1. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Efeitos de Mem´oria em Teoria de Campos
Leandro Alexandre da Silva
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de F´ısica Te´orica
Semin´ario dos Alunos do PPGF
29/01/2009
3. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Um Breve Hist´orico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1910: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda lei
de Newton
4. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Um Breve Hist´orico
Origens da F´ısica fora do equil´ıbrio:
1827: Movimento Browniano observado de forma sistem´atica
(R. Brown)
1904: Primeira descri¸c˜ao bem fundamentada (A. Einstein) →
eq. Fokker-Planck
1910: Abordagem focada na trajet´oria da part´ıcula (P.
Langevin) → Inclus˜ao de um termo estoc´astico na segunda lei
de Newton
Abordagens equivalentes
Abordagens gerais → Processos Markovianos e cont´ınuos
5. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
6. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...
7. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Movimento Browniano
Eq. de Langevin para uma part´ıcula browniana de massa m:
dp
dt
= −
∂V
∂x
− ηp + R(t)
dx
dt
=
p
m
,
Propriedades do ru´ıdo branco ⇒ Teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao
cl´assico
R(t) = 0 e R(t)R(t ) = 2kBTηδ(t − t )
Aplica¸c˜oes de eqs. tipo Langevin: Biologia, Qu´ımica, Economia...
Movimento Browniano → apenas um caso particular
8. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Por que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?
9. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Por que equa¸c˜oes tipo Langevin s˜ao importantes na F´ısica?
Sistemas na natureza = isolados
↓
Intera¸c˜ao com um meio, p.ex um banho t´ermico
↓
Intera¸c˜ao conduz `a dissipa¸c˜ao e efeitos estoc´asticos
↓
Dinˆamica via eq. tipo Langevin
10. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Problema: deriva¸c˜oes mais realistas → termos n˜ao-Markovianos e
ru´ıdo colorido
Ex: modelo de Caldeira-Leggett (mec. estat´ıstica)
Sistema (q) em intera¸c˜ao com um banho (xα, α = 1, . . . , N) :
H =
p2
2
+ V (q) +
1
2
N
α=1
p2
α
mα
+ mαωα xα −
cα
mαω2
α
F(q)
2
Tomando a intera¸c˜ao sistema-banho como sendo linear (∼ qxα
⇒ F(q) = q e eliminando os graus de liberdade do banho:
11. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
¨q(t) +
t
0
dt γ(t − t )˙q(t ) + V [q(t)] = ξ(t) (1)
γ(t − t ) = Θ(t − t )
1
M
N
α=1
c2
α
mαω2
α
cos(ωαt)
⇒ Equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana (kernel n˜ao-local γ(t − t ), possui
mem´oria da hist´oria passada) com ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ(t) ρ
(0)
B
= 0, ξ(t)ξ(t ) ρ
(0)
B
= kBTγ(t − t )
12. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Intera¸c˜oes sistema-banho mais gerais → equa¸c˜oes dinˆamicas
mais complicadas
⇓
ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸c˜ao dependente do sistema
13. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Intera¸c˜oes sistema-banho mais gerais → equa¸c˜oes dinˆamicas
mais complicadas
⇓
ru´ıdo multiplicativo e dissipa¸c˜ao dependente do sistema
Modelo an´alogo em teoria de campos:
↓
Modelo de 2 ou mais campos em intera¸c˜ao: interesse na dinˆamica
de um dos campos (sistema) ⇒ eliminar outros campos (banho)
via integra¸c˜ao funcional
14. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Exemplo:
L =
1
2
(∂µφ)2
−
1
2
m2
φφ2
−
λ
4!
φ4
+
1
2
(∂µχ)2
−
1
2
m2
χχ2
−
g2
4
φχ2
+ Lσ[χ, σj ]
Lσ[χ, σj ] inclui vari´aveis de campo adicionais que podem estar
acopladas a χ.
φ → campo cl´assico cuja dinˆamica estamos interessados
χ → campo quˆantico termalizado `a alguma temperatura T
A¸c˜ao efetiva para φ determinada integrando o campo χ
15. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Equa¸c˜ao de movimento resultante (Berera and Ramos, PRD63,
103509 (2001), Gleiser and Ramos, PRD50, 2441 (1994)):
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
(2)
onde ξ ´e um ru´ıdo gaussiano e colorido:
ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = N(t, t )
16. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Rela¸c˜ao entre D(t − t ) e N(t − t ): teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao
generalizado no espa¸co de fourier(Berera, Moss and Ramos. PRD76,
083520 (2007)):
N(ω) = 2ω n(ω) +
1
2
D(ω) .
onde n(ω) = [exp(βω) − 1]
−1
.
No regime cl´assico, ω T
2ω [n(ω) + 1/2] → 2T
⇒ reobtemos o teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao cl´assico.
17. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Forma gen´erica do kernel de dissipa¸c˜ao em 0-d:
D(t, t ) = #1 e−τ−1
χ (t−t )
+ e−τ−1
χ (t−t )
#2 cos[mχ(t − t )] + #3 sin[mχ(t − t )]
τχ → tempo de relaxa¸c˜ao do banho t´ermico.
Alterando a intera¸c˜ao sistema-banho (p. ex ∼ φ2χ2) podemos
obter ru´ıdo multiplicativo na equa¸c˜ao de movimento.
18. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Motiva¸c˜ao
Aplica¸c˜oes t´ıpicas para esse tipo de EdM:
Descri¸c˜ao microsc´opica da dinˆamica fora do equil´ıbrio de
campos escalares `a temperatura finita
Transi¸c˜oes de fase −→ f´ısica de QGP e universo primordial
universo inflacion´ario
etc
19. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Quest˜oes a serem respondidas:
Equa¸c˜oes semelhantes `a eq.(2) podem ser facilmente
resolvidas (numericamente)?
Se sim, qual a dinˆamica obtida para o sistema?
Essa equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana pode ser bem aproximada por
uma equa¸c˜ao Markoviana?
20. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Aproxima¸c˜ao Local (Markoviana)
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
⇓
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) + η ˙φc(t) = ξ(t) , (3)
onde
η =
∞
0
dt D(t, t )
ξ = 0 , ξ(t)ξ(t ) = 2kBTηδ(t − t )
21. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Implementa¸c˜ao Num´erica
Equa¸c˜ao integro-diferencial original:
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
22. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Implementa¸c˜ao Num´erica
Equa¸c˜ao integro-diferencial original:
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt D(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
Desenvolver uma abordagem num´erica para essa ELG
↓
Que tipo de ru´ıdo??
23. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Ornstein-Uhlenbeck (OU) Noise
→ Tipo de ru´ıdo bastante comum em sistemas f´ısicos n˜ao-lineares
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t)+
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξOU(t) ,
ξOU(t) ´e um termo de ru´ıdo n˜ao-Markoviano que satisfaz
ξOU(t) = 0 ,
ξOU(t)ξOU(t ) = TDOU(t − t ) . (4)
DOU(t − t ) = γQe−γ(t−t )
. (5)
24. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Ornstein-Uhlenbeck Noise
Pode ser facilmente mostrado que o kernel OU pode ser gerado
por:
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQηOU , (6)
onde ηOU in Eq. (6) ´e um ru´ıdo gaussiano branco que satisfaz
ηOU(t) = 0 ,
ηOU(t)ηOU(t ) = δ(t − t ) , (7)
25. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Ornstein-Uhlenbeck Noise
∂2
t + m2
R +
λ
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
↓
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU
˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)
26. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Ornstein-Uhlenbeck Noise
∂2
t + m2
R +
λ
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DOU(t, t ) ˙φc(t ) = ξ(t) ,
↓
˙φ = y
˙y = −V (φ) + ξOU(t) + WOU
˙WOU (t) = −γWOU − DOU (0) y (t)
˙ξOU(t) = −γ ξOU(t) − 2TQ ηOU (8)
Reescrevemos a equa¸c˜ao n˜ao-Markoviana original em termos de
um sistema local!!
27. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Ru´ıdo harmˆonico
∂2
t + m2
R +
λR
3!
φc(t)2
φc(t) +
∞
t0
dt DH(t, t ) ˙φc(t ) = ξH(t) ,
(9)
onde o kernel n˜ao-local DH (t − t ) ´e dado por
DH(t−t ) = e−γ(t−t )
Qm2
χ
2γ
cos[Ω1(t − t )] +
γ
Ω1
sin[Ω1(t − t )] ,
(10)
e ξH(t) ´e um ru´ıdo gaussiano colorido que satisfaz
ξH(t) = 0 ,
ξH(t)ξH(t ) = TDH(t − t ) . (11)
31. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Teff - caso OU
Tef(t) = ˙φ2
(t) .
32. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Teff - caso harmˆonico
33. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Coment´arios Finais
Estudamos ainda:
EdM com Ru´ıdo Multiplicativo
Aplica¸c˜ao ao universo inflacion´ario
Passos futuros:
Caso quˆantico
Inclus˜ao da parte espacial
34. Outline Motiva¸c˜ao Objetivos Implementa¸c˜ao Num´erica Ornstein-Uhlenbeck Noise Ru´ıdo harmˆonico Coment´arios Finais
Obrigado pela aten¸c˜ao!!