Examen resuelto trigonometria

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Examen resuelto trigonometria

  1. 1. MATEMÁTICAS 4º ESO Juan Jesús Pascual EXAMEN DE TRIGONOMETRÍA RESUELTO EXAMEN RESUELTO 1. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 1740º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: 1740 300 360    ⇒ 4 vueltas ⋅ 360º + 300º   4   El ángulo de 300º está en el 4º cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el que el seno es negativo y el coseno es positivo, tal como indica la figura adjunta: Entonces: 300º cos 60 60º sen ( 1750 ) = sen ( 300 ) = −sen ( 60 ) = − -sen 60 cos ( 1750 ) = cos ( 300 ) = cos ( 60 ) = tg ( 1750 ) = −sen ( 60 ) =− 3 cos ( 60 ) 3 2 1 2 1 2 =− −sen ( 60 ) 3 1 s ec ( 1750 ) = =2 cos ( 60 ) 1 1 cot g ( 1750 ) = =− −tg ( 60 ) 3 cos ec ( 1750 ) = b) -840º Solución: Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo: −840 360 −120 − 2    ⇒ −2 vueltas ⋅ 360º − 120º     El ángulo de -120º está en el tercer cuadrante y es equivalente a un ángulo de 60º para el que el seno y el coseno son negativos, tal como indica la figura adjunta: 1/4
  2. 2. Matemáticas 4º ESO Examen resuelto de trigonometría Entonces: 60º -sen 60 3 2 sen ( −840 ) = sen ( −120 ) = −sen ( 60 ) = − - cos 60 cos ( −840 ) = cos ( −120 ) = − cos ( 60 ) = − -120º tg ( −840 ) = −sen ( 60 ) = 3 − cos ( 60 ) 1 2 1 2 =− −sen ( 60 ) 3 1 s ec ( 1750 ) = = −2 − cos ( 60 ) 1 1 cot g ( 1750 ) = = tg ( 60 ) 3 cos ec ( 1750 ) = 2. Sabiendo que cos α = 1 2 y que α está en el 4º cuadrante, halla las demás razones trigonométricas. Solución: Si α está en el 4º cuadrante entonces cosα es positivo y senα es negativo. El senα lo deducimos usando la relación fundamental de la trigonometría: sen 2 α + cos 2 α = 1 2 1   Así: sen 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sen 2 α +   = 1 ⇒ senα = −   2  1 3    1 −  = −   4 2 El resto de razones trigonométricas se obtiene de forma inmediata: senα tgα = = cos α sec α = − 3 2 = − 3 ; cotgα = 1 = − 1 ; 1 tgα 3 2 1 1 2 = 2 ; co sec α = =− cos α senα 3 3. Deduce las dos igualdades siguientes utilizando la fórmula fundamental de la trigonometría. a) 1 + tg 2 x = sec 2 x Solución: sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ b) sen 2 x cos 2 x 1 + = ⇒ tg 2 x + 1 = sec 2 x 2 2 cos x cos x cos 2 x 1 + cotg 2 x = cos ec 2 x Solución: sen 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sen 2 x cos 2 x 1 + = ⇒ 1 + co tg 2 x = cos ec 2 x sen 2 x sen 2 x sen 2 x 2/4
  3. 3. Examen resuelto de trigonometría Matemáticas 4º ESO 4. Demuestra que se cumple la siguiente igualdad: tg (α ) ⋅ cot g (α ) −  1  1   =  cos (α ) + sen (α ) ⋅   −   2   sec (α ) cos ec (α )   1 + cot g (α ) 2sen (α ) Solución: Vamos a manipular primeramente el miembro de la izquierda, que llamaremos A: 2 ⋅ sen (α ) A = tg (α )⋅ cot g (α ) − = 1− 2 1 + cot g (α ) 2 ⋅ sen (α ) 2 2 sen (α ) + cos (α ) sen 2 (α ) = 1− = tg (α )⋅ 2 ⋅ sen (α ) 1 sen 2 (α ) 2 ⋅ sen (α ) 2 ⋅ sen (α ) 1 − = 1− = tg (α ) 1 cos 2 (α ) 1+ 2 1+ t g (α ) sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Manipulamos el miembro de la derecha, que llamaremos B:  1  1    B =  cos (α ) + sen (α ) ⋅  −  =  cos (α ) + sen (α ) ⋅  cos (α ) − sen (α ) =   sec (α ) cos ec (α )    = cos 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − sen 2 (α ) − sen 2 (α ) = 1 − 2 ⋅ sen 2 (α ) Observamos que A=B, luego la identidad es cierta. 5. Calcula x e y Solución: 30º 60º 100 cm Tenemos dos triángulos rectángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. tg30 = x y 100 y 30º 100 m y tg60 = x+y 100 x+y Resolvemos el sistema: 3/4 60º 100 m
  4. 4. Matemáticas 4º ESO Examen resuelto de trigonometría   y  100 1  100   m=y = x+   3 3 100  3 ⇒ x = 200 m ⇒ 3 = ⇒     x + y 100 3 x+y  3=   3=  100     100  6. Calcula el valor de y de este triángulo no rectángulo (las longitudes están expresadas en cm) Solución: 12 Aplicamos el teorema del coseno: y 2 = x 2 + z 2 − 2 ⋅ x ⋅ z ⋅ cos A , en donde hemos denotado por x al lado de 10 cm y por z al lado de 12 cm. y 45º Entonces: y 2 = 10 2 + 12 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ cos 45 ⇒ 10 ⇒ y = 100 + 124 − 240 ⋅ 1 = 224 − 120 ⋅ 2 = 7,4 m 2 ∧ ∧ 7. Resuelve el siguiente triángulo: A = 80º ; B = 30º ; a = 26 cm Solución: Dibujamos un triángulo auxiliar para la resolución del problema. ∧ A Valor del lado b: Aplicamos el teorema del seno para c b obtenerlo: ∧ ∧ B a C a b 26 b = ⇒ = ⇒ senA senB sen80 sen30 ⇒ b = 26 ⋅ 1 = 13, 2 cm 1, 97 ∧ Valor de C : ∧ ∧ ∧ C = 180 −  A + B  = 180 − ( 80 + 30 ) = 70     Valor del lado c: Aplicamos el teorema del coseno de forma conveniente para hallar el lado que nos interesa, ∧ la cuál es la siguiente: c 2 = a 2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C . Despejamos c y sustituimos datos: ∧ c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos C = 26 2 + 13, 2 2 − 2 ⋅ 26 ⋅ 13, 2 ⋅ cos 70 = 24,8 cm ***** 4/4

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