Unidad I

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Unidad I

  1. 1. UNIDAD IESTRUCTURAS DISCRETAS I Gioely Antonio Carrillo Aguilar CI: 12.882.051
  2. 2. PROPOSICIONES Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas. EJEMPLOS a. El Agua se compone de Hidrógeno y oxígeno. (V) b. Todo estudiante es Universitario. (F)OPERACIONES VERITATIVAS En el lenguaje diario se tienen ciertos términos que nos permiten conectar proposiciones para producir otras mas complejas. Así con las proposiciones: a. Marte es un planeta b. El Sol es una estrellaConstruimos estas otras:1. Marte es un planeta y el Sol es una estrella2. Marte es un planeta o el Sol es una estrellaA los términos conectivos y; o; o..o; sí, … entonces; sí y sólo si; no; se les llama CONECTIVOS LOGICOS ELEMENTALES
  3. 3. LA NEGACIÓNSea p una proposición. La negación de p es la proposición ~p que se lee “no p” y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad p ~p 1 0 0 1 ~p es falsa cuando p es verdadera y ~p es verdadera cuando p es falsa. P: Mérida es un estado andino ~P: Mérida no es un estado andino LA CONJUNCIÓN Operación que a cada par (p, q) de proposiciones le asigna la proposición p ^ q. Es una operación binaria, ya que el resultado de operar p ^ q se obtiene a partir de dos proposiciones, p y q. Esta también es una operación veritativa.
  4. 4. LA DISYUNCIÓNSean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla. En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y q son iguales. VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).
  5. 5. EL CONDICIONALSean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q es la proposición p q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla: Ejemplo 1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera). 2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
  6. 6. EL BICONDICIONALSean p y q dos proposiciones se llama Bicondicional de p y q a la proporción p « q que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente p q P q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ejemplo Nº 1. Consideremos las siguientes proposiciones: a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3 b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3 c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3 d: 2 + 1 = 4 es condición necesaria y suficiente para que 2< 3. Entonces VL(a)=1, VL(b)= 0, VL(d) = 0
  7. 7. TAUTOLOGÍAEs una forma proposicional que es verdadera para cualquier Valor lógicoque se le asigne a sus variables proposicionales.CONTRADICCIÓN Es una forma proposicional que es falsa para cualquier Valor lógico quese le asigne a sus variables proposicionales.
  8. 8. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 1. Leyes Idempotentes 1.1. pÚ p º p 1.2. pÙ p º p 2. Leyes Asociativas 2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r) 2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r) 3. Leyes Conmutativas 3.1. P Ú q º q Ú p 3.2. P Ù q º q Ù p
  9. 9. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 4. Leyes Distributivas 4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r) 4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r) 5. Leyes de Identidad 5.1. P Ú F º P 5.2. P Ù F º F 5.3. P Ú V º V 5.4. P Ù V º P 6. Leyes de Complementación 6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido) 6.2. P Ù ~ P º F (contradicción) 6.3. ~ ~ P º P (doble negación) 6.4. ~ V º F, ~ F º V
  10. 10. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES 7. Leyes De Morgan 7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q 7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q CIRCUITOS LÓGICOSLos podemos identificar con una forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional correspondienteUn circuito puede pensarse como una caja que acepta un conjunto de entradas (imputs) y genera un conjunto de salidas (outputs). Cada entrada y cada salida es un bit.

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