Unidade 05 - Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Unidade 05
Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas
Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.04

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF)

Unidade 05

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Programa
1

Tensões Radiais
Tensões Tangenciais


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Tensões Radiais

Programa
1

Tensões Radiais


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Até o momento, determinamos as expressões para as tensões normais
Precisamos deﬁnir também as tensões de cisalhamento em cada ponto da seção
Considere a barra curva de seção coplanar abaixo


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Um elemento típico da seção é mostrado abaixo
Vamos assumir que todas as tensões resultantes e carregamentos são funções
conhecidas das cordenadas dos pontos da barra e satisfazem o equilíbrio


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Vamos examinar o equilíbrio de um elemento A mostrado abaixo 1

As tensões normais desenvolvidas em A resultam na força normal
σ s dA

F=
A

1 por

simplicidade, assuma que a dimensão b de A é paralela ao eixo z


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Usando N s
σs =

Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
N s Mz
y
z
−
+
+
2
2
A
AR
Jy Jz − Jyz 1 − y/R
Jy Jz − Jyz 1 − y/R

temos que
σ s dA =

F=
A

Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
N s Mz
−
A +
Qz +
Qy
2
2
A RA
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz

onde
Qz =
A


y
dA,
1 − y/R

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Qy =
A

z
dA
1 − y/R

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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Similarmente, as tensões as tensões de cisalhamento desenvolvidas em A resultam na força de cisalhamento Vy
τ sy dA

Vy =
A

Observe que se integrarmos em toda a área temos que
F −→ N s
Vy −→ Vy


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Neste caso, tensões normais devem se desenvolver na seção para equilibrar as
componentes verticais das forças F e Vy
Essas tensões resultam na força σy b(R − y)∆ψ


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Tensões Radiais

Tensões Radiais

Para determinar a inﬂuência de Vy em σ s , fazemos o equilíbrio na direção vertical
∆ψ
∆ψ
( F + ∆F − F ) sin
− σy b(R − y)∆ψ + (Vy + ∆Vy − Vy ) cos
=0
2
2
e fazendo ∆s → 0


F
∂Vy
F
y
1


 + ∂Vy 



+
− σy b ( 1 − ) = 0 → σy =


R
∂s
R
∂s 
b(1 − y/R)  R

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Programa
1

Tensões Radiais


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Se F e Vy adquirem incrementos ∆F e ∆Vy no intervalo ∆s, deve existir uma
força horizintal na área b(R − y)∆ψ para promover o equilíbrio
Seja τys a tensão de cisalhamento média nesta área, então a força horizontal
desenvolvida é
τys b(R − y)∆ψ

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Somando as forças na direção horizontal
∆F cos

∆ψ
∆ψ
y
− (2Vy + ∆Vy ) sin
− τys b 1 −
R∆ψ = 0
2
2
R

ou, no limite ∆s → 0


 ∂F
Vy 
∂F Vy
y
1





−
− τys b 1 −
= 0 → τys =


 ∂s + R 

∂s
R
R
b(1 − y/R)

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Temos então
σy

τys

=



F
1



 + ∂Vy 




R
∂s 
b(1 − y/R)

=



 ∂F
Vy 
1







 ∂s + R 

b(1 − y/R)

onde
τ sy dA

Vy =
A


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O que resulta em
σy

=

1
F
b(1−y/R) R

τys

=

∂F
1
b(1−y/R) ∂s

+
+

∂
∂s A

τ sy dA

1
R A

τ sy dA

Note que As equações acima envolvem as funções desconhecidas τ sy = τys ,
resultando em equações integrais em τys
Para evitar tal complexidade, introduzimos a aproximação
Vy ≈

A
Vy
A

e usamos a relação2
Vy = py +
2 ver

Ns
R

⇒

Vy ≈

A
Ns
py +
A
R

unidade anterior


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E ﬁnalmente chegamos na expressão para a tensão radial
 


 1  Mz A
Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz  A 
1
 

 −
− p 

 

+
Qz +
Qy 
σy =
 

 A y

2
2
b(1 − y/R)  R  AR
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz


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Retornando na equação


 ∂F
Vy 
1





τys =



 ∂s + R 
b(1 − y/R)
e substituindo
F=

Mz Jy − My Jyz
My Jz − Mz Jyz
N s Mz
−
A +
Qz +
Qy
2
2
A RA
Jy Jz − Jyz
Jy Jz − Jyz

e também
Vy ≈


A
Vy
A

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Chegamos em
τys =

A
1
b(1−y/R) A

+

dN s
ds

−

A
AR

+

+

dMz
ds

+

Qz Jy −Qy Jyz dMz
2
Jy Jz −Jyz ds

Qy Jz −Qz Jyz dMy
2
Jy Jz −Jyz ds

−

A
AR Vy

e substituindo
Vy
dN s
= ,
ds
R


dVy
Ns
= −py − ,
ds
R

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dMz
= Vy
ds

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Temos então a equação das tensões tangenciais em barras curvas 3
τys =

3 Em

1
b(1−y/R)

+

Qz Jy −Qy Jyz
2 Vy
Jy Jz −Jyz

+

Qy Jz −Qz Jyz
2 Vz
Jy Jz −Jyz

−

A
AR Vy

A
barras com pequena curvatura, o termo − AR Vy pode ser desprezado


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Casos particulares (discutir em sala):
py = My = Vz = 0
seção simétrica com relação ao eixo y ⇒ Jyz = 0
analisar o caso na pag. 105
barras retas ⇒ R → ∞, com py = My = Vz = 0
barras retas ⇒ R → ∞, com py = My = Vz = 0 e seção transversal simétrica

τys =


1
b(1−y/R)

+

Qz Jy −Qy Jyz
2 Vy
Jy Jz −Jyz

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+

Qy Jz −Qz Jyz
2 Vz
Jy Jz −Jyz

−

A
AR Vy

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