filtros

1. TEMA 7.- FILTROS 1
ÍNDICE
1.- Introducción .............................................................................................................. 2
2.- Clasificación de los Filtros ........................................................................................ 2
3.- Filtros Pasivos y Filtros Activos ................................................................................ 2
3.1.- Ventajas e Inconvenientes de los Filtros Activos ........................................ 3
3.2.- Campo de Utilización .................................................................................. 3
4.- Filtros Ideales y Reales .............................................................................................. 4
5.- Filtros Pasivos ........................................................................................................... 6
5.1.- Función de Butterworth ............................................................................... 6
5.2.- Función de Chebyshev ................................................................................ 8
5.3.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Bajo (LP) .................................... 10
5.4.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Alto (HP) .................................... 11
5.5.- Realización de Filtros Pasivos de Paso-Banda (BP) ................................. 13
6.- Adaptación de Impedancias .................................................................................... 15
7.- Filtros Activos ........................................................................................................ 16
7.1.- Estructura VCVS ..................................................................................... 17
7.2.- Estructura Bicuadrática. ........................................................................... 18
7.3.- Escalado ................................................................................................... 18
7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo Activo (LP) .................................................. 19
7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto Activo (HP) .................................................. 22
7.6.- Diseño de Filtro de Paso-Banda Activo (BP) .......................................... 23
8.- Sensibilidad ........................................................................................................... 28
9.- Filtros de capacidades Conmutadas ........................................................................ 29
10.- Ejercicios .............................................................................................................. 30

2. TEMA 7.- FILTROS 2
1. Introducción.-
Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadas frecuencias del
espectro de la señal de entrada y permitir el paso de las demás. Se denomina espectro de
una señal a su descomposición en una escala de amplitudes y fases respecto de la
frecuencia. Obsérvese que mientras el osciloscopio es un instrumento que analiza la
señal en relación con el tiempo, el analizador de espectro lo hace por medio de la
Transformada de Fourier.
Entonces llamaremos filtros a los circuitos que se encarguen de separar o rechazar
diferentes tipos de señales, distinguiendo entre estos filtros analógicos y filtros digitales.
Los filtros analógicos son los que se encargan de trabajar con señales de tipo analógicas
(continuas), y los digitales los que se encargan de trabajar con señales de tipo discretas,
cuya implementación generalmente se realiza vía software. Nosotros analizaremos los
filtros analógicos.
2. Clasificación de los filtros .-
Los filtros se pueden clasificar de la siguiente forma:
Según su Función
Filtros de radiocomunicación.
Filtros de modulación y demodulación
Filtros de análisis de espectro.
Filtros que mejoran la relación señal-ruido.
Multiplicadores de frecuencia.
Filtros correctores.
Según la Gama de Frecuencias
Audiofrecuencias.
Hiperfrecuencias
Etc...
Según su Tecnología.
Filtros Pasivos.
Filtros Activos.
3. Filtros Pasivos y Filtros Activos.-
a) Filtros Pasivos:
Están construidos exclusivamente por elementos pasivos como resistencias,
condensadores y bobinas. Estos filtros generalmente son inviables en bajas
frecuencias al exigir inductancias muy grandes.
b) Filtros Activos:
Constan de elementos pasivos asociados a otros activos (válvulas, transistores o
amplificadores operacionales).
La primera generación de estos filtros utilizaba las válvulas, por lo que tenían un
consumo de potencia muy alto, ruidos, baja ganancia, etc..

3. TEMA 7.- FILTROS 3
La segunda empleaba transistores como elementos activos y, aunque tenía más
ventajas que la anterior, no tenía unas características enteramente satisfactorias.
La tercera generación, objeto de nuestro estudio, utilizaba los amplificadores
operacionales. La alta resistencia de entrada y la baja resistencia de salida de los
OPAMPS , además de otras características, permiten la realización de filtros con
cualidades óptimas.
Los filtros pasivos no requieren fuentes externas de energía, y funcionan sin
alimentación. En cambio los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC
y amplificadores, los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento.
3.1. Ventajas e Inconvenientes de los filtros activos.-
En comparación con los pasivos, los filtros activos poseen una serie de ventajas:
Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencia, son voluminosas
pesadas y caras.
Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación de etapas simples.
Proporcionan una gran amplificación de la señal de entrada (ganancia), lo que es
importante al trabajar con señales de niveles muy bajos.
Facilidad en los ajustes, actuando simplemente sobre el elemento activo.
Por otro lado tiene una serie de inconvenientes:
Exige una fuente de alimentación
Su respuesta de frecuencia esta limitada por la capacidad de los A.O utilizados.
Es imposible su aplicación en sistemas de media y alta potencia.
Los circuitos resonantes activos pueden tener un coeficiente de sobretensión
(factor de calidad Q que se verá más adelante) tan grande como se desee. Por
consiguiente, teóricamente se pueden realizar filtros activos con las características que
se quieran; pero esto no es posible en la práctica, ya que cuanto mayor sea el coeficiente
de sobretensión mayor será también el riesgo de oscilación espontánea, es decir, su
inestabilidad. El riesgo de inestabilidad es el principal inconveniente de los filtros
activos, y también es el factor que limita sus características y su aplicación.
3.2. Campo de utilización.-
Los filtros activos son los que resultan más convenientes en el campo de las
frecuencias muy bajas. Como son poco voluminosos y, a menudo, de reducido coste,
pueden compararse con ventaja a los filtros pasivos en el campo de las
audiofrecuencias.
Estas cualidades les hacen también estimables para ciertas aplicaciones en
frecuencias de hasta algunos centenares de KHz, cuando el volumen y el precio de coste
son factores determinantes y cuando los coeficientes de sobretensión que se precisan no
son demasiado elevados.

4. TEMA 7.- FILTROS 4
4. Filtros ideales y reales.-
Como se mencionó anteriormente, los filtros constituyen tipos de circuitos
diseñados para obtener características especificas de selectividad respecto a la
frecuencia. Dejan pasar unas frecuencias sin apenas afectarlas (en la banda de paso) y
eliminan otras (en las bandas de atenuación). Idealmente, en la banda de paso, |H(ω)| =
1, y en la banda de atenuación H(ω) = 0.
En la figura podemos observar filtros pasa-bajos (a), pasa-altos (b), pasa-banda (c) y
rechazo-banda (d).
Los filtros ideales no son físicamente realizables, atentan contra el principio de
causalidad (h(t)=0 ∇ t<0), pero se pueden diseñar y construir filtros reales tan cercanos
a los ideales como se desee. Cuanto más se aproxime a la característica ideal, más
complejo será el circuito real. La respuesta en frecuencia se puede aproximar a la de los
filtros ideales si se incrementa el orden del filtro.

5. TEMA 7.- FILTROS 5
Tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo) de un filtro
Una red eléctrica transmite una señal sin deformación si ésta sufre un retardo
constante τ ≥ 0. Para una componente de la señal cuya pulsación sea ω, este retardo se
θ
traduce en un desfase: θ = ωτ, o sea, = τ = cte . (θ = ∠H(ω))
ω
En general, para que un filtro transmita una señal sin deformación es suficiente
que en toda la banda de paso se cumpla la relación:
dθ
= cte
dω
La magnitud τ se llama tiempo de propagación de grupo (o retraso de grupo). La
regularidad de este tiempo de propagación de grupo de un filtro a lo largo de la banda
de paso refleja su aptitud para transmitir señales transitorias sin deformación. Así, un
filtro ideal tiene un tiempo de propagación de grupo constante en toda la banda de paso
(fig.3).

6. TEMA 7.- FILTROS 6
Desafortunadamente no se conoce la forma de concebir de modo sencillo un filtro
que se acerque al ideal en lo que se concierne a la atenuación y que se presente, a la vez,
un tiempo regular de propagación de grupo. El filtro real, o bien tiene una buena
respuesta de amplitud pero una mala regularidad del tiempo de propagación de grupo
(fig 4), o bien presenta un tiempo de propagación de grupo regular pero su curva de
respuesta de amplitud se aleja mucho de la del filtro ideal (fig. 5).
5. Filtros Pasivos.-
5.1. Función de Butterworth.-
Los filtros de Butterworth poseen la propiedad de tener una curva de respuesta lo
más plana posible en el origen, es decir, para la frecuencia cero.
La función de Butterworth viene definida por la ecuaciones:
H (ω ) H (ω )
2
1 1
2
= 2n
=
H ( 0) ⎛ω ⎞ H ( 0) ⎛ω ⎞
2n
1+ ⎜
⎜ω ⎟
⎟ 1+ ⎜ ⎟
⎝ c ⎠ ⎜ω ⎟
⎝ c ⎠
también por:
2
H( f ) 1 H( f ) 1
2
= 2n
=
H ( 0) ⎛ f ⎞ H ( 0) ⎛ f ⎞
2n
1+ ⎜ ⎟
⎜f ⎟ 1+ ⎜ ⎟
⎝ c⎠ ⎜f ⎟
⎝ c⎠
donde:
wc=2πfc Frecuencia de corte (aquella a la que |H(ω)| cae –3dB respecto a DC en
filtros LP)
n = orden del filtro ( a mayor n mayor pendiente)

7. TEMA 7.- FILTROS 7
Ejercicio 1:
Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50Hz , empleando un filtro Butterworth
con una frecuencia de corte fc=10 Hz.
La atenuación de un filtro viene determinada por la ecuación :
H( f )
AdB = −20 Log
H ( 0)
Operando sobre la función de Butterworth
H( f )
2
1 ⎡ H( f ) ⎤ ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤
= 2 Log ⎢ ⎥ = − Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
2 2n
H ( 0) ⎛ f ⎞ ⎢ H ( 0) ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1+ ⎜ ⎟
⎜f ⎟
⎝ c⎠
⎡ H( f ) ⎤ ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ ⎡ H( f ) ⎤
− 20 Log ⎢ ⎥ = 10 Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟ como AdB = −20 Log ⎢ ⎥
⎢
⎣ H ( 0) ⎥
⎦ ⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
⎣ ⎦ ⎢ H (0) ⎥
⎣ ⎦
AdB ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ AdB
⎛ f ⎞
2n
⎡ AdB ⎤ ⎛ f ⎞
= Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟ 10 10
−1 = ⎜ ⎟
⎜f ⎟ Log ⎢10 10 − 1⎥ = 2nLog ⎜ ⎟
⎜f ⎟
10 ⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
⎣ ⎦ ⎝ c⎠ ⎢
⎣ ⎥
⎦ ⎝ c⎠
⎡ AdB ⎤ ⎡ 10 ⎤
60
Log ⎢10 − 1⎥ Log ⎢10 − 1⎥
10
⎢
⎣ ⎥
⎦= ⎣ ⎦ = 6 = 3 = 4.29
n=
⎛ f ⎞ ⎛ 50 ⎞ 2 Log 5 Log 5
2 Log ⎜ ⎟
⎜f ⎟
2 Log ⎜ ⎟
⎝ c⎠ ⎝ 10 ⎠
el orden sería n=5, no es 4 porque se debe construir el mejor filtro posible y cumplir
todas las especificaciones.

8. TEMA 7.- FILTROS 8
5.2. Función de Chebyshev (Tchebyscheff).-
Los filtros de Chebyshev tienen una transición más abrupta que las funciones de
Butterworth entre la banda de paso y la banda atenuada (pero a frecuencias altas, ya
muy inmersos en la banda atenuada, todo filtro LP de orden n tiene una atenuación de
20·n dB/dec). Por el contrario la banda de paso no es plana, esto es, presenta rizado.
Es más eficiente repartir el error de aproximación de una forma continua a lo largo de
la banda pasante, lo que podemos conseguir escogiendo:
K ( jω ) = ε 2 ⋅ C n (ω )
2 2
donde Cn(w) (polinomio de Chebychev de 1ª especie y de orden n) es un polinomio que
oscila entre –1 y 1 para 0 ≤ ω ≤ 1 .
2
H( f ) 1
=
H (0)
2
⎧ f ⎫
1 + ε 2 ⋅ Cn ⎨ ⎬
2
⎩ f0 ⎭
De manera general tenemos que:
⎧ ⎡ ⎛ f ⎞⎤ f
⎪cos ⎢n ⋅ arccos⎜ ⎟⎥
⎜f ⎟ ; 0≤ ≤1
⎪ ⎣ ⎝ 0 ⎠⎦ f0
Cn ⎨
⎪ ⎡ ⎛ f ⎞⎤ f
⎪cosh ⎢n ⋅ arccos h⎜
⎜f ⎟⎥
⎟ ; >1
⎩ ⎣ ⎝ 0 ⎠⎦ f0
e x + e−x
coseno hiperbólico cosh( x) =
2
ε es el denominado factor de rizado (ε2≤1). Se especifica mediante el valor pico a pico
en decibelios R|dB=10·log(1+ε2). Si n es par el rizado será positivo y si es impar
negativo (ver figura 7).
f0 es la frecuencia natural (donde acaba el rizado), por tanto ω0=2πf0.

9. TEMA 7.- FILTROS 9
⎡ 1
⎤
⎢ε −1 ⎛10 10 − 1⎞ ⎥
AdB 2
arccos h ⎢ ⎜ ⎜ ⎟
⎟ ⎥
⎢ ⎝
⎣
⎠ ⎥
⎦
n=
⎛ f ⎞
arccos h⎜ ⎟⎜f ⎟
⎝ 0⎠
¿Qué relación existe entre fc (frecuencia de corte (-3dB)) y f0?
⎧f ⎫ ⎧ fc ⎫
2
H ( fc ) 1
2
= Luego 1 + ε 2 ⋅ Cn ⎨ c ⎬ = 2
2
ε 2 ⋅ C n2 ⎨ ⎬ =1
H (0) 2 ⎩ f0 ⎭ ⎩ f0 ⎭
⎧ fc ⎫ ⎧f ⎫ 1
ε ⋅ Cn ⎨ ⎬ =1 Cn ⎨ c ⎬ =
⎩ f0 ⎭ ⎩ f0 ⎭ ε
f c = f 0 ⋅ cosh ⎢
( )
⎡ arccos h 1 ⎤
ε ⎥
⎢ n ⎥
⎣ ⎦
Ejercicio 2:
Se desea atenuar en 60 dB una interferencia de 50 Hz empleando un rizo de Chebyshev
de 0.1 dB y una frecuencia natural (f0) de 5 Hz.
RdB = 10 Log 1 + ε 2 [ ] [
0.1dB = 10 Log 1 + ε 2 ] ε=0.1526
− 20 Log H ( f ) = 10 Log 1 + ε 2 ⋅ C n
2
[ ]
AdB = 10 Log 1 + ε 2 ⋅ C n
2
[ ]
1
⎛ AdB ⎞ 2
⎜10 10 − 1⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = Cn Cn=6553.0
ε
⎛ ⎛ 50 ⎞ ⎞ arccos h(C n )
C n = cosh⎜ n ⋅ arccos h⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎟ n= = 3.16 n=4
⎝ ⎝ 5 ⎠⎠ arccos h(10)
⎡ arccos h 1 ⎤
f c = f 0 ⋅ cosh ⎢
( )
ε ⎥ = ..... = 6.06
⎢ n ⎥
⎣ ⎦

10. TEMA 7.- FILTROS 10
5.3. Realización de Filtros Pasivos de paso bajo (LP).-
Redes (Filtros) terminados si Rs = Rc
Redes (Filtros) no terminados si Rc = ∞ (impedancia de carga infinita)
Siendo Rs la impedancia de fuente y Rc la impedancia de carga.
Metodología.-
Se calcula el orden.
Se construye el filtro LP normalizado consultando la tabla 8.
ωc= 1 rad/seg
Filtro Normalizado Rs= 1Ω
Se desnormaliza.
a) Se dividen L y C entre la ωc real.
b) Se multiplican las impedancias por la Rs real.
⎧ L → L ⋅ RS ⎫
⎪ ⎪
⎪ C ⎪
⎨C→ ⎬
⎪ RS ⎪
⎪ R → R ⋅ RS ⎪
⎭
⎩

11. TEMA 7.- FILTROS 11
Ejercicio.-
Realizar un filtro LP Butterworth a disponer entre una fuente de 600Ω (RS) y una carga
de 600Ω, cuya frecuencia de corte sea de 5KHz y que atenúe los 20 KHz al menos 40
dB por debajo del nivel de continua.
Primero calculamos el orden del filtro:
⎡ AdB ⎤
Log ⎢10 10 − 1⎥
N=
⎢
⎣ ⎥ [ ]
⎦ = Log 10 − 1 = 3.3
4
n=4
⎛ f ⎞ ⎛ 20 K ⎞
2 ⋅ Log ⎜ ⎟ 2 ⋅ Log ⎜ ⎟
⎜f ⎟ ⎝ 5K ⎠
⎝ c⎠
Construimos el filtro normalizado (ωc=1 rad/seg , Rs=1Ω)
Ahora desnormalizamos el circuito y queda de la siguiente forma:
5.4. Realización de Filtros Pasivos de paso alto (HP).-
A partir del diseño de un filtro paso-bajo, pueden obtenerse filtros paso-alto, paso-
banda y rechazo-banda que cumpla similares especificaciones, mediante el uso de
transformaciones. Denotemos ω y s la frecuencia y la variable del filtro paso-bajo
prototipo normalizado en ωc= 1 rad/seg
1 1
ω→ s→
ω s

12. TEMA 7.- FILTROS 12
Transformaciones
Proceso
a) Construimos un LP normalizado consultando la tabla 8.
b) Cambiamos L y C según las reglas de transformación.
c) Desnormalizamos.
Ejemplo.-
Diseñar un filtro Butterworth paso alto de tercer orden con una fc de 500Hz y que
trabaje con Rs=100Ω y Rc=10 MΩ.
Se puede considerar como una red no terminada al ser Rc muy alta (en realidad si
queremos ser exactos debemos hacerlo de otra forma, pero se explicará más adelante en
adaptación de impedancias).
ωc= 2π*500=1000π
Rs=100Ω
Rc=10MΩ (→ ∞)
V0
V0

13. TEMA 7.- FILTROS 13
5.5. Realización de Filtros Pasivos de paso banda (BP).-
El factor de calidad de un filtro paso de banda viene determinado por la ecuación:
W0 f0
Q= =
BW (rad / s ) BW (hz )
A partir del diseño de un LP podemos construir un filtro BP mediante las siguientes
transformaciones:
1
S→S+
S
Proceso
a) Se construye un LP con Rs=1Ω y ωc=1/Q.
b) Transformamos L y C siguiendo las reglas de transformación.
c) Se desnormaliza
R → R ⋅ RS
L → L ⋅ RS
C
C→
RS
d) Se desnormaliza a la frecuencia central ω0.

14. TEMA 7.- FILTROS 14
L
L→
ω0
C
C→
ω0
Ejercicio.-
Diseñar un filtro paso-banda pasivo de tercer orden con frecuencia central 1Khz y ancho
de banda 100hz para disponer entre una fuente de señal de 100Ω y una amplificador de
entrada muy alto.
f0=1 Khz
BW= 100 hz
Rs=100Ω
Rc=∞ Filtro no terminado
1K 1
Q= = 10 →→ ω c = = 0.1rad / seg
100 Q
Construimos un filtro LP con Rs=100Ω y ωc=0.1 rad/seg, realizamos las
transformaciones y desnormalizamos a la frecuencia central con Rs=100Ω y
ω0=2π*1K=2000π.
V0

15. TEMA 7.- FILTROS 15
6. Adaptación de Impedancias.-
Ejercicio:
Diseñar un filtro para este circuito:
Vemos que no es un filtro terminado porque la resistencia Rc≠Rs, pero tampoco es
un filtro no terminado porque Rc≠∞.
1ª Solución (no muy aceptable) es insertar un seguidor de tensión
2º Solución es usando un transformador .
Un transformador es una bipuerta definida por V1 = n ⋅ V2 y i2 = − n ⋅ i1 donde n es
el llamado TURNS RATIO.
V1 = n ⋅ V2 = n(− i2 ) ⋅ R = n ⋅ n ⋅ i1 ⋅ R = n 2 ⋅ R ⋅ i1
132
Req
el ejercicio anterior lo podríamos realizar de la siguiente forma:
n:1 V0

16. TEMA 7.- FILTROS 16
7. Filtros Activos.-
Los filtros activos se componen generalmente por circuitos RC y amplificadores
(OPAMP’s), los cuales necesitan alimentación externa para su funcionamiento, es por
esto que además de filtrar los filtros activos pueden amplificar la señal.
La ecuación de transferencia de un filtro de LP de 2º orden viene definida por:
K ⋅ wn
2
H (s ) =
s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn
2
Donde:
H(0)=K Ganancia en DC
1
ξ= → Factor de Amortiguamiento
2Q
ωn Frecuencia Natural.
Si igualamos el denominador a cero y resolvemos en s obtenemos los dos polos del
sistema.
s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn = 0
2
P1 = −ξwn + j ⋅ wn 1 − ξ 2 P2 = −ξwn − j ⋅ wn 1 − ξ 2
1 24
4 3 1 24
4 3
wp wp
K ⋅ wn
H (s ) =
(s − P1 ) ⋅ (s − P2 )
wn 1 − ξ 2 = ω P
− ξwn
1
Se produce pico de resonancia (ver figura siguiente) para valores de ξ < 0.7071 = .
2
Existe siempre una relación ente la frecuencia natural(ωn) y la de corte(ωc), que depende
del valor de ξ. Para un LP de segundo orden, se puede demostrar que:
( )
BW = ω C = ω n ⋅ 1 − 2ξ 2 + 4ξ 4 − 4ξ 2 + 2

17. TEMA 7.- FILTROS 17
Para el diseño de filtros activos utilizaremos en nuestro caso, dos tipos de estructuras
que, por su simplicidad y estabilidad están especialmente indicadas.
7.1. Estructura VCVS (fuente de tensión controlada por tensión).-
R4 1
K = 1+ ωn =
2
R3 R1 ⋅ C1 ⋅ R2 ⋅ C 2
R4
R3 1 1
2ξ ⋅ ω n = − + +
R2 ⋅ C 2 R1 ⋅ C1 R2 ⋅ C1

18. TEMA 7.- FILTROS 18
7.2. Estructura Bicuadrática.-
R3 1 1
K= wn =
2
2ξ ⋅ wn =
R1 R3 ⋅ R4 ⋅ C 2 R2 ⋅ C
7.3.- Escalado.
De las ecuaciones anteriores podemos intuir que el parámetro k controla la
ganancia del filtro (su altura). ωn está íntimamente relacionada con la frecuencia de
corte ωc (fijan la anchura de dicho filtro), y ξ por otra parte fija la forma de ⏐H(s)⏐. Dos
filtros del mismo orden, idénticos salvo escala tendrán la misma ξ.
Supongamos que tenemos un filtro con estructura bicuadrática con una determinada
1
frecuencia natural y de corte. Veamos que 2ξ = . Queremos que ωn cambie a
R2 ⋅ C ⋅ ω n
ω’n sin que esto afecte a la forma del filtro, por tanto debemos garantizar ξ constante.
Fijándonos en la expresión anterior, podemos conseguir esto sin más que mantener el
producto R·ω·C = constante (esta será nuestra ley de escalado).
Un desarrollo análogo se puede hacer para estructura VCVS.

19. TEMA 7.- FILTROS 19
7.4.- Diseño de Filtro Paso-Bajo activo (LP).-
Filtro LP con K = 1 y orden n = 2.
Filtro LP con K = 1 y orden n = 3
a) Construimos un filtro normalizado con:
Wcn = 1 rad/seg
Rn = 1 Ω
Cn consultando la tabla 9
b) Escalamos los condensadores, teniendo en cuenta la Wc y R real.
w ⋅ R ⋅ C = wcn ⋅ Rn ⋅ C n
{ {
1 1
Cn
Ci =
wc ⋅ R

20. TEMA 7.- FILTROS 20

21. TEMA 7.- FILTROS 21
Ejercicios.-
1.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc = 1KHz, utilizando
resistencias de 1 KΩ.
Según la tabla 9. C1=1.414 F C2= 0.7071 F
Wc= 2π*1K=2000π
R= 1K
1.414 0.7071
C1 = = 225nF C2 = = 112.54nF
(2000π ) ⋅ 1000 (2000π ) ⋅ 1000
2.- Diseñar un filtro Butterworth paso-bajo de orden 5 con fc= 5Khz y resistencia
100KΩ. Utilizar estructura VCVS.
Cuando el filtro es de orden 4 o superior debemos utilizar dos etapas, en este caso el
filtro de orden 5 estará formado por una primera etapa de orden 3 y una segunda de
orden 2 en serie.
Wc= 2π·5000 = 10000π = π·104
R= 100K =1·105
⎧ C n1 1.753
⎪C1 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9 = 558 pF
⎪
⎪ C 1.354
Etapa de orden 3. ⎨C 2 = n 2 = = 431 pF
⎪ w ⋅ R π ⋅ 10 9
⎪ C n3 0.421
⎪C 3 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9 = 134 pF
⎩
⎧ C n1 3.235
⎪C1 = w ⋅ R = π ⋅ 10 9
⎪
= 51.03nF
Etapa de orden 2. ⎨
⎪C = C n 2 = 0.309 = 98 pF
⎪ 2 w ⋅ R π ⋅ 10 9
⎩

22. TEMA 7.- FILTROS 22
7.5.- Diseño de Filtro Paso-Alto activo(HP).-
La función de transferencia de un filtro de HP de 2º orden viene definida por:
K ⋅ s2
H (s ) =
s 2 + 2ξwn ⋅ s + wn
2
La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 2, normalizado ωc=1 rad/seg es:
La estructura VCVS de un filtro HP con K=1 y orden 3, normalizado ωc=1 rad/seg es:
Método de diseño
a) Fijamos Wc y C
b) Construimos HP normalizado
Wcn= 1 rad/seg
C = 1F
Rn= 1/Cn consultando la tabla 9.
c) Desnormalizamos.
1 1
w ⋅ R ⋅ C = wcn ⋅ ⋅ C Ri =
{ C { 1 w ⋅ C ⋅ Cn
1 n

23. TEMA 7.- FILTROS 23
Ejercicios.-
Construir un filtro HP Butterworth activo con fc = 100Hz utilizando condensadores de
1µF y de orden 2.
Wc= 2π·100 = 200π rad/seg
C = 1µF
1 1
R1 = = = 1125.56Ω
( )
w ⋅ C ⋅ C1 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (1.414)
1 1
R2 = = = 2250.81Ω
( )
w ⋅ C ⋅ C 2 (200π ) ⋅ 1⋅10 −6 ⋅ (0.7071)
7.6.- Diseño de Filtro Paso-Banda activo(BP).-
Existen varias formas de obtener un filtro paso banda. Podemos conseguir un BP
mediante conexión serie un filtro HP y otro LP. Podemos también usar estructuras
básicas VCVS o bicuadrática. La elección de una u otra vendrá determinada por el
factor de calidad del filtro como veremos más adelante.

24. TEMA 7.- FILTROS 24
La curva de respuesta a la frecuencia de un filtro Rechazo-Banda de banda es la
siguiente:
Para diseñar un filtro de este tipo podemos tomar un HP y un LP en paralelo y sumarlos.
HP
+
LP
La función de transferencia de un filtro Paso-Banda de orden 2 es la siguiente
K ⋅ w0 s
H (s ) =
s + Bs + w0
2
donde B=BW (en rad/seg) y w0 frecuencia central.
K ⋅ w0 ⋅ jw0 K ⋅ w0 w
H ( jw0 ) = = = K ⋅ 0 = K ⋅Q
− w + jw0 ⋅ B + w0
2
0
2
B B
donde Q es el llamado factor de calidad.

25. TEMA 7.- FILTROS 25
Estructura VCVS
R2
V0 ⋅
Vx R2 + R3
123
4 4
a
R2
a=
R2 + R3
Vin − V x V0 − V x V x V x − a ⋅ V0 ⎫ ⎧Vin + V0 − 2V x 2V x − a ⋅ V0
+ = + ⎪ ⎪ =
R1 R1 ZC ZC ⎪ ⎪ R1 ZC
⎬ →→ ⎨
V x − a ⋅ V0 a ⋅ V0 ⎪ ⎪V x − a ⋅ V0 = a ⋅ V0
=
ZC R1 ⎪
⎭ ⎪ ZC
⎩ R1
V 0 (s )
H (s ) =
1 1
= = =
V1 ( s ) 2 ⋅ aZ C a ⋅ R1 2⋅a a ⋅ R1 ⋅ Cs
+ (4a − 1) + + (4a − 1) +
R1 ZC R1 ⋅ Cs ZC
s
R1 ⋅ Cs a ⋅ R1Cs
= =
2a + (4a − 1)R1 ⋅ Cs + aR1 C s
2 2 2
2
+
(4a − 1)s + s 2
2 2
R1 C a ⋅ R1C
Comparando con la función de transferencia de un filtro BP de 2º orden tenemos que:
1 2 4a − 1
K ⋅ w0 = w0 = 2 2 B =
2
a ⋅ R1C R1 C a ⋅ R1C
2 2 1 1
w0 = →→ K ⋅ = →→ K =
R1 C R1 C a ⋅ R1C a 2

26. TEMA 7.- FILTROS 26
R3
1+
1 1 R + R3 1 R2
K= ⋅ = 2 ⋅ =
a 2 R2 2 2
R2
4⋅ −1
B=
4a − 1
a ⋅ R1C
=
R 2 + R3
R2
4 R − R2 − R3 3R2 − R3 3R2 − R3 w0
= 2
R2 R1C
=
R2 R1C
=
R2
⋅
2
= 2 2 − K ⋅ w0 [ ]
⋅ R1C
R 2 + R3
Resumiendo:
R3
1+
K=
2
R2
; [ ]
B = 2 2 − K ⋅ w0 ; w0 =
2
R1 C
Suponemos un filtro con un factor de calidad muy alto.
w0 R
Q= →→ Q >>>>→→ 3 ⋅ R2 − R3 ≈ 0 ⇔ 3 ≈ 3
B R2
Esto nos lleva a que este tipo de filtros se usan para factores de calidad Q <4.
Ejercicio.-
Diseñar un filtro activo paso de banda con f0 = 10Khz y ancho de banda (BW) de 5 Khz.
w0 = 2π · f 0 = 2π ·10 K w0 2π ·10 K
Q= = = 2 < 3 → EstructuraVCVS
B = 2π ·5 K = π ·10 K B 2π ·5 K
[
B = 2 2 − K ⋅ w0 ]
[ ]
2π ·5·10 = 2 2 − K ⋅ 2π ·10·10 3
3
1
2
[
= 2 2−K ⇒K=
2
]
4 2 −1
= 2.328
R3
1+
R2 R3
K= = 2.328 ⇒ = 2.29
2 R2
Luego si tomo R2=1K R3=2.29K
2 2 2
W0 = si C = 1nF R1 = = = 22.5KΩ
R1C w0 ·C 2π ⋅ 10·10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 −9
Ganancia en frecuencia central

27. TEMA 7.- FILTROS 27
H (w0 ) = K ·Q = 2.323·2 = 4.656
Estructura Bicuadrática. (2º orden)
Ecuaciones:
R3 R4 1 1
K= ; B= ; w0 =
2
R1 R2 C R3 R4 C 2
Esta estructura se utiliza para factores de calidad altos, hasta 100.

28. TEMA 7.- FILTROS 28
Ejercicio:
Diseñar un filtro activo paso de banda de orden 2, centrado en 1Khz y de ancho de
banda 100Hz.
BW = 100Hz ; f0 = 1KHz
f 1000
Q= 0 = = 10 > 4 ⇒ Bicuadrática
BW 100
R3 R4 1 1
K= ; B= ; w0 =
2
R1 R2 C R3 R4 C 2
Por comodidad puedo hacer.
1 1
K = 1 ⇒ R3 = R4 = R1 →→ w0 =
2
2 2
⇒ w0 =
R C
1 R1C
1 ⎫ 1 ⎫
2π · f 0 = 2π ·1000 =
R1C ⎪ ⎪ R1C ⎪
⎪ R2
⎬ ⎬10 = ⇒ R2 = 10·R1
1 ⎪ 1 ⎪ R1
2π ·BW = 2π ·100 =
R2 C ⎪
⎭ R2 C ⎪
⎭
Tomo R3 = R4 = R1 = 1KΩ →→ R2 = 10 KΩ
1 1
2π ·100 = ⇒C = = 159.15nF
4
1·10 ·C 1·10 ·2π ·100
4
H (w0 ) = K ·Q = 1·10 = 10
8. Sensibilidad.-
Se define la sensibilidad como la variación de una propiedad del sistema cuando
varia un parámetro. Para un parámetro P, su sensibilidad normalizada a un factor F, se
define como:
P = d (LnP )
dP
SF =
P
dF d (LnF )
F
Por ejemplo, si cambia R1 en un filtro ¿en qué medida se verá afectada la frecuencia de
corte?
dwc
d (Lnwc ) wc
S R1c =
w
= = –1/2. Esto significa que si la resistencia nominal R1=100Ω
d (LnR1 ) dR1
R1
crece hasta 110Ω (un 10%) , la wc decrecerá un 5%.

29. TEMA 7.- FILTROS 29
9. Filtros de capacidades Conmutadas.-
Los filtros de capacidades conmutadas (SC, switched capacitor) son una clase
particular de filtros activos que no emplean resistencias, sino solamente A.O.,
condensadores e interruptores (transistores), por lo que son especialmente indicados
para la integración monolítica (las resistencias ocupan mucho espacio en los C.I., y
su calidad es mediocre).
Veamos como ejemplo la célula integradora básica y su equivalente analógico.
φ1
φ2
φ1 y φ2 son la señales de control de los interruptores gobernadas por una señal de
reloj. Esta señal de reloj conmuta alternativamente los dos interruptores de modo
que si el periodo es T=1/fr (fr ≡ frecuencia de la señal de reloj) la corriente de
entrada queda: Im=Q/T=Vi·C/T=Vi·C·fr
por tanto:Vi=Im·(C·fr)-1=Im·Req ; con Req=(C·fr)-1.
Obviamente fr debe tener un valor alto.
VENTAJAS:
• Reducido tamaño.
• Alta precisión (bajas derivas)
• Estabilidad
• Fácil ajuste (mediante fr)
• Reducido coste.
INCONVENIENTES:
• Útiles sólo a bajas frecuencias (200Khz) debido a la aparición de
interferencias y ruidos.
• Bajo rango dinámico.

30. TEMA 7.- FILTROS 30
10.- Ejercicios:
1. Determinar la sensibilidad de la frecuencia natural del filtro de la figura a las
variaciones en la resistencia R1.
1
wn =
2
R1C1 R2 C 2
1 −1 −1 dR
2wn dwn = ⋅ 2 dR1 2 wn dwn = ⋅ 1
C1 R2 C 2 R1 R1C1 R2 C 2 R1
dR1 dwn − 1 dR1
2 wn dwn = − wn ⋅
2
= ⋅
R1 wn 2 R1
dwn
wn 1
S R1n =
w
=−
dR1 2
R1
2. En la estructura Bicuadrática BP calcular:
R3 R4 1 1
K= ; B= ; wn =
2
R1 R2 C R3 R4C 2
B
a) S R2
1 −1 1 dR2 dB dR
dB = ⋅ 2 dR2 dB = − ⋅ = −1 ⋅ 2
C R2 CR2 R2 B R2

31. TEMA 7.- FILTROS 31
dB
S B
= B = −1
R2
dR2
R2
B
b) SC
1
Partiendo de la misma ecuación que en caso a) B = , obtenemos
R2 C
dB
S = B B = −1
C
dC
C
K
c) S R4
R3 R4 R3 R4 R3 dR
K= K2 = 2 K ⋅ dK = ⋅ R4 ⋅ 4
R1 R12 R12
R4
dK 1 dR4
= ⋅ S R4 = 1
K
K 2 R4 2
K
d) S R1
R3 R4 R3 R4 1 (− 2 R1 ⋅ dR1 )
K= K2 = 2
= R3 R4 ⋅ 2 2 K ⋅ dK = R3 R4 ⋅
R1 R1 R1 R14
dK
R3 R4 dR1 K = −1
2 K ·dK = − ⋅2 S R1 =
K
R12 R1 dR1
R1
K
e) S R3
R3 R4
Partiendo de la misma ecuación que en caso c) K = , obtenemos
R1
dK
S K
= K =1
R3
dR3 2
R3
3. Para el filtro activo HP calcular:
w
a) S R1C
w
b) S R2C

32. TEMA 7.- FILTROS 32
wc ⋅ R ⋅ C = cte.
Para los dos casos tomo la misma ecuación.
[dwc Ri + wc dRi ]C = 0 dwc Ri + wc dRi = 0 dwc Ri = − wc dRi
dwc
=− i
dR
S Ric = −1
w
wc Ri
Luego para los dos casos a y b vale –1.
4. Determinar el orden y la fc de un filtro Butterworth paso-bajo tal que a 2Khz la
atenuación sea de 1dB y a 16Khz como mínimo de 40dB.
1 ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤
H( f ) = 2 Log H ( f ) = − Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
2
⎜ ⎟
⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
2n
⎛ f ⎞ ⎣ ⎦
1+ ⎜ ⎟
⎜f ⎟
⎝ c⎠
⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤ AdB ⎡ ⎛ f ⎞ 2n ⎤
− 20 Log H ( f ) = 10 Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟ = Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎜ ⎟
⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
⎣ ⎦
10 ⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Entonces:
⎡ ⎛ 2 K ⎞ 2n ⎤ ⎫ ⎧ 2n
⎫ ⎧ 2n
0.1 = Log ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎪ ⎪10 0.1 = 1 + ⎛ 2 K ⎞ ⎪ ⎪10 0.1 − 1 = ⎛ 2 K ⎞
⎜
⎜ ⎟
⎢ ⎝ f c ⎠ ⎥⎪ ⎪ ⎜ f ⎟ ⎟ ⎜
⎜ f ⎟⎟
⎣ ⎦⎪ ⎝ c ⎠ ⎪ ⎪ ⎝ c ⎠
⎬→⎨ 2n ⎬
→⎨
⎡ ⎛ 16 K ⎞ 2 n ⎤ ⎪ ⎪ 4 ⎛ 16 K ⎞ ⎪ ⎪ 4 ⎛ 16 K ⎞
2n
4 = Log ⎢1 + ⎜
⎜ ⎟ ⎥ ⎪ ⎪10 = 1 + ⎜
⎟ ⎜ f ⎟ ⎪ ⎪10 − 1 = ⎜ f ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎝ fc ⎠ ⎥ ⎪ ⎩
⎣ ⎦⎭ ⎝ c ⎠ ⎭ ⎩ ⎝ c ⎠
Dividiendo:
⎛ 10 4 − 1 ⎞
Log ⎜ 0.1
⎜ 10 − 1 ⎟ ⎟
10 0.1 − 1 ⎛ 2 ⎞ 10 4 − 1
2n 2n
⎛1⎞ ⎝ ⎠ = 2.53
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⇒ = 82n ⇒n= n=3
10 4 − 1 ⎝ 16 ⎠ ⎝8⎠ 10 0.1 − 1 2 ⋅ Log (8)
¿Y la fc?
⎛ 16 K ⎞
10 − 1 = ⎜
2n
( ) ⎛ 16 K ⎞ Log 10 4 − 1 (
⎛ f ⎞ )
⎜ f ⎟ ⇒ Log 10 4 − 1 = 2n ⋅ Log ⎜ ⎟⇒− = Log ⎜ c ⎟
4
⎟ ⎜ f ⎟
⎝ c ⎠ ⎝ c ⎠ 2n ⎝ 16 K ⎠
−
(
Log 10 4 −1 )
f c = 16 K ⋅ 10 2n
Si n = 2.53 fc = 2.59Khz
Si n = 3 fc = 3.447Khz

33. TEMA 7.- FILTROS 33
5. Diseñar ( con elementos activos) un circuito con la siguiente función de
transferencia.
Este Problema se reduce haciendo un filtro de paso-bajo con fc=10Khz de orden 4 ya
que según la ecuación − 20 ⋅ n = dB − 20 ⋅ n = −80 n = 4, es un butterworth
dec
pues no tiene rizado. Y un filtro paso-alto con fc = 100hz de orden 3 (-20·n=-60) y se
conectan en cascada.
LP HP
a) Diseño del LP
fc= 10Khz wc=2π·10K
Cn
Ci = Tomamos R=1K
w⋅ R
Al ser de orden 4 debemos hacerlo en dos etapas:
1ª etapa:
1.082 0.9241
C1 = = 17.22nF C2 = = 14.71nF
(2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K
2ª etapa:
2.613 0.3825
C1 = = 41.59nF C2 = = 6.09nF
(2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K (2π ) ⋅ 10 K ⋅ 1K
b) Diseño del HP orden 3
fc= 100hz wc=2π·100=200π
1
Ri = Tomamos C = 1µF
w ⋅ C ⋅ Cn
1 1
R1 = = = 449Ω
( )
w ⋅ C ⋅ C1 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (3.546 )

34. TEMA 7.- FILTROS 34
1 1
R2 = = = 1.143KΩ
( )
w ⋅ C ⋅ C 2 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 −6 ⋅ (1.392 )
1 1
R3 = = = 7.863KΩ
( )(
w ⋅ C ⋅ C 3 (200π ) ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 2.024 ⋅ 10 −1
−6
)
6. Calcule la respuesta impulsiva h(t) para un filtro paso bajo de orden 2.
k ⋅ wn
2
H (s ) =
s 2 + 2ξwn s + wn
2
b) Respuesta del filtro anterior a la entrada escalón.
Busquemos los polos del sistema:
s 2 + 2ξwn s + wn = 0
2
− 2ξwn ± 4ξ 2 wn − 4 wn
2 2
s= = −ξwn ± wn ξ 2 − 1 = −ξwn ± jwn 1 − ξ 2
2
Entonces :
P1 = −ξwn + jwn 1 − ξ 2
P2 = −ξwn − jwn 1 − ξ 2
Por comodidad llamaremos wn 1 − ξ 2 = w p
P1 = −ξwn + jw p
P2 = −ξwn − jw p

35. TEMA 7.- FILTROS 35
Vemos que P1 = P2 = ξ 2 wn + wn (1 − ξ 2 ) = wn
2 2
Por tanto podemos escribir:
k ⋅ wn 2
k ⋅ wn 2
H (s ) =
A B
= = + =
(s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) (s + ξwn − jw p )⋅ (s + ξwn + jw p ) s − P1 s − P2
As − AP2 + Bs − BP1 ( A + B )s − AP2 − BP1
=
(s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) (s − P1 ) ⋅ (s − P2 )
Entonces:
A + B = 0 ⇒ A = −B
− AP2 − BP1 = k ⋅ wn ⇒ − AP2 + AP1 = k ⋅ wn ⇒ A(P1 − P2 ) = k ⋅ wn
2 2 2
k ⋅ wn
2
k ⋅ wn
2
k ⋅ wn
2
k ⋅ wn
2
k ⋅ wn
A= = = = =
P1 − P2 − ξwn + jw p + ξwn + jw p 2 jw p 2 j ⋅ wn 1 − ξ 2 2 j ⋅ 1 − ξ 2
k ⋅ wn
A= −j⋅
2 1−ξ 2
k ⋅ wn
B = −A = j ⋅
2 1− ξ 2
Por tanto tenemos:
⎡ 1 1 ⎤ k ⋅ wn ⎡ 1 1 ⎤
H (s ) =
A B A A
+ = − = A⎢ − ⎥ =−j ⎢ − ⎥=
s − P1 s − P2 s − P1 s − P2 ⎣ s − P1 s − P2 ⎦ 2 1−ξ 2 ⎣ s − P1 s − P2 ⎦
−1
⎯⎯→ = − j ⋅
l k ⋅ wn
[ ]
⋅ e P1t − e P2t ⋅ u (t ) =
2 1− ξ 2
= −j⋅
k ⋅ wn
[
⋅ e −ξwnt ⋅ e
jw p t
− e −ξwnt ⋅ e
− jw p t
]⋅ u(t ) =
2 1−ξ 2
= −j⋅
k ⋅ wn
[
⋅ e −ξwnt e
jw p t
−e
− jw p t
]⋅ u(t ) = k ⋅ wn
⋅ e −ξwnt ⋅ [
1 jw pt − jw t
]
e − e p ⋅ u (t ) =
2 1−ξ 2
1− ξ 2 2j
k ⋅ wn
= ⋅ e −ξwnt ⋅ sen(w p t )
1− ξ 2
h(t ) =
k ⋅ wn
1−ξ 2
[
⋅ e −ξwnt ⋅ sen wn 1 − ξ 2 ⋅ t ⋅ u (t ) ]

36. TEMA 7.- FILTROS 36
b)
k ⋅ w2
Y (s ) = H (s ) ⋅ U (s ) =
1 A B C
n
⋅ = + + =
(s - P1 ) ⋅ (s − P2 ) s s − P1 s − P2 s
A ⋅ (s − P2 ) ⋅ s + B ⋅ (s − P1 ) ⋅ s + C ⋅ (s − P1 ) ⋅ (s − P2 )
= =
(s − P1 ) ⋅ (s − P2 ) ⋅ s
Para s = P2
k ⋅ wn2
B ⋅ (P2 − P1 ) ⋅ P2 = k ⋅ wn ⇒ B =
2
P2 ( P2 − P1 )
Para s = P1
k ⋅ wn
2
A ⋅ (P1 − P2 ) ⋅ P1 = k ⋅ w ⇒ A = 2
P1 (P1 − P2 )
n
Para s = 0
k ⋅ wn2
C ⋅ P1 ⋅ P2 = k ⋅ wn ⇒ C =
2
P1 P2
Luego
⎡ k ⋅ wn k ⋅ wn ⎤
[ ] k ⋅ wn
2 2 2
y (t ) = A ⋅ e Pt
1
+ B⋅e P2t
+ C ⋅ u (t ) = ⎢ ⋅e +
Pt
1
⋅e +
P2t
⎥ ⋅ u (t )
⎣ P1 (P1 − P2 ) P2 (P2 − P1 ) P1 P2 ⎦
Vemos que:
P1 ⋅ P2 = P1 ⋅ P1* = P1 = wn
2 2
(P1 − P2 ) = −ξwn + jw p + ξwn + jw p = 2 jw p = 2 j ⋅ wn 1 − ξ 2
P1 (P1 − P2 ) = (− ξwn + jw p ) ⋅ (2 j ⋅ w p ) = −2 j ⋅ ξw p wn − 2 w 2 = −2 w 2 − 2 jξw p wn
p p
P2 (P2 − P1 ) = (− ξwn − jw p ) ⋅ (− 2 jw p ) = 2 jξwn w p − 2 jw p = −2 w p + 2 jξw p wn
2 2
Entonces:
⎡ e P1t e P2t 1 ⎤
y (t ) = k ⋅ w ⎢ 2
+ + 2 ⎥ ⋅ u (t ) =
⎢ − 2w p − 2 jξw p wn − 2w p + 2 jξw p wn wn ⎥
n 2 2
⎣ ⎦
⎡ e P1t e P2t 1 ⎤
= k ⋅ wn ⎢
2
+ + 2 ⎥ ⋅ u (t )
⎣
2
( 2
) 2 2
(
⎢ − 2 wn 1 − ξ 2 − 2 jξwn 1 − ξ 2 − 2 wn 1 − ξ 2 + 2 jξwn 1 − ξ 2 wn ⎥
⎦ )
Tenemos por tanto que:
⎡ − e P1t e P2t ⎤
y (t ) = k ⋅ ⎢ − + 1⎥ ⋅ u (t )
( )
⎢ 2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 2 1 − ξ 2 − 2 j ξ 1 − ξ 2
⎣ ( ⎥
⎦ )

37. TEMA 7.- FILTROS 37
Veamos que:
( )
2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 = 4 1 − ξ 2( )2
( )
+ 4ξ 2 1 − ξ 2 = 2 1 + 0 4 − 2ξ 2 + ξ 2 − ξ 4 = 2 1 − ξ 2
Luego:
( )
2 1 − ξ 2 + 2 jξ 1 − ξ 2 = 2 1 − ξ 2 ⋅ e j φ ⎫ ⎪
⎬Complejas − Conjugadas
( )
2 1 − ξ 2 − 2 jξ 1 − ξ 2 = 2 1 − ξ 2 ⋅ e − j φ ⎪
⎭
2ξ 1 − ξ 2 ξ
con φ = arctan = arctan
(
2 1−ξ 2
) 1−ξ 2
Luego
⎡ − e P1t e P2t ⎤
y (t ) = k ⋅ ⎢ ⋅e −− jφ
⋅ e jφ + 1⎥ ⋅ u (t ) =
⎢2 1− ξ 2
⎣ 2 1− ξ 2 ⎥
⎦
⎡ −1 ⎤
= k ⋅⎢ [ jw t − jw t
]
e −ξwnt ⋅ e p ⋅ e − jφ + e −ξwnt ⋅ e p ⋅ e jφ + 1⎥ ⋅ u (t ) =
⎢2 1− ξ 2
⎣ ⎥
⎦
⎡ e −ξwnt ⎡ e j (w pt −φ ) + e − j (w pt −φ ) ⎤ ⎤
= k ⋅ ⎢− ⋅⎢ ⎥ + 1⎥ ⋅ u (t ) =
⎢ 1− ξ ⎣
⎣
2 2 ⎦ ⎥ ⎦
⎡ e −ξwnt ⎤ ⎡ e −ξwnt ⎤
= k ⋅ ⎢− ⋅ cos(w p t − φ ) + 1⎥ ⋅ u (t ) = k ⋅ ⎢1 − ⋅ cos(w p t − φ )⎥ ⋅ u (t ) =
⎢ 1− ξ 2
⎣ ⎥
⎦ ⎢
⎣ 1− ξ 2 ⎥
⎦
⎡
= k ⋅ ⎢1 −
⎢
e −ξwnt
1− ξ 2
( (
⋅ cos wn 1 − ξ 2 ⋅ t − φ ) )⎤⎥⎥ ⋅ u(t )
⎣ ⎦
Si queremos podemos continuar teniendo en cuenta que:
tag (− φ ) = −tag (φ );
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 1
tag ⎜ φ + ⎟ = tag ⎜ φ − ⎟ = −
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ tagφ
⎛ π⎞
cos⎜ α − ⎟ = senα
⎝ 2⎠
Si transformamos el cos(wpt-φ)
π π⎞ π⎞
⎛ ⎛
cos⎜ w p t − φ + − ⎟ = sen⎜ w p t − φ + ⎟ = sen w p t + φ ' ( )
⎝ 2 2⎠ ⎝ 2⎠
φ ' = −φ + π 2

38. TEMA 7.- FILTROS 38
1 1 1−ξ 2
Veamos que tagφ ' = − = =
tag (− φ ) tagφ ξ
Por tanto:
⎡
y (t ) = k ⋅ ⎢1 −
⎢
e −ξwnt
1−ξ 2
( ( )
⋅ sen wn 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ' )⎤⎥⎥ ⋅ u(t )
⎣ ⎦
⎡ 1−ξ 2 ⎤
φ = arctan ⎢
'
⎥
⎢ ξ ⎥
⎣ ⎦
que es como aparece en las tablas.
7.- Construir un filtro LP activo Butterworth de 2º orden con fc=1KHz utilizando
resistencias de 1KΩ.
Usaremos una estructura VCVS.
1) Construimos filtro normalizado con
Wn=1 rad/seg
Rn=1Ω
Cn consultando las tablas.
C ni
Escalamos WRC = Wn Rn C n Ci =
WR
Por tanto:
C n1 1.414
C1 = = = 225nF
WR (2π *1000) * (1000)
Cn2 0.7071
C2 = = = 112.54nF
WR (2π *1000) * (1000)

39. TEMA 7.- FILTROS 39
8.- Diseña un filtro LP Butterworth de 5º orden con fc=5KHz y una impedancia de
entrada de 100KΩ. Utiliza una estructura VCVS.
Cuando un filtro es de orden 4 o superior se construye en dos etapas. Este lo
construiremos con una etapa de orden 3 seguida de otra de orden 2.
Vi Etapa Etapa V0
n=3 n=2
Construimos filtro normalizado con
Wn=1 rad/seg
Rn=1Ω
Cn consultando las tablas.
C
Escalamos WRC = Wn Rn C n C i = ni
WR
• Etapa de orden 3:
C 1.753
C1 = n1 = = 558 pF
WR (2π * 5000) * (100 K )
Cn2 1.354
C2 = = = 431 pF
WR (2π * 5000) * (100 K )
C 0.421
C2 = n2 = = 134 pF
WR (2π * 5000) * (100 K )
• Etapa de orden 2:
C 3.235
C1 = n1 = = 1.03nF
WR (2π * 5000) * (100 K )
Cn2 0.309
C2 = = = 98 pF
WR (2π * 5000) * (100 K )

40. TEMA 7.- FILTROS 40

41. TEMA 7.- FILTROS 41
9.- Diseña un filtro paso alta (HP) Butterworth de 2º orden con fc=100Hz
utilizando condensadores de 1µF.
Utilizaremos una estructura VCVS
1) Fijamos
Wc = (2π*100) rad/seg
C = 1µF
2) Construimos HP normalizado
Wc = 1 rad/seg
C = 1F
Rn = 1
Cn
3) Desnormalizamos
1
WRC = Wn Rn C n Ri =
W * C * Cn
Entonces:
1 1
R1 = = = 1125.56Ω
W * C * C1 (2π * 100) * (1 *10 −6 ) *1.414
1 1
R2 = = = 2250.81Ω
W * C * C1 (2π *100) * (1 * 10 −6 ) * 0.7071

42. TEMA 7.- FILTROS 42

43. TEMA 7.- FILTROS 43
10.- Diseña un filtro activo paso de banda (BP) de orden 2 centrado en 1KHz y de
BW=100Hz.
f0 1KHz
Q= = = 10 Mayor a 4 utilizaremos una estructura Bicuadrática
BW 100 Hz
Recordemos que:
R3 R4 1 1
K= B= W02 =
R1 R2 C R3 R4 C 2
1 1 1
si hacemos K=1 R3=R4=R1 W02 = 2
= 2 2 W0 =
R3 R4 C R1 C RC
1 1
2π * f 0 = 2π * 100 =
R1C R1C
1 1
2π * BW = 2π *1000 = R2 = 10 * R1
R2 C R2 C
Tomamos R3=R4=R1= 1KΩ
R2=10KΩ
1 1
2π *100 = C= = 159.15nF
4
1 *10 * C 1 *10 * 2π *100
4
H (W0 ) = K * Q = 1 * 10 = 10

44. TEMA 7.- FILTROS 44