1. EKUAZIO LINEALEN
SISTEMAK

2. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK
• Bi ezezagunetako eta bi ekuazioetako
sistema linealek honako itxura hau dute:
ax + by = c

a′x + b′y = c′
a, b, c, a’, b’, c’ zenbaki ezagunak dira eta
x, y ezezagunak.

3. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK
• Sistema lineal baten ekuazioetako bakoitzaren
adierazpen grafikoa zuzena da.
• Adibidez, 2x + 3y = 5 ekuazioaren adierazpen
grafikoa honako hau da:

4. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
GRAFIKOKI NOLA EBATZI
1. Ekuazio bakoitzean y ezezaguna
bakandu.
x − 2 y = 5
Adibidea: 
2 x + y = 5
x−5
y=
2
y = 5 − 2x

5. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
GRAFIKOKI NOLA EBATZI
1. Ekuazio bakoitzari dagokion balio taula
egin:
Adibidea:
x−5 x 5 3 1 -1
y= y 0 -1 -2 -3
2
x -1 0 1 2
y = 5 − 2x
y 7 5 3 1

6. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
GRAFIKOKI NOLA EBATZI
1. Balio-taula erabiliz zuzenak irudikatu:
Adibidea:
(3, -1)

7. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
• Zuzenek puntu bakar batean elkar
ebakitzea, hau da, sistemak ebazpen
bakarra izatea.
SISTEMA
BATERAGARRI
MUGATUA
x − 2 y = 5

2 x + y = 5

8. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
2. Zuzenak paraleloak izatea, beraz, puntu
komunik ez izatea. Hau da, sistemak ez du
ebazpenik.
SISTEMA
BATERAEZINA
x − 2 y = 5

2 x − 4 y = −7

9. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
2. Biak zuzen bera izatea, hau da, infinitu
puntu komun izatea. Kasu honetan,
sistemak infinitu emaitza ditu.
SISTEMA
BATERAGARRI
MUGAGABEA
x − 2 y = 5

3 x − 6 y = 15

10. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
Laburbilduz, honako sistema hau baldin badugu,
ax + by = c

a'x + b'y = c'
• Sistema bateragarri mugatuak: ebazpen bakarra
dute. a b
≠
a' b'
• Sistema bateragarri mugagabeak: infinitu ebazpen
dituzte. a b c
= =
a' b' c'
• Sistema bateraezinak: ez dute ebazpenik.
a b c
= ≠
a' b' c'

11. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
ARIKETA
• Zein motatako sistemak dira? (Ebazpen
kopurua kontuan hartuta)
2x + 3y = 1 x + 2y = 3 2x − y = 3
  
4x + 6 y = 5 3x + 6y = 9 x + y = 3

12. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
EBAZPEN KOPURUA
ARIKETA
• Zein motatako sistemak dira? (Ebazpen
kopurua kontuan hartuta)
2x + 3y = 1 x + 2y = 3 2x − y = 3
  
4x + 6 y = 5 3x + 6y = 9 x + y = 3
Bateragarri Bateragarri
Bateraezina
mugagabea mugatua

13. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
ORDEZKAPEN METODOA
3. Ekuazio batean ezezagun bat bakandu.
4. Beste ekuazioan ordezkatu eta lortzen
dugun ezezagun bakarreko ekuazioa
ebatzi.
5. Beste ezezaguna lortzeko aurreko
pausoan lortutakoa nahi dugun
ekuazioan ordezkatu.

14. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
ORDEZKAPEN METODOA
 x − y =3
2

 + y =3 → y =3 −x
x
2 x −(3 −x ) =3 y =3 −2 =1
2 x −3 + x =3
3 x =6 ( 2, 1)
x =2

15. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
BERDINTZE METODOA
3. Bi ekuazioetan ezezagun bera bakandu.
4. Lortzen ditugun adierazpenak berdindu,
eta lortzen dugun ezezagun bakarreko
ekuazioa ebatzi.
5. Beste ezezaguna lortzeko aurreko
pausoan lortutakoa nahi dugun
ekuazioan ordezkatu.

16. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
BERDINTZE METODOA
 x − y =3 → 2 x −3 = y
2

 + y =3 → y =3 −x
x
2 x −3 =3 −x y =3 −2 =1
2 x + x =3 +3
3 x =6 ( 2, 1)
x =2

17. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
LABURTZE METODOA
3. Ezezagun bat aukeratu, eta bi ekuazioetan
koefiziente bera edo aurkakoa izatea lortu.
Horretarako ekuazio baliokideak lortu
(biderketaren araua erabili).
4. Bi ekuazioen arteko batuketa/kenketa egin,
aukeratutako ezezaguna desagertu dadin.
Lortutako ekuazioa ebatzi.
5. Beste ezezaguna lortzeko aurreko pausoan
lortutakoa nahi dugun ekuazioan ordezkatu.

18. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK:
ALJEBRAIKOKI NOLA EBATZI
LABURTZE METODOA
 x −y =
2 3 → 2 x −y = 
3
 −
 +y =
x 3 → 2x + y = 
2 6
− y =−
3 3
y =1
2x − =
1 3
2 x =4
x =2 ( 2, 1)