1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación
A.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑦) = 0 no lineal, de primer orden
B. y′′ + y′+ y = 0. Lineal de segundo orden
C.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = 𝑒 𝑥 lineal de segundo orden
D. (2𝑦 + 1) 𝑑𝑥 + ( 𝑦2 𝑥 − 𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 primer orden, no lineal
E. 𝑥𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 lineal de primer orden
F. Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦2 +
𝑦
𝑥
−
1
𝑥2 = 0 𝑦 =
1
𝑥
𝑦1 = −
1
𝑥2
Sustituyo
−
1
𝑥2 + (
1
𝑥
) +
(
1
𝑥
)
𝑥
−
1
𝑥2 = 0
−
1
𝑥2 +
1
𝑥2 +
1
𝑥2 −
1
𝑥2 = 0
0 = 0
Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:
A. Solucione porseparaciónde variables
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥
𝑦
𝑦𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥
∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫−2𝑥 𝑑𝑥
𝑦2
2
= −
2𝑥2
2
+ 𝑐
𝑦2 = −2𝑥2 + 𝑐
Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala
B. Determine si esexacta,si loesresuélvala
2𝑥𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦2 − 2𝑥 = 0
2𝑥𝑦𝑑𝑦 = (2𝑥 − 𝑦2)𝑑𝑥
( 𝑦2 − 2𝑥) 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0

2. 𝜕𝑚
𝜕𝑦
= 2𝑦
𝜕𝑛
𝜕𝑥
= 2𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜
𝜕𝑚
𝜕𝑦
=
𝜕𝑛
𝜕𝑥
Por tanto Si es exacta, entonces
∫( 𝑦2 − 2𝑥) 𝑑𝑥
𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ( 𝑦)
𝜕
𝜕𝑦
[ 𝑥𝑦2 − 𝑥2 + ℎ( 𝑦)]
2𝑥𝑦 + ℎ′( 𝑦) = 2𝑥𝑦
ℎ′( 𝑦) = 0, ℎ( 𝑦) = 𝑐
𝑥𝑦2 − 𝑥2 = 𝑐
Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:
C. (3𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑑𝑥 + ( 𝑥2 + 𝑥𝑦) 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑚
𝜕𝑦
= 3𝑥 + 2𝑦
𝜕𝑛
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 𝑦
𝑚 𝑦 − 𝑚 𝑥
𝑛
=
3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑦 − 𝑦
𝑥2 + 𝑥𝑦
=
𝑥 + 𝑦
𝑥(𝑥 + 𝑦)
=
1
𝑥
𝜇( 𝑥) = 𝑒∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥)
(3𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2) 𝑑𝑥 + ( 𝑥3 + 𝑦𝑥2) 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑚
𝜕𝑦
= 3𝑥2 + 2𝑥𝑦
𝜕𝑛
𝜕𝑥
= 3𝑥2 + 2𝑥𝑦
∫(3𝑥2 𝑦 + 𝑥𝑦2) 𝑑𝑥
𝑥3 𝑦 +
𝑥2
2
𝑦2 + ℎ( 𝑦)
𝜕
𝜕𝑦
= 𝑥3 + 𝑥2 𝑦 + ℎ′( 𝑦)
𝑥3+𝑥2 𝑦+ ℎ′( 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦𝑥2
ℎ′( 𝑦) = 0
ℎ( 𝑦) = 𝑐
𝑥3 𝑦 +
𝑥2
2
𝑦2 = 𝑐

3. D. Resuelvalaecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+
𝑥
𝑦
𝑉 =
𝑦
𝑥
𝑥𝑉 = 𝑦 𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Sustituyo
𝑣 + 𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑣 + 𝑣−1
𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
𝑣
∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣2
2
= 𝐿𝑛| 𝑥| + 𝑐
𝑣2 = 2𝐿𝑛| 𝑥| + 𝑐
(
𝑦
𝑥
) = 2𝐿𝑛𝑥 + 𝑐
𝑦 = 2𝑥𝐿𝑛𝑥+ 𝑐𝑥
E. Resuelvalaecuación
√ 𝑦𝑥4
+ 𝑦′ = 0 𝑦(1) = 1
( 𝑦𝑥)
1
4 +
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 𝑦
1
4 𝑥
1
4
𝑑𝑦
𝑦
1
4
= −𝑥
1
4 𝑑𝑥
∫ 𝑦
−1
4 𝑑𝑦 = ∫ −𝑥
1
4 𝑑𝑥
4
3
𝑦
3
4 = −
4
5
𝑥
5
4 + c
𝑦
3
4 = −
3
5
𝑥
5
4 + 𝑐
𝑜 = 𝑐
𝑦
3
4 = −
3
5
(1)
5
4
𝑦(1) 𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙.

4. Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas
por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3
. Suponga que la fábrica
empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4
a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3
/s.
Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3
/s de agua bien mezclada. Esboce la
gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después
de un día, un mes (30 días), un año (365 días).
Los datosconocidosde losejerciciossonlossiguientes:
𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 10000
𝑚3
𝑠
𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000
𝑚3
𝑠
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 =
2
𝑚3
𝑠
8000
𝑚3
𝑠
= 0.00025 = 0.025%
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 ( 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106
𝑚3
𝑠
Esquema:
Este ejercicioes unmodelode ejerciciodelcasode mezclasque tiene algunasconsideraciones
importantesparatenerencuenta:
Durante el día solose va a presentarentradadel contaminante en4horas luegoesoimplicaría
tenerecuacionesque trabajaranporintervaloslo cual seríamás complicado.Parasolventareste
problemavamosa considerarunaentradapromediopordía del contaminante así:
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2
𝑚3
𝑠
𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎 = 2
𝑚3
𝑠
∗
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
∗
60 𝑚𝑖𝑛
1 ℎ
∗ 4 ℎ = 28.800 𝑚3

5. 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 = 28800
𝑚3
𝑑𝑖𝑎
1. El volumendel lagose mantieneconstante yaque loscaudalesde entradaysalidason
iguales.
2. 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 8000
𝑚3
𝑠
∗
60 𝑠
1 𝑚𝑖𝑛
∗
60 𝑚𝑖𝑛
1 ℎ
∗
24 ℎ
1 𝑑𝑖𝑎
= 691200000
𝑚3
𝑑𝑖𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑔𝑜 ( 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒) = 6000 ∗ 106 𝑚3
𝑠
Luegode presentarlasanterioresconsideracionesvamosaplantearlaecuaciónque relacionala
cantidadde contaminante enel tiempo.estase representapor:
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑄𝑖 − 𝑄 𝑜
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 𝑉𝑖 − 𝑉𝑜
Ahoravamos a reemplazar
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 28800 − 691200000 ∗
𝑄( 𝑡)
6000 ∗ 106
Simplificando:
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= 28800 − 0.1152𝑄( 𝑡)
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 0.1152𝑄( 𝑡) = 28800
𝜇 = 𝑒∫0.1152𝑑𝑡 = 𝑒0.1152𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+ 𝑒0.1152𝑡 ∗ 0.1152𝑄( 𝑡) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡)) = 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800
∫ 𝑑 (𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡)) = ∫( 𝑒0.1152𝑡 ∗ 28800) 𝑑𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) = 28800 ∫ 𝑒0.1152𝑡 𝑑𝑡
𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) =
28800
0.1152
𝑒0.1152 + 𝐶

6. 𝑒0.1152𝑡 ∗ 𝑄( 𝑡) = 250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶
𝑄( 𝑡) =
250000𝑒0.1152𝑡 + 𝐶
𝑒0.1152𝑡
𝑄( 𝑡) = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152𝑡
Tenemoslacantidadde contamiente enel lago.Ahorasustituimoslascondicionesiniciales:
𝑄(0) = 0
0 = 250000 + 𝐶𝑒−0.1152(0)
0 = 250000 + 𝐶
𝐶 = −250000
𝑄( 𝑡) = 250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡
Con estaecuaciónse puede hallarunaexpresiónparadeterminarlaconcentraciónde
contaminante enel lago
𝐶( 𝑡) =
𝑄( 𝑡)
𝑉( 𝑡)
=
250000 − 250000𝑒−0.1152𝑡
6000 ∗ 106
Entonces:
𝑡 = 1 𝑑í𝑎
𝐶(1) =
250000 − 250000𝑒−0.1152(1)
6000 ∗ 106 = 0.00000453 = 0.000453%
𝑡 = 30 𝑑í𝑎
𝐶(30) =
250000 − 250000𝑒−0.1152(30)
6000 ∗ 106 = 0.0000403 = 0.00403%
𝑡 = 365 𝑑í𝑎
𝐶(365) =
250000 − 250000𝑒−0.1152(365)
6000 ∗ 106 = 0.0000416 = 0.00416%