TRIGONOMETRÍA
(Primera parte)
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones
Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata...
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la constru...
•

NOCIONES PREVIAS

•

SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.

•

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.

•

...
NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas...
1.b. TEOREMA DE TALES
r

Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos
...
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal

(En la calculadora MODE DEG)

Sistema ...
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal

60 º

S. centesimal

210º
50g

Radianes

S.se...
Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal

60 º

45º

120º

54º

210º

90º

150º

S. centesimal

66g 66m
66s

...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO

c

Cateto opuesto de C

B
a

Se definen seis razones trigonométricas

C...
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menor...
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1. R.T. DE 30º y 60º
2. R.T. DE 45º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
C
Sea ABC un triángulo equilátero
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide

60º

l

l...
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
C
l 3
2

l 3
l 3
3
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=
l
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2
30º

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l
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...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
C

D
Sea ABCD un cuadrado
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos
mide
Trazamos la dia...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
C
sen 45º =

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l
l 2
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...
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
α y 90 º −
α

C

Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide ...
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA sen2α + cos 2 α = 1
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitág...
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
C

Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:

b +c =a
...
Circunferencia goniométrica
1.

R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA

2.

VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO

3.

VAL...
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
Uno ...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y

sen α =

cos α =

P(x,y)

a

O

1

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= = =y
radio
r 1

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y

secα=

P(x,y)

a

O

1

radio r 1
= = , si x ≠ 0
abscisa x' x

Q(x’,y’)...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
De acuerdo a las definiciones:
sen α = y = tg α
cos α x

⇒

cos α = x = co...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
Y1

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En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
Dibujamo...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).

Y1

Dibujamos el ...
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º

α y 180º + α
α

Y1

y π+α

En la circunferenci...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).

sen 315 º = − ...
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

α y 360º- α
α y 2π- α

Y1

En la circunferencia goni...
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

α y 180º - α
α y π-α

Y1

En la circunferencia gonio...
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
Y1

α y -α

En la circunferencia
goniométrica dibujamos α y...
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
Y1

α + 360 º k,
α + 2kπ,

k∈Ζ
k∈Ζ

Las razones trigonomé...
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Y1

x

90°-α
O

α y

y

α

En la circunferencia goni...
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.

Y

...
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a
90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0...
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Recordemos que

tg α =

ordenada y
=
abscisa
x

siendo P(x,y) un punto sobre el lad...
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
1.

FUNCIÓN SENO

2.

FUNCIÓN COSENO

3.

FUNCIÓN TANGENTE

4.

FUNCIÓN COTANGENTE

5.

FUNCIÓN ...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x
1
3
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2
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π π
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3 4 6

π

7π 5π 4π
6 4 3
...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO
f(x)=sen x

40
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x
1
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3 4 6

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7π 5π 4π
6 4 ...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO
f(x)=cos x

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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x
3

1
3
3

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−

3
3

π π
6 4

π
3

π
2

2π 3π 5π
3 4 6

π

7π 5π 4π
6 4 3

3π
2

5...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
f(x)=tg x

44
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

f(x)=cotg x
3

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3
3

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3

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6 4

π
3

π
2

2π 3π 5π
3 4 6

π

7π 5π 4π
6 4 3

3π...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

f(x)=cotg x

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GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x

1

0

π π
6 4

π
3

π
2

2π 3π 5π
3 4 6

π

7π 5π 4π
6 4 3

3π
2

5π 7π 11π
3 4 ...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE
f(x)=sec x

48
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

f(x)=cosec x

1

0

π π
6 4

π
3

π
2

2π 3π 5π
3 4 6

π

7π 5π 4π
6 4 3

3π
2

5π 7π 11π...
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

f(x)=cosec x

50
TRIGONOMETRÍA
(Segunda parte)
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la constru...
1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA
Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS
2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.
3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD
4. ...
SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
M Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β.

B

Trazamos AB perpendicular a OA y ...
COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS
M Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.

B

Trazamos AB perpendicular a OA ...
TANGENTE DE LA SUMA DE DOS
ÁNGULOS
tg( α + β) =

=
Simplificando

sen( α + β) senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ
=
=
cos( α + β) ...
R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen ( α − β) =...
R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS
ÁNGULOS
sen ( α + β) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ

sen ( α − β ) =senα ⋅ cos β − cos ...
R.T. DEL ÁNGULO DOBLE
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen 2α = sen ( α + α ) = senα...
R.T. DEL ÁNGULO MITAD
(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)
2
2
2
2
2
cos 2α = cos α − sen α = 1 − ...
1. Teorema del seno
2. Teorema del coseno
TEOREMA
DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a
a
b
c
los senos de los
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
ángulos opuestos.
sen A ...
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
 Lo...
Medida de los ángulos en una
circunferencia
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
 T...
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
a
b
c
=
=
= 2R
ˆ
ˆ
ˆ
sen A sen B sen C
Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la
...
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
1
S = c ⋅ hc
2

La superficie del triángulo ABC es:

C

En el trián...
Consecuencia del TEOREMA DEL SENO
Área de un triángulo
Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.
La ...
TEOREMA DEL
COSENO

El cuadrado de un lado es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados menos
el doble produ...
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO
Clasificación de triángulos
En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que:

ˆ
a 2 = ...
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Relaciones trigonometricas

  1. 1. TRIGONOMETRÍA (Primera parte)
  2. 2. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía .. Tiene Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. 2
  3. 3. INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 3
  4. 4. • NOCIONES PREVIAS • SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO. • R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA • R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA. 4
  5. 5. NOCIONES PREVIAS 1. a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza b.TEOREMA DE TALES 2. TEOREMA DE PITÁGORAS
  6. 6. 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H s h = S H h S. árbol pequeño (s) A Sombra del árbol grande (S) H B h A’ S B’ s O OB' BB' = = k (razón de proporcionalidad) OA ' AA ' Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 6
  7. 7. 1.b. TEOREMA DE TALES r Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten E’ D’ C’ B’ E’’ D’’ C’’ A’ B’’ O A O A B C D E r’ A’ B’ B OA OA ' AB A ' B' = o tambien = OB OB' OB OB' TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. 7
  8. 8. Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo de 1 giro Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s 2π π π/2 RADIANES 8
  9. 9. Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º S. centesimal 210º 50g Radianes S.sexagesimal S. centesimal Radianes 60g 100g 2π/3 5π/6 140º 240º 350g 90g 7π/8 25g 3 9
  10. 10. Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º S. centesimal 66g 66m 66s 50g 133g 33m 33s 60g 233g 33m 33s 100g 166g 66m 66s π 3 π 4 3π 10 7π 6 π 2 5π 6 S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’14” S. centesimal 155g 55m 55s 350g 175g 90g 266g 66m 66s 25g 190g 98m 59s Radianes 14π 18 7π 4 7π 8 9π 20 4π 3 π 8 3 Radianes 2π 3 10
  11. 11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO c Cateto opuesto de C B a Se definen seis razones trigonométricas C Cateto adyacente o contiguo a C A b ˆ sen C = cateto opuesto c = hipotenusa a ˆ cateto adyacente = b cos C = hipotenusa a ˆ tg C = Sea ABC un triángulo rectángulo en A. cateto opuesto c = cateto adyacente b ˆ sec C = hipotenusa a = cateto adyacente b ˆ cos ec C = hipotenusa a = cateto opuesto c ˆ cateto adyacente = b cot g C = cateto opuesto c ˆ sec C = 1 ˆ cos C ˆ cos ec C = 1 ˆ sen C 1 ˆ cot g C = ˆ tg C 11
  12. 12. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa. B a C A Es decir: 0<c<a 0<b<a En consecuencia: b C ˆ c 0 ≤ sen C = ≤ 1 a ˆ a sec C = ≥ 1 b ˆ = b ≤1 0 ≤ cos C a ˆ a cos ec C = ≥ 1 c ˆ c 0 < tg C = < +∞ b ˆ b 0 < cot g C = < +∞ c 12
  13. 13. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º 1. R.T. DE 30º y 60º 2. R.T. DE 45º
  14. 14. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) C Sea ABC un triángulo equilátero Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º l l Trazamos una altura CH A En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide B H l l/2 C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 2 l x 2 +   = l2  2 x 2 = l2 − 2 l 4 x2 = x2 = 4l − l 4 2 2 3l 4 2 x= 2 3l 4 l x = 30º x 3 2 l 60º H l/2 B 14
  15. 15. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) C l 3 2 l 3 l 3 3 sen 60 º = 2 = = l 2l 2 30º H l l 1 cos 60º = 2 = = l 2l 2 l 60º l/2 l l 1 sen 30º = 2 = = l 2l 2 B Observa que: sen 60º = cos 30º l 3 l 3 3 cos 30 º = 2 = = l 2l 2 3 sen 60º 2 3 tg 60 º = = 2 = = 3 1 cos 60 º 2 2 1 2 1 3 tg 30 º = 2 = = = 3 3 2 3 3 2 sec 60 º = 1 =2 cos 60º cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg60º = tg 30º sec 60º =cosec30º Cosec 60º =sec30º cos ec 60 º = 1 2 = sen 60º 3 1 1 3 cot g 60º = = = tg 60 º 3 3 sec 30º = 1 2 = cos 30º 3 cos ec 30º = cot g 30º = 1 =2 sen 30º 1 3 3 3 = = = 3 tg 30 º 3 3 15
  16. 16. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) C D Sea ABCD un cuadrado Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide Trazamos la diagonal AC 90º En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide 45º y el ángulo C mide l A B l 45º C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras x x = l +l 2 2 2 x = 2⋅l 2 45º l 45º x = 2⋅l 2 2 x = l 2 A l B 16
  17. 17. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) C sen 45º = cos 45 º = l l 2 l l 2 = = 1 2 1 2 = = 2 2 l 2 2 l tg 45º = = 1 l 1 2 2 2 = = = 2 cos 45 º 2 2 1 2 cos ec 45 º = = = 2 sen 45 º 2 1 1 cot g 45 º = = =1 tg 45º 1 l 45º A sec 45 º = 2 45º l B Observa que: sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º 17
  18. 18. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS α y 90 º − α C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grados, el ángulo C mide 90 º − α a b 90 º − α α B c sen (90º −α ) = c = cos α a sec ( 90º −α ) = cos ( 90 º −α ) = b = senα a cos ec ( 90º −α ) = 1 1 = = sec α sen ( 90º −α ) cos α c = cot gα b cot g ( 90 º −α ) = 1 1 = = tgα tg ( 90 º −α ) cot gα A tg ( 90º −α ) = 1 1 = = cos ecα cos ( 90º −α ) senα 18
  19. 19. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA sen2α + cos 2 α = 1 Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b +c =a 2 2 Si dividimos la expresión anterior por a2 2 2 a 2 b c a + 2 = 2 a2 a a Expresándolo de otra forma: 2 C 2 2 b c   +  =1 a a O lo que es lo mismo: Que normalmente expresaremos de la forma: b α B c A ( senα ) 2 + ( cos α ) 2 = 1 sen α + cos α = 1 2 2 19
  20. 20. OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES C Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b +c =a 2 2 Si dividimos la expresión anterior por b o por c 2 2 b c A 2 B 2 a α 2 b2 c 2 a2 + 2 = 2 2 c c c 2 b c a + 2 = 2 b2 b b Expresándolo de otra forma: 1 + ( cot gα ) = ( cos ec α ) 2 2 1 + cot g2 α = cos ec 2 α 1 + ( tgα ) = ( sec α ) 2 2 1 + tg2α = sec 2 α 20
  21. 21. Circunferencia goniométrica 1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO 3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE 4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
  22. 22. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas Uno de los lados del ángulo Y deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda a O 1 X A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 22
  23. 23. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y sen α = cos α = P(x,y) a O 1 ordenada y' y = = =y radio r 1 abscisa x' x = = =x radio r 1 Q(x’,y’) r X tgα= ordenada y' y = = , si x ≠ 0 abscisa x' x 23
  24. 24. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y secα= P(x,y) a O 1 radio r 1 = = , si x ≠ 0 abscisa x' x Q(x’,y’) cosecα= r X cotgα= radio r 1 = = , si y ≠0 ordenada y' y abscisa x' x = = , si y ≠ 0 ordenada y' y Observamos que los valores de las relaciones trigonométricas, no dependen del punto elegido sobre el lado terminal del ángulo, por lo tanto, a partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 24 (Circunferencia goniométrica)
  25. 25. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA De acuerdo a las definiciones: sen α = y = tg α cos α x ⇒ cos α = x = cotg α sen α y cos α ⇒ cotg α = sen α 1 = 1 = sec α cos α x 1 ⇒ sec α = cos α tg α = sen α cos α 1 = 1 = cosec α ⇒ cosec α = 1 sen α y sen α 25
  26. 26. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º Y1 A A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. y 120º -1 60º -x sen120 º = y = sen 60º = y 60º O x 1 cos 120 º = − x = − cos 60º =− X tg120 º = -1 sec 120º = −2 cos ec 120 º = 3 2 2 3 3 1 2 y y = − = − tg 60º = − 3 −x x cot g120 º = − 3 3 26
  27. 27. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º). Y1 Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 1 2 3 cos 210 º = − x= − cos 30º =− 2 A sen 210º = − y = −sen 30 º =− 210º y -1 -y 30º -x 30º O A’ x 1 X tg 210º = -1 2 3 sec 210 º = − 3 cos ec 210 º = −2 −y y 3 = = tg 30 º = −x x 3 cot g 210 º = 3 27
  28. 28. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º α y 180º + α α Y1 y π+α En la circunferencia goniométrica dibujamos α y 180º + α A 180º+ α -x -1 -y α α O A’ sen (180 º +α ) = − y = −sen α y x 1 cos (180 º + α ) = − x = − cos α X tg (180º +α ) = -1 sen ( π + α ) = −sen α cos ( π + α ) = − cos α −y y = −x x = tg α tg ( π + α ) = tg α 28
  29. 29. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). sen 315 º = − sen 45º = − 315º -1 O 1 cos 315 º = cos 45 º = X 2 2 2 2 tg 315 º = − tg 45 º = −1 -1 sec 315 º = 2 cos ec 315 º = − 2 cot g 315 º = −1 29
  30. 30. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º α y 360º- α α y 2π- α Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos A 360º- α α -1 O y 360º - 1 X -y A’ cos ( 360 º −α ) = x = cos α tg ( 360 º −α ) = -1 sen ( 2π − α ) = −sen α α sen ( 360º −α ) = − y = −sen α y -α x α cos ( 2π − α ) = cos α −y y = − = − tg α x x tg ( 2π − α ) = − tg α 30
  31. 31. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS α y 180º - α α y π-α Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos A A’ 180º- α y -1 -x O x 1 y 180º - cos (180 º −α ) = − x = − cos α X tg (180º −α ) = -1 sen ( π − α ) = sen α α sen (180 º −α ) = y = sen α y α α α cos ( π − α ) = cos α y y = − = − tg α −x x tg (180 º −α ) = − tg α 31
  32. 32. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Y1 α y -α En la circunferencia goniométrica dibujamos α y - α A y α -1 O -α x 1 -y X A’ -1 sen ( − α ) = −sen α cos ( − α ) = cos α sen ( − α ) = − y = −sen α cos ( − α ) = x tg ( − α ) = = cos α y −y = − = − tg α x x tg ( − α ) = −tg α 32
  33. 33. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Y1 α + 360 º k, α + 2kπ, k∈Ζ k∈Ζ Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia α +360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del A ángulo α 2π+α sen ( 2π + α ) = sen α y α -1 O -1 sen ( 360 º + α ) = sen α x 1 cos ( 2π + α ) = cos α X cos ( 360 º +α ) = cos α tg ( 2π + α ) = tg α tg ( 360 º + α ) = tg α 33
  34. 34. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y1 x 90°-α O α y y α En la circunferencia goniométrica dibujamos α y 90º- α α A sen ( 90º −α ) = x = cos α y x 1 cos ( 90º −α ) = y = sen α X tg ( 90º −α ) = -1 π  sen  − α  = cos α 2  π −α 2 A’ α -1 α y 90º - α π  cos  − α  = sen α 2  x = cot g α y π  tg  − α  = cot g α 2  34
  35. 35. SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. Y sen 0º = 0 1 sen 90º = 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0 35
  36. 36. COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. Y cos 0º = 1 1 cos 90º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cos180º = -1 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cos 270º = 0 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cos 360º = 1 36
  37. 37. TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Recordemos que tg α = ordenada y = abscisa x siendo P(x,y) un punto sobre el lado terminal del ángulo, con x≠0. Entonces tg 0º= 0 tg180º=0 tg 360º=0 ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene ordenada 0 y abscisa distinta de 0. tg 90º y tg 270º no están definidas ya que cualquier punto sobre el lado terminal tiene abscisa 0. 37
  38. 38. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNCIÓN SENO 2. FUNCIÓN COSENO 3. FUNCIÓN TANGENTE 4. FUNCIÓN COTANGENTE 5. FUNCIÓN SECANTE 6. FUNCIÓN COSECANTE
  39. 39. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 1 3 2 2 2 1 2 0 π π 6 4 1 − 2 − − π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 3π 2 5π 7π 11π 3 4 3 2π 2 2 3 2 −1 a sen a 0 π 6 π 4 π 3 2π 3 3π 4 5π 6 π 7π 6 0 1 2 π 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 − 5π 4 4π 3 1 2 3 − − 2 2 2 3π 2 5π 3 −1− 7π 4 11π 3 1 3 2 − − 2 2 2 2π 0 39
  40. 40. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 40
  41. 41. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 π π 6 4 1 − 2 − − π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 5π 7π 11π 3 4 3 3π 2 2π 2 2 3 2 −1 0 a COS a π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 1 3 2 2 2 1 2 0 − 3π 4 5π 6 1 2 3 − − 2 2 2 π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 −1 3 2 2 2 1 2 0 − 7π 4 11π 3 1 2 3 − − 2 2 2 2π 1 41
  42. 42. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 42
  43. 43. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3 1 3 3 0 − 3 3 π π 6 4 π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 3π 2 5π 7π 11π 3 4 3 2π −1 − 3 43
  44. 44. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 44
  45. 45. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 3 1 3 3 0 − 3 3 π π 6 4 π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 3π 2 5π 7π 11π 3 4 3 2π −1 − 3 45
  46. 46. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 46
  47. 47. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 1 0 π π 6 4 π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 3π 2 5π 7π 11π 3 4 3 2π −1 47
  48. 48. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 48
  49. 49. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 1 0 π π 6 4 π 3 π 2 2π 3π 5π 3 4 6 π 7π 5π 4π 6 4 3 3π 2 5π 7π 11π 3 4 3 2π −1 49
  50. 50. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 50
  51. 51. TRIGONOMETRÍA (Segunda parte)
  52. 52. INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 52
  53. 53. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. 3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD 4. TEOREMA DEL SENO 5. TEOREMA DEL COSENO 6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON
  54. 54. SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS M Dibujamos el ángulo α y a continuación el ángulo β. B Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Y Tenemos el ángulo α+β en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. sen( α + β) = α = A α+β β = α O P N BP AM + AN = = OB OB AB ⋅ cos α + OA ⋅ senα = OB OB ⋅ senβ ⋅ cos α + OB ⋅ cos β ⋅ senα = OB X sen ( α + β ) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ54
  55. 55. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS M Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. B Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Y Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. cos( α + β ) = OP ON − NP ON − BM = = = OB OB OB α = A α+β β = α O P N X OA ⋅ cos α − AB ⋅ senα = OB OB ⋅ cos β ⋅ cos α − OB ⋅ senβ ⋅ senα = OB cos ( α + β) = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ 55
  56. 56. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS tg( α + β) = = Simplificando sen( α + β) senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ = = cos( α + β) cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ senα ⋅ cos β cos α ⋅ senβ + cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β senα ⋅ senβ − cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb tgα + tgβ = 1 − tgα ⋅ tgβ sen ( α + β ) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ tgα + tgβ tg( α + β) = = 1 − tgα ⋅ tgβ 56
  57. 57. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen ( α − β) = sen[ α + ( − β) ] = senα ⋅ cos( − β) + cos α ⋅ sen( − β) = = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ ( − senβ) = 1 = senα ⋅ cos β − cos α ⋅ senβ cos ( α − β) = cos[ α + ( − β) ] = cos α ⋅ cos( − β) − senα ⋅ sen( − β) = = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ ( − senβ ) = = cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ tgα + tg( − β ) tgα + ( − tgβ ) = = tg( α − β) = tg[ α + ( − β ) ] = 1 − tgα ⋅ tg( − β ) 1 − tgα ⋅ ( − tgβ ) tgα − tgβ = = 1 + tgα ⋅ tgβ 57
  58. 58. R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen ( α + β) = senα ⋅ cos β + cos α ⋅ senβ sen ( α − β ) =senα ⋅ cos β − cos α ⋅ senβ cos ( α + β ) = cos α ⋅ cos β − senα ⋅ senβ cos ( α − β ) = cos α ⋅ cos β + senα ⋅ senβ tgα + tgβ 1 − tgα ⋅ tgβ tgα − tgβ tg( α − β) = 1 + tgα ⋅ tgβ tg( α + β) = 58
  59. 59. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen 2α = sen ( α + α ) = senα ⋅ cos α + cos α ⋅ senα = 2 ⋅ senα ⋅ cos α cos 2α = cos ( α + α ) = cos α ⋅ cos α − senα ⋅ senα = cos 2 α − sen2 α tg 2α = tg ( α + α ) = tgα + tgα = 1 − tgα ⋅ tgα 2tgα 1 − tg2α sen 2α = 2 ⋅ senα ⋅ cos α 2 2 cos 2α = cos α − sen α tg 2α = 2tgα 1 − tg2α 59
  60. 60. R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) 2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = 1 − sen α − sen α = 1 − 2sen α 2sen2 α = 1 − cos 2α 1 − cos 2α sen2 α = 2 sen α = ± 1 − cos 2α 2 2 2 2 2 2 cos 2α = cos α − sen α = cos α − 1 + cos α =2 cos α − 1 2 cos 2 α = 1 + cos 2α 1 + cos 2α cos 2 α = 2 α 1 − cos α =± 2 2 α 1 + cos α cos = ± 2 2 sen α 1 − cos α tg = ± 2 1 + cos α cos α = ± tg α = ± 1 + cos 2α 2 1 − cos 2α 1 + cos 2α 60
  61. 61. 1. Teorema del seno 2. Teorema del coseno
  62. 62. TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a a b c los senos de los = = ˆ ˆ ˆ ángulos opuestos. sen A sen B sen C El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. C Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces: ˆ hC = b ⋅ sen A  ˆ ˆ ˆ  ⇒ b ⋅ sen A = a ⋅ sen B ⇒ hC = a ⋅ sen B  a b ⇒ = ˆ ˆ sen A sen B A Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A: b a hC hA c b c ˆ h A = b ⋅ sen C  ˆ = c ⋅ sen B ⇒ ˆ = ˆ ˆ ˆ  ⇒ b ⋅ sen C sen B sen C h A = c ⋅ sen B  H B 62
  63. 63. Medida de los ángulos en una circunferencia  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A α+β α Ο β 180º-2 α α B Ο 2(α+β) 180º-2β 2(α+β) β γ C 360º-(180º-2 α+180º2 β)= =360º - 360º + 2 α+2 β = = 2 α+2 β = 2 (α + β) 2 γ 63
  64. 64. Medida de los ángulos en una circunferencia  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales son iguales 90º γ γ 180º  Todos los ángulos  Todos los ángulos γ 2γ γ inscritos que abarcan inscritos que abarcan un un diámetro, diámetro, son son rectos. rectos. 64
  65. 65. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO a b c = = = 2R ˆ ˆ ˆ sen A sen B sen C Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). A B a A’ C a 2R 2R = = = 2R ˆ ' sen 90º 1 sen A Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: a a = = 2R ˆ ˆ' sen A sen A La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. 65
  66. 66. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo 1 S = c ⋅ hc 2 La superficie del triángulo ABC es: C En el triángulo AHC : ˆ h sen A = C ⇒ b ˆ hC = b ⋅ sen A b a hC Sustituyendo en la primera expresión: 1 ˆ S = c ⋅ b ⋅ sen A 2 A c H B 66
  67. 67. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: 1 ˆ S = c ⋅ b ⋅ sen A 2 C Por el Teorema del seno : a = 2R ⇒ ˆ sen A ˆ = a sen A 2R Sustituyendo en la primera expresión: 1 a S = c ⋅b⋅ 2 2R S= b a R A c B a ⋅b ⋅c 4R 67
  68. 68. TEOREMA DEL COSENO El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: C a 2 = h2 + ( c − m) = 2 = h2 + c 2 − 2cm + m2 = (en AHC) b h = b − m + c − 2cm + m = 2 2 2 a 2 = b 2 − m2 + c 2 − 2cm + m2 = = b 2 + c 2 − 2cm (Como en AHC m = b . cos A) Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos: A m c-m c H B ˆ a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos A ˆ b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos B ˆ c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos C 68
  69. 69. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: ˆ a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos A C b a B Si A < 90º ⇒ a <b +c 2 2 C a Si A = 90º ⇒ cos A = 0 ⇒ a2 = b2 + c 2 ( Teorema de Pitágoras ) A 2 A c b cos A >0 ⇒ c Si A > 90º ⇒ C B a cos A < 0 ⇒ a2 > b2 + c 2 B c b A 69

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