Polinomios
Trabajo Práctico Nº 6
Polinomios
1) Efectuar
P ⋅ Q ;
cuando esto sea posible

3 P + Q ; P2 – Q
a) P = x2 - 2

e

b) P = x ...
4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno
de los siguientes casos : a) P = 2x 3 + 7 x 2 − a
Q...
8) Hallar todas las raíces de los siguientes
7
polinomios :
3
2
d) P = x 4 + 3x 2 −
a) P = 2x − x + 2x − 1
4
1
11
b) P = x...
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo
que el producto de dos de ellas es 1.
b) Dado P(...
Un polinomio es una expresión de la forma

P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x 2 + a1x + a0
un...
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre
términos de igual grado
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1

Q = x3 – 5 x2 -...
1 ) Si

a) P = x2 – 2

y

Q = - 3 x2 + 6

P ⋅ Q = ( x2 – 2 ) ⋅ ( - 3 x2 + 6 ) = x2 ⋅ (- 3 x2) + x2 ⋅ 6 + (– 2 ) ⋅ (-3x2)+ ...
2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede
decirse del grado de los siguientes polinomios ?
El grado de un...
3 a) si P = a ⋅ x3 - a ⋅ x + 2

para hallar a

tal que P(2) = - 1

debemos especializar el polinomio por x = 2
Esto es col...
c) Si

P = a ⋅ x2 - a ⋅ x + 6

satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2

Para x = - 1
P = a ⋅ x2 - a ⋅ x + 6 = a ⋅ (-1)2 - a ⋅ ...
Algoritmo del cociente de polinomios
4
3
2
Para dividir un polinomio P1 = 2x + 3x − x + 4x − 5

por un polinomio

P2 = x 2...
Ahora sumamos
Bajamos el término de mayor
grado de P1 que todavía no se
operó, con su signo
Y empezamos de nuevo el
proced...
4) Para dividir

P = 2x 3 + 7x 2 − a

por

Q = 2x 2 + 2

Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos...
4) Para dividir

P =

1 4
x +1
4

por

Q = x −2

Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto
entonces lo...
5) para determinar k tal que
sea divisible por por

P = 2x 3 + kx 2 + 5x + 3

Q = x2 −x +3

buscaremos el cociente P / Q, ...
6)

P = x 4 + ax 3 −

1 2
x +b
4

es divisible por (x + 4) ; entonces

Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinom...
En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
− 64a + b = −252


 8a + b = −33


Verificamos que las ecuaciones...
7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces
Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1
y 0...
Y resolvemos el sistema aplicando sustitución
a − 2b = −4


 8a − b = 0


si

8a − b = 0

8a = b

Sustituimos este re...
8a

Regla de Ruffini

8b

Al dividir un polinomio
n

P = an x + an −1x

n −1

+ an − 2x

n −2

+ ............... + a2x + a...
En el esquema

an

an-1
αcn-1

α

cn-1

cn-2

an-2

a2

a1

αcn-2 . . . . . . . αc2

αc1

αc 0

c0

r

cn-3

.......

.......
Sea

Teorema de Gauss
n

P = an x + an −1x

n −1

+ an − 2x

n −2

+ ............... + a2x + a1x + a0

Si P admite raíces ...
Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es
especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p...
Descomposición de un polinomio en un
producto de factores binomiales
Sea

P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + .........
8 a) Para hallar las raíces de

P = 2x 3 − x 2 + 2x − 1

Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2

y

a0 = -1
...
p
1
1
= + 1; − 1; + ; −
q
2
2

P = 2x − x + 2x − 1
3

2

2
-1
2
2
1
2

2

-1

1

3

1

3

2

-1

2

-1

3

-5

-3

5

-6

...
Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces
es posible escribir
como

P = 2x − x + 2x − 1
3

2

0

2
1
−
2

-...
8 b) Para encontrar las raíces de

1
11
P = x 3 − 3x 2 + x − 3
2
2

Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, par...
Aplicando la fórmula de la ecuación de
segundo grado encontramos las raíces de

x 2 − 5x 2 + 6 = 0
Gauss

2

5 ± ( −5 ) − ...
Le falta el término
independiente

P = x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x

8 c) Al polinomio

Podemos comenzar sacando factor común
Enc...
entonces

P = x ( x 3 + x 2 − 4x − 4 )

= x ( x + 1 )( x 2 − 4 )

x2 − 4

Buscamos ahora las raíces de

despejamos

x2 − 4...
8 d)

Si

P = x 4 + 3x 2 −

7
4

Polinomio de grado cuatro con los
términos de grado 3 y 1 nulos

Es posible aplicar la fó...
8 e) Si

P = x 4 − 5x 3 + 7 x 2 − 5x + 6

Sabiendo por la consigna que
i es raíz del polinomio

Entonces –i también es raí...
Raíces múltiples
Factorear un polinomio es transformar la expresión

P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ..............
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que
x=2

es una raíz doble.

Buscamos las restantes raí...
10 a) determinar la multiplicidad de α = 1 en

P = (x - 1)2 ⋅ (x2 - 1) ⋅ (x3 - 1)

P es un polinomio de grado 7 porque (x ...
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la
ecuación de segundo grado
Resolvemos con

a = 1; b= 1; c=1

Para a x2 ...
10 b)

Para determinar la multiplicidad de α = 0

en

P = x 8 − x 6 + 6x 3
Factoreamos

P

P = x 3( x 5 − x 3 + 6 )

y obt...
Relaciones entre Raíces y Coeficientes
Dado un polinomio

P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x ...
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces
sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P ...
11 b i) Dado

P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m

para que las raíces de P sean opuestas
Si las raíces d...
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m
para que las raíces de P sean recíprocas

α1 =

Si las ...
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m
para que las raíces de P sean reales e iguales
P tiene...
11 c i)

Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9
sabiendo que
α1 + α2 = 0

Planteamos

α1 + α 2 + α 3 = −

1
0 ...
11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2
sabiendo que
α1 = α2 + α3
α1 + α 2 + α 3 = −

Planteamos
α1 + ...
Vamos ! ! !
Que falta menos ! ! !
Lo esencial es
invisible a los
ojos
A. De Saint Exupery

Así como el hierro se oxida por...
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  1. 1. Polinomios
  2. 2. Trabajo Práctico Nº 6 Polinomios 1) Efectuar P ⋅ Q ; cuando esto sea posible 3 P + Q ; P2 – Q a) P = x2 - 2 e b) P = x + 2 indicar su grado Q = - 3 x2 + 6 Q = x2 + 4 x +4 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? a) P Q b) P3 3) Determinar a ∈ R para : a) P = a ⋅ x3 - a ⋅ x + 2 c) P + Q d) P3 + Q3 es tal que P(2) = - 1 b) P = x2 + 2 ⋅ x + a es tal que 0 es una de sus raíces c) P = a ⋅ x2 - a ⋅ x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2
  3. 3. 4) Hallar el cociente y el resto de la división de P por Q en cada uno de los siguientes casos : a) P = 2x 3 + 7 x 2 − a Q = 2x 2 + 2 b) P = 1 4 x +1 4 Q = x −2 5) Determinar el valor de k tal que P = 2 x3 + k x2 + 5 x + 3 sea divisible por Q = x2 - x + 3 P = x 4 + ax 3 − 6) ¿ Para qué valores de a y b el polinomio (x + 4) ; y tiene resto -18 al dividirlo por (x - 2) ? 1 2 x +b 4 es divisible por 7) Determinar a, b, c ∈ R  para que : a) P = a x2 + b x + c tenga a 1 y a 0 como raíces b) P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b tengan a 2 como raíz común
  4. 4. 8) Hallar todas las raíces de los siguientes 7 polinomios : 3 2 d) P = x 4 + 3x 2 − a) P = 2x − x + 2x − 1 4 1 11 b) P = x 3 − 3x 2 + x − 3 2 2 c) P = x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x e) P = x 4 − 5x 3 + 7 x 2 − 5x + 6 si i es raíz de P 9) Factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x = 2 es una raíz doble. 10) Determinar en cada caso la multiplicidad de α como raíz de P : a) P = (x - 1)2 ⋅ (x2 - 1) ⋅ (x3 - 1) α=1 b) P = x8 - x6 + 6 x3 α=0
  5. 5. 11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. b) Dado P(x) = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m en los siguientes casos i) las raíces son opuestas iii) las raíces son reales e iguales. ii) las raíces son recíprocas c) Hallar las raíces de los siguientes polinomios reales  i) P(x) = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 si α1 + α2 = 0 ii) P(x) = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 si α1 = α2 + α3
  6. 6. Un polinomio es una expresión de la forma P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x 2 + a1x + a0 una sucesión de sumas de términos conformados por un coeficiente ai multiplicado por un factor xi 1 2 3 n i Podemos escribir P = ∑ ai x i =0 donde el coeficiente an se llama coeficiente principal el mayor exponente de x (n), le da el grado al polinomio Decimos entonces que el polinomio Si an ≠ 0 y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes ai≠ an sean nulos P = an x n + an −2x n −2 + ............... + a2x 2 + a0 es de grado n Faltan los términos de grado 1 y n-1 el polinomio es de grado n, pero incompleto P = x3 – 3 x2 + 6 x -1 P = x4 – 3 x2 + 6 x -1 polinomio completo de grado 3 polinomio incompleto de grado 4
  7. 7. La suma de polinomios, se efectúa operando solamente entre términos de igual grado P = x4 – 3 x2 + 6 x –1 Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3 P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 ) 1 2 agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio; P + Q = x4 + x3 + ( - 3 x2 – 2 x2 ) + ( 6 x – 2 x ) + ( -1 + 3 ) Y luego operamos los términos obtenidos P = x4 + x3 – 5 x2 + 4 x + 2 Para multiplicar dos polinomios, se usa la propiedad distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se resuelven cada uno de los términos que resulten Luego sumamos los términos de igual grado R · S = ( x 4 – 3 x2 + 6 x ) · ( x 3 - 2 x + 3 ) = = x4 · x3 + x4 · (-2 x) + x4 · 3 + (-3x2) · x3 + (-3x2) · (-2x) + ( -3 x2) · 3 + 6x · x3 + 6x · (-2x) + 6x · 3 = R · S = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x = R · S = x7 - 5x5 + 9x4 + 6x3 - 21x2 + 18x 3
  8. 8. 1 ) Si a) P = x2 – 2 y Q = - 3 x2 + 6 P ⋅ Q = ( x2 – 2 ) ⋅ ( - 3 x2 + 6 ) = x2 ⋅ (- 3 x2) + x2 ⋅ 6 + (– 2 ) ⋅ (-3x2)+ (-2) ⋅ 6 = P ⋅ Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 = -3 x4 + 12 x2 - 12 grado 4 3P ⋅ Q = 3 ⋅ ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) = 3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 = 0 P2 ⋅ Q = ( x2 – 2 )2 ⋅ ( - 3 x2 + 6 ) = ( x4 - 4x2 + 4 ) ⋅ ( - 3 x2 + 6 ) = = -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x2 + 24 = b) P=x+2 -3x6 + 18x4 - 36x2 + 24 Q = x2 + 4 x +4 grado 3 P ⋅ Q = ( x + 2 ) ⋅ ( x2 + 4 x + 4 ) = x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 = 3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) = x3 + 6 x2 + 12 x + 8 x2 + 7 x + 10 P ⋅Q=(x+2) ⋅(x +4x+4)= (x +4x+4)⋅(x +4x+4)= 2 grado 6 2 2 2 2 = x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 = P2 ⋅ Q = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16 grado 4 grado 2
  9. 9. 2) Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿qué puede decirse del grado de los siguientes polinomios ? El grado de un producto de polinomios siempre va a estar dado por la suma de los grados de los polinomios a) P · Q P · Q es gr (7) Si P es gr(4) y Q es gr(3) b) P3 La potencia de un polinomio será otro polinomio cuyo grado es el grado del polinomio base multiplicado por el exponente P3 es gr (4 · 3) = 12 Si P es gr(4) c) P + Q El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se anulan entre sí) Si P es gr(4) y Q es gr(3) d) P3 + Q4 P + Q es gr (4) ó menor Si P es gr(4) P3 es gr(12) P3 + Q4 es gr (12) ó menor y si Q es gr(3) Q4 es gr(12)
  10. 10. 3 a) si P = a ⋅ x3 - a ⋅ x + 2 para hallar a tal que P(2) = - 1 debemos especializar el polinomio por x = 2 Esto es colocar el valor 2 en cada uno de los lugares que ocupa x en el polinomio P = a ⋅ x3 - a ⋅ x + 2 = a ⋅ 23 - a ⋅ 2 + 2 = - 1 a ⋅ 8- a ⋅ 2 + 2 = 8 a– 2 a + 2 6a=-1-2 6a=-3 e igualamos a - 1 resolvemos despejando a =6a+2 =-1 a = - 1/2 Las raíces de un polinomio son los valores de x que hacen el polinomio igual a 0 b) P = x2 + 2 ⋅ x + a es tal que 0 es una de sus raíces P = x2 + 2 ⋅ x + a = 02 + 2 ⋅ 0 + a = 0 Entonces cuando x = 0 ; P = 0 a=0 3 c
  11. 11. c) Si P = a ⋅ x2 - a ⋅ x + 6 satisface que P(-1) = 6 y gr(P) = 2 Para x = - 1 P = a ⋅ x2 - a ⋅ x + 6 = a ⋅ (-1)2 - a ⋅ (-1) + 6 = a ⋅ 12 + a ⋅ 1 + 6 = 2a+6=6 Si a = 0 pero . . . P = 0 ⋅ x2 - 0 ⋅ x + 6 = 6 2a=6-6 entonces a=0 y resulta que P no es de grado 2; en consecuencia no existe el valor de a buscado
  12. 12. Algoritmo del cociente de polinomios 4 3 2 Para dividir un polinomio P1 = 2x + 3x − x + 4x − 5 por un polinomio P2 = x 2 − 2x + 1 buscamos un valor que multiplicado por el coeficiente principal de P2 planteamos el esquema de la división entre números enteros 4 5 2 - + + x − 2x + 1 2x + 3x − x + 4x − 5 4 3 2 - 2x 4 + 4x 3- 2x 2 +2 x2 resulte igual en valor absoluto al an de P1 y ése es el coeficiente 2⋅1=2 Multiplicamos el monomio así formado por cada principal del polinomio cociente término de P2 y los resultados encolumnamos y le agregamos como factor x debajo de P1 con los términos de igual grado elevado a un valor tal, que multiplicado por el grado de P2 + ⋅ + = + para restar coloco resulte del mismo grado que P1 + ⋅ - = - para restar coloco + + ⋅ + = + para restar coloco Luego viene la colocación del signo, operamos en cada caso respetando la regla de los signos, y luego para restar cambiamos el signo que resulta buscando que al operar el primer término se anule
  13. 13. Ahora sumamos Bajamos el término de mayor grado de P1 que todavía no se operó, con su signo Y empezamos de nuevo el procedimiento 2 2x 4 + 3x 3 − x 2 + 4x − 5 x − 2x + 1 - 2x 4 + 4x 3 - 2x 2 2 2 7x − 3x + 4x - 7 x + 14x - 7 x 3 Resultado : C = 2x + 7x + 11 2 resto 3 R = 19x − 16 De manera que: 2 11x 2 − 3x − 5 2 - 11x + 22x - 11 19x − 16 C ⋅ P2 + R = P 1 2 x + 7 x + 11
  14. 14. 4) Para dividir P = 2x 3 + 7x 2 − a por Q = 2x 2 + 2 Examinamos P y Q, y hallamos que ambos son polinomios incompletos entonces los completamos con términos de coeficientes nulos P = 2x 3 + 7 x 2 + 0x − a Q = 2x 2 + 0x + 2 Hacemos el esquema del cociente entre polinomios 2x 3 + 7 x 2 + 0x − a 3 2 - 2x - 0x - 2x 7 x 2 − 2x − a 2 - 7 x - 0x - 7 − 2x − a − 7 2x 2 + 0x + 2 7 + x + 2 y operamos colocamos los signos de manera que al cambiar para restar, el primer término del resultado se anule sumamos . . . bajamos a con su signo C =x + 7 2 R = −2x − a − 7 Y empezamos a operar nuevamente
  15. 15. 4) Para dividir P = 1 4 x +1 4 por Q = x −2 Examinamos P y Q, y hallamos que P es un polinomio incompleto entonces lo completamos con términos de coeficientes nulos P = 1 4 x + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 4 Hacemos el esquema del cociente entre polinomios Q = x −2 y operamos 1 4 colocamos los x −2 x + 0x 3 + 0x 2 + 0x + 1 signos de manera 4 que al cambiar para 1 3 1 2 x 1 4 1 3 + x + x -2 restar, el primer - x + x 4 2 4 2 término del resultado se anule 1 3 + 0x 2 + x sumamos . . . 2 bajamos 0x2 con su signo 1 3 1 1 x - x2 C = x 3 + x 2 − x − 2 Y empezamos a 2 operar nuevamente 4 2 − x 2 + 0x otra vez . . . 2 R = −3 + x - 2x − 2x + 1 + 2x - 4 -3
  16. 16. 5) para determinar k tal que sea divisible por por P = 2x 3 + kx 2 + 5x + 3 Q = x2 −x +3 buscaremos el cociente P / Q, y al resto lo igualamoa a cero. Entonces podremos decir que P es divisible por Q Hacemos el esquema del cociente entre polinomios 2x 3 + kx 2 + 5x 3 2 - 2x + 2x - 6x ( k + 2) x 2 − x +3 +3 y operamos x2 −x +3 + 2x + ( k + 2) - ( k + 2 ) x + ( k + 2 ) x -3( k + 2 ) 2 bajamos Y empezamos a operar nuevamente ( k + 1 ) x − ( 3k + 3) Para que P sea divisible por Q, el resto debe ser 0 ( k + 1 ) x − ( 3k + 3) = 0 ( k + 1 ) x − 3( k + 1 ) = 0 Ambos términos deben ser 0; y esto se logra con ( k + 1) = 0 k = −1 3
  17. 17. 6) P = x 4 + ax 3 − 1 2 x +b 4 es divisible por (x + 4) ; entonces Si P es divisible por (x+4); -4 es raíz del polinomio; luego si especializo el polinomio por –4, tendrá resultado 0 P = ( −4 ) 4 + a ( −4 ) 3 − 1 ( −4 ) 2 + b = 0 4 entonces Si al dividir por (x-2) se obtiene resto -18 P = 16 + 8a − 1 + b = −18 entonces 256 − 64a − 4 + b = 0 P = 24 + a ⋅ 23 − 1 2 ⋅ 2 + b = −18 4 16 + 8a − 1 + b = −18 Con los resultados obtenidos componemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 256 − 64a − 4 + b = 0 16 + 8a − 1 + b = −18 Se puede escribir − 64a + b = −252 Se puede escribir 16 + 8a − 1 + b = −18 El sistema será: − 64a + b = −252    8a + b = −33 
  18. 18. En el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, − 64a + b = −252    8a + b = −33  Verificamos que las ecuaciones estén ordenadas, de manera que las incógnitas queden encolumnadas y los términos independientes en el 2º miembro Y resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos (determinantes, sustitución, etc.) a= b= ∆a − 219 73 = = ∆ − 72 24 ∆= ∆b 4128 1032 172 = = =− ∆ − 72 − 18 3 a= 73 24 b=− ∆a = 172 3 ∆b = El polinomio es: P =x4 + − 64 1 8 − 252 1 − 33 − 64 − 252 8 1 − 33 1 = −64 ⋅ 1 − 8 ⋅ 1 = −72 = −252 ⋅ 1 − ( −33) ⋅ 1 = −219 = ( −64 ) ⋅ ( −33) − 8 ⋅ ( −252) = 4128 73 3 172 2 x − x +b 24 3
  19. 19. 7) P = a x2 + b x + c tiene a 1 y a 0 como raíces Si 1 y 0 son raíces del polinomio; si especializo el polinomio por 1 y 0 respectivamente, tendrán resultado 0 P = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = 0 P = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 0 entonces entonces 0+ 0+c = 0 c =0 a +b +c =a +b + 0 = 0 a = −b Se verifica la condición siempre que c= 0 y a=b pero tienen signos diferentes b) Si P = x2 - b x + a y Q = a x3 – b para hallar valores de a y b que tengan a 2 como raíz común P = 22 − b ⋅ 2 + a = 0 Q = a ⋅ 23 − b = 0 Conformamos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas a − 2b = −4    8a − b = 0 
  20. 20. Y resolvemos el sistema aplicando sustitución a − 2b = −4    8a − b = 0  si 8a − b = 0 8a = b Sustituimos este resultado en la primera ecuación y tenemos a − 2 ⋅ ( 8a ) = −4 − 15a = −4 a − 16a = −4 entonces Ahora que conocemos el valor de a, podemos buscar el valor de b, haciendo: 8a = b 8( 4 ) =b 15 b= 32 15 Los polinomios buscados resultan ser: P =x2 − 32 4 x + 15 15 Q= 4 3 32 x − 15 15 a= 4 15
  21. 21. 8a Regla de Ruffini 8b Al dividir un polinomio n P = an x + an −1x n −1 + an − 2x n −2 + ............... + a2x + a1x + a0 2 Q =x −α 8c 8e por un polinomio Q de grado 1 de la forma x - α 9 10 El resultado será un polinomio C de grado n – 1 C = cn −1x n −1 + cn − 2x n − 2 + ............... + c2x 2 + c1x + c0 Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente Se ubica convenientemente el valor α y se procede con el siguiente algoritmo Bajamos el coeficiente principal an como cn-1 multiplicamos cn-1 x α y colocamos debajo de an-1 Sumamos an-1+ αcn-1 y multiplicamos ese resultado cn-2 x α y colocamos debajo de an-2 Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes an α an-1 αcn-1 cn-1 cn-2 an-2 a2 a1 αcn-2 αc2 αc1 αc0 cn-3 c1 c0 r ....... a0
  22. 22. En el esquema an an-1 αcn-1 α cn-1 cn-2 an-2 a2 a1 αcn-2 . . . . . . . αc2 αc1 αc 0 c0 r cn-3 ....... ....... c1 a0 C = cn −1x n −1 + cn − 2x n − 2 + ............... + c2x 2 + c1x + c0 Y r es el resto que resulta de dividir P / Q Observe que si P es divisible por Q, y también que polinomio si r = 0 ; P Q r C r=0 α es raíz del 8b 8c 8e Los ci son los coeficientes del polinomio cociente 8a 9 10
  23. 23. Sea Teorema de Gauss n P = an x + an −1x n −1 + an − 2x n −2 + ............... + a2x + a1x + a0 Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma donde y p es divisor de a0 Si P = x3 - 2x2 – x + 2 a0 = 2 y 8a 2 p q 8b 8c q es divisor de an an = 1 p = 2 = 2 ∨ 2 = −2 ∨ 1 = 1 ∨ 1 = −1 q 1 −1 1 −1 Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las raíces, sino que pueden ser raíces, porque, si el polinomio admite raíces racionales, entonces esas raíces son de la forma p/q pero . . . p: divisores de 2 son ± 2 ; ± 1 q: divisores de 1 son ± 1 posibles raíces son: ± 2 ; ± 1 No todos los p/q tienen que ser necesariamente raíces del polinomio P Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la forma p/q 9
  24. 24. Para comprobar cuales son raíces y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que son posibles raíces. Si P = x3 - 2x2 – x + 2 8a y las posibles raíces son: ± 2 ; ± 1 8b Para x = 2 P = 23 – 2 ⋅ 22 – 2 + 2 = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 x = 2 es raíz Para x = -2 P = (-2)3 – 2 ⋅ (-2)2 – (-2) + 2 = - 8 – 8 + 2 + 2 = -12 x = - 2 no es raíz Para x = -1 P = (-1)3 – 2 ⋅ (-1)2 – (-1) + 2 x = -1 es raíz Para x = 1 P = 13 – 2 ⋅ 12 – 1 + 2 = -1–2+1+2=0 =1–2–1+2= 0 8c x = 1 es raíz P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres raíces; por ser las tres raíces racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss Observe también que la aplicación del Teorema de Gauss nos proporcionó una “posible raíz” de la forma p/q; x = -2 que resultó no ser raíz de P Porque el teorema de Gauss proporciona todas las raíces racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen necesariamente que ser raíces del polinomio 9
  25. 25. Descomposición de un polinomio en un producto de factores binomiales Sea P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x 2 + a1x + a0 Cuyas raíces son α1; α2; α3; . . . . . αn-1; αn El polinomio P puede escribirse 8a 8b 8c 8d 8e 9 P = an ( x − α1 ) ⋅ ( x − α 2 ) ⋅ ( x − α3 ) . . . ( x − αn −1 ) ⋅ ( x − αn ) Observe que si x toma el valor de cualquiera de las raíces αi Habrá al menos un factor que será (x - αi) = (αi - αi ) = 0 Haciendo P = 0 Puede suceder que un valor αi sea r veces raíz de un polinomio entonces tenemos una raíz múltiple; y suponiendo que α1 es dos veces raíz del polinomio y α2 es tres veces raíz del polinomio y las restantes raíces son simples, el polinomio factoreado será . . . P = an ( x − α1 ) 2 ⋅ ( x − α2 ) 3 ⋅ ( x − α3 ) . . . ( x − α j −1 ) ⋅ ( x − α j )
  26. 26. 8 a) Para hallar las raíces de P = 2x 3 − x 2 + 2x − 1 Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1 Los divisores de a0 son p = ± 1 Los divisores de an son p = ± 1; ± 2 p 1 1 = + 1; − 1; + ; − Las posibles raíces son de la forma q 2 2 Ruffini Gauss Podríamos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaríamos solamente comprobando si esos valores son o no raíces del polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raíz, hallamos también un polinomio de grado inferior que es submúltiplo de P y en consecuencia sus raíces son raíces de P; de manera que si las raíces no fueran todas racionales, vamos situándonos en mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini. El “sentido” de aplicar Ruffini es que si α es raíz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - α). Detectamos si α es raíz del polinomio P y al mismo tiempo obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas raíces son los mismos valores de raíces que nos restan encontrar aún 8 b 8 c 8 d 8 e
  27. 27. p 1 1 = + 1; − 1; + ; − q 2 2 P = 2x − x + 2x − 1 3 2 2 -1 2 2 1 2 2 -1 1 3 1 3 2 -1 2 -1 3 -5 -3 5 -6 -1 2 -1 1 2 2 -2 1 -1 2 2 0 1 2 0 0 8 b Ruffini ≠0 1 No es raíz del polinomio ≠0 -1 No es raíz del polinomio → 8 c 1/2 ES raíz del polinomio 8 d 8 e Gauss
  28. 28. Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir como P = 2x − x + 2x − 1 3 2 0 2 1 − 2 -1 2 -1 De (2x2 + 2) = 0 2 Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo de menor grado 1 2 5 2 1 P = ( x − )( 2x 2 + 2) 2 − ≠0 despejamos x 1 2 2x 2 − 2 = 0 Ruffini Gauss Factoreo No es raíz del polinomio → 2x 2 = −2 x = −1 = ± i 1 P = 2x 3 − x 2 + 2x − 1 = 2( x − )( x − i )( x + i ) 2 Observe que se cumple que: si P tiene Las raíces son α 1 = 1/2 ; α 2 = i ; α 3 = -i raíces racionales, éstas son de la forma p/q; en este caso existe una Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados obtenidos raíz racional y dos raíces complejas Entonces: asimismo se verifica que: si un número complejo es raíz de un polinomio, su conjugado también es raíz del mismo polinomio. 8 b 8 c 8 d 8 e
  29. 29. 8 b) Para encontrar las raíces de 1 11 P = x 3 − 3x 2 + x − 3 2 2 Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente 3 2 P = x − 6x + 11x − 6 an = 1 y a0 = -6 p = ± 1; ± 2; ± 3; ± 6 y 1 1 Gauss Factoreo Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas Para aplicar el Teorema de Gauss q=±1 -6 11 -6 1 1 Ruffini -5 6 -5 6 0 p = ±1; ± 2; ± 3; ± 6 q Aplicando la Regla de Ruffini entonces P = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 = ( x − 1 )( x 2 − 5x 2 + 6) Buscamos ahora las raíces de ( x 2 − 5x 2 + 6) 8 c 8 d 8 e
  30. 30. Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces de x 2 − 5x 2 + 6 = 0 Gauss 2 5 ± ( −5 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 5 ± 1 = = 2⋅1 2 x2 = 3 x3 = 2 Las raíces de Son x1 = 1; Factoreo P = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 x2 = 2; x3 = 3 Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q P = ( x − 1 )( x − 2)( x − 3) 1 P = ( x − 1 )( x − 2)( x − 3) 2 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2 8 c 8 d 8 e
  31. 31. Le falta el término independiente P = x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x 8 c) Al polinomio Podemos comenzar sacando factor común Encontramos que la primera raíz x1 = 0 x P = x ( x 3 + x 2 − 4x − 4 ) (si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresión) x 3 + x 2 − 4x − 4 Buscamos entonces las restantes raíces en an = 1 y a0 = -4 p = ± 1; ± 2; ± 4 y q=±1 1 1 1 -4 2 -2 2 -2 1 No es raíz -6 ≠0 donde q son divisores de an 1 -4 -4 -1 -1 1 0 4 0 -4 0 -1 ES es raíz; x2 = -1 8 d 8 e Gauss Factoreo p son divisores de a0 1 -4 1 1 p = ±1; ± 2; ± 4 q Ruffini
  32. 32. entonces P = x ( x 3 + x 2 − 4x − 4 ) = x ( x + 1 )( x 2 − 4 ) x2 − 4 Buscamos ahora las raíces de despejamos x2 − 4 = 0 x3 = 2 Con x1 = 0 y x = 4 x2 = 4 y Factoreo x4 = -2 x2 = -1 hallados el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales) P = x ( x 3 + x 2 − 4x − 4 ) = x ( x + 1 )( x − 2 )( x + 2 ) P = x ( x + 1)( x 2 − 4 ) 8 d 8 e
  33. 33. 8 d) Si P = x 4 + 3x 2 − 7 4 Polinomio de grado cuatro con los términos de grado 3 y 1 nulos Es posible aplicar la fórmula para la ecuación bicuadrática, que no es otra cosa que: a la fórmula de la ecuación de segundo grado Aplicarle nuevamente raíz cuadrada, y así P = x 4 + 3x 2 − xi = ± 7 4 − 3 ± 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ − 7 2⋅1 x1 − 2 − 3 − 4 a = 1; x1 − 2 − b ± b 2 − 4ac = 2a Factoreo − b ± b 2 − 4ac =± 2a b = 3; c= -7/4 x1 = 4 =± −3± 9+7 = ± −3± 4 2 2 Puede factorearse como  1  1  7  7   x +  x − P = x − i  x + i  2  2  2  2       1 2 1 2 x2 = − x3 = − 7 = 2 x4 = − − 8 e 7 i 2 7 7 =− i 2 2
  34. 34. 8 e) Si P = x 4 − 5x 3 + 7 x 2 − 5x + 6 Sabiendo por la consigna que i es raíz del polinomio Entonces –i también es raíz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos raíces conocidas y el polinomio de grado 4 quedará reducido a un polinomio de grado 2 i 1 -5 7 -5 i 1 -1 - 5i 5 + 6i 6 - 5i 6i 0 5i -6i -i -i 1 x2 −3 -5 6 5 ± ( −5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 2⋅1 6 Factoreo -6 -5 + i Ruffini P = ( x − i )[ x 3 + ( − 5 + i ) x 2 + ( 6 − 5 i ) x + 6 i ] P = ( x − i )( x + i )( x 2 − 5x + 6) 0 x2 −3 = 5 ± 25 − 24 5 ± 1 = 2 2 Finalmente P = ( x − i )( x + i )( x − 3)( x − 2) x3 = 3 x4 = 2
  35. 35. Raíces múltiples Factorear un polinomio es transformar la expresión P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x 2 + a1x + a0 En otra de tipo 9 P = an ( x − α1 )( x − α2 )..............( x − αn −1 )( x − αn ) Donde los αi son las raíces del polinomio con 1 ≤ i ≤ n Puede suceder que α1 = α2 = α3 entonces diremos que ese valor de α1 es tres veces raíz del polinomio ó lo que es lo mismo α1 es raíz triple de P En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será P = an ( x − α1 ) 2( x − α2 ) 2( x − α3 ) 3( x − α 4 ) α1 es raíz doble α2 es raíz doble α3 es raíz triple α4 es raíz simple 10
  36. 36. 9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que x=2 es una raíz doble. Buscamos las restantes raíces aplicando Ruffini 1 2 1 6 -8 8 -4 4 -8 -2 2 -4 2 2 -4 2 0 4 0 1 2 0 0 Ruffini Factoreo P = ( x − 2)( x 3 − 2x 2 + 2x − 4 ) Por ser x = 2 raíz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x = 2 P = ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 ) Ahora despejamos x de la expresión resultante x2 +2 = 0 Conocidas todas las raíces, factoreamos el polinomio P = ( x − 2 )( x − 2 )( x − 2i )( x + 2i ) P = ( x − 2 ) 2( x 2 + 2 ) x = −2 x3 = 2i x 4 = − 2i Que también se puede escribir
  37. 37. 10 a) determinar la multiplicidad de α = 1 en P = (x - 1)2 ⋅ (x2 - 1) ⋅ (x3 - 1) P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7 Ruffini Factoreo Significa que P tiene 7 raíces, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ó ser todas diferentes, etc. Acá x = 1 es dos veces raíz del polinomio acá x = 1 es una vez más raíz del polinomio Analizamos por separado cada factor (x2 - 1) = (x – 1 ) (x + 1) En x3 – 1 (x - 1)2 = (x - 1) (x - 1) también x = -1 es raíz del polinomio 1 es nuevamente una vez mas raíz del polinomio Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes raíces 1 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 0 1 10 b
  38. 38. Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la fórmula de la ecuación de segundo grado Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1 Para a x2 + b x + c = 0 x1 − 2 = −1± −3 − b ± b2 − 4 ⋅ a ⋅ c − 1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = = = = 2 2⋅a 2⋅1 − 1 ± 3i 2 x1 = − 1 3 + i 2 2 1 3 x2 = − − i 2 2 Factoreo Diferencia de cuadrados P = (x - 1)2 ⋅ (x2 - 1) ⋅ (x3 - 1) es   1  1 3   3  P = ( x − 1 ) 2 ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) ⋅ x −  − + i   ⋅ x −  − −  2 2   2 2 i           1  1 3   3  P = ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅  x −  − +  2 2 i   ⋅ x −  − 2 − 2 i            α = 1 es cuatro veces raíz de P; el orden de multiplicidad de α=1 es 4 10 b
  39. 39. 10 b) Para determinar la multiplicidad de α = 0 en P = x 8 − x 6 + 6x 3 Factoreamos P P = x 3( x 5 − x 3 + 6 ) y obtenemos Con seguridad el factor x5 −x3 +6 Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raíz α = 0 en Es k = 3 No tiene raíz Factoreo α=0 P = x 3( x 5 − x 3 + 6 )
  40. 40. Relaciones entre Raíces y Coeficientes Dado un polinomio P = an x n + an −1x n −1 + an −2x n − 2 + ............... + a2x 2 + a1x + a0 11a 11b 11c Es posible establecer Con raíces α1; α2; α3; . . . . αn-1; αn relaciones entre las raíces αi a y los coeficientes ai de P α1 + α2 + α3 + αn-1 + αn = − n −1 an La suma de las raíces es igual al an −2 segundo coeficiente cambiado de signo, α1 ⋅ α2 + α1 ⋅ α3 + . . . . + αn-1 ⋅ αn = an dividido por el coeficiente principal a α1 ⋅ α2 ⋅ α3 + . . . . + αn-2 ⋅ αn-1 ⋅ αn = − n −3 La suma de los productos binarios de las an raíces es igual al tercer coeficiente, .......................... ......... dividido por el coeficiente principal a ( −1 ) n 0 α1 ⋅ α2 ⋅ α3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ αn-2 ⋅ αn-1 ⋅ αn = an Análogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos – ó + alternativamente El producto de las n raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + ó -, según que n sea par o impar, respectivamente
  41. 41. 11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus raíces sabiendo que el producto de dos de ellas es 1. Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 raíces Por relaciones entre raíces y a α1 ⋅ α2 ⋅ α3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ αn-2 ⋅ αn-1 ⋅ αn = ( −1 ) n 0 coeficientes an 3  6 α1 ⋅ α2 ⋅ α3 = 3 α1 ⋅ α2 ⋅ α3 = ( −1 ) 3  −  = ( −1 )( −3) = 3 2  pero 2 -11 α1 ⋅ α2 = 1 17 -6 6 3 2 -15 6 -5 2 0 Factoreando entonces 1 ⋅ α3 = 3 α3 = 3 Aplicamos Ruffini con la raíz conocida ahora resolvemos la ecuación 2x 2 − 5x + 2 = 0 2 5 ± 5 − 4⋅2⋅2 5± 9 5±3 = = 2⋅2 4 4 P = 2( x − 3)( x − 2 )( x − 1 2 ) x1 − 2 = Te propongo la verificación de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y obtener el polinomio P 11 b 11 c x1 = 2 x2 = 1/2
  42. 42. 11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m para que las raíces de P sean opuestas Si las raíces de P deben ser opuestas α1 = - α2 Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes en nuestro caso Entonces podemos escribir y 7( m − 1 ) 8m α1 + α2 = − α1 + α2 = − − 7( m − 1 ) = 0 α1 + α2 = − pero por otro lado, sabemos que 7( m − 1 ) =0 8m α1 + α2 = - α2 + α2 = 0 entonces m ≠ 0 7m = 7 − 7m + 7 = 0 Verificamos para m = 1 an −1 an P = 8x 2 + 7( 1 − 1 ) x + 1 m =1 P = 8x 2 + 1 Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las raíces 8x 2 + 1 = 0 x = − 1 8 x1 = x2 = − 1 i 8 1 i 8 11 c
  43. 43. 11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m para que las raíces de P sean recíprocas α1 = Si las raíces de P deben recíprocas Aplicando relaciones entre raíces y coeficientes en nuestro caso α1 ⋅ α2 = Entonces podemos escribir y 8m = 1 1 8m α1 ⋅ α2 = m= 1 α2 1 = = 8m α2 1 1 ⋅ α2 = α1 ⋅ α2 = α2 8m con m≠0 m= Verificamos para 1 1 P = 8 ⋅ x 2 + 7( − 1 ) x + 1 8 8 2 x1 − 2 a0 α1 ⋅ α2 = an pero por otro lado, sabemos que 1 8 1 α2 49  49  ± −  − 4 ⋅1⋅1 8  8  = 2⋅1 P = x2 − 49 x +1 8 x1 ≅ 5,96 1 8 Igualando el polinomio P a 0 y aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado x2 ≅ 0,17 11 c
  44. 44. 11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m ≠ 0, determinar m para que las raíces de P sean reales e iguales P tiene dos raíces (grado 2) y si las raíces son iguales α1 = α2 − b ± b 2 − 4a ⋅ c En la fórmula que resuelve la ecuación de 2º grado 2a −b b 2 − 4a ⋅ c = 0 Para que al quedar como soluciones solamente 2a a = 8m c =1 b = 7( m − 1 ) [ 7( m − 1 )] 2 − 4( 8m ) ⋅ 1 = 0 b 2 − 4a ⋅ c = 0 49( m 2 − 2m + 1 ) − 32m = 0 49m 2 − 98m + 49 − 32m = 0 Resuelvo ahora la ecuación de 2º grado m1 = 130 + 16 2 98 sean α1 = α2 49( m − 1 ) 2 − 32m = 0 49m 2 − 130m + 49 = 0 130 ± ( −130 ) 2 − 4 ⋅ 49 ⋅ 49 = 2 ⋅ 49 m2 = hacemos 130 − 16 2 98 11 c 130 ± 7296 = 98
  45. 45. 11 c i) Para hallar las raíces de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que α1 + α2 = 0 Planteamos α1 + α 2 + α 3 = − 1 0 + α3 = 2 −1 1 = 2 2 1 α3 = 2 entonces 1 2 2 -1 -18 9 1 2 0 -9 -18 0 0 Factoreando Pero si α1 + α2 = 0 Aplicamos Ruffini Podemos escribir 1 P = 2x 3 − x 2 − 18x + 9 = ( x − )( 2x 2 − 18 ) 2 Buscamos las restantes raíces 2x 2 − 18 = 0 x2 = Entonces α 1 = 3 y 1 P = 2x 3 − x 2 − 18x + 9 = 2( x − 3)( x + 3)  x −    2  Recuerde que se trata de un polinomio no mónico (a n ≠ 0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente principal 18 =9 2 α2 = - 3
  46. 46. 11 c) ii) Para hallar las raíces de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que α1 = α2 + α3 α1 + α 2 + α 3 = − Planteamos α1 + α1 = − 2 1 entonces 2 3 2 = −2 1 2α1 = −2 2 -1 -1 1 -1 -2 1 2 0 Pero si luego α1 = α2 + α3 α1 = − 1 Aplicamos Ruffini Buscamos las restantes raíces x2 +x +2 = 0 − 1 ± 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 − 1 ± 1 − 8 = = 2 2⋅1 α2 = − 1 7 + i 2 2 α3 = − 1 7 − i 2 2 La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario, que lo resolvemos calculando la raíz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i Factoreando   1  1 7   7  P = ( x + 1 ) ⋅ x −  − + i   ⋅ x +  − −  2 2   2 2 i        
  47. 47. Vamos ! ! ! Que falta menos ! ! ! Lo esencial es invisible a los ojos A. De Saint Exupery Así como el hierro se oxida por falta de uso, así también la inactividad destruye el intelecto. Leonardo Da Vinci.

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