FACTOREO

3. En matemáticas, la factorización (
o factoreo) es la descomposición
de una expresión matemática .
Existen diferentes técnicas de
factorización, el objetivo
es simplificar una expresión o
reescribirla en términos de
«bloques fundamentales», que
reciben el nombre
de factores, como por ejemplo un
número en números primos, o un
polinomio en polinomios
irreducibles.

5. • Es la transformación de una
expresión algebraica racional
entera en el producto de sus
factores racionales y
enteros, primos entre si.
• Procedimiento para factorizar:
• Se extrae el factor común de
cualquier clase, que viene a ser el
FACTOR
COMUN
primer factor.
• Se divide cada parte de la expresión
entre el factor común y el conjunto
viene a ser el segundo factor.
• Este es el primer caso y se emplea
para factorizar una expresión en la
cual todos los términos tienen algo
en común (puede ser un
número, una letra, o la
combinación de los dos).
• Ejemplo:

6. Aquí utilizaremos el caso
anterior, adicionando que uniremos
los factores que se parezcan, es
decir, los que tengan un factor
común.
Ejemplo:
Factor
común por
agrupación

7. Busco dos términos que sean "cuadrado"
de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y
el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x
("doble producto del primero por el
segundo"). Dio igual que el otro término.
El polinomio es un cuadrado "perfecto".
El resultado de la factorización es la suma
Trinomio de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
EJEMPLO 1:
cuadrado
perfecto
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x

8. CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al
cubo".
EJEMPLO 1:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
x 2
3.x2.2 3.x.22
6x2 12x

9. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Los dos términos son cuadrados. Las "bases"
son x y 3. Se factoriza multiplicando la
"suma de las bases" por la "resta de las
bases".
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3

10. Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la
división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza
como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la
división".
Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para
construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos
maneras.
La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar
el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de
situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.
EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)
x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x 2
| 1 0 0 0 0 32
|
|
-2| -2 4 -8 16 -32
1 -2 4 -8 16 |0
Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

11. Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando
las "raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza
así: a.(x - x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no lo ponemos.
También hay otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en
cualquier ejemplo.
EJEMPLO 1:
x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)
x1,2 =
a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)