1. ECUACIONES DIFERENCIALES POR LOS METODOS DE VARIABLES SEPARADAS Y HOMOGENEAS LEONEL CASTAÑEDA BARRERA 10310061

2. ECUACIONES DIFERENCIALES POR VARIABLES SEPARADASEJEMPLO: y´=-3x+3xy²/yx²+2y

3. El termino (yx²+ 2y) pasa multiplicando a dy y el termino dx se pasa tambien multiplicando del otro lado de la ecuacion. (yx²+ 2y)dy=(-3x+3xy²)dx Se factoriza a la y de un lado de la ec. y a -3x del otro lado.y(x²+2)dy=-3x(1-y²)dx

4. El termino (1-y²) se pasa del otro lado de la ec. Dividiendo a ydy. Y el termino (x²+2) se pasa tambien dividiendo a -3xdx. Se integra de ambos lados. 𝑦𝑑𝑦1−𝑦2=3𝑥𝑑𝑥𝑥2+2

5. se completan las integrales y se saca la constante -3 de la integral𝑦𝑑𝑦1−𝑦2=−3𝑥𝑑𝑥𝑥2+2-½𝑦𝑑𝑦1−𝑦2= - 32𝑥𝑑𝑥𝑥2+2 V=x²+2dv=2xdx U=1-y²du=-2ydy

6. Después de completar las integrales se integra y el resultado es :- ½ ln│1-y²│= -32ln│x²+2│+c

8. Suma de exponentes de cada termino ejemplo 1.- f(x,y)= 6x²y +5y³El primer termino es 6x²y, se suman los exponentes de x²y=3 porque la x tiene exponente 2 y la ´y´de 1.El segundo termino ya esta elevado al exponente 3 por lo tanto la ecuación es homogénea de 3er grado.

9. Para poder resolver una ecuación homogénea se deben tener en cuanta los elementos claves que son los siguientes.y=uxdy=udx + xdux=uy dx=udy+ yduu=x+y y=u-x dy=du - dx

10. Ejemplo 1.- (x²+xy+3y²)dx – (x²+2xy)dy=0comprobar que la ecuación sea homogénea sumando los exponentes de cada terminox²=2 xy=2 3y²=2 2xy=2la ecuación es homogénea de 2do grado

11. De los elementos claves se usara el primero y=uxdy=udx + xdu (x²+xy+3y²)dx – (x²+2xy)dy=0la y se sustituye por su equivalente al igual que dy 𝑥²+𝑥𝑢𝑥+3(𝑢𝑥)²dx- (x²+2x(ux))𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢=0se realizan las operaciones algebraicas (𝑥²+ 𝑥²u+3u²𝑥²)dx-((𝑥²+2𝑥²𝑢)𝑢𝑑𝑥+𝑥𝑑𝑢)se factoriza a la 𝑥²(1+u+3u²)dx-((1+2u)(udx+xdu))=0

12. dx+udx+3u²dx-udx-xdu-2u²dx-2xuduse suman términos semejantesdx+u²dx-xdu-2xudu=0se factoriza a dx y a xdudx(1+u²)-xdu(1+2u)se separan las variables cada una con su correspondiente e integramos.𝑑𝑥𝑥−1+2𝑢1+u²𝑑𝑢=0

13. 𝑑𝑥𝑥−1+2𝑢1+u²𝑑𝑢=0𝑑𝑥𝑥−𝑑𝑢1+𝑢2 −2𝑢𝑑𝑢1+𝑢2=0 si se integra lo anterior resultaln𝑥 - arc tan𝑢 - ln1+𝑢²=c del elemento clave que se utilizo se despeja a uy=uxu=y/xse sustituye en el resultado de le integralln𝑥-arctan𝑦𝑥−𝑙𝑛1+(𝑦2𝑥2)=c