El documento analiza los intentos de resolver el problema de la cuadratura del círculo a lo largo de la historia, desde los griegos hasta el siglo XIX. Se mencionan las contribuciones de figuras como Hipócrates de Quíos, Eudoxio y Dinostrato, pero ninguno pudo demostrar la solución geométrica. Finalmente, en 1882, Lindemann probó que π es un número trascendente, resolviendo definitivamente que es imposible cuadrar el círculo sólo con regla y compás.

1. Cuadratura del círculo ¿Es posible, utilizando tan sólo la regla y compás, construir un cuadrado que tenga exactamente la misma área que un circulo dado?

2. El problema surgió sin duda de la exigencia práctica de determinar el área conociendo su radio o su diámetro, y traduciéndose geométricamente en un problema de equivalencia: dado un segmento como radio de un círculo, determinar otro segmento como lado del cuadrado equivalente.

4. Una posible solución

5. Por ejemplo partiendo del radio OF (dato) de la circunferencia a cuadrar se haya su mitad (punto A) y luego la mitad de esta, es decir la cuarta parte del radio, de modo que se obtenga un segmento igual a 5/4 del radio (segmento OB) y tomando como radio este segmento se traza una circunferencia con el mismo centro (O) de la circunferencia de partida: los puntos de corte de esta circunferencia con los ejes de coordenadas (C,D,E y F) nos dan los cuatro vértices del cuadrado solución.

6. Este ejemplo reúne las condiciones 2 y 3 pero el valor de pi utilizado es que es obviamente muy pobre (aunque con cierto valor histórico pues es el que parece ser que utilizaban los babilonios 2000 años a.C.).

7. Sin poderlo demostrar hasta finales del siglo XIX… Parece que en otro tiempo hubo personas que soñando con la indudable fama que les proporcionaría resolver este problema se ofuscaron peligrosamente en él.

8. Intentos Infructuosos

9. Los pitagóricos habían resuelto el problema de la cuadratura de los polígonos, pero al pasar de los polígonos al círculo, el proceso resultaba inaplicable

10. Uno de los primeros Griegos en dedicarse a este problema fue Anaxágoras , cuando estaba encarcelado. Después de el, Antifón el sofista intento realizar la cuadratura mediante inscripción de polígonos regulares en el circulo, con duplicación indefinida del número de sus lados. Brisón dio un paso más al considerar a la vez los polígonos inscritos y los circunscritos

12. Hipócrates de Quíos Sus contribuciones son importantes ya que, sin lograr cuadrar el círculo, logró cuadrar recintos limitados por arcos de círculos, aparentemente más complicados que el círculo, que por su forma de luna creciente se los llamó “lúnulas de Hipócrates”.

13. Hipócrates no hizo por supuesto la solución del problema de la cuadratura del circulo sino que él resolvió uno relacionado a esto: Calcular un área curvilínea que fuera igual a un área acotada por líneas rectas. Área del semicírculo ABC / Área del semicírculo AEB = AC2/AB2 = 2/1 Por lo tanto Área (s.c.)ABC = 2(Área (s.c.)AEB) Área OADB = Área AEB Por otro lado Área AEB = Área (lúnula I) +Área (lúnula II) Área OADB = Área Triángulo (OAB)+ Área (lúnula II) Ya que Área AEB = Área OADB Entonces Área (lúnula I) + Área (lúnula II) = Área Triángulo (OAB) + Área (lúnula II) Por lo tanto Área (lúnula I) = Área Triángulo (OAB)

14. Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo. La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir mediante regla y compás ) era posible.

15. Eudoxio El método que utilizó Eudoxio, fue el método de exhaución, donde se encuentra una aplicación válida en el caso del círculo. Considerando que el cuadrado inscrito en el círculo es más que su mitad, sustrayendo de él se obtienen cuatro segmentos circulares. Pasando del cuadrado al octágono, sustraerlo del círculo equivale a sustraer de los cuatro segmentos circulares precedentes cuatro triángulos que son más de la mitad de aquellos. Se obtienen ocho segmentos circulares. Doblando el número de lados, esto es, pasando del octágono al polígono regular de dieciséis lados inscritos, se vuelve a sustraer de los ocho segmentos circulares más de su mitad, obteniéndose dieciséis segmentos circulares. Continuando el procedimiento, los segmentos circulares tienden a ser cada ves más pequeños, de forma que la suma de sus áreas tiende a cero, mientras que la sucesión de las áreas de los polígonos inscritos tiende al círculo.

16. Los Historiadores de la matemáticas presentan a Eudoxo como un “malabarista” del infinito; su procedimiento, aunque laborioso, tiene su validez, y ello no sólo por el rigor científico. Este procedimiento sirve para demostrar una propiedad: dos círculos son proporcionales a los cuadrados de sus diámetros . Esto es, si un círculo tiene el diámetro doble del diámetro del otro, el área del primero es el cuádruplo del área del segundo. No se puede sino considerar que el método de Eudoxo es más bien artificioso. Este autor evita el obstáculo directo del infinito, pero indirectamente lo utiliza cuando considera la posibilidad de construir polígonos inscritos doblando indefinidamente el número de lados. El suyo es todavía un infinito, por que no considera la totalidad de los polígonos inscritos, sino que determina un cierto número le añade otro al volver a doblar el número de lados.

19. Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto I de intersección de la cuadratriz con la base AB . Ese punto I no se produce como intersección de las rectas AD y EG en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a I , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando AD y EG se acercan a AB . La propiedad del punto I que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que , o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento AB como la longitud del segmento AB es a la longitud del segmento AI . Ello implica que si R es la intersección de la paralela a CI que pasa por B con la prolongación de AC , la longitud AR es igual a la longitud del arco (porque ). Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si S es el punto medio de AR , el área del sector circular es igual al área del rectángulo . Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo. Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado, podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto I de la cuadratriz en el segmento AB .

22. BIOGRAFÍAS

23. Anaxágoras Clazómenas, actual Turquía, 500 a.C. - Lámpsaco, id., 428 a.C. Filósofo, geómetra y astrónomo griego. Probable discípulo de Anaxímenes, Anaxágoras perteneció a la denominada escuela jónica y abrió la primera escuela de filosofía en Atenas. Padeció la expulsión de Atenas bajo la acusación de ateísmo; según los testimonios de la época, el motivo real fue su afinidad con Pericles, quien se hallaba en oposición a Tucídides.