har fået negative
ux. Når disse punkter fjernes opnår vi vores endelige lyskurver, som kan ses
på gur 2.5.
2.3.2 Spredning
Vi vil nu bestemme spredningen på vores data, således vi kan sammenligne med
spredningen når vi anvender DAOPHOT. Vi anvender de data vi har tilbage
efter vi har fjernet de dårlige billeder.
Vi kan nu bestemme middelværdi og spredning på hver af stjernerne, som
normalt, ved at bestemme standard-afvigelsen:
σ = (mstj − mstj )2 (2.3)
For at formindske indydelsen af dårlige data, har jeg anvendt medianen i ste-
det for middelværdien, som giver en grov vægtning af de bedste data. Normalt
ville vi nu kunne tage middelværdien af spredningen og blot sammenligne dette
tal, med den for DAOPHOT. Men, som f.eks. beskrevet i Grundahl (1996) og
som vi senere skal se, i afsnit 3.2, er spredningen på fotometri stærkt afhængig
af objektets luminositet. Da vores linsende objekt vil opleve en stor ændring
af luminositeten, betyder dette også, at usikkerheden på dataene er afhængige
af, hvor vi er på lyskurven. Der gælder, at jo højere størrelsesklasse, jo større
spredning. Vi vil derfor plotte spredningen som funktion af størrelsesklassen,
og dernæst sammenligne plottene.
Usikkerhed som funktion af størrelsesklasse på vores to objekter, kan ses
på gur 2.6 Da vi kun kigger på et ganske lille størrelsesklasse-interval, kan vi
ikke rigtig observere, hvordan usikkerheden vokser med størrelsesklassen. Det
eneste vi ser, er spredningen på spredningen af vores stjerner. Vi kan derfor
kigge på middelværdien af spredningen, for at få en idé om størrelsesordnen.
For ZKB09249 bliver dette til σZKB09249 = 30 mmag og for ZOB08349
σZOB08349 = 11 mmag.
Disse spredninger er ganske vist ikke for vores objekt, men for reference-
stjernerne. Til gengæld vil disse inuere stærkt med usikkerheden på vores
lyskurve, da de påvirker den dierentielle fotometri.
Vi kan bemærke at spredningen varierer med en faktor 3, alt efter hvilket
felt man kigger på. Dette kunne tyde på at udvælgelsen af referencestjerner
eksempelvis, var bedre for det ene billede end det andet, og/eller at startpara-
metrene har været valgt bedre for ZOB08349 end for ZKB09249.
Jeg vil senere sammenligne disse plots og spredninger med tilsvarende plots
og data, hvor fotometrien er blevet foretaget gennem DAOPHOT.
19

25. Figur 2.5: Lyskurve for hhv. ZKB09249 og ZOB08349 (se fodnote 2). Størrel-
sesklasse som funktion af juliansk dato (tid). Noter at y-aksen er inverteret.
20

26. Figur 2.6: Spredning som funktion af størrelsesklasse for hhv. ZKB09249 og
ZOB08349 (se fodnote 2).
21

27. 2.4 Problemer og usikkerheder forbundet med Pipelinen
Pipelinen er et meget simpelt program. Den har dog en serie problemer, som i
længden bør forbedres for at opnå et optimalt resultat.
Jeg vil i følgende afsnit diskutere nogle af disse problemer.
2.4.1 Generelle problemer
Èt af de problemer, man støder på først, involverer de inputs man skal taste ind
i make_ref. Som det kan ses på Mik.Mat-KU (2009) er slutproduktet stærkt
afhængig af, hvilke parametre man indsætter. Specielt baggrundsradius ser ud
til at inuere dataene en del. Dette skyldes at baggrundsblænden kan gå ind
og inkludere svage stjerner som kan give problemer. Jo større radius, jo stør-
re sandsynlighed for at inkludere sådanne objekter. Til gengæld vil en for lille
radius ikke inkludere et område af baggrunden, som for alvor er repræsenteren-
de. Dette vil kunne forbedres ved at anvende en stor radius, og tage medianen
af uxen, i stedet for middelværdien for at eliminere de få svage stjerner. En
anden mulighed er at reducere stjernerne væk, således vi kun har baggrunden
tilbage, som vi skal se på senere i DAOPHOT.
Næste trin i programmet er kilde til ere problemer. Måden programmet
nder objekt og referencestjerner, er ved at man selv klikker på dem, hvorefter
programmet nder det nærmest objekt, inden for en bestemt radius. Problemet
er, at vi risikerer at objektet er så svagt, på det valgte referencebillede, at man
ikke kan se det, rent visuelt, og dermed ikke kan klikke på det. Samtidig er det,
at nde de 10 referencestjerner en hel kunstart, hvor man stort set ikke kan
undgå, at nogle af disse kommer til at ligge forkert.
Når programmet kører kan man observere næste problem. Nogle af bille-
derne er dårlige. Dette kan skyldes, at feltet er meget forskudt i forhold til
referencebilledet, og i nogle tilfælde roteret 180 grader. Ellers kan man ganske
enkelt have billeder med dårlig seeing o.l. På disse billeder kan man tydeligt
se at programmets mønstergenkendelse ikke længere fungerer. Man kan se at
target nogle gange hopper rundt til andre stjerner. Det kan tænkes, at bag-
grunden gør det samme. Dette forklarer, hvorfor vi har nogle data med negative
ux. Ved disse nder jeg det plausibelt, at baggrundsblænden placerer sig på
en stjerne, som dermed giver en meget stor baggrundsværdi som bliver trukket
fra de andre målinger, som dermed bliver negative.
Programmet selv er skrevet til at sortere de værste billeder (dem hvor objek-
tets ux bliver negativ) fra, ved næste kørsel. Dog viser det sig at der forbliver
mange problematiske billeder, som ikke bliver sorteret gennem denne metode,
og, man kan risikere at eliminere stort set alle billeder, ved at anvende et bille-
de med god seeing som reference, men som desværre er roteret i forhold til de
este andre.
For at opsumere, er nogle af de problemer jeg har generelt har observeret
følgende:
Parameterindtastning Som det fremgår af Mik.Mat-KU (2009) afhænger
vores slutprodukt stærkt af de forskellige blænderadier o.l.
Positionering Måden man bestemmer objekter, er ved at klikke med musen
på billedet. Dette medfører at man nemt kan komme til at klikke lidt
22

28. forkert, og at man ikke nødvendigvis kan se objektet, hvis dette er meget
svagt på det pågældende referencebillede.
Bestemmelse af referencestjerner I forbindelse med det ovennævnte punkt,
kan bestemmelsen af referencestjernerne også være problematisk, da man
ikke med sikkerhed rammer en god isoleret stjerne med omkring. samme
størrelsesklasse som objektet.
Mønstergenkendelsen Det er tydeligt at mønstergenkendelsen ikke altid for-
mår at lokalisere de rigtige objekter, men nogle gange hopper væk fra
området, til et sted som ligner den angivne mønster af stjerner. Dette
sker specielt for roterede billeder og billeder med dårlig seeing.
Baggrundsbestemmelse Baggrunden er også bestemt ved at klikke med mu-
sen på en lille område. Der skal ikke stor forskydelse til før vi får stjerner
som vil påvirke baggrunden kraftigt.
Usikkerhed Alle disse faktorer medfører at programmet ikke er specielt ro-
bust, hvilket betyder vi ser en forskel på spredningen med en faktor 3,
som formentlig skyldes, at vi for ZOB08349 har været bedre til at nde
nogle gode referencestjerner og gode parametre end for ZKB09249.
2.4.2 Usikkerheden og betydning for planetdetektion
På lyskurven for ZOB08349, på gur 2.5 nederst, kan man, lige inden det store
dataløse interval, observere en lille mulig anomali. Vi kan dog ikke inden for
usikkerheden klart sige, at vi her har observeret en planet. Specielt når vi
sammenligner med plots taget med andre parametre i Mik.Mat-KU (2009),
kan vi se at denne variation kun er der ved bestemte parametre.
Tilsvarende for ZKB09249, kan vi se der er nogle asymmetrier, men vi kan
ikke absolut se, der skulle være en planet, da spredningen er for stor.
Dette understreger nødvendigheden af, at opnå så stor nøjagtighed som
muligt, samt frigøre os af parametre som i så høj grad påvirker vores målinger.
23

29. 3 DAOPHOT
Vi vil nu undersøge de samme data, gennem et andet fotometrisk program.
DAOPHOT blev udviklet af Peter Stetson i 1986, (Stetson, 1987) og sidenhen
forbedret jævnligt. Programmet er langt mere komplekst end hvad vi har set
tidligere, og anvendes over hele verden til udførelse af fotometri, i stjernetætte
felter.
DAOPHOT tager en anden indgangsvinkel til fotometri ved at anvende så-
kaldt PSF-fotometri. PSF står i denne forbindelse for Point Spread Function
eller punktspredningsfunktion på dansk. Ideen er, at tte alle stjerner i bille-
det til en passende punkspredningsfunktion, og anvende dette til at forbedre
fotometrien.
3.1 PSF-Fotometri
Stjerner burde observeres her på Jorden som punktkilder. Dette er imidlertid
noget, vi aldrig ser. Diverse eekter, så som luft, spejle, linser i kikkerter mm.
vil påvirke lyset fra stjernerne, og medføre, at stjerner observeres som cirkler
på vores billeder. Dette er reelt set, hvad der giver os mange af de problemer vi
har med at bestemme antallet af fotoner for den enkelte stjerne. Når lyset fra
stjernerne passerer atmosfæren, linser mv. vil der ske en tilfældig diraktion
som vil give anledning til en afbøjning af lyset, og derved udtværingen.
Sådanne tilfældige spredninger kan heldigvis beskrives matematisk med
sandsynlighedsteori. For hver stjerne kan man derfor opskrive en funktion af
to variabler, som tilnærmelsesvist beskriver lysets spredning i adens to rum-
lige retninger. Sådan en funktion kaldes for punkspredningsfunktion eller PSF
(Bradt, 2004). Dette anvendes bl.a. til at denere hvilke gode forhold vi har
haft for et billede. Jo skarpere PSF, jo mindre udtværing pga. lufturo, og der-
med jo bedre billede. Således kan man måle seeing som en funktion af PSF'ens
størrelse. Vi vil dog anvende stjernernes PSF for at forbedre vores fotometri.
3.1.1 DAOPHOTs PSF-fotometri
Den generelle loso bag DAOPHOT er at bestemme den nøjagtige PSF for
alle stjerner i feltet, og dermed direkte herfra kunne aæse uxen. Dette foregår
i nogle trin. (se Stetson (1987) for ere detaljer om de enkelte algoritmer.)
Første skridt for DAOPHOT er, at bestemme positionen af alle stjernerne
i en givent referencebillede, med god seeing, og dernæst bestemme positionen
af stjernerne i alle de andre billeder. Således kan vi være sikre på, det er den
samme stjerne, vi følger hele vejen. Måden DAOPHOT gør dette på, er ved
først at nde stjernerne ved at observere kraftige stigninger i lys, og dernæst
ud fra alle feltets stjerner at bestemme vinkler og afstande mellem stjernerne
indbyrdes, i forhold til et virtuelt gitter. Da stjernerne selv ikke når at ytte
sig fra billede til billede, vil DAOPHOT gennem disse faste geometrier kunne
bestemme stjernernes position, og sikre os at vi kan følge den samme stjerne
igen og igen. Denne type mønstergenkendelse er meget robust, da vi anvender
alle stjernerne i feltet, og algoritmen til at nde samme mønster, tager både
hensyn til relativt store forskydelser og rotationer.
Næste skridt er at bestemme stjernernes PSF. Selve formen på PSF'en er
udelukkende afhængig af ydre faktorer. Derfor vil selve PSF-modellen kun være
24

30. afhængig af det pågældende billede. Ud fra alle stjerner på billedet, kan DAOP-
HOT bestemme den bedste PSF-model for den pågældende billede. Dette sker
ved at tte stjernerne, ud fra mindste kvadraters metode, med nogle Gauss-
funktioner, og dernæst korrigere disse for de empiriske forskelle der er mellem
en Gauss funktion og en PSF. Detaljer om dette kan læses i Stetson (1987).
Når dette er gjort, skal vi bestemme den enkelte stjernes PSF. Det eneste
DAOPHOT nu behøver at gøre, er for hver kendt stjerne, at skalere PSF-
modellen, trække stjernen fra den fundne PSF, og se om der er noget residue
tilbage. Dette gentages i en iterativ proces, indtil residuet er minimeret, hvor-
med vi ved at PSF'en er ttet bedst muligt. Dette sker for alle stjerner, som
dermed for hver iteration vil blive subtraheret væk fra vores billede.
Fluxen på den enkelte stjerne kan nu bestemmes direkte af PSF'en og ska-
leringsfaktoren i den sidste iteration ved at integrere op over PSF-modellen:
Fstj = (hk · PSF(x, y) − B)dxdy
hvor hk er skaleringsfaktoren, PSF er PSF modellen og B er himmelbaggrun-
den.
For at bestemme himmelbaggrunden anvendes blændefotometri, som be-
skrevet i afsnit 2.1. Programmet placerer to virtuelle blænder omkring hver
stjerne, en som dækker stjernen og en som er væsentlig større. For hver itera-
tion bestemmes nu middeluxen i området mellem de to blænder. Efterhånden
som programmet skrider frem, trækkes de stjerner som måtte være i blænden
fra, sammen med lyset fra den stjerne man er ved at foretage fotometri på.
Ved sidste iteration har vi dermed kun himmelbaggrunden tilbage, i området
omkring stjernen. Vi kan herved bestemme himmelbaggrunden på en robust
måde, som kun indeholder selve baggrunden og vi kan anvende en stor blænde,
som giver os en bedre mål for middelbaggrunden i netop det område af himlen
hvor stjernen bender sig.
Dog er ingen metode perfekt. I PSF-fotometrien benytter vi os af en viden
om stjernernes PSF, som vi tter indtil vi opnår en minimum. Dette betyder
at vi har en usikkerhed på ttet, som kan blive problematisk. Fordelen er at
vi gennem PSF'en har bedre mulighed for at isolere de enkelte stjerner, da vi
nemmere vil kunne se hvis et dobbelt-PSF t er bedre osv. Dette er en stor
fordel når vi arbejder i felter så tætte som vores. Samtidig har vi den fordel,
at have fotometri for en meget stor gruppe stjerner, som sidenhen kan sorteres
i henhold til nogle bestemte parametre. Dette medfører dog også en forlænget
CPU-tid til kørsel af programmet.
3.2 Usikkerhed
Ganske som i afsnit 2.3 vil vi nu undersøge spredningen på vores stjerner, og se
på lyskurven for vores objekt. Fluxen omskrives til størrelsesklasse, hvorefter
vi igen laver dierentiel fotometri på basis af vores referencestjerner.
25

31. Figur 3.1: Spredning som funktion af størrelsesklasse, for mange stjerner, for
hhv. felterne ZKB09249 og ZOB08349 bestemt med DAOPHOT
26

32. Den store forskel ligger i, at vi nu har et meget stort antal referencestjerner.
Mange af disse ligger i kanten af billedet, og er dermed ikke med på alle bille-
der, samtidig har mange af disse størrelsesklasser, som ligger meget langt fra
vores objekt. Vi kan se et plot af usikkerhed som funktion af størrelsesklasse
for en stor gruppe stjerner på gur 3.1. På guren ses tydeligt, at usikkerhed
og størrelsesklasse hænger meget nøje sammen. Jo lavere luminositet (højere
størrelsesklasse) jo større spredning. Når vi derfor skal lave dierentiel fotome-
tri, skal vi sørge for kun at have de beste stjerner med, med en størrelsesklasse
i samme størrelsesorden som vores objekt, og lavere, da de ellers vil påvirke
spredningen på lyskurven. Derfor har jeg valgt kun at inkludere de stjerner
som ligger inden for en kasse som er 150x150 pixels og 90x90 pixels omkring
objektet for hhv. ZKB09249 og ZOB08349 og inkludere kun referencestjerner
med en størrelsesklasse på hhv. 6 og 2 størrelsesklasser omkring objektets mak-
simum. Når dette er gjort, har vi reduceret de omkring 5-6000 stjerner i feltet
til omkring 10-20 stykker, som til gengæld er udvalgt efter meget bestemte kri-
terier. Vi kan nu anvende disse til at lave dierentiel fotometri, ganske som i
afsnit 2.3. Efter at have elimineret nogle dårlige punkter, pga. dårlige billeder,
kan vi endelig producere vores lyskurver. Disse kan ses på gur 3.2
Vi kan nu kigge på spredningen af vores endelige stjerner. Gøres dette,
ser vi noget som ligner den tidligere gur 2.6. Det eneste vi nu kan se, er
selve spredningen på spredningen. Denne gang får vi at middelusikkerheden
for vores DAOPHOT data bliver: σZKB09249 = 17 mmag for ZKB09249 og
for ZOB08349 σZOB08349 = 10 mmag. Vi kan bemærke at dette faktisk er
lavere end midlen af områderne med størrelsesklasser på omkring lyskurvernes
størrelse på gur 3.1. Dette skyldes, at alle stjernerne størrelsesklasser også er
dierentielle størrelsesklasser i forhold til hinanden. Når vi så udvælger nogle
få, bliver usikkerheden på disse også lavere.
27

33. Figur 3.2: Lyskurver (relativ størrelsesklasse som funktion af tid) for hhv.
ZKB09249 og ZOB08349 bestemt med DAOPHOT. Noter at y-aksen er in-
verteret.
28

34. 3.3 Diskussion af DAOPHOTs usikkerheder
Vi ser, at spredningen med DAOPHOT for begge vores objekter, ligger i stør-
relsesorden 10 mmag. Dette viser, at DAOPHOT er et program som kan be-
stemme fotometri på en robust måde, selv i felter som er så tætte som dem vi
har set på. Størrelsen af usikkerheden er samtidig ganske lav, ned i størrelses-
orden mmag for referencestjernerne. Vi kan hermed bemærke at spredningen
ikke bliver væsentlig påvirket, af den usikkerhed som er forbundet med t af
data til PSF-modeller.
Specielt bør det bemærkes, at vi under udvælgelse af referencestjerner til at
lave den dierentielle fotometri, kun har sorteret efter deres position (tæt på
objektet, således vi ikke tæller stjerner, som kun er på nogle billeder) samt deres
luminositet (omkring samme luminositet som vores objekt, og gerne større, men
ikke mindre, da spredningen vokser voldsomt med den faldende luminositet).
Vi har ikke antaget noget om, at stjernerne skal være specielt isolerede eller
lignende. Alligevel formår vi at opnå en fornuftig spredning, hvilket viser at
DAOPHOT er ganske god i crowdede felter.
Muligheden for at vælge referencestjernerne efter bestemte kriterier, giver
os også en mulighed for bedre at kontrollere, hvad vi anvender, og her kommer
den store antal stjerner DAOPHOT laver fotometri for os til gode. Når vi har så
mange stjerner betyder det, at vi for alvor kan udvælge dem som er bedst, ikke
blot pga. deres placering og størrelsesklasse, men også dem som i sig selv ikke
er variable. Vi må huske på vi antager at de stjerner vi anvender som reference
for at lave den dierentielle fotometri, ikke selv er variable, da de ellers ikke
vil kunne bruges som en reference. DAOPHOT giver os rigt mulighed for at
sortere i alt dette.
De dannede lyskurver er tydeligvis glatte og uden asymmetrier. Vi kan
dermed konkludere at vi ikke har kunnet observere nogen planet i vores to
objekter, ZKB09249 og ZOB08349.
Af problemer kan nævnes, at DAOPHOT bruger væsentlig længere tid på
fotometrien. Dette skyldes primært det store antal stjerner som DAOPHOT
laver fotometri på. Denne tid vil kunne reduceres kraftigt ved at bede DAOP-
HOT om kun at tage et bestemt antal stjerner med fra start. Dette vil dog
svække kvaliteten af de ttede PSF, og give os et mindre antal stjerner at kun-
ne vælge imellem til sidst. Vi kan altså øge hastigheden, men formentlig kun
på bekostning af præcisionen.
Vi har altså set at DAOPHOT giver os:
• Fotometri med spredninger i 10 mmag størrelsesorden.
• Mulighed for intelligent udvælgelse af referencestjerner.
• Robust fotometri, hvis spredning ikke varierer synderligt mellem forskel-
lige felter.
• Fotometri som er uafhængig af parametre, som direkte inuerer med re-
sultaterne.
• Et øget tidsforbrug, som dog kan minimeres på bekostning af præcisionen.
29

35. 4 Forbedring af Pipelinen
Som vi har set, skal vi for at detektere planeter med mikrolinser, anvende foto-
metri med høj nøjagtighed. Vi har indtil nu undersøgt hvordan den i dag an-
vendte MiNDSTEp pipeline og fotometriprogrammet DAOPHOT klarer denne
opgave. Vi vil nu sammenligne disses resultater, og kigge på hvordan vi kan for-
bedre MiNDSTEp pipelinen, ved at implementere elementer af DAOPHOT. Vi
vil ende afsnittet med at kigge på ydeligere mulighed for forbedring af dataene.
Vi vil starte med at sammenligne spredningen af referencestjerner og der-
næst lyskurver, for at se hvilket af programmerne leverer den bedste præcision.
Dernæst vil jeg kort komme ind på hvad vi kan opnå ved at forbedre præci-
sionen. Jeg vil dernæst jeg diskutere hvordan DAOPHOT eventuelt vil kunne
implementeres i det nuværende system, og hvilke forbedringer, og problemer,
det generelt kan medføre. Endeligt vil jeg kigge på hvike andre mulige forbed-
ringer vi kan gøre brug af, for at opnå en så optimal resultat som muligt.
4.1 Sammenligning af de to programmer
Vi vil starte med at sammenligne de to programmer. Vi har foretaget fotome-
tri af to felter, ZKB09249 og ZOB08349, med både MiNDSTEp pipelinen og
DAOPHOT. Vi vil nu starte med at sammenligne spredningen af de data vi
har foretaget.
4.1.1 Spredning på referencestjernerne
For MiNDSTEp pipelinen ser vi at spredningen for stjernerne er 30 mmag og
11 mmag for hhv. ZKB09249 og ZOB08349. Reducerer vi dataene med DA-
OPHOT opnår vi i stedet usikkerheder på hhv. 17 mmag og 10 mmag. Vi ser,
at størrelsesorden for spredningen for begge programmer er tæt på hinandens,
faktisk er spredningen på ZOB08349 næsten den samme for begge programmer.
Den store forskel ser vi primært for ZKB09249, her er spredningen en næsten
dobbelt så stor for MiNDSTEp pipelinen end for DAOPHOT.
Vi kan også bemærke, at forskellen på spredningen af stjernerne mellem
de to felter i MiNDSTEp pipelinen er meget stor, næsten en faktor 3, hvor
vi gennem DAOPHOT opnår spredninger som ligger tæt på hinanden. Vi ser
altså, at DAOPHOT opnår mindre usikkerheder, og er samtidig mere robust
end pipelinen, da den opnår lignende spredninger for forskellige objekter. Dette
skyldes formentlig, at vi i DAOPHOT ikke har nogle parametre som kan påvirke
resultatet i samme grad som pipelinen, og frem for alt, at referencestjernerne
udvælges efter bestemte parametre, heriblandt størrelsesklasse som vi har set
har stor betydning for spredningen.
På gur 4.1 ses spredningen som funktion af størrelsesklasse for ZKB09249
bestemt både med pipelinen, og et udvalg af stjernerne i DAOPHOT. Med
punkter ses samtidig spredningen bestemt gennem alle stjernerne med DA-
OPHOT. Vi ser her tydeligt hvordan de udvalgte referencestjerner i pipelinen
ligger i et område hvor spredningen begynder at vokse. Vi ser samtidig hvordan
spredningen på målingerne med DAOPHOT for de få stjerner ligger lavere end
spredningen for alle stjerner. Dette viser, hvor vigtigt det er at anvende gode
referencestjerner til bestemmelse af den dierentielle fotometri.
30

36. Figur 4.1: Usikkerhed som funktion af størrelsesklasse for ZKB09249. Med sorte
punkter ses spredningen af data reduceret med DAOPHOT, uden at sortere i
stjernerne, med rødt ses data reduceret med DAOPHOT efter en udvælgelse.
Med blåt ses spredningen på MiNDSTEp pipelinens referencestjerner.
For ZOB08349 synes der ikke at være nogen forskel. Sammenligner vi lys-
kurverne, ser vi dog at DAOPHOTs data frembringer en kurve, som både for
ZKB09249 og ZOB08349 er langt mere glat og støjfri. Dette kan tydeligt ses
på gur 4.2.
For ZKB09249 kan vi tydeligt se, at de dårlige referencestjerner har betydet
noget for kurven. For ZOB08349 tyder det mere på at vi med pipelinen har væ-
ret gode til at bestemme referencestjerner, men objektet selv er behæftet med
usikkerhed. Dette kan skyldes, at vi under udvælgelse af referencestjerner sør-
ger for at nde isolerede, tydelige stjerner med lysstyrker som ligner objektets.
Men objektet selv er ikke nødvendigvis lige så isoleret. Her kan MiNDSTEp
pipelinen få et problem, da den virtuelle blænde den anvender for at bestemme
uxen, nemt kan komme til at indeholde dele af nabostjerner, som kan påvirke
vores målinger.
Vi skal altså nde en måde til at bestemme spredningen af selve lyskurverne
på.
4.1.2 Spredning af objekternes lyskurve
For at undersøge spredningen af objekternes lyskurve kan vi tte en del af
vores data til en polynomium, for at lave en glat kurve mellem punkterne.
Vi ved, at punkterne skal ligge på en glat lyskurve, med en kompleks form,
men hvis vi kun tager et lille område af kurven, vil denne tilnærmelsesvist
31

37. Figur 4.2: Lyskurven for ZKB09249 lavet ud fra MiNDSTEp pipelinens data (i
rødt) og DAOPHOTs data (i sort). For overskuelighedens skyld er datasættene
forskudt med 0.5 størrelsesklasser i forhold til hinanden.
kunne approksimeres med en andengradspolynomium. Vi kan dernæst se på
spredningen af punkterne omkring denne kurve, og ud fra dette se på hvor
godt vores punkter passer til en glat kurve mellem dem.
Jeg har udvalgt et stykke af hver lyskurve ud, som så ud til at kunne
approksimeres godt til en andengradspolynomium, og dernæst ttet. Det er
vigtigt under denne udvælgelse at have punkter nok med til at give en god
statistisk vurdering, men heller ikke så mange med, at vi ikke længere kan
approksimere vores kurvestykke til polynomiet.
Fittene er udført i MatLab som direkte giver os spredningen af dataene
omkring kurven, som RSME (Root Mean Square Error). Disse kan ses på ta-
bel 4.1.
RMSE beskriver, for simple data, spredningen af punkterne omkring kur-
ven, altså netop det, vi søger. Dog må vi huske på, at vi har ttet til noget som
strengt taget ikke er den rigtige mode, men kun en tilnærmelse, og vi kan der-
for forvente at se en større usikkerhed end stjernernes, men vi må forvente at
størrelsesordnen ligger i samme område, og vi kan frem for alt anvende RMSE
til at se hvor gode dataene er i forhold til hinanden.
På tabellen er det tydeligt, at DAOPHOT har de mindste spredninger, og
er dermed den mest præcise program. Vi ser en forøgelse af spredningerne med
næsten en faktor 5 for ZKB09249 og næsten en fordobling for ZOB08349. Vi kan
også bemærke, at spredningen på objektet målt med DAOPHOT er omtrent
lige så stor som spredningen for referencestjernerne, hvorimod der er en stor
32

38. Tabel 4.1: Spredninger af hhv. referencestjernerne og objektet i de to felter, med
de to forskellige programmer. Alle tal er i størrelsesklasser. Objektets spredning
er angivet som RMSE fra MatLab.
Objekt Software Ref. Stj. Obj. (RMSE)
ZKB09249 MiNDSTEp pipeline 0.030 0.086
DAOPHOT 0.017 0.018
ZOB08349 MiNDSTEp pipeline 0.011 0.026
DAOPHOT 0.010 0.015
forskel på spredningen af objekt og stjerner målt med MiNDSTEp pipelinen.
Omend vi skal holde os for øje at vi ikke har ttet til den korrekte kurve, ser
vi at en så stor ændring ikke udelukkende kan skyldes et forkert t (specielt da
vi ikke ser dette i DAOPHOT). Dette viser igen, at DAOPHOT er væsentlig
mere robust end pipelinen, og formår at holde sine usikkerheder på samme
niveau fra objekt til objekt. Vi kan tydeligt se, at vi med pipelinen har valgt
nogle relative gode, isolerede referencestjerner, men at spredningen på objektet
ikke bliver holdt nede af dette. Dette skyldes, at hvor stjernerne kunne vælges
til at være så isolerede som nødvendigt, så ligger objektet stadig i et crowdet
område, med mange nabostjerner som påvirker pipelinens fotometri.
4.2 Præcisionens betydning for planetdetektion
Præcision er noget vi selvfølgelig altid ønsker os, men hvor stor betydning har
det egentligt for detektionen af exoplaneter?
På gur 1.6 ser vi at ét af problemerne ved detektion af exoplaneter med
mikrolinsning er at vi har meget svært ved at bestemme planetens parametre,
masse og baneradius, præcist. Nøjagtigheden på massebestemmelsen, specielt
for små planeter, er relativ dårlig. Én af årsagerne til dette kan vi se på gur 1.5.
Som allerede diskuteret i afsnit 1.2 er det, som bestemmer massen af planeten
udregnet gennem en t til punkterne på lyskurven, men punkterne passer også
relativ godt til et andet t, som giver en højere masse. Så stor nøjagtighed som
muligt er altså yderst vigtig når vi skal bestemme planet masserne.
Men højere præcision er ikke kun vigtig for at give os bedre bestemmelser.
Præcision er afgørende for hvor små planeter vi kan detektere. Som beskre-
vet i afsnit 1.2 har bl.a. planetens masse en betydning for hvor skarp kaustikken
bliver. Som det fremgår af Sackett (1999, lign. 20) har massen en betydning
for varigheden af den asymmetri man observerer, så:
ta ∝ m/M
hvor ta er varigheden af asymmetrien, og m/M er forholdet mellem planetmasse
(m) og stjernemasse (M). Jo mindre masse, jo mindre bliver varigheden af
asymmetrien. Hvad vi observerer, er dog ikke en uendelig høj peak, med meget
lille varighed.
Da stjernen er meget større end bredden af den kaustik den rejser igennem,
vil vi observere et middel af lysforøgelsen. Dette betyder at en kort varighed vil
33

39. manifestere sig som en lineært mindre asymmetri. Dette betyder at der også
gælder at:
m/M ∝ m2
max;kaustik
hvor mmax;kaustik er kaustikkens peak-højde. Hvad vi observerer er altså at
højden på kaustikken formindskes for mindre planeter. Meget små planeters
signal vil derfor være kaustikker hvis højde kan begynde at blive sammenlignelig
med støjen.
For at bestemme planeter med lille masse, altså planeter som kan ligne
Jorden, bliver vi derfor nødt til at have en så lille signal-støj forhold som
muligt.
Da massen er proportional med højden af kaustikken i anden, betyder det
massen af den mindste planet som er muligt at detektere i et givent system, til
svarende er proportional med sigal-støjforholdet i anden:
m/Mmin = σ2
hvor σ er sigal-støj forholdet
Dette betyder at en reduktion af støjen med det halve, vil kunne give an-
ledning til genkendelse af anormaliteter for planeter med en faktor 4 mindre
masse, altså en meget markant forbedring.
Ud fra disse betragtninger kan vi dermed se at implementeringen af DA-
OPHOT, eller lignende systemer, i programmet til detektion af exoplaneter, vil
være en meget stor fordel for at sikre:
• Mindre usikkerheder på data, og dermed en mindre signal-støj forhold.
• Mere robuste data, med usikkerheder som er sammenlignelige fra objekt
til objekt.
• Færre parametre som direkte interfererer med dataene.
4.3 Implementering af DAOPHOT i Pipelinen
Selvfølgelig kommer alle disse fordele med en pris. For DAOPHOT er denne
pris tid. I en pipeline, som skal køre løbende som den modtager data, er tid en
relativ vigtig størrelse. Tidsforbruget vil kunne begrænses ved at anvende færre
stjerner til bestemmelse af PSF, men dette vil medføre en dårligere kvalitet af
fotometrien. Derfor er det muligvis en fordel at anvende DAOPHOT til at
gennemrationalisere dataene efter de er blevet optaget. Endelig er outputtet
fra DAOPHOT ikke noget som databaser som ARTEMIS direkte kan anvende.
Derfor skal dele af DAOPHOT s output omskrives, hvilket bl.a. kan gøres ved
en implementering af dele af koden i den nuværende pipeline.
DAOPHOT eksisterer i forskellige udgaver, skrevet til forskellige program-
meringssprog. Iblandt disse er der også en udgave i IDL som er samme pro-
grammeringssprog som den nuværende MiNDSTEp pipeline er skrevet i. Dette
muliggør en direkte implementering af DAOPHOT i det nuværende software,
og er noget man kan undersøge mulighederne for.
Dog er det ikke nødvendigt direkte at anvende DAOPHOT. Jeg har i dette
projekt anvendt DAOPHOT som et eksempel på et stykke robust software, som
34

40. kan udføre PSF-fotometri i crowdede felter. De ting som primært er vigtige i
DAOPHOTs algoritme som vil være en fordel at anvende er:
PSF-fotometri Gennem PSF-fotometri opnås en langt bedre mulighed for at
isolere de enkelte stjerner, selvom de står tæt på hinanden.
Baggrundsbestemmelse Baggrunden i DAOPHOT er bestemt ved at redu-
cere billedet til kun at indeholde himmelbaggrunden, og er dernæst målt
som et middel på et stort område omkring hver stjerne. Dette giver os
en bedre mål for himmelbaggrunden, end en lille blænde placeret et sted,
hvor vi med øjemål forventer er stjernefrit. Samtidig bliver vi uafhængige
af problematiske billeder, som påvirker systemets mønstergenkendelse, og
risikerer at placerer baggrundsblænden i en stjerne.
Stort udvalg af stjerner Da DAOPHOT laver fotometri på alle stjernerne
i feltet, får vi et meget stort antal stjerner, som vi dernæst kan udvælge
efter bestemte parametre, heriblandt størrelsesklasse. Dette sikrer, at vi
får nogle gode referencestjerner, som i sidste ende har stor betydning
for den dierentielle fotometri. At lave fotometri på alle stjerner sikrer
samtidig at den objekt man gerne vil observere altid bliver taget med,
selvom man visuelt ikke kan se det og klikke på det.
Mønstergenkendelse En stor fordel vil kunne opnås ved at forbedre møn-
stergenkendelsen. Her kan vi se at DAOPHOT formår at anvende ere
billeder, uden at tage fejl af stjernernes position, da den anvender ere
end 11 punkter til at lave genkendelsen efter.
4.4 Ydeligere mulige forbedringer
Selv efter en implementering af DAOPHOT eller lignende, kan vi altid søge ere
muligheder for at forbedre vores fotometri, ved at forbedre selve målingerne:
Lucky Imaging Lucky Imaging er en teknik som er i gang med at blive
implementeret i det danske teleskop på La Silla. Vi har set hvordan nogle dårlige
billeder kan betyde meget for vores målinger. Med Lucky Imaging optages
mange billeder, med relativt korte eksponeringstider (hvilket også garanterer os
at vi ikke får for mange overeksponerede stjerner, som er generelt problematiske
at arbejde med). Hernæst lægges alle billederne sammen, for at danne det
endelige måledata. Fordelen ved denne teknik er, at vi kan sortere i billederne,
og kun have dem med de bedste forhold, så som bedst seeing. Denne teknik
giver langt bedre data, med meget støre nøjagtighed, og vil i høj grad være
med til at reducere støjen.
Uden for atmosfæren Vi kan selvfølgelig også fjerne problemer som lufturo
o.l. totalt, ved at rejse ud i rummet. Rumteleskoper anvendes i dag i stor grad
til diverse målinger med høj præcision. Én af disse, som er specielt designet
til planetdetektion, er Kepler, som i skrivende stund er begyndt at producere
målinger, og har bl.a. gjort muligt at måle nogle karakteristika for en exoplanets
atmosfære. Kepler laver også fotometriske målinger, men den anvender dem til
35

41. at nde exoplaneter vha. transit. Dog er det ikke en utænkelig opgave at designe
et rumteleskop, som er specikt bygget til at kigge efter mikrolinser.
SONG Som allerede nævnt, er en mulighed for forbedring af vores detektion,
at kombinere mikrolinseteknikken med eksempelvis radialhastighedsmålinger
for at opnå en større nøjagtighed. Dette er et af målene for SONG netvær-
ket, som samtidig vil muliggøre observationer af det samme objekt over lange
perioder. Vi må huske på at de anormaliteter vi kigger efter for at nde en
planet, kun varer ganske kort tid. Ved at observere samme objekt over meget
lang tid, sikrer vi os, at vi ikke mangler at optage data netop på det tidspunkt
anomaliteten dukker op. SONG vil ydeligere kunne levere nøjagtige målinger
af de implicerede stjerners masse, gennem astroseismiske målinger, som SONG
netværket primært er bygget til.
Bedre udstyr Ganske som med alt andet astronomi, vil bedre udstyr, så
som større kikkerter, mere følsomme CCD'er o.l. give os bedre målinger, og
dermed øge nøjagtigheden af vores data og muliggøre bestemmelse af mindre
planeter, med mere velbestemte parametre.
36

42. 5 Konklusion
Einstein betragtede mikrolinser som et spøjst fysisk resultat af relativitetste-
orien, som dog ikke vil kunne observeres i praksis.
Vi har i denne opgave set, at dette ikke er sandt.
Jeg har indledningsvist, i afsnit 1, diskuteret, hvordan mikrolinser kan an-
vendes, og bliver anvendt til at nde planeter uden for vores solsystem, og vil
gør det muligt at bestemme planeter med Jordlignende masser, som bender
sig i deres stjernes habitable zone, altså området hvor ydende vand kan eksi-
stere. Altså planeter hvor nogle af de grundlæggende betingelser for eksistensen
af liv kan fornedes.
Vi har dernæst set at der, specielt for at opdage små planeter, kræves en
høj nøjagtighed af fotometriske målinger.
Derfor har vi kigget på, hvordan disse fotometriske målinger kan forbedres
ved at anvende en anderledes tilgang til fotometriske målinger.
Først har vi undersøgt MiNDSTEp pipelinen. Denne anvendes i dag på det
danske 1.54 m teleskop på La Silla til at detektere exoplaneter. Pipelinen benyt-
ter sig af simpel blændefotometri, som viser sig at være problematisk i de meget
stjernetætte felter, vi er nødsaget til at observere for at øge sandsynligheden
for at nde mikrolinsingsfænomener.
Pipelinens problemer er, at blændefotometrien giver resultater med meget
varierende spredning fra felt til felt, og at programmet også giver varierende
kvalitet af data, alt efter hvilke inputs man anvender.
Pipelinen har vi dernæst sammenlignet med DAOPHOT, der er et program,
specikt designet til at lave fotometri i stjernetætte felter. DAOPHOT anven-
der en anden form for fotometri, nemlig PSF-fotometri hvor man gennem ts
til punkspredningsfunktioner opnår måling af stjernernes ux.
Vi har her set at spredningerne på DAOPHOTs lyskurver er op til halvt så
store som pipelinens. Den mindst detekterbar planetmasse, med mikrolinser, er
proportionalt med målingernes sigal-støj forhold i anden, som vi har set i afsnit
4.2. Vi kan altså ved at anvende DAOPHOT principielt observere planeter
med masser som er 4 gange så små, som med den nuværende pipeline. Da
vores interesse primært ligger i at nde små planeter, som kunne ligne Jorden,
er en minimering af spredningen en meget vigtig forbedring, som bør på sigt
efterstræbes, eksempeltivst ved at implementere DAOPHOT.
Vi har gennem sammenligning af disse to programmer set, at PSF fotome-
trien udført gennem DAOPHOTgenerelt er en bedre løsning. Med DAOPHOT
kan følgende forbedringer opnås:
• Mere nøjagtig fotometri, med mindre spredning, og dermed større mulig-
hed for at bestemme mindre planeter.
• Et mere robust program, hvor spredningen ikke varierer synderligt fra
objekt til objekt.
• En bedre mønstergenkendelse, og dermed bedre sikkerhed for at foretage
målinger af samme objekt for alle billeder.
• Mindre afhængighed af brugerinputs, som påvirker fotometrien.
37

43. • Et større antal stjerner til at anvende som reference til at foretage den
dierentielle fotometri, som dermed kan sorteres efter bestemte kriterier,
heriblandt størrelsesklasse, som vi har set betyder meget for spredningen.
Alt dette kommer dog med et øget tidsforbrug. Dette betragter jeg dog som
en lille pris at betale, for at opnå bedre fotometri. Jeg opfordrer derfor til at
implementere DAOPHOT eller lignende systemer i den nuværende pipeline,
for at sikre en så god fotometri som muligt. En anden mulighed er at anvende
DAOPHOT eller lignende efter alle data er blevet optaget til at foretage en
endelig fotometri.
Gennem præcist software og bedre udstyr, er det ikke utænkeligt at vi inden
for en nær fremtid kan begynde at observere planeter, som for alvor kan have
samme karakteristika som Jorden. Vi vil hermed kunne se, hvorvidt Jorden er
unik, eller om eksistensen af lignende planeter er meget udbredt i galaksen.
Dette vil dermed kunne give os et godt indicium til svaret på et af de største
spørgsmål, som har naget astronomerne siden Hershel og Schiapparelli:
Er der nogen andre derude?
38

44. Litteratur
J.-P. Beaulieu, D. P. Bennett, P. Fouqué, A. Williams, M. Dominik, U. G. Jør-
gensen, D. Kubas, A. Cassan, C. Coutures, J. Greenhill, K. Hill, J. Menzies,
P. D. Sackett, M. Albrow, S. Brillant, J. A. R. Caldwell, J. J. Calitz, K. H.
Cook, E. Corrales, M. Desort, S. Dieters, D. Dominis, J. Donatowicz, M. Hof-
fman, S. Kane, J.-B. Marquette, R. Martin, P. Meintjes, K. Pollard, K. Sahu,
C. Vinter, J. Wambsganss, K. Woller, K. Horne, I. Steele, D. M. Bramich,
M. Burgdorf, C. Snodgrass, M. Bode, A. Udalski, M. K. Szyma«ski, M. Ku-
biak, T. Wieckowski, G. Pietrzy«ski, I. Soszy«ski, O. Szewczyk, Š. Wyrzy-
kowski, B. Paczy«ski, F. Abe, I. A. Bond, T. R. Britton, A. C. Gilmore, J. B.
Hearnshaw, Y. Itow, K. Kamiya, P. M. Kilmartin, A. V. Korpela, K. Masuda,
Y. Matsubara, M. Motomura, Y. Muraki, S. Nakamura, C. Okada, K. Oh-
nishi, N. J. Rattenbury, T. Sako, S. Sato, M. Sasaki, T. Sekiguchi, D. J.
Sullivan, P. J. Tristram, P. C. M. Yock og T. Yoshioka, Discovery of a cool
planet of 5.5 Earth masses through gravitational microlensing. Nature, 439,
437440, 2006, doi:10.1038/nature04441.
Hale Bradt, Astronomy Methods, Cambridge, 2004, ISBN 0-521-53551-4.
Ue Gråe Jørgensen, Searching for habitable exoplanets by using combined mi-
crolensing and radial velocity facilities. Physica Scripta Volume T, 130(1),
014008+, 2008, doi:10.1088/0031-8949/2008/T130/014008.
Frank Grundahl, CCD photometry of disk globular clusters, ph.d.-afhandling,
University of Aarhus, Ny Munkegade, DK-8000, 1996.
Tobias Cornelius Hinse, MiNDSTEp Photometry Pipeline at the Dansih 1.54 m
Telescope, Manual and HowTo Report, 1. udgave, 2008.
IYA-2009, International Year of Astronomy 2009, 2009. URL http://www.
astronomy2009.org/.
Ue Gråe Jørgensen, Tobias Cornelius Hinse og Hans Kjeldsen, Detection of
low-mass extrasolar planets with the SONG telescope network, i Review Ma-
terial, SONG Concept Design Review 1-2 March 2007, 2007.
S. Mao og B. Paczynski, Gravitational microlensing by double stars and pla-
netary systems. The Astrophysical Jornal, 374, L37L40, 1991, doi:10.1086/
186066.
M. Mayor og D. Queloz, A Jupiter-Mass Companion to a Solar-Type Star.
Nature, 378, 355+, 1995, doi:10.1038/378355a0.
Mik.Mat-KU, Mikkel Mathiasens hjemmeside på KU, 2009. URL http://www.
astro.ku.dk/~mikmat/testresults/.
Penny D. Sackett, Searching for Unseen Planets via Occultation and Micro-
lensing, i J.-M. Mariotti og D. Alloin, red., NATO ASIC Proc. 532: Planets
Outside the Solar System: Theory and Observations, pp. 189+, 1999.
P. B. Stetson, DAOPHOT - A computer program for crowded-eld stellar pho-
tometry. Astronomical Society of the Pacic, Publications, 99, 191222, 1987,
doi:10.1086/131977.
39

45. A. Udalski, M. Jaroszy«ski, B. Paczy«ski, M. Kubiak, M. K. Szyma«ski,
I. Soszy«ski, G. Pietrzy«ski, K. Ulaczyk, O. Szewczyk, Š. Wyrzykowski,
G. W. Christie, D. L. DePoy, S. Dong, A. Gal-Yam, B. S. Gaudi, A. Gould,
C. Han, S. Lépine, J. McCormick, B.-G. Park, R. W. Pogge, D. P. Ben-
nett, I. A. Bond, Y. Muraki, P. J. Tristram, P. C. M. Yock, J.-P. Beaulieu,
D. M. Bramich, S. W. Dieters, J. Greenhill, K. Hill, K. Horne og D. Ku-
bas, A Jovian-Mass Planet in Microlensing Event OGLE-2005-BLG-071.
The Astrophysical Journal, 628, L109L112, 2005, doi:10.1086/432795.
40