7. convección natural

1. 11-Nov-13
1
Unidad 9.
Convección libre o natural
• Consideraciones físicas
• Ecuaciones gobernantes. Solución de similaridad para flujo laminar
ésobre placa vertical isotérmica
• Transición de flujo laminar a turbulento
• Correlaciones empíricas:
– Placas verticales isotérmicas
– Placas verticales con flujo de calor constante
– Placas inclinadas
– Placas horizontales
– Cilindros horizontales y verticales, flujo externo
– Esferas
– Recintos cerrados. Aplicación a colectores solares inclinados
– Cilindros y esferas concéntricas
• Convección natural y forzada combinadas
Convección libre o natural
• Fuerzas de volumen actúan (generalmente gravitacional) sobre un
fluido en el que existen gradientes de densidad (temperatura)
• Fuerzas de empuje sostienen el movimiento del fluido
• Velocidades más pequeñas que en convección forzada implican
menores coeficientes de transferencia,
– minimiza pérdidas de calor
– reduce costos operativos
– mayores resistencias al flujo de calor Importante en el– mayores resistencias al flujo de calor. Importante en el
diseño o rendimiento de sistemas con TC multimodo.
• Aplicaciones
– HVAC, tuberías, líneas de transmisión, unidades electrónicas,
radiadores, ciencias ambientales

2. 11-Nov-13
2
Isotermas sobre objetos de 2D y 3D obtenidas con un
Interferómetro

3. 11-Nov-13
3
Consideraciones físicas
La transferencia de calor por convección libre se da cuando existe un
gradiente de densidad en el sentido de la gravedad.
convección libre conducción
Consideraciones físicas
Convección libre NO limitada por superficies
forma de pluma (Vi=0) forma de chorro (Vi≠0)

4. 11-Nov-13
4
Consideraciones físicas
u=0 en y=0 y en y ∞
Convección libre limitada por superficies
u=0 en y=0 y en y ∞
Asumimos:
• SS
• 2D
P t t ( l d )
Ecuaciones gobernantes
sT T
T ∞+
• Prop.constantes (evaluadas a )
• g actúa en dirección de x negativa
• Fluido incompresible, pero consideramos efectos
de densidad en F de empuje
Volumen de control diferencial de la CL hidrodinámica:
s
fT ∞
≡
2
Volumen de control diferencial de la CL hidrodinámica:
Ley del mov.de Newton: Suma Fuerzas=Variación de Cant.de Movimiento
Fuerzas Superficiales (α Área): viscosas + presión estática
Fuerzas de Volumen (gravedad ) no son despreciables
gvolumen/fuerza ρ−==Χ

5. 11-Nov-13
5
Ecuaciones gobernantes
2
2
1
g
y
u
x
p
y
u
v
x
u
u −
∂
∂
+
∂
∂
−=
∂
∂
+
∂
∂
ν
ρ
BCM(x)
2
2
y
u
)(
g
y
u
v
x
u
u
0)(ug
x
p
0
y
p
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
=−=
∂
∂
→=
∂
∂
∞
∞
νρρ
ρ
ρ
Fuerza de empuje
BCM, Conv.Libre
BCM(y)
2
2
y
u
)TT(g
y
u
v
x
u
u
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
∞ νβ BCM, Conv.Libre
β: coeficiente de expansión volumétrica
gas perfecto: β=1/T, otros fluidos: Apéndice A
Ecuaciones gobernantes
∂∂ uu
F de empuje modifican el BCM (BM Y BE inalterables)
2
2
2
2
2
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+−=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∞
y
u
c
v
y
T
y
T
v
x
T
u
y
u
)TT(g
y
u
v
x
u
u
y
u
x
u
α
νβ
acopladas
⎠⎝ ∂∂∂∂ ycyyx p
0 (baja velocidad)
Solución: Exacta -> Similitud
Aproximada -> Método Integral

6. 11-Nov-13
6
Similaridad
• Parámetros adimensionales
• BCM Y BE adimensionales
Se define la velocidad de referencia:
• Número de Grashof (adimensional):
= ReL
2 = fuerzas empuje/fuerzas viscosas
con ReL= uo L/ν
• Balances adimensionales :
» Soluciones de la
f m2
0
*y
*u
*x
*u
=
∂
∂
+
∂
∂
forma
2
2
21
2
2
21
1
1
*y
*T
PrGr*y
*T
*v
*x
*T
*u
*y
*u
Gr
*T
*y
*u
*v
*x
*u
*u
/
L
/
L
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
+
∂
∂
Pr),Gr(NuNu LL =

7. 11-Nov-13
7
• Números adimensionales característicos
C ió t l
Efectos combinados de convección natural y forzada
» Convección natural:
» Convección forzada: ReL= u∞ L/ν
GrL/ReL
2 Forma de la solución
Efectos
≈1 Pr)ReGr(NuNu LLL =
comparables
≈1
Convección natural
despreciable
<<1
Convección
forzada
despreciable
>>1
Pr),Re,Gr(NuNu LLL =
Pr),(ReNuNu LL =
Pr),Gr(NuNu LL =
Solución de similaridad
• Condiciones de borde
• Introduciendo la variable de similaridad
• Y la función corriente:
• con
• El BM se satisface automáticamente y los BCM y BE se reducen a 2 EDO
en función de η:

8. 11-Nov-13
8
Solución de similaridad
• con condiciones de borde:
• La solución numérica de estas ecuaciones se muestra en la siguiente
figura
Solución numérica

9. 11-Nov-13
9
La figura anterior puede utilizarse para inferir la forma de una correlación
de transferencia de calor
• Introduciendo la Ley de enfriamiento de Newton y la Ley de Fourier:
• De acuerdo a la figura 9.4b, el gradiente de T se ha reemplazado por
una función del Pr
• Los resultados numéricos se correlacionan con un 0.5% de error con la
función:
• Estas ecuaciones son válidas para Ts>T∞ y Ts<T∞. En este último caso,
el eje x será positivo en dirección de la fuerza de gravedad
• Las propiedades se evalúan a la temperatura de la película:
s
f
T T
T ∞+
≡
2

10. 11-Nov-13
10
Transición de flujo laminar a turbulento
• La amplificación de una perturbación
depende de la magnitud relativa de las
f s d j is s sfuerzas de empuje y viscosas
• Para placas verticales, la transición se
define en función del número de Rayleigh
• Las ecuaciones anteriores se aplican si
• Para flujo turbulento se aplican correlaciones basadas en resultados
experimentales
Ejemplo

11. 11-Nov-13
11
•
(laminar)
De la figura 9.4a para flujo laminar y Pr=0.7 η ≅ 6 y f’ ≅ 2.8 (umáx)
Como , haciendo y=δ, se obtiene el espesor de la CL de
convección natural:
Y la velocidad máxima en la CL laminar
• Convección forzada, u∞=5 m/s
(laminar)
Y por lo tanto:
Lo que indica que los efectos de convección natural son despreciables para
este caso, y el espesor de CL puede obtenerse de la solución exacta
obtenida en la Unidad 7:

12. 11-Nov-13
12
Correlaciones empíricas
Convección natural
• Para geometrías inmersas (flujo externo), las ecuaciones son de la
forma:
Flujo laminar: n=1/4
Flujo turbulento: n=1/3
donde: L es la longitud característiaa de la geometría
Propiedades evaluadas a: s
f
T T
T ∞+
≡
2
Correlaciones
Placas verticales Isotérmicas
Flujo laminar:
• La fuerza de empuje es paralela a la placa
Correlaciones de Churchill y Chu, 1975
104<Ra<109: n=1/4, C=0.59
Flujo turbulento:
Ra>109: n=1/3, C=0.10
Para todo el rango de RaL
Para flujo laminar (RaL< 109)
(mayor precisión)

13. 11-Nov-13
13
Correlaciones
Placas verticales con flujo de calor constante
• Si qs”=constante -> Ts-T∞ varía con x
• Para calcular h se utilizan las mismas correlaciones que para
Ts=constante, pero con Nu promedio y RaL calculados en: ΔTL/2= Ts,L/2-T∞
Metodología de cálculo: utilizar un método iterativo
– suponer ΔTL/2,
– calcular RaL : L /
L
g T L
Ra
β
να
Δ
=
3
2
– calcular h promedio con una correlación,
– calcular ΔTL/2 y repetir el cálculo hasta el orden de error deseado:
– ΔT en cualquier x puede estimarse como:
"
s
L /
q
T
h
Δ =2
/
x L /
x
T . T
L
⎛ ⎞
Δ = Δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 5
21 15
• La expresión anterior surge de asumir para toda la placa:

14. 11-Nov-13
14
Correlaciones
Cilindros verticales (altura L, diámetro D)
• Si δ<<D se cumple: D/L ≥ 35/GrL
1/4 -> Se utilizan las mismas
correlaciones que para placa vertical
• Para cilindros delgados que no cumplen con esta condición la curvatura
transversal influye en el desarrollo de la CL y aumenta la transferencia de
calor, de modo que:
las correcciones C1 y C2 pueden obtenerse de gráficos siguientes:
cilindro placax ,cilindro x ,placah C h h C h= =1 2
las correcciones C1 y C2 pueden obtenerse de gráficos siguientes:

15. 11-Nov-13
15

16. 11-Nov-13
16

17. 11-Nov-13
17
Convección libre sobre placas inclinadas
• La fuerza de empuje tiene 2 componentes:
• Flujo tridimensional
gg cosθ
g senθ
θ
Placa fría
Ts <T∞
Transf. de Calor:
• Disminuye en
superficie superior
• Aumenta en
superficie inferior
Placa caliente
Ts >T∞
Transf. de Calor:
• Disminuye en
superficie inferior
• Aumenta en
superficie superior
Correlaciones de convección en superficies inclinadas
• En superficies inclinadas (0≤θ≤60°), el coeficiente de convección para
superficie superior de placa fría o inferior de placa caliente puedesuperficie superior de placa fría o inferior de placa caliente puede
calcularse con las correlaciones vistas para Placa vertical, reemplazando
g por g.cosθ para computar el número de Rayleigh (RaL).
• Para las superficies opuestas donde el flujo es tridimensional estaPara las superficies opuestas, donde el flujo es tridimensional, esta
aproximación no es adecuada (ver referencias recomendadas en
Incropera)

18. 11-Nov-13
18
Convección libre sobre placa horizontal
Placa fría
• La fuerza de empuje es perpendicular a la placa
Placa fría
(θ=90º)
Placa caliente
(θ=90º)
Transf. de Calor:
• Disminuye en
superficie superior
• Aumenta en
superficie inferior
(θ=90 )
Transf. de Calor:
• Disminuye en
superficie inferior
• Aumenta en
superficie superior
Correlaciones
Placa horizontal de diferentes geometrías
• Las correlaciones siguientes se aplican a diferentes geometrías (placa
rectangular, cuadrada o circular) definiendo una Longitud característica
l l N R :para calcular Nu y Ra:
L=As/P (As: área de la superficie, P: perímetro de la placa)

19. 11-Nov-13
19

20. 11-Nov-13
20

21. 11-Nov-13
21
Convección libre sobre cilindro horizontal
Ts >T∞
Nuθ: Nusselt local,
Flujo laminarFlujo laminar
(RaD<109)

22. 11-Nov-13
22
Correlaciones
Cilindro largo horizontal
Morgan, 1975
Churchill y Chu, 1975
DNu : Nu promedio sobre toda la circunsferencia de un cilindro isotérmico
Correlaciones
Esferas
Para esferas sumergidas en fluidos, Churchill (1983) propone:

23. 11-Nov-13
23
Convección libre dentro de canales de placas paralelas
(aletas)
• Las placas paralelas podrían constituir un arreglo de aletas utilizadas
para aumentar la transferencia de calor o circuitos integrados para
disi l d t s l t ó i sdisipar calor de componentes electrónicos.
• Condiciones térmicas en la superficie:
– Isotérmicas o isoflujo,
• simétricas:
• asimétricas:

24. 11-Nov-13
24
La longitud característica para calcular Ra en aletas se toma en general
como S:
• Placas isotérmicas
• Isoflujo:
• Las fuerzas de empuje inducen el movimiento del fluido y se forman
capas límites (CL) en cada superficie.
• Si S/L es grande, las CL se desarrollan en forma independiente
(placas verticales o inclinadas aisladas*) .
– Límite de placa aislada
• Si S/L es pequeña, las CL se unen y se logra la condición de flujo
completamente desarrollado (fd).
Límite de flujo fd– Límite de flujo fd
* En esta sección el término aislado se utiliza en el sentido de CL independientes
una de la otra. La imposibilidad de la placa de intercambiar calor se indicará
como adiabática

25. 11-Nov-13
25
Placas paralelas verticales
Correlación de Bar-Cohen y Rohsenow (1984), aplicable a todo el rango de S/L:
isotérmica
Prop. evaluadas a:
isotérmica
isoflujo
NuS,L en el borde superior de la placa, donde Ts=Ts,máx
Sopt: máxima transferencia de calor de un arreglo de placas
Smáx: máxima transferencia de calor de cada placa en el arreglo (o mínima Ts,L para isoflujo)
(espesor aleta<<S)
Ejemplo

26. 11-Nov-13
26
Convección libre en recintos
• Cavidad rectangular: 2 paredes a diferente temperatura y el resto
aisladas de los alrededores
• Para grandes w/L, el flujo de calor depende fuertemente de 0°≤τ≤180°
y de H/L:

27. 11-Nov-13
27
LRa < 1708 No hay advección h=k/L y NuL=1
τ = 0
Superficie inferior
LRa< < 4
1708 5 10 Movimiento en celdas giratorias
longitudinales
Flujo turbulento
caliente
RaL > 5 104
Globe y Dropkin, 1959
(L/H pequeños)
h=k/L y Nu =1
ºτ = 180 Conducción para todo RaL,c
Superficie inferior
ºτ = 90
h=k/L y NuL=1
LRa ≤ 3
10 Conducción
LRa > 3
10 Flujo celular, núcleo estático
Superficie inferior
fria

28. 11-Nov-13
28
Correlaciones para flujo celular y diferentes H/L
• Propiedades computadas a la temperatura media:

29. 11-Nov-13
29
Aplicación de Cavidades Inclinadas
Colectores solares de placa plana
Ra / cosτ= 1708
Correlación de
Hollands et al.,
L,cRa / cosτ= 1708
,
1976
corchetes
Correlaciones
Colectores solares planos
Correlación de Catton (1974)

30. 11-Nov-13
30
Correlación de Ayyaswamy y Catton, 1973
Y para todas las relaciones H/L
Correlación de Arnold et al., 1975
H / L∀
H / L∀
Convección libre
Cilindros concéntricos horizontales largos
• Se define una conductividad efectiva keff de
modo que el calor transferido por el fluido real
i i t i l l t sf id
El flujo anular se
caracteriza por 2 celdas
simétricas respecto del
plano medioen movimiento equivale al transferido por un
fluido estacionario ficticio de conductividad
keff
• La siguiente correlación permite calcular keff
(Si keff/k < 1 keff=k )
plano medio
( )
• :
Prop. evaluadas a:

31. 11-Nov-13
31
Convección libre
Esferas concéntricas
Prop. evaluadas a:
(Si keff/k < 1 keff=k )

32. 11-Nov-13
32

33. 11-Nov-13
33
Correlaciones empíricas
Convección combinada
Clasificación de acuerdo a la dirección de los movimientos inducidos por
empuje y forzados
ó• Flujo asistido: igual dirección (ejemplo: placa vertical caliente, flujo
forzado hacia arriba y Figura b)
• Flujo opuesto: dirección opuesta (ej.: placa vertical caliente, flujo
forzado hacia abajo)
• Flujo transversal: dirección perpendicular (movimiento horizontal sobre
cilindro, esfera o placa horizontal caliente, y Figura a)
Correlaciones empíricas
Convección combinada
Los resultados experimentales se correlacionan para flujos externos e internos en
función del Nu obtenido para convección natural y forzada pura, vistas
i i d l fanteriormente, con expresiones de la forma:
+: flujo asistido y transverso
-: flujo opuesto
n=3, excepto en flujo transverso donde se utiliza n=3.5 ( placas horizontales )
y n=4 (cilindros o esferas)
Los efectos del empuje pueden aumentar significativamente la TC para
flujos de Convección forzada laminar., pero son generalmente despreciables
sobre Convección forzada en flujo turbulento.