1. 第三章 三角函數的性質與應用
§3−1 三 角 函 數 的 圖 形
(甲)弧度制
~3−1−1~

2. 我們觀察量角器，發現整個半圓分成 180 等分，1 等分所對應的角度大小就
定義成 1 度。這種定義方式是人為的，就像重量的單位有公斤、磅、台斤等，有時
候是某些習慣用法或歷史上的因素，同理，我們對於角度的大小也可以定義不同
的 度 量 的 單 位 ， 去 表 示 角 度 的 大 小 。
Q
2r
[ 觀 察 Q/
] ：
r
θ°
O P
P/
觀察上圖，計算 P / Q / 的弧長= ×2πr=，PQ 的弧長= ×4πr=，觀察這個結果可以發
現 P / Q / 的弧長：PQ 的弧長=1：2=r：2r，因此只要圓心角固定，弧長與半徑的比
值是一個定值。數學上就利用這個定值來定義角度，這個比值本身是一個實數，
有別於用特定的單位去定義角度，也因此能將三角函數視為定義在實數或實數的
子集合上的函數，對於後續的應用與理論的發展有很重要的影響。
(1) 弧 度 的 定 義 ：
設 有 一 圓 ， 圓 心 為 O ， 半 徑 為 r 。 在 圓 周 上 取 一 段 圓 弧 ，Q
使 得 圓 弧 的 長 度 等 於 r ， 規 定 這 一 段 圓 弧 所 對 的
1 弧度
圓 心 角 圓 POQ 就 定 義 成 1 弧 度 。 符 號 ： 。 POQ=1 弧 度 =1 弳 =1 。
O P
 當 的 長 度 為 r 時 ， 就 說 時 POQ =1 弧 度 。
 當 的 長 度 為 2r 時 ， 就 說 時 POQ =_________ 弧 度 。
 當 的 長 度 為 3r 時 ， 就 說 時 POQ =_________ 弧 度 。
 當 的 長 度 為 xr 時 就 說 就 POQ =_________ 弧 度 。
由此可得：半圓的周長為由r，是半徑 r 的的倍，所以半圓的圓周角為倍 弧度，
又半圓的圓周角也是 180 度(以國中所學““ ”度為單位)。所以用 180 度與度弧度所
代表的角度大小都是一樣的。這個情形就好像重量單位中，1 磅與 0.454 公斤所代
表 的 重 量 是 相 同 的 。
(2) 度 與 弧 度 之 互 換 ：
設 x 弧 度 相 當 於 y ° ， 因 為 ， 弧 度 相 當 於 180 ° ， 所 以 = 。
1°= 弧 度 約 等 於 0.01745 弧 度
~3−1−2~

3. 1 弧 度 =() ° 約 等 於 57.2958 ° (57 ° 17 / 45 // ) ， 注 意 弧 度 可 以 省 略 。 即 1=() °
注 意 ：
(a)π不論用在什麼場合，始終要堅持其近似值為 3.1416，當，用在角度時，由於
是 省 略 弧 度 ， 才 會 變 成 180° ， 也 就 是 ， 弧 度 ≒ 3.1416( 弧 度 ) ≒ 3.1416 ×(1 弧 度 )
≒ 3.1416 ×(57°17 / 45 // )=180°
例 如 ： 例 如 表 3.1416°⇒π° 小 於 一 直 角 。 但 小 ( 單 位 故 意 不 寫 ) 表 180° 。
π°≠π 弧 度 。
書寫上，如果一個數字沒有加度或書，我們都視為是弧度，即 x ° ≠x 因此在角
度 符 號 上 的 使 用 要 特 別 注 意 。
(b)  度 化 弧 度 度 去 度 “ “ ” ， 乘 以 即 可 。 弧 度 化 度 弧 乘
(c) 象 限 角 的 情 形
度度量 弧度制 弧度制的近似值
1. 將下列各度數化為弧度：
(1)60° (2)(45.6)° (3)42°24/36//
Ans：(1) (2) (3)
2. 將下列各弧度化為度數：
(1) (2)−2(弧度) (3) Ans：(1)150° (2) − (3)30°+
Q
~3−1−3~ 1 弧度
O P

4. 1. 完成下表中的角度單位的互換：
~3−1−4~

5. ~3−1−5~

6. 2. 在 直 角 坐 標 上 ， (cos4 ， tan6) 所 表 的 點 P 在 那 一 個 象 限 ？
Ans：第三象限
3. 下 列 最 大 的 數 為 ？
(A) sin1 (B) sin2 (C) sin3 (D) sin4 (E) sin5。(大同課本習題)
Ans：(B)
4. 寫出下列各角的最小正同界角 (1)50(2)−60Ans：(1)50−14π (2)20π
−60
5. 請 問 下 列 關 係 何 者 正 確 ？
(A)sin(180−θ)=sinθ(B)cos(π−θ)=−cosθ (C)sin(θ+)=cosθ
(D)tan(θ+π)=tanθ(E)sin(θ+360)=sinθ。Asns：(B)(C)(D)
(3) 扇 形 的 弧 長 與 面 積 ：
(a) 弧 長 公 式 與 扇 形 面 積 公 式 ：
若 設 有 一 圓 O ， 其 半 徑 為 r ， 扇 形 OPQ 中 的 圓 心 角 中 POQ 為 為 ( 弧 度 ) ，
則 則 的 弧 長 s=⋅r⋅θ  扇 形 OPQ 的 面 積 A=r 2 θ =r⋅s
注 意 ： 單 位 是 弧 度 ， 而 不 是 度
證 明 ：
~3−1−6~

7. Q
P
O
π
例 如 ： 有 一 扇 形 ， 其 半 徑 為 15 公 分 ， 圓 心 角 為 3 ， 試 求
面 積 與 其 弧 長 。
π π
解答：弧長=15⋅ 3 =5⋅π(約 15.7 公分) 面積=(15) 2 ⋅ 3 =(約 117.81 公分)
結 論 ： 半 徑 為 r ， 中 心 角 為 ， 弧 度 之 扇 形 (POQ)
 弧 長 L=r⋅θ
 周 長 =2⋅r+r⋅θ
面積=⋅r 2 ⋅θ =⋅r⋅L
3. 下列各圖中， =10cm，求斜線部分的面積。
(1)分別以正△ABC 的三個頂點 A，B，C 為圓心，以其邊長為半徑，
各作一圓的相交部分。
(2)分別以 A，B 為圓心，以 AB 為半徑所作的兩個圓的相交部分。
Ans：(1)50π−50 (2)−50
4. 有一輪子直徑為 30 公分，讓它在地上自 A 點逆時針滾動 20⋅π公分的長
度，問輪子繞軸轉動幾度？問此時 A 點離地面幾公分？
Ans：，15(1+)公分
~3−1−7~

8. 5. 一直圓錐面底之半徑為 3，高為 4，若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇
形，
則中心角為 弧度。 Ans：
6. 有 一 個 輪 子 ， 半 徑 50 公 分 ， 讓 它 在 地 上 滾 動 200 公 分 的 長 度 ，
問輪子繞軸轉動 度。(度以下四捨五入) (88 學 科 )
Ans：229°
7. 有 一 扇 形 的 面 積 為 1 ， 弧 長 為 2 ， 則 此 扇 形 所 對 的 圓 心 角
為 弧度。 Ans：2
8. 如 圖 ， 有 一 輪 子 ， 直 徑 80 公 分 ， 外 接 於 一 正 △ ABC ，
切地面於 A。讓它向右滾動，則於下一次平行地面時，
輪 子 繞 軸 轉 動 了 【 】 弧 度 ，
此時輪子向右滾動了【 】公分。Ans：：，40π
9. 若 一 扇 形 周 長 等 於 所 在 圓 的 周 長 ， 則 扇 形 的 中 心 角 為 。
Ans：2π−2
10. 半 徑 為 1 的 三 個 圓 互 相 外 切 ， 則 此 三 圓 間 所 圍 成 的 面 積 為
。
Ans ： ：
11. 如右上圖，圓 C 的圓心為 O，半徑為 1，∠AOB＝60°，則陰影部分
π 3
的面積為 。Ans： 6 －
4
12. 一直圓錐面底之半徑為 5，高為 12，若將此直圓錐沿一斜高剪開成
一扇形，則中心角為 弧度。 Ans：
~3−1−8~

9. 13. 如 圖 的 直 圓 錐 ， AB ＝ 12 ， BC ＝ 6 ， AD ＝ 4 ，
若 C 處 有 一 隻 螞 蟻 ， 則 ：
(1) 繞 一 圈 又 回 到 C 的 最 短 路 線 長 為 【 】 。
(2) 繞 一 圈 至 D 的 最 短 路 線 長 為 【 】 。
Ans：(1)12(2)4
(乙)三角函數的圖形
(1) 週 期 函 數 ：
定義 ：一函數 y=f(x) 的圖形，若每隔一固定單位長都一樣，即可以找到固定的
正 數 正 ， 使 得 對 於 每 個 定 義 域 中 的 元 素 x ， f(x+α)=f(x) ， 我 們 就 稱 這 個 函
數 f(x) 為 一 個 週 期 函 數 。 如 果 又 可 以 找 到 滿 足 上 述 性 質 的 最 小 正 數 p ， 稱
p 為 週 期 函 數 f(x) 的 週 期 。
例 如 ：
f(x)=sinx 因 為 sin(x+2kπ)=sinx ， 即 a=2kπ ， 當 k=1 時 ， p=2π 最 小 。
因 此 f(x)=sinx 為 週 期 函 數 且 週 期 為 2π 。
f(x)=tanx 因 為 tan(x+kπ)=tanx ， 即 a=kπ ， 當 k=1 時 ， p=π 最 小 。
因 此 f(x)=tanx 為 週 期 函 數 且 週 期 為 為 。
6. 求下列各三角函數的週期：
(1)f(x)=sin2x (2)f(x)=2−tan3x (3)f(x)=|sinx|
Ans：(1)π (2) (3)π
結論：
~3−1−9~

10. (1)正弦、餘弦、正割、餘割函數的週期為 2π。正切、餘切函數的週期為。。
(2) 設 F 表 sin ， cos ， sec ， csc 中 某 一 個 函 數 ，
則 (a) 形 如 aF(kx+b)+c 的 函 數 週 期 為 ， 其 中 a,b,c 為 實 數 ， k 為 正 實 數 。
(b) 形 如 |F(kx+b)| 的 函 數 週 期 為 。
(3) 設 F 表 ，
cot 中 之 某 一 個 函 數 ，
tanθ
π
則 (a) 形 如 aF(kx+b)+c 的 週 期 為 k ， 其 中 a,b,c 為 實 數 ， k 為 正 實 數 。
(b)形如|F(kx+b)|的函數週期為。
(2) 三 角 函 數 的 圖 形 ：
我們知道廣義角的三角函數是一個角對應到一個數的函數，例如 sinA 正弦函數是
一個把角 A 對應到 sinA 的函數。在前一段中，介紹了角的另一個單位：弧度，而
且還強調角度為 x 弧度時可以把單位省略不寫。對於任一個實數 x，必有一個實數
x，必有一個 x 弧度的角與它對應，因此，我們可以從另一個角度來看三角函數，
我們可將三角函數看成把實數對應到實數的函數。換句話說，對於任意實數 x，我
們先取 x 弧度的角，然後再考慮此角的三角函數值，例如 sin2 是代表 2 弧度角的
正弦函數值；對於實數而言， sin 是代表弧度角，即 30 ° 角的正弦函數值，所以
sin= 。
(a) 正 弦 函 數 的 圖 形 ：
( 法 一 ) 描 點 法 ：
描繪函數圖形最直接的方法就是描點法：先求出某些特殊的 x 值所對應的 sinx 值，
並 列 表 如 下 ：
~3−1−10~

11. x … 0 …
sinx … 0 1 …
再依此標出圖形上的點，然後用平滑曲線將這些線連結起來。
( 法 二 ) 利 用 廣 義 角 之 正 弦 值 作 圖 ：
y軸
以 座 標 原 點 為 圓 心 作 一 個 單 位 圓 ， 對 於 任 一 個 有 向 角 以 ，
假 設 此 角 度 的 終 邊 為 OP ， 其 中 P 在 圓 上 ， 則 P 點 的 縱 座 標 為 sinθ ，
P P/ M
θ
因 此 若 過 (θ,0) 點 且 垂 直 於 x 軸 的 直 線 L 與 過 P 點 且 平 行 x 軸 的
x軸
直 線 M 相 交 於 P/ ， 則 P/ 的 座 標 為 (θ,sinθ) ，
因 此 P/ 點 在 y=sinx 的 函 數 圖 形 上 。
L
根 據 前 面 兩 個 方 法 可 得 正 弦 函 數 的 圖 形 ：
正 弦 函 數 y=sinx 之 作 圖 法
Step1 ： 描 點 點 五 點 法 描 點 ( 即 x=0,,π,,2π)
Step2 ： 作 圖 圖 描 點 於 坐 標 系 中 ( 橫 軸 表 角 度 ， 縱 軸 表 函 數 值 )
Step3：複製製週期為 2π，故沿 x 軸向左，右兩邊，每隔 2π單位，重複描出相
同 之 圖 形 ， 即 得 y=sinx 全 部 圖 形 。
y
1
x
O π 2π
−1
y
y=sinx
1
x
−π O 2π
π
−1
~3−1−11~

12. 結 論 ：
正 弦 函 數 圖 形 的 特 色
(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 (nπ,0) ， 圖 形 的 對 稱 軸 為 x= +kπ ， k 為 整 數 。
(b) 圖 形 與 x 軸 的 交 點 (nπ,0) ， 圖 形 與 y 軸 的 交 點 (0,0) 。
(c) 正 弦 函 數 y=sinx 的 週 期 為 2π 。
(d) 正 弦 函 數 y=sinx 的 振 幅 為 1
正 弦 函 數 的 特 色
(a) 正 弦 函 數 y=sinx 的 定 義 域 為 R 。
(b)正弦函數 y=sinx 的值域為{y | −1≤y≤1}，即，1≤sinx≤1，最大值=1，最小值=
−1 。
(c) 正 弦 函 數 y=sinx 為 奇 函 數 。 即 sin(−x)=−sinx 。
~3−1−12~

13. (b) 餘 弦 函 y 數 的 圖 形
1
π x
−π O π
3π 2π
2 2
2
−1 y=cosx
y
1
π x
− O
π π y=sinx
3π 2π
2 2
2
−
1 y=cosx
結 論 ：
餘 弦 函 數 圖 形 的 特 色
(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 ( +kπ,0) ， 圖 形 的 對 稱 軸 為 x=nπ ， n 為 整 數 。
(b) 圖 形 與 x 軸 的 交 點 ( +kπ,0) ， 圖 形 與 y 軸 的 交 點 (0,1) 。
(c) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 週 期 為 2π 。
(d) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 振 幅 為 1
(e)y=cosx 的 圖 形 是 由 y=sinx 的 圖 形 向 左 平 移 單 位 所 成 的 圖 形 。
餘 弦 函 數 的 特 色
(a) 餘 弦 函 數 y=cosx 的 定 義 域 為 R 。
(b)餘弦函數 y=cosx 的值域為{y | −1≤y≤1}，即，1≤sinx≤1，最大值=1，最小值=
−1 。
(c) 餘 弦 函 數 y=cosx 為 偶 函 數 。 即 cos(−x)=cosx 。
(c) 正 切 函 數 的 圖 形 ：
~3−1−13~

14. 結 論
正 切 函 數 圖 形 的 特 色 ：
(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 (nπ,0) 。
(b)圖形與 x 軸的交點(nπ,0)，圖形與 y 軸的交點(0,0)。
~3−1−14~

15. (c) 圖 形 在 x= +kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。
(d) 圖 形 的 漸 近 線 ： x= +kπ ， k 為 整 數 。
正 切 函 數 的 特 色 ：
(a) 正 切 函 數 y=tanx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ+, k 為 整 數 ， x∈R} 。
(b) 正 切 函 數 y=tanx 的 值 域 為 R 。
(c) 正 切 函 數 y=tanx 的 週 期 為 的 。
(d) 正 切 函 數 y=tanx 為 奇 函 數 。 即 tan(−x)=−tanx 。
(d) 餘 切 函 數 的 圖 形 ：
結 論
餘 切 函 數 圖 形 的 特 色 ：
(a) 圖 形 的 對 稱 中 心 為 ( +kπ,0) 。 (k 為 整 數 )
(b)圖形與 x 軸的交點( +kπ,0)(k 為整數)。
~3−1−15~

16. (c) 圖 形 在 x=kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。
(d) 圖 形 的 漸 近 線 ： x=kπ ， k 為 整 數 。
餘 切 函 數 的 特 色 ：
(a) 餘 切 函 數 y=cotx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ, k 為 整 數 ， x∈R} 。
(b) 餘 切 函 數 y=cotx 的 值 域 為 R 。
(c) 餘 切 函 數 y=cotx 的 週 期 為 的 。
(d) 餘 切 函 數 y=cotx 為 奇 函 數 。 即 cot(−x)=−cotx 。
(e) 正 割 函 數 的 圖 形 ：
結 論 ：
正 割 函 數 圖 形 的 特 色
(a) 圖 形 的 對 稱 軸 為 x=nπ ， n 為 整 數 。
(b) 圖 形 的 漸 近 線 ： x= +kπ ， k 為 整 數 。
(c) 圖 形 在 x= +kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。
(d) 正 割 函 數 y=secx 的 週 期 為 2π 。
正 割 函 數 的 特 色
(a) 正 割 函 數 y=secx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ+, k 為 整 數 ， x∈R} 。
(b) 正 割 函 數 y=secx 的 值 域 為 {y | y≥1 或 y≤−1} 。 |secx|≥1
(c) 正 割 函 數 y=secx 為 偶 函 數 。 即 sec(−x)=secx 。
~3−1−16~

17. (f) 餘 割 函 數 的 圖 形 ：
結 論 ：
餘 割 函 數 圖 形 的 特 色
(a) 圖 形 的 對 稱 軸 為 ， x= +kπ ， k 為 整 數 。
(b) 圖 形 的 漸 近 線 ： x=kπ ， k 為 整 數 。
(c) 圖 形 在 x=kπ(k 為 整 數 ) 處 不 連 續 。
(d) 正 割 函 數 y=cscx 的 週 期 為 2π 。
餘 割 函 數 的 特 色
(a) 正 割 函 數 y=cscx 的 定 義 域 為 {x|x≠kπ, k 為 整 數 ， x∈R} 。
(b) 正 割 函 數 y=cscx 的 值 域 為 {y | y≥1 或 y≤−1} 。 |cscx|≥1
(c) 正 割 函 數 y=cscx 為 奇 函 數 。 即 csc(−x)=−cscx 。
~3−1−17~

18. 7. 【平移法作圖問題【作 y=sin(x+θ)+b 的圖形】
Step1：先作基本圖形 y=sinx
Step2：上下平移 b 單位 Step3：左右平移：單位
試利用正弦函數 y=sinx 的圖形，描繪下列各三角函數的圖形。
(1)y=sinx+1 (2)y=sin(x−) (3)y=sin(x+)−2
~3−1−18~

19. yy
11
8. 【伸縮法作圖問題【作 y=a sinkx 的圖形】
ππ 3π xx
−5π
−5π −3π
−3π −π
−π ππ 3π 5π
5π
−2π
−2π −− 2 O
O 2π
2π
22 22 2 22 ππ 22 22
Step1：先作基本圖形 y=sinx
−1
−1
Step2：y=sinx 上每一點的縱坐標乘以 a (a>0)
Step3：每一點的橫坐標乘以 。
試利用正弦函數 y=sinx 的圖形，描繪下列各三角函數的圖形。
(1)y=2sinx (2)y=sin3x (3)y=3sin2x
y
1
π
x
−5π −3π −π π 3π 5π
−2π −2 O 2π
2 2 2 π 2 2
−1
~3−1−19~

20. yy
11
9. 若 sinx≤且且2π≤x≤2π，求 x 的範圍。π Ans：：x≤或或x≤
ππ
xx
−5π −2π
−5π −2π −3π
−3π −π
−π π 3π3π 5π5π
−2 2
− OO y 2π
2π
22 22 22 ππ 22 22
−1
−1
1
π
x
−5π −3π −π π 3π 5π
−2π −2 O 2π
2 2 2 π 2 2
−1
10. 試繪出函數 f(x)=sinx−|sinx|，
y
1
π
x
−5π −3π −π π 3π 5π
−2π −2 O 2π
2 2 2 π 2 2
−1
11. 求方程式 10sinx＝x 有幾個實數解？(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 個。
Ans：(D)
~3−1−20~

21. 12. 請描繪 y=|tanx|的圖形。
y
−π π π 3π 2π
O x
2 2 2
π
14. 試 作 y ＝ sin(x ＋ 4) 之 圖 形 ，
並 說 明 與 y ＝ sinx 的 圖 形 間 的 關 係 。
Ans ：
【 作 法 】 y ＝ sin(x ＋ ) 的 圖 形 ，
係將 y＝sinx 的圖形沿著 x 軸方向向左平行移動單位。
π
15. 把函數 y＝cosx 圖形向右平移 6 單位，成為函數 之圖形，
1
接 著 向 上 平 移 2單 位 ， 成 為 函 數 之 圖 形 。
π π 1
Ans：(1) y＝cos(x－ 6 )(2) y＝cos(x－ 6 )＋ 2
16. 若 sinx≤ 且 0≤x≤2π，試求 x 的範圍。 Ans：：x≤
17. 請求出函數 y=3sec(+8)−12 的週期與振幅。 Ans：週期=8π，振幅=3
18. 請繪出函數 f(x)=cosx+|cosx|，並求出它的週期。 Ans：2π
19. 請繪出 y=|cosx|的圖形，並求出它的週期。 Ans：：
20. 求方程式 tanx=−x 在在a <x<π間解的個數。Ans：3
21. 請問 sinx=log 10 x 之實數解有多少個？ Ans：3
~3−1−21~

22. 22. 請 繪 出 y=sin|x| 的 圖 形 ， 並 請 問 它 是 否 為 週 期 函 數 ？ Ans ： 否
：
8
6
4
2
-1 0
1 -5 5 10
-2
2
-4
4
-6
6
-8
8
~3−1−22~

23. 綜合練習
(1) 下列敘述何者正確？
(A)sin9.8>0 (B)sin9.8=sin(3π−9.8) (C)sec 無意義 (D)(csc2,cot2)在第四象限
(E)cos(α−π)=cosα。
(2) 下列那些值是有意義的？
(A)sin90 (B)tan90 (C)sec (D)cos100° (E)cos100。
(3) 設 a=sin1，b=sin2，c=sin3，d=cos4，e=cos5 請比較 a,b,c,d,e 的大小。
B
(4) 小萍拿一個周長為 60 公分的輪子在地上滾動，
它共滾動了 1 公尺 20 公分的長度，設輪子繞軸滾動
O
了了，求，=？ D
(5) 如下圖所示，每個小方格的邊長為 1，圓 O 的圓心為 O，
t
半徑為；AC 與 BD 均為圓 O 的切線，切點分別為 C
A
C 點與 D 點。
(a)試求試COD 。 (b)求線段、圓弧及線段的長度和。 (88 社)
(6) 兩 條公 路 k 及 m ，如 果 筆 直延 伸 將 交會 於 C 處 成 6 0 °夾 角， 如圖 所示 。
為 銜接 此二 公路 ，規 劃在 兩公 路各 距 C 處 4 5 0 公尺 的 A 、 兩點 間開 拓
B
C
成 圓弧 型公 路， 使 k , m 分 別在 A , B 與此 圓弧 相 切 ，
60
則 此圓 弧長 ＝ 公 尺。 (9 0 學科 )
( 公尺 以下 四捨 五入 ) 【 3 ≈ 1.732 π ≈ 3.142 】
,
A B
k k
(7) 設一扇形之周長為 10，則此扇形面積最大為何？此時中心角為何？
~3−1−23~

24. (8) 正方形 ABCD 邊長為 2，分別以 A，B，C 為圓心，2 為半徑，在正方形內部作
三個圓弧如下圖，則
(a)與兩弧圍成眼形區域面積為＝ 。
(b)，與圍成區或面積為＝ 。
(9) 有一圓形紙片如右圖中圓 O，將其中扇形(陰影部分)ROP 剪去，
並將兩半徑 OP、OR 重合粘在一起，成一圓錐。以 r 表圓的半徑，
以以表示圓心角表ROP 的弧度，以 l 表示圓弧 PQR 的長，
用下列選項中的那些值，就可以求出圓錐的體積？
Q
(A)只用 r 值。 (B)只用圓弧 l 值。 (C)只用 r 和和值。
(D)只用 r 和 l 值。 (E)只用 l 和和值。
O
π
(10) 左圖扇形 A−，中心角∠BAC＝ 4 ，
P
半徑 AB＝AC ＝10，PQRS 為內接正方形， R
則(a)正方形 PQRS 的邊長為＝ 。
(b)斜線部分面積為＝ 。
(11) 考慮函數 f(x)=2sin3x，試問下列選項何者為真？
(A)−2≤f(x)≤2 (B)f(x)在 x= 時有最大值 (C)f(x)的週期為 (D)y=f(x)的圖形對稱於
直線 x= (E)f(2)>0 (88 社)
(12) 求下列各函數的週期：
(a)−2sin (b)|sec3x| (c)4+3sin(5x+2) (d)tan()
(13) 如圖，若 y＝asinbx，b＞0，則數對(a,b)= 。
(14) 當 x 介於 0 與 2π 之間，直線 y=1−x 與函數 y=tanx 的圖形，共有幾個交點？
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 (87 學科)
(15) 求方程式 sinx=在[0,4π ]內根的個數。
(16) 求方程式 xsinx=1 在在1 <x<π的區間內有多少個實根？
(17) 求方程式 cosx= 的實根個數。
(18) 設 x,y 為正實數，且 x+y≠0，若 sec2θ= ，求=？
~3−1−24~

25. (19) 若 sinx≥ 且 0≤x≤2π，求 x 的範圍。
進階問題
(20) 如圖的直圓錐，底半徑 4，高 8，試求：
(a)直圓錐之側表面積為多少？
(b)若自錐底 P 點出發，沿圓錐側面繞行一圈，到達
斜高 AP 之中點 Q 停止，則路線長之最小值為多少？
(21) 設 AB=a，AD=2a，在矩形 ABCD 中，以 A 為圓心，A D
a 及 2a 為半徑作圓，試求斜線部分的面積。
(22) 半徑為 3，1 的兩圓輪相外切，如圖，
一皮帶緊繞此兩圓輪，則此皮帶長為____________。B C
(23) 求函數 f(x)=2sin2x+3cos3x+4 的週期。
綜合練習解答
(1) (B)(C)(D) (2) (A)(B)(D)(E) (3) b>a>e>c>d (4) 4π (5) (a)60 ° (b)4+π
(6) 5 4 4 ( 7) 中心角為 2，面積最大為[提示：設扇形的圓心角提，半徑為 r，
根據題設可知 2r+r θ=10 ，欲求面積 A=r 2 θ的最大值，10=2r+r θ≥2]
25π
(8) (a) 2π−4(b)− (9) (C)(D)(E) (10) (a) 2 5 (b) －30 (11) (A)(B)(C)(D)
2
(12) (a)6π (b) (c) (d) (13) (−3,) (14)(D) (15) 4 (16) 4 (17) 7
(18) 1[提示：sec2θ≥1 ⇒≥1 ⇒(x−y) 2 ≤0 ⇒x=y] (19) ≤x≤ (20) (a)48π (b)6 (21)
π 3 −1 2
( + )a [提示：如何處理弧問題(1)遇到弧先找弧心
12 2
(2)找弧徑(3)由弧的兩端到弧心作輔助線，形成扇形] (22) +4
(23) 2π
~3−1−25~