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Guion controlpor variables

  1. 1. Práctica de Control Estadístico de Procesos Control por Variables Fichero de datos: Sensorpresion.sf31. Los datos Un sensor de presión ha de trabajar en condiciones de alta temperatura. Para controlar la calidad en sufabricación, se realiza un control sobre el efecto de la temperatura en la resistividad del circuito impreso dedicho sensor. Los datos obtenidos están en valores adimensionales (valores beta). Las tolerancias técnicas son:Límite de Tolerancia Inferior: 19.7 unidades. Límite de Tolerancia Superior: 39.8 unidades. Idealmente, loscircuitos deberían proporcionar un valor nominal de 29 unidades (fichero Sensorpresion.sfx). La cadena de producción produce una media de 150 circuitos en media hora. La obtención de los valoresbeta de la prueba tiene, para cada circuito, una duración media de 2 minutos, por lo que se podrían analizar,aproximadamente, 15 en media hora (un 10 % de la producción). Criterios organizativos y económicosaconsejaron finalmente reducir a 5 el número de circuitos que se analizarían cada media hora (de esta forma, eltécnico que realiza las pruebas puede realizar otras tareas relacionadas con la inspección del material encurso). El procedimiento de control es entonces el siguiente. El técnico recoge 5 circuitos producidosconsecutivamente, los inspecciona y anota los resultados de la inspección (los 5 respectivos valores beta) juntocon otros datos relacionados con el proceso (personal, incidencias, cambios en herramientas o materiales, etc.).A la media hora de la recogida vuelve a recoger otros 5 circuitos, etc. Por tanto, el control estadístico se realizacon subgrupos de tamaño 5. Para la elaboración del gráfico de control se obtienen un total de 100 mediciones(20 grupos de 5). Los datos se encuentran en la variable Sensor del fichero Sensorpresion.sfx . Se desea diseñar un gráfico de control X − R para monitorizar esta característica de los circuitos2. Entrada de datos La realización de Gráficos X − R y X − S con Statgraphics es muy similar. Por tanto, sólo se describirácómo hacer el análisis de datos mediante un gráfico X − R . Desde el menú principal se ha de seleccionarSpecial... Quality control... Variables control chart... X-bar and R. Aparece entonces la siguiente ventana También se puede poner la variable subgrupo
  2. 2. La variable que contiene los datos se ha de escribir en el campo Observations. En nuestro caso, la variablesensor tiene el coeficiente beta de cada sensor analizado. El número de observaciones que contiene cadasubgrupo se escribe en el campo Subgroup number or Size. En nuestro caso basta con poner el número 5. Sicada subgrupo tiene distinto tamaño, se introducirá la variable que contiene los valores numéricos del tamañode cada subgrupo. En nuestro caso, la variable subgrupo tiene el número de subgrupo. Es equivalente poner elnúmero 5 en el campo Subgroup number or Size, que poner la variable subgrupo. Si en lugar de los datos originales se posee sólo la media y rango de cada subgrupo, se seleccionará, en laentrada de datos, la opción Subgroup Statistics, y se introducirán las variables que contienen las medias y losrangos de cada subgrupo.3. Construcción del gráfico de controlPara ver un resumen del análisis se pulsa Tabular Options apareciendo la ventanadonde en la opción Analysis Summary se muestra los parámetros utilizados en los gráficos. La información quese muestra es la siguiente: Gráfico de medias Gráfico de rangos Estimaciones de parámetros de la variable de interésEsta información nos proporciona los valores numéricos de los gráficos de control: línea central (centerline) yLímites de Control Superior (UCL) e inferior (LCL). También nos proporciona el número de puntos que seencuentran fuera de los límites (beyond limits). Además nos proporciona la media, desviación típica y rangomedio de los datos. Veamos a continuación algunos de los cálculos mostrados en esta pantalla de resumen.Como en este gráfico la dispersión se mide a través de los rangos, tenemos que el estimador insesgado de ladesviación típica del proceso es R σ= ˆ d2donde R = 5.8 y para n=5 tenemos d 2 = 2.326 . Por tanto,
  3. 3. R 5.8 σ= ˆ = = 2.49355 , d 2 2.326que coincide con el resultado proporcionado por Statgraphics. Asimismo, el LCS (UCL) del gráfico de medias apartir de los rangos es σˆ 5.8 LCS = x + 3 = 33.32+3 = 36.6654 , n 2.326que coincide también con el valor del UCL proporcionado por Statgraphics. El LCS para el gráfico de rangos es LCS = D4 R .Para n=5 se tiene que D4 = 2.115 , por lo que LCS = 2.115 × 5.8 = 12.26 ,coincidiendo así con el resultado de Statgraphics.Para visualizar los gráficos de control seleccionamos Graphics Options donde tenemos la ventana Si seleccionamos ambos gráficos (X-bat Chart: gráfico de medias; Range Chart: gráfico de rangos) obtenemosdonde puede observarse que los valores del gráfico son los que se presentaron numéricamente más arriba. Ungráfico de control debe tener unos límites calculados con observaciones obtenidas cuando el proceso está bajocontrol. Por tanto, si queremos utilizar los datos de la variable sensor para diseñar el gráfico, debemos eliminaraquellas muestras que están fuera de los límites. Para hacerlo, seleccionamos Analysis Options en el botónderecho del ratón. Tenemos entonces
  4. 4. que nos lleva a la siguiente ventanaComo estamos construyendo el gráfico, debemos seleccionar Initial Study . Para eliminar las submuestras fuerade los límites, seleccionamos Exclude, y llegamos al siguiente menúEn este menú podemos eliminar la submuestra que deseemos (opción: Manual). En esta opción Manualtambién podríamos incluir alguna submuestra excluida anteriormente. La opción Reset sirve para utilizar todoslos grupos (sólo útil si previamente se habían eliminado subgrupos). La opción que interesa en este momentoes la de Automatic. Con esta opción no sólo se eliminarán los grupos que se han detectado inicialmente fuerade control, sino aquellos que estén fuera de control después de recalcular los límites. El programa realiza laoperación eliminacion/recálculo de límites recursivamente hasta que todas las observaciones se encuentrendentro de los límites de control. El programa actualizará los gráficos y los análisis. Los subgrupos eliminadosaparecen marcados para poder identificarlos. El resultado esdonde se han eliminado los 5 subgrupos que antes se salían de los límites en alguno de los gráficos. Losvalores numéricos de los gráficos aparecen en la parte derecha del gráfico. También aparecen en la ventana deAnalysis Summary que se mencionó arriba, con la diferencia de que ahora los resultados se basan sólo en lossubgrupos dentro de los límites. Estos resultados son
  5. 5. Ahora, la estimación se sigma sí es del proceso bajo control. La capacidad del proceso es entonces Capacidad = 6 × σ = 6 × 2.14961=12.89 ˆ4. Propiedades del gráfico4.1 Curva OCUna vez que tenemos el gráfico de control diseñado, podemos conocer algunas características importantes,como la probabilidad de detectar cierto desajuste con el gráfico de control. Esta probabilidad se obtiene a partirde la denominada curva Característica de Operaciones, u OC curve (Operation Characteristic). La curva OC sedefine como OC(μ ) = Probabilidad de estar entre los límites de control cuando la media del proceso es μEs decir, OC(μ ) = 1-Probabilidad de alarma. Cuando el proceso está bajo control, es decir, cuandoμ = 33.2133 se tendrá que OC(33.2133) = 0.997 . En general, se tiene que ( OC(μ ) = P LCI < X < LCS X ~ N ( μ , σ 2 ) )Por tanto, dada la media y la varianza del proceso, esa probabilidad podría calcularse fácilmente usando losvalores de la distribución normal. En el Statgraphics podemos obtener esas probabilidades para el gráfico decontrol. En las opciones gráficas seleccionamos OC curve,y obtenemosdonde el eje X es la media del proceso y el eje Y la probabilidad de estar entre los límites. Puede observarse eneste gráfico que cuando el proceso está bajo control ( μ = 33.2133 ), se tiene Pr(accept)=0.997. Para ver
  6. 6. mejor el valor que corresponde en el gráfico podemos usar la opción Locate. Para acceder a esta opcióndebemos primero hacer doble clic en el gráfico. Sólo entonces, al pulsar el botón derecho del ratón aparecerá laopción Locate.Al seleccionar Locate aparece un par de líneas que pueden desplazarse con el ratón o las flechas de cursor. Silas colocamos en máximo de la curva OC encontramos que si μ = 33.2133 entoces Pr(accept)=0.997.Podemos ahora hacer el siguiente ejercicio: ¿Cuál es la probabilidad de detectar con este gráfico que la mediaaumenta hasta 35 unidades? Según el gráfico de la curva OC que se muestra a continuación, la probabilidad deestar entre los límites si la media pasa a ser 35 es 0.87. Por tanto, la probabilidad de dar la alarma es 0.13Si hacemos este cálculo analíticamente tendríamos P(alarma) = P( X > LCS ) + P( X < LCI ) ~ P( X > LCS ) ⎛ X − μ LCS − μ ⎞ = P⎜ > ⎟ ⎝σ / n σ/ n ⎠Utilizamos que σ = 2.1496 ; μ = 35 ; n = 5 ; LCS = 36.0973 . Por tanto, ˆ ⎛ 36.0973 − 35 ⎞ P (alarma) = P ⎜ z > ⎟ = P ( z > 1.14) = 0.13 ⎝ 2.1496 / 5 ⎠que coincide con lo que nos dice el gráfico.4.2 Curva ARLLas siglas ARL vienne de Average Run Length, y significa Longitud Media de Racha. Es el número medio demuestras que necesitamos para dar la alarma. Se puede demostrar que si el proceso tiene media μ , el númeromedio de muestras que produciremos hasta que una muestra se salga de los límites de control es 1 1 ARL( μ ) = = P(alarma) 1 − OC ( μ )por tanto la función ARL y la OC son dos formas de expresar la sensibilidad del gráfico de control. ElStatgraphics nos proporciona la curva ARL entre las opciones gráficas
  7. 7. obteniéndose la siguiente figuraUsando la opción Locate podemos comprobar como, bajo control, 1 1 ARL( μ = 33.21) = = = 370.4 P(alarma) 0.0027Podemos ahora hacer un ejercicio similar al anterior. Si la media pasa a valer 35 unidades ¿Cuántas muestrasnecesitaremos por término medio para dar la alarma? Según el gráfico obtenemosTambién podemos obtener ese valor analíticamente (que será más preciso, pues el gráfico depende de laresolución que permite el cursor). Anteriormente hemos calculado que si la media es 35, P(alarma)=0.13. Portanto 1 1 ARL( μ = 35) = = = 7.69 P (alarma) 0.13que vemos que es muy similar a lo que dice el gráfico. Por tanto, cuando el proceso se desajusta, pasarán portérmino medio entre 7 y 8 muestras hasta que nos salgamos de los límites. Por tanto, al investigar el procesodebemos investigar no solo la muestra que se salió de los límites, sino las 8 anteriores.5. Indices de capacidadEn las Tabular Options seleccionamos Capability Indices
  8. 8. donde obtenemos la siguiente pantallaPara obtener valores de índices de capacidad debemos introducir las tolerancias del proceso. En Pane Options(botón derecho del ratón) obtenemos la siguiente ventana de introducción de información Datos de entradadonde los valores numéricos de tolerancias y Nominal debemos introducirlos nosotros a partir de lasespecificaciones. Si no tenemos información de tolerancias NO podemos calcular ningún índice de capacidad.El resultado esdonde lo que más llama la atención es que el proceso está muy descentrado, y tiene problemas de capacidadcon las tolerancias superiores.
  9. 9. 6. Aplicación del gráfico a nuevos datosUna vez que tenemos el gráfico construido (es decir, sus límites de control y línea central) lo aplicaremos a unnuevo conjunto de datos, que será como se usará en la práctica. Los nuevos datos se encuentran en la variableNewsensor. Seleccionamos e introducimos los nuevos datosPara aplicar a estos datos un gráfico de valores concretos, seleccionamos Analysis Options en el botón derechodel ratóny obtenemos Información del gráfico anteriorEn esta ventana seleccionamos ahora Control to Standard, en lugar de Initial Study. Tenemos ahora dosposibilidades para representar estos nuevos datos en el gráfico anterior. Una opción es introducir la media ydesviación típica estimadas el gráfico anterior (una vez que todas las observaciones estaban entre los límites).Esta opción se accede en Specify Parameters, y es la que se ha usado en la figura anterior. Una segundaopción, totalmente equivalente a la anterior es usando Specify Control Limits, y entonces escribiendodirectamente los límites que queremos emplear. En nuestro caso, para usar el gráfico estimado en el conjuntoinicial de datos tendremos los siguientes valores: Información del gráfico anteriorObtenemos los siguientes gráficos:
  10. 10. En estos gráficos se aprecia que el proceso parece que tiene una media estable, pero la varianza no. Hayvarios puntos del gráfico de control marcados. Dos de ellos es claramente por estar fuera de los límites decontrol, mientras que 4 de ellos son por seguir algún patrón no aleatorio. Si queremos más información sobre larazón para marcar estos puntos vamos a Tabular Options y seleccionamos Run Tests (test de rachas).Obtenemos el siguiente resultado:donde se indica la regla (rules) que se ha aplicado en cada uno de esos cuatro puntos. Si queremos modificarestas reglas, lo podemos hacer si estando en esa ventana de resultados seleccionamos Pane Options, en elbotón derecho del ratón. Obtenemos entonces la siguiente ventana de opciones que nos permite modificar lostests de aleatoriedad (o de rachas) como queramos
  11. 11. 7. Graficos de observaciones individualesLos gráficos de control de observaciones individuales se realizan en Special... Quality control... Variables controlchart... IndividualsLa ventana de entrada de datos esdonde ahora sólo hay que introducir la variable que tiene las observaciones. El resto de procedimientos yopciones son similares a la de los gráficos expuestos anteriormente.

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