Defesa de dissertação

Outline Motiva¸cão Objetivos Implementa¸cão Numérica Mark × não-mark Infla¸cão não-isentrópica Comentários Finais
Processos Estocásticos em Teoria de Campos e
Aplica¸cão ao Universo Inflacionário
Leandro Alexandre da Silva
Orientador: Prof. Dr. Rudnei O. Ramos
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
IFADT - PPGF
12/03/2009
Processos Estocásticos em Teoria de Campos e Aplica¸cão ao Universo Inflacionário Leandro Alexandre da Silva

Trabalhos resultantes
R. L. S. Farias, R. O. Ramos and L. A. da Silva, Numerical
Solutions for non-Markovian Stochastic Equations of Motion
Comp. Phys. Comm. 180, 574 (2009).
R. L. S. Farias, R. O. Ramos and L. A. da Silva, Langevin
simulations with colored noise and non-Markovian dissipation,
Braz. J. Phys. 38,499 (2008).
R. L. S. Farias, L. A. da Silva and R. O. Ramos,
Non-Markovian stochastic Langevin equations: Markovian and
non-Markovian dynamics, submetido para publica¸cão.
R. L. S. Farias, L. A. da Silva and R. O. Ramos, Inflation with
NonMarkovian Dissipation and Noise: Conditions for Warm
Inflation , em fase final de reda¸cão.

1 Motiva¸cão
2 Objetivos
3 Implementa¸cão Numérica
4 Dinâmica Não-markoviana × markoviana
5 Aplica¸cão à infla¸cão não-isentrópica
6 Comentários Finais

Um Breve Histórico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistemática
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸cão bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1908: Abordagem focada na trajetória da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclusão de um termo estocástico na segunda lei
de Newton

Um Breve Histórico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistemática
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸cão bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1908: Abordagem focada na trajetória da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclusão de um termo estocástico na segunda lei
de Newton
Abordagens equivalentes
Abordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuos
Eq. de Langevin → apenas um caso particular de eq.
diferencial estocástica
Aplica¸cões de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica,
Economia...

Importância dentro da F´ısica
Por que equa¸cões tipo Langevin são importantes na F´ısica?

Importância dentro da F´ısica
Por que equa¸cões tipo Langevin são importantes na F´ısica?
Sistemas na natureza = isolados
↓
Intera¸cão com um meio, p.ex um banho térmico
↓
Intera¸cão conduz à dissipa¸cão e efeitos estocásticos
↓
Dinâmica via eq. tipo Langevin

Universo Inflacionário
O modelo cosmológico padrão (MCP)
Princ´ıpio Cosmológico:
Homogeneidade
Isotropia
Elemento de linha
ds2
= dt2
− a(t)2 dr2
1 − kr2
+ r2
(dθ2
+ sin2
θdφ2
)
Gµν =
8π
m2
pl
Tµν
νTµν
= 0

Equa¸c˜oes fundamentais do MCP:
Equa¸c˜ao de Friedmann:
H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Equa¸cão de Acelera¸cão:
ä
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
Equa¸cão de Estado:
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
Conserva¸c˜ao de Energia
˙ρi = −3H(ρi + pi )
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi )
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi /ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi

H2
=
8π
3m2
pl i
ρi −
κ
a2
˙ρi = −3H(ρi + pi )
Parˆametro de densidade
Ωi = ρi /ρc
¨a
a
= −
4π
3m2
pl i
(1 + 3ωi )ρi
pi = ωi ρi
Densidade Cr´ıtica
ρc =
3m2
pl
8π
H2

Id´eias B´asicas:
Corrige falhas do MCP

Idéias Básicas:
Problema: ä(t) > 0
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada

Idéias Básicas:
ä
a
= −
4π
3m2
pl
(ρ + 3p) → ω < −
1
3
Solu¸cão: usar um campo escalar (inflaton) para prover a
expansão acelerada
Transi¸cão de fase põe o inflaton em equil´ıbrio instável:

Infla¸cão Fria:
Inflaton é um campo livre

Infla¸cão Fria:
do MCP: fase de radia¸cão precede a domina¸cão por matéria

Infla¸cão Fria:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir
à domina¸cão por radia¸cão

Infla¸cão Fria:
Problema: sem intera¸cão → sem radia¸cão
Solu¸cão: postula-se uma fase de reaquecimento para conduzir
à domina¸cão por radia¸cão
Equa¸cões básicas:
¨φ(t) + 3H(t) ˙φ = −V (φ)
ρφ =
1
2
˙φ2
+ V (φ) , pφ =
1
2
˙φ2
− V (φ)
ωφ ≡
1
2
˙φ2
− V (φ)
1
2
˙φ2 + V (φ)
.

Infla¸cão Fria:
Quanta infla¸cão?
N ≡ ln
a(tf )
a(ti )
> 60 ,

Infla¸cão Fria:
Quanta infla¸cão?
N ≡ ln
a(tf )
a(ti )
> 60 ,
↓
Restri¸cões sobre a forma do potencial:
(φ) ≡
m2
pl
16π
V
V
2
1 ,
|η(φ)| =
m2
pl
8π
V
V
1 .

Inﬂa¸c˜ao Fria:
Eqs aproximadas:
3H ˙φ = −V (φ) ,
H2
=
8π
3m2
pl
V (φ) .
V (φ) =
m2
2
φ2
.
a(t) = a0 exp
4π
3
m
mpl
φ0 −
mmpl t
√
48π
t .

Infla¸cão não-isentrópica (warm inflation):

Idéias básicas são as mesmas
Inflaton interage com outros campos → produ¸cão de radia¸cão

Não necessita de uma fase de reaquecimento
Transi¸cão “suave” para a fase de radia¸cão

Não necessita de uma fase de reaquecimento
Transi¸cão “suave” para a fase de radia¸cão
A. Berera and L. Z. Fang,Phys. Rev. Lett. 74, 1912 (1995):
dinâmica do inflaton → equa¸cão tipo Langevin
¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,
ä = −
8π
3m2
pl
ρr + ˙φ2
− V (φ) a ,
˙ρφ = −3
˙a
a
˙φ2
− Υ ˙φ2
+ ν ˙φ , ˙ρr = −4
˙a
a
ρr + Υ ˙φ2
− ν ˙φ .

(Berera, Moss e Ramos, Rep. Prog. Phys.72, 026901 (2009))

¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,

¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,
A equa¸c˜ao de movimento derivada microscopicamente possui
essa forma?

¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,
A equa¸cão de movimento derivada microscopicamente possui
essa forma?
NÃO!!
Eq. derivada via TQC: eq. de Langevin generalizada
Eq. fenomenológica: tipo Langevin

Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸cão-dissipa¸cão
clássico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )

Modelos de intera¸cão sistema-banho
Problema: deriva¸cões mais realistas → dissipa¸cão não-Markoviana
(memória) e ru´ıdo colorido

Exemplo:
Modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2

Exemplo:
Modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:

¨q(t) +
t
0
dt Λ(t − t )˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t)
Λ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸cão não-Markoviana (kernel não-local Λ(t − t ), possui
memória da história passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTΛ(t − t )

Intera¸cão sistema-banho em teoria de campos
Exemplo:
S[φ, χ, σ] = d4
x
1
2
(∂µφ)2
−
1
2
m2
φφ2
−
λ
4!
φ4
+
1
2
(∂µχ)2
−
1
2
m2
χχ2
+
1
2
(∂µσ)2
−
1
2
m2
σσ2
−
g2
2
φ2
χ2
− f χσ2
.
φ → campo clássico em cuja dinâmica estamos interessados
χ → campo intermediário que se acopla à σ e φ
σ → campo em equil´ıbrio térmico à temperatura T

Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.

Procedimento: integrar funcionalmente os campos χ e σ.
Situa¸c˜oes fora do equil´ıbrio → Formalismo de tempo real
Seﬀ [φ] = S[φ] + ∆S[φ] ,

A¸c˜ao efetiva em termos de φc = 1
2φ+ + 1
2φ− e φ∆ = φ+ − φ−:
Seﬀ [φ∆, φc] = S[φ∆, φc]
− g2
d4
xφ∆(x)φc(x)
d3k
(2π)3
1 + 2nχ
ωχ
−
g4
2
d4
xd4
x φ∆(x)φc(x)φ2
∆(x )
+ 4φ∆(x)φc(x)φ2
c(x ) Im G++
χ
2
x,x
θ(t − t ) +
+ ig4
d4
xd4
x φ∆(x)φc(x)φ∆(x )φc(x )Re G++
χ
2
x,x
,

G++
χ
2
x,x
≡
d3k
(2π)3
eik(x−x )
×
d3q
(2π)3
G++
χ q, t − t G++
χ q − k, t − t ,
G++
χ (q, t − t ) → propagador f´ısico de χ que incorpora as
corre¸c˜oes de auto-energia, devido a primeira integra¸c˜ao funcional
sobre σ.
G++
χ q, t − t
e−Γχ(q)|t−t |
ωχ (q)
× (1 + 2nχ) cos ωχ t − t − i sin ωχ t − t
+ 2βΓχ (q) nχ (1 + nχ) sin ωχ t − t + O
Γ2
χ
T2

Γχ (q) → largura de decaimento (χ → 2σ) vindo do termo de
intera¸c˜ao entre χ e σ
Γχ (q) = −
ImΣ (q)
2ωχ (q)
,

Γχ (q) → largura de decaimento (χ → 2σ) vindo do termo de
intera¸cão entre χ e σ
Γχ (q) = −
ImΣ (q)
2ωχ (q)
,
Termo imaginário na a¸cão efetiva → reescrever em termos de um
campo ξ estocástico (Hubbard-Stratonovich):
Distribui¸cão gaussiana
P[ξ] = N−1
exp −
1
2
d4
xd4
x ξ(x) 2g4
Re G++
χ
2
x,x
−1
ξ(x ) .
Fun¸cão de correla¸cão
ξ(x)ξ(x ) = 2g4
Re G++
χ
2
x,x
,

Equa¸c˜ao de Movimento Efetiva
δ
δφ∆
Seﬀ [φ∆, φc, ξ]
φ∆=0
= 0 .

Equa¸c˜ao de Movimento Efetiva
δ
δφ∆
Seﬀ [φ∆, φc, ξ]
φ∆=0
= 0 .
∂2
t − 2
+ m2
φ +
λ
6
φ2
c + g2 d3k
(2π)3
1 + 2n (ωχ)
ω (k)
φc (x)
−
φc(x)
2
d3
x φ2
c(x , t)Kχ(x − x , 0)
+φc(x) d3
x
t
−∞
dt φc(x , t ) ˙φc(x , t )Kχ(x − x , t − t )
= φc (x) ξ (x) .

Aproxima¸cão de campo homogêneo:
d2φc(t)
dt2
+
dVeff(φc)
dφc
+ φc(t)
t
−∞
dt φc(t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )
= φc (t) ξ (t) ,
onde
Veff(φc) =
1
2
m2
φφ2
c +
λ
4!
φ4
c
+
g2
2
φ2
c
d3k
(2π)3
1 + 2n (ωχ)
ωχ (k)
−
g4
4
φ4
c
d3k
(2π)3
1
4ω2
χ(k)
1 + 2nχ
2ω(k)
+ βnχ(1 + nχ) .

Kernel de ﬂutua¸c˜ao:
ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q
(2π)3
1
4ω2
χ(q)
{2nχ [1 + nχ] +
+ [1 + 2nχ + 2n2
χ] cos 2ωχ|t − t | +
+ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×
× e−2Γχ(q)|t−t |
+ O g4
Γ2
χ
T2
≡ N(t, t ) .

Kernel de flutua¸cão:
ξ(t)ξ(t ) = 2g4 d3q
(2π)3
1
4ω2
χ(q)
{2nχ [1 + nχ] +
+ [1 + 2nχ + 2n2
χ] cos 2ωχ|t − t | +
+ 2βΓχ(q)nχ[1 + nχ][1 + 2nχ] sin[2ωχ|t − t |] ×
× e−2Γχ(q)|t−t |
+ O g4
Γ2
χ
T2
≡ N(t, t ) .
Termo exponencial puro + termo oscilatório
Trabalharemos no regime de altas temperaturas (T ω)

Caso a intera¸cão fosse gφχ2,
d2φc(t)
dt2
+
dVeff(φc)
dφc
+
t
−∞
dt ˙φc(t )Kχ(t − t ) = ξ (t) .
Portanto,
Equa¸cão de movimento efetiva geral:
d2φc(t)
dt2
= −
dVeff(φc)
dφc
− φn
c (t)
t
−∞
dt φn
c (t ) ˙φc(t )Kχ(t − t )
+ φn
c (t) ξ (t) ,
n = 0: ru´ıdo aditivo
n = 1: ru´ıdo multiplicativo

Primeira quest˜ao:
Esse tipo de equa¸c˜ao pode ser facilmente resolvida?

Primeira quest˜ao:
Resposta: N˜ao!

Primeira questão:
Resposta: Não!
↓
Aproxima¸cão markoviana

Aproxima¸cão Markoviana
Equa¸cão de movimento não-markoviana:
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φ(t)2
φ(t) + φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t )
= φn
(t)ξ(t) .
Aproxima¸cão markoviana:
φn
(t)
t
t0
dt K(t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) φ2n
(t) ˙φ(t)
t
t0→−∞
dt K(t − t )
→ Q φ2n
(t) ˙φ(t) .
Equa¸cão de movimento markoviana:
¨φ(t) + Q φ2n
(t) ˙φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φn
(t) ξ(t)

Questões que surgem:
É poss´ıvel desenvolver uma abordagem numérica para estudar
a equa¸cão de movimento não-markoviana?
Integradores padrões (p.ex Runge-Kutta) podem ser usados
para tratar esse problema estocástico?
A aproxima¸cão markoviana é suficiente para descrever a
dinâmica do sistema?
A escolha do conjunto de parâmetros do sistema-banho
determina o quão boa é a aproxima¸cão?
A discrepância entre as duas dinâmicas (caso exista) é
dependente do tempo?

Tipos de ru´ıdo
KOU(t − t ) ≡ Kernel de Ornstein-Uhlenbeck: exponencial
pura
KH(t − t ) ≡ Kernel harmˆonico: exponencial multiplicando
termo oscilat´orio

Tipos de ru´ıdo
pura
termo oscilat´orio
KOU(t − t ) + KH(t − t ) = Kernel de teoria de campos

Tipos de ru´ıdo
pura
termo oscilat´orio
KOU(t − t ) + KH(t − t ) = Kernel de teoria de campos
Equa¸c˜ao de movimento mais geral:
¨φ(t) + V (φ) =
1
n=0 l
φn
(t) ξl (t) −
t
t0
dt Kl (t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) .
Ru´ıdo colorido:
ξl (t)ξl (t ) = TKl (t − t ) ,

Tipos de ru´ıdo
Caso harmônico:
Parte estacionária da solu¸cão de
¨ξH(t) = −2γ ˙ξH(t) − m2
ξH(t) + m2
2TQζ(t) , (1)
com
ζ(t) = 0
ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .
↓
KH(t−t ) =
Qm2
2γ
e−γ(t−t )
cos[Ω1(t − t )] +
γ
Ω1
sin[Ω1(t − t )] ,

Tipos de ru´ıdo
Caso OU:
Parte estacion´aria da solu¸c˜ao de
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQζ(t) , (2)
com
ζ(t) = 0
ζ(t)ζ(t ) = δ(t − t ) .
↓
KOU(t − t ) = γQe−γ(t−t )
,

Novas variáveis
Definindo
wln(t) ≡ −
t
t0
dt Kl (t − t )φn
(t ) ˙φ(t ) ,
a equa¸cão de movimento se torna
¨φ(t) + m2
φφ(t) +
λ
6
φ3
(t) =
1
n=0 l
[φn
(t) (ξl (t) + wln(t))] . (3)
Definindo outra variável
uHn(t) ≡
t
0
dt ˙KH(t − t ) − 2γKH(t − t ) φn
(t ) ˙φ(t ) ,
e tomando sua derivada e de wln(t), particularizando para os casos
n = 0, n = 1, l = OU e l = H, e juntando as equa¸cões diferenciais
para os termos de ru´ıdo ξOU e ξH, obtemos:

Sistema local
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξH + wH+ + ξ0U + wO+
+ φ[ξH + wHX + ξOU + wOX ]
˙wO+ = −γwO+ − KOU(0)y
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙wOX = −γwOX − KOU(0)φy
˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy
˙uH+ = −m2
wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙uHX = −m2
wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ
˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ

Sistema local
Em resumo:

Sistema local
Em resumo:
Reescrevemos a equa¸cão não-markoviana original
em termos de um sistema de equa¸cões diferenciais
markovianas!

Testes da abordagem numérica
Solu¸cão anal´ıtica via transformada de Laplace:
Desligar a intera¸cão (λ = 0).
Considerar o ru´ıdo como sendo aditivo, somente.

¨φ(t) + m2
φφ(t) +
t
0
dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .

¨φ(t) + m2
φφ(t) +
t
0
dt K(t − t ) ˙φ(t ) = ξ(t) .
L{φ(t)} = ˜φ(s) ≡
∞
0
dt exp(−st)φ(t) ,
φ(t) = L−1
{˜φ(s)} = φ(t) +
t
0
dt g(t − t )ξ(t ) ,

onde
ϕ(t) = L−1



˙φ(0) + s + ˜K(s) φ(0)
s2 + m2 + s ˜K(s)



,
e
g(t − t ) = L−1 1
s2 + m2 + s ˜K(s)
.
Tomando a m´edia, φ(t) = ϕ(t) e
φ2
(t) = ϕ2
(t) + T
t
0
dt g(t − t )
t
0
dt g(t − t )K(t − t ) .

Caso OU:(a) para γ = 0, 5, (b) para γ = 1, 0 e (c) para γ = 5, 0

Caso H:(a) para γ = 0, 1, (b) para γ = 0, 3 e (c) for γ = 0, 5.

φ2
(t) : caso OU e H
Figure: Evolu¸cão temporal para φ2
(t) no caso OU (painel esquerdo) e
harmônico (painel direito). Os parâmetros utilizados foram: γ = 0, 5,
m = 1, 0, mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

∆φ: caso OU e H
∆φ = ϕanalitico − ϕnumerico
Figure: A diferen¸ca ∆φ no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico
(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,
mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

∆φ2
: caso OU e H
∆φ2
= φ2
analitico − φ2
numerico .
Figure: A diferen¸ca ∆φ2
no caso OU (painel esquerdo) e harmˆonico
(painel direito). Os parˆametros usados foram: γ = 0, 5, m = 1, 0,
mφ = 1, 0, Q = 1, 0 e T = 1, 0.

Compara¸cão entre as dinâmicas markoviana e
não-markoviana
Quatro situa¸cões distintas:
ru´ıdo harmônico aditivo
ru´ıdo OU aditivo
ru´ıdo harmônico multiplicativo
ru´ıdo OU multiplicativo
Equa¸cão de movimento markoviana:
¨φ(t) + Q φ2n
(t) ˙φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φn
(t) ξ(t) ,

Caso OU aditivo:
Equa¸c˜ao de Movimento
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= ξOU(t) −
t
0
dt KOU(t − t ) ˙φ(t ) ,
correspondente sistema local
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξ0U + wO+
˙ξOU = −γ ξOU − 2TQζ .

Caso OU aditivo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0

Caso OU aditivo: Teﬀ
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso harmˆonico aditivo:
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= ξH(t) −
t
0
dt KH(t − t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξH + wH+
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙uH+ = −m2
wH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ .

Caso harmˆonico aditivo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5

Caso harmˆonico aditivo: Teﬀ
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso OU multiplicativo:
¨φ(t)+m2
φφ+
λ
6
φ3
= φ(t) ξOU(t) −
t
0
dt KOU(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ φ[ξOU + wOX ]
˙wOX = −γwOX − KOU(0)φy

Caso OU multiplicativo: (a) γ = 0, 5, (b) γ = 1, 0 e (c) γ = 5, 0

Caso OU multiplicativo: Teﬀ
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Caso harmˆonico multiplicativo:
¨φ(t) + m2
φφ +
λ
6
φ3
= φ ξH(t) −
t
0
dt KH(t − t )φ(t ) ˙φ(t ) ,
˙φ = y
˙y = −m2
φφ −
λ
6
φ3
+ φ[ξH + wHX ]
˙wHX = uHX − 2γwHX − KH(0)φy
˙uHX = −m2
wHX + ˙KH(0)φy − 2γKH(0)φy
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
ξH + m2
2TQζ .

Caso harmˆonico multiplicativo: (a) γ = 0, 1, (b) γ = 0, 3 e (c) γ = 0, 5

Caso harmˆonico multiplicativo: Teﬀ
Tef(t) = ˙φ2
(t) .

Aplica¸cão à infla¸cão não-isentrópica
Equa¸cão de movimento efetiva não-markoviana
¨φ + 3H ˙φ + V (φ) = ξ −
t
t0
dt K(t − t ) ˙φ(t ) .
K(t − t ) =
Qm2
χ
2γ
e−γ(t−t )
cos[Ω1(t − t )]
+
γ
Ω1
sin[Ω1(t − t )] + γQe−γ(t−t )
,
V (φ) =
m2
φ
2
φ2
+
λ
4!
φ4

¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,
com 2Q ≡ Υ e 2
√
2TQη ≡ ν, recuperamos a forma da equa¸cão
fenomenológica:
Equa¸cão de movimento markoviana
¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,

¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,
com 2Q ≡ Υ e 2
√
fenomenológica:
¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,
Compara¸cão da dinâmica markoviana e não-markoviana → mesmo
procedimento + equa¸cões cosmológicas

¨φ + 3H ˙φ + V (φ) + 2Q(t) ˙φ = 2 2TQη ,
com 2Q ≡ Υ e 2
√
fenomenológica:
¨φ + [3H + Υ] ˙φ + V (φ) = ν ,
Compara¸cão da dinâmica markoviana e não-markoviana → mesmo
procedimento + equa¸cões cosmológicas
Parâmetros:
Υ ≈ Cg2
h4 T3
m2
χ
, γ ≈
h2
32π
mχ , mχ > H
(Berera, Moss e Ramos, Rep. Prog. Phys.72, 026901 (2009))

Sistema dinˆamico - caso n˜ao-markoviano
˙a = A
˙A = −
8π
3m2
pl
ρr + y2
− V (φ) a
˙y = −3
A
a
− m2
φφ −
λ
6
φ3
+ ξH + wH+ + ξ0U + wO+
˙wH+ = uH+ − 2γwH+ − KH(0)y
˙uH+ = −m2
χwH+ + ˙KH(0)y − 2γKH(0)y
˙ξH = zH
˙zH = −2γzH − m2
χξH + m2
χ 2TQζ

Sistema dinˆamico - caso n˜ao-markoviano
˙ρr = −4
A
a
ρr − y [wH+ + wO+ + ξH + ξOU]
˙ρφ = −3
A
a
y2
+ y [wH+ + wO+ + ξH + ξOU] .

Sistema dinˆamico - caso markoviano
˙φ = y
˙y = − 3
A
a
+ Υ ˙φ − V (φ)
˙a = A
˙A = −
8π
3m2
pl
ρr + y2
− V (φ) a
˙ρφ = −3
A
a
y2
− Υy2
+ yν
˙ρr = −4
A
a
ρr + Υy2
− yν .

Evolu¸c˜ao temporal do inﬂaton: mχ = (a) 50H(0), (b) 150H(0) e (c) 250H(0)

Temperatura efetiva: mχ = (a) 50H(0), (b) 150H(0) e (c) 250H(0)

Comentários Finais
a equa¸cão de movimento não-markoviana!

Runge-Kutta usual nos oferece uma precis˜ao muito boa.

Qualidade da aproxima¸cão markoviana é extremamente
dependente dos parâmetros utilizados e do tipo de ru´ıdo que
caracteriza seu problema

Mesmo num modelo microscópico onde a varia¸cão dos
parâmetros é bem restrita, a qualidade da aproxima¸cão
markoviana é dependente desse conjunto de parâmetros

Mesmo num modelo microscópico onde a varia¸cão dos
parâmetros é bem restrita, a qualidade da aproxima¸cão
markoviana é dependente desse conjunto de parâmetros
A utiliza¸cão da aproxima¸cão markoviana deve ser analisada
caso a caso

Coment´arios Finais - Passos futuros
Implementar a parte espacial

Implementar caso quântico do teorema de
flutua¸cão-dissipa¸cão

Implementar caso quântico do teorema de
flutua¸cão-dissipa¸cão
Implementar o caso multiplicativo da infla¸cão não-isentrópica

Obrigado pela aten¸c˜ao!!

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