Circuits logiques rappel sur l'algèbre de BOOLE

1. Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2
Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
1

2. Module: Architecture des ordinateurs
1ère MI S2
Circuits Logiques
‫الدارات النطقية‬
Taha Zerrouki
Taha.zerrouki@gmail.com
2

3. Plan
• Algèbre de Boole
• Portes Logiques
3

4. Algèbre de Boole
4

5. L'algèbre de Boole
• L'algèbre de Boole, ou calcul booléen,
est la partie des mathématiques, de la
logique et de l'électronique qui s'intéresse
aux opérations et aux fonctions sur les
variables logiques.
5

6. Boole
• Elle fut initiée en 1854 par le
mathématicien britannique George Boole
6

7. 1. Introduction
• Les machines numériques sont constituées d’un ensemble
de circuits électroniques.
• Chaque circuit fournit une fonction logique bien déterminée (
addition, comparaison ,….).
A
Circuit
F(A,B)
B
La fonction F(A,B) peut être : la somme de A et B , ou le
résultat de la comparaison de A et B ou une autre fonction
7

8. • Pour concevoir et réaliser ce circuit on doit avoir
un modèle mathématique de la fonction réalisée
par ce circuit .
• Ce modèle doit prendre en considération le
système binaire.
• Le modèle mathématique utilisé est celui de
Boole.
8

9. 3.3. Fonction logique
• C’est une fonction qui relie N variables logiques avec
un ensemble d’opérateurs logiques de base.
• Dans l’Algèbre de Boole il existe trois opérateurs de
base : NON , ET , OU.
• La valeur d’une fonction logique est égale à 1 ou 0
selon les valeurs des variables logiques.
• Si une fonction logique possède N variables logiques
 2n combinaisons  la fonction possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans une table
qui s’appelle table de vérité ( TV ).
9

10. Fonction logique
V1
V2
V3
V4
V5
...
F(V1,V2,…..Vn)
Vrai
Faut
10

11. Exemple d’une fonction logique
F ( A, B, C ) = A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C
La fonction possède 3 variables  23 combinaisons
F
C B
A
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
Une table de vérité
0
1
1
1
11

12. Priorité des opérateurs
• Pour évaluer une expression logique :
()
NON
ET
OU
‫أولوية العوامل‬
12

13. F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
13

14. Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
Calculer F(0,1,1)
14

15. Priorité des opérateurs
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
si on veut calculer F(0,1,1) alors :
F(0,1,1) = (0.1)(1 + 1) + 0.1.1
F(0,1,1) = (0 ) (1 ) + 0.0.1
F(0,1,1) = 1.1 + 0.0.1
F(0,1,1) = 1 + 0
F(0,1,1) = 1
15

16. Table de vérité
• Tracer la table de vérité de F(A,B,C)
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
16

17. Solution
•Pour trouver la table de vérité , il faut trouver la valeur de la fonction F
pour chaque combinaisons des trois variables A, B , C
•3 variables  2 3 = 8 combinaisons
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
F
C
B
A
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
F(1,1,0) = ( 1. 1) .(0 + 1) + 1 . 1 .0 = 0
0
0
1
1
F(1,1,1) = ( 1. 1) .(1 + 1) + 1 . 1 .1 = 0
0
1
1
1
F(0,0,0) = ( 0. 0) .(0 + 0) + 0 . 0 .0 = 0
F(0,0,1) = ( 0. 0) .(1 + 0) + 0 . 0 .1 = 1
F(0,1,0) = ( 0. 1) .(0 + 1) + 0 . 1 .0 = 1
F(0,1,1) = ( 0. 1) .(1 + 1) + 0 . 1 .1 = 1
F(1,0,0) = ( 1. 0) .(0 + 0) + 1 . 0 .0 = 0
F(1,0,1) = ( 1. 0) .(1 + 0) + 1 . 0 .1 = 1
17

18. 4.5 Lois fondamentales de l’Algèbre de Boole
•L’opérateur NON
A= A
A+ A = 1
A. A = 0
18

19. •L’opérateur ET
( A.B ).C = A.( B.C ) = A.B.C
Associativité
A.B = B. A
Commutativité
A. A = A
A.1 = A
Idempotence
Elément neutre
A.0 = 0
Elément absorbant
19

20. • L’opérateur OU
( A + B) + C = A + ( B + C ) = A + B + C
A+ B = B + A
A+ A = A
Associativité
Commutativité
Idempotence
A+ 0 = A
A+ 1= 1
Elément neutre
Elément absorbant
20

21. •Distributivité
A . ( B + C ) = ( A . B ) + ( A . C ) Distributivité du ET sur le OU
A + ( B . C ) = (A + B).(A + C) Distributivité du OU sur le ET
•Autres relations utiles
A + ( A.B) = A
A. ( A + B) = A
(A + B) . (A + B) = A
A + A.B= A + B
21

22. 5. Dualité de l’algèbre de Boole
• Toute expression logique reste vrais si on remplace le ET
par le OU , le OU par le ET , le 1 par 0 , le 0 par 1.
• Exemple :
A + 1= 1 →
A.0 = 0
A + A = 1→
A.A = 0
‫التقابل‬
22

23. Théorème de DE-MORGANE
23

24. 6. Théorème de DE-MORGANE
•La somme logique complimentée de deux variables est
égale au produit des compléments des deux variables.
A+ B = A . B
• Le produit logique complimenté de deux variables est
égale au somme logique des compléments des deux
variables.
A.B = A + B
24

25. 6.1 Généralisation du Théorème DEMORGANE à N variables
A.B.C...... = A + B + C + ..........
A + B + C + ........... = A.B.C......
‫مجوم الجتام = مجووع الوجووع‬
‫مجوم الوجووع = متام الوجووع‬
25

26. Autres opérateurs logiques
26

27. OU exclusif ( XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B
A ⊕ B = A.B + A.B
27

28. NAND ( NON ET )
F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B
28

29. NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B
29

30. 7.4 NAND et NOR sont des opérateurs
universels
• En utilisant les NAND et les NOR on peut
exprimer n’importe qu’elle expression ( fonction )
logique.
• Pour cela , Il suffit d’exprimer les opérateurs de
base ( NON , ET , OU ) avec des NAND et des
NOR.
30

31. 7.4.1 Réalisation des opérateurs de base
avec des NOR
A = A+ A = A↓ A
A + B = A + B = A ↓ B = (A ↓ B) ↓ (A ↓ B)
A.B = A.B = A + B = A ↓ B = (A ↓ A) ↓ (B ↓ B)
31

32. Exercice
• Exprimer le NON , ET , OU en utilisant
des NAND ?
32

33. 7.4.3 Propriétés des opérateurs NAND et
NOR
A↑ 0= 1
A↓ 0= A
A↑ 1= A
A↓ 1= 0
A↑ B = B↑ A
A↓ B = B↓ A
( A ↑ B) ↑ C ≠ A ↑ ( B ↑ C ) ( A ↓ B) ↓ C ≠ A ↓ ( B ↓ C )
33

34. Étude d’une fonction logique
34

35. Étude d’une fonction logique
•
•
•
•
•
Définition textuelle d’une fonction logique
Les entrées et les sorties
‫دراسة دالة منطقية‬
Table de vérité
،‫ تعريف‬Formes algébriques
‫ الوتاخل والوخعرج‬Simplification:
،‫- متول الحقيقة‬
– Algébrique
– Table de Karnaugh
،‫- شكل مبري‬
• Logigramme
،‫ تبسيط‬35
‫- رسم الوخطط‬

36. 1. Définition textuelle d’une fonction logique
• Généralement la définition du fonctionnement d’un
système est donnée sous un format textuelle .
• Pour faire l’étude et la réalisation d’un tel système on
doit avoir son modèle mathématique (fonction logique).
• Donc il faut tirer ( déduire ) la fonction logique a partir de
la description textuelle.
36

37. Exemple : définition textuelle du fonctionnement
d’un système
• Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de trois clés.
Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
– La serrure est ouverte si au moins deux clés sont
utilisées.
– La serrure reste fermée dans les autres cas .
Donner la schéma du circuit qui permet de contrôler
l’ouverture de la serrure ?
37

38. Si on reprend l’exemple de la serrure :
– Le système possède trois entrées : chaque entrée
représente une clé.
– On va correspondre à chaque clé une variable logique: clé
1  A , la clé 2  B , la clé 3  C
• Si la clé 1 est utilisée alors la variable A=1 sinon A =0
• Si la clé 2 est utilisée alors la variable B=1 sinon B =0
• Si la clé 3 est utilisée alors la variable C=1 sinon C =0
– Le système possède une seule sortie qui correspond à
l’état de la serrure ( ouverte ou fermé ).
– On va correspondre une variable S pour designer la sortie :
• S=1 si la serrure est ouverte ,
• S=0 si elle est fermée
38

39. S=F(A,B,C)
F(A,B,C)= 1 si au mois deux clés sont introduites
F(A,B,C)=0 si non .
A
B
Circuit
S=F(A,B,C)
C
Remarque :
Il est important de préciser aussi le niveau logique avec lequel on travail
( logique positive ou négative ).
39

40. 2. Table de vérité ( Rappel )
• Si une fonction logique possède N variables
logiques  2n combinaisons  la fonction
possède 2n valeurs.
• Les 2n combinaisons sont représentées dans
une table qui s’appelle table de vérité.
40

41. 2. Table de vérité ( Exemple )
S
C
B
A
0
0
0
0
A + B + C : max terme
0
1
0
0
A + B + C : max terme
0
0
1
0
A + B + C : max terme
1
1
1
0
A .B.C
0
0
0
1
A + B + C : max terme
1
1
0
1
A .B.C
: min terme
1
0
1
1
1
1
1
1
A .B.C
A .B.C
: min terme
: min terme
: min terme
41

42. 2.3 Extraction de la fonction logique à partir
de la T.V
• F = somme min termes
F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
• F = produit des max termes
F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)
42

43. 3. Forme canonique d’une fonction
logique
• On appel forme canonique d’une fonction la forme ou
chaque terme de la fonction comportent toutes les
variables.
• Exemple :
F(A, B, C) = ABC + A CB + ABC
43

44. 3.1 Première forme canonique
• Première forme canonique (forme disjonctive) :
somme de produits
• C’est la somme des min termes.
F ( A, B, C ) = A . B . C + A . B . C + A . B . C + A . B . C
•Cette forme est la forme la plus utilisée.
44

45. 3.2 Deuxième forme canonique
• Deuxième forme canonique (conjonctive): produit de
sommes
• Le produit des max termes
F(A, B, C) = ( A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C)
45

46. • 1ère Forme  2ème forme
46

47. Remarque 1
• On peut toujours ramener n’importe qu’elle fonction
logique à l’une des formes canoniques.
• Cela revient à rajouter les variables manquants dans les
termes qui ne contiennent pas toutes les variables ( les
termes non canoniques ).
• Cela est possible en utilisant les règles de l’algèbre de
Boole :
– Multiplier un terme avec une expression qui vaut 1
– Additionner à un terme avec une expression qui vaut 0
– Par la suite faire la distribution
47

48. Exemple :
1. F(A, B) = A + B
= A (B + B) + B( A + A)
= AB + A B + AB + AB
= AB + A B + AB
2. F(A, B, C) = AB + C
= AB(C + C) + C( A + A)
= ABC + ABC + AC + AC
= ABC + ABC + AC(B + B) + AC (B + B)
= ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + A BC
= ABC + ABC + A BC + A B C + A B C
48

49. Remarque 2
• Il existe une autre représentation des formes canoniques
d’une fonction , cette représentation est appelée forme
numérique.
• R : pour indiquer la forme disjonctive
• P : pour indiquer la forme conjonctive.
Exemple : si on prend une fonction avec 3 variables
R( 2,4,6) =
∑
P(0,1,3,5,7) =
(2,4,6) = R( 010,100,110) = ABC + A BC + ABC
∏
(0,1,3,5,7) = P(000,001,011,101,111)
= (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C ) (A + B + C ) (A + B + C)
49

50. Remarque 3 : déterminer F
F
C
B FA
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
F = A.B.C + A.B.C + A.B.C + 50 .B.C
A

51. Exercice 1
• Déterminer la première , la deuxième forme canonique et
la fonction inverse à partir de la TV suivante ? Tracer le
logigramme de la fonction ?
F
0
1
1
0
B
0
1
0
1
A
0
0
1
1
51

52. Exercice 2
• Faire le même travail avec la T.V suivante :
S
C
B
A
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
52

53. Simplification des fonctions logiques
53

54. 4. Simplification des fonctions logiques
• L’objectif de la simplification des fonctions
logiques est de :
– réduire le nombre de termes dans une
fonction
– et de réduire le nombre de variables dans
un terme
54

55. 4. Simplification des fonctions logiques
• Cela afin de réduire le nombre de portes
logiques utilisées  réduire le coût du circuit
• Plusieurs méthodes existent pour la
simplification :
– La Méthode algébrique
– Les Méthodes graphiques : ( ex : table de
karnaugh )
– Les méthodes programmables
55

56. 5. Méthode algébrique
• Le principe consiste à appliquer les règles de l’algèbre de
Boole afin d’éliminer des variables ou des termes.
• Mais il n’y a pas une démarche bien spécifique.
• Voici quelques règles les plus utilisées :
A.B+ A.B= B
A + A.B= A
A + A.B= A + B
( A + B) ( A + B) = A
A . ( A + B) = A
A . ( A + B) = A . B
56

57. 5.1 Règles de simplification
• Règles 1 : regrouper des termes à l’aide
des règles précédentes
• Exemple
ABC + ABC + A BCD = AB (C + C) + A BCD
= AB + A BCD
= A ( B + B (CD))
= A ( B + CD)
= AB + ACD
57

58. • Règles 2 : Rajouter un terme déjà existant à
une expression
• Exemple :
A B C + ABC + A BC + ABC =
ABC + ABC + ABC + A BC + ABC + ABC =
BC +
AC
+ AB
58

59. • Règles 3 : il est possible de supprimer un
terme superflu ( un terme en plus ), c’est-àdire déjà inclus dans la réunion des autres
termes.
Exemple 1 :
F(A, B, C) = A B + BC + AC = AB + BC + AC ( B + B)
= AB + BC + ACB + A BC
= AB ( 1 + C) + BC (1 + A)
= AB + BC
59

60. Exemple 2 : il
existe aussi la forme conjonctive du terme
superflu
F(A, B, C) = (A + B) . (B + C) . (A + C)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B.B)
= (A + B) . (B + C) . (A + C + B) .(A + C + B)
= (A + B) . (A + C + B) . (B + C) .(A + C + B)
= (A + B) . (B + C)
60

61. • Règles 4 : il est préférable de simplifier la forme
canonique ayant le nombre de termes minimum.
• Exemple :
F ( A, B, C ) = R ( 2,3,4,5,6,7)
F(A, B, C) = R( 0,1) = A . B . C + A . B . C
= A . B (C + C)
= A.B= A + B
F(A, B, C) = F(A, B, C) = A + B = A + B
61

62. Exercice
Démontrer la proposition suivante :
A.B + B.C + A.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C = A + B + C
Donner la forme simplifiée de la fonction suivante :
F ( A, B, C , D) = ABCD + A BCD + ABC D + ABC D + ABCD
62

63. Simplification par la table
de Karnaugh
63

64. Les termes adjacents
•Examinons l’expression suivante :
A.B+ A.B
AB + A B = A( B + B ) = A
•Ces termes sont dites adjacents. ‫متجاورة‬
‫حدود‬
64

65. Exemple de termes adjacents
Ces termes sont adjacents
A.B + A.B = B
A.B.C + A.B.C = A.C
A.B.C.D + A.B.C.D = A.B.D
Ces termes ne sont pas adjacents
A.B + A.B
A.B.C + A.B.C
A.B.C.D + A.B.C.D
65

66. Table de karnaugh
•La méthode de Karnaugh se base sur la règle précédente.
• Méthode graphique pour detecter tous les termes
adjacents
66

67. A
B 1
AB
C 10
0
11
01
00
0
0
1
1
Tableau à 2 variables
Tableaux à 3 variables
67

68. Tableau à 4 variables
AB
CD
10
11
01
00
00
01
11
10
68

69. Tableau à 5 variables
AB
CD
10
11
01
AB
CD
10
00
11
01
00
00
01
01
11
11
10
U=0
00
10
U= 1
69

70. TV => Karnaugh
S
C
B
A
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
AB
C 10
11
01
00
0
1
1
1
1
1
70

71. Exemple 1 : 3 variables
AB
C 10
11
01
00
0
1
1
1
1
1
1
F ( A, B, C ) = C + AB
71

72. Exemple 2 : 4 variables
AB
CD
10
11
01
00
00
1
1
1
1
1
01
11
1
10
F ( A, B, C , D ) = C.D + A.B.C + A.B.C.D
72

73. Exemple 3 : 4 variables
AB
CD
10
11
01
1
1
00
1
1
01
1
11
1
1
00
1
10
F ( A, B, C , D) = A B + B D + BC D
73

74. Exemple 4 : 5 variables
AB
CD
10
11
01
AB
CD
10
00
1
1
01
1
1
11
1
10
01
00
1
11
U=0
00
1
00
1
1
01
1
1
11
1
10
1
U= 1
F(A, B, C, D, U) = A B + A.B.D.U + A.C.D.U + A.B.D.U
74

75. Exercice
Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des
deux tableaux ?
AB
CD
10
AB
C 10
11
01
1
1
1
1
1
00
1
11
01
1
00
1
0
1
00
01
1
11
1
1
1
75
1
10

76. Fonction non totalement définie
‫دالة تعريفها ناقص‬
76

77. 6.5 Cas d’une fonction non totalement définie
• Examinons l’exemple suivant :
Une serrure de sécurité s’ouvre en fonction de quatre clés A, B, C
D. Le fonctionnement de la serrure est définie comme suite :
S(A,B,C,D)= 1 si au moins deux clés sont utilisées
S(A,B,C,D)= 0 sinon
Les clés A et D ne peuvent pas être utilisées en même temps.
•On remarque que si la clé A et D sont utilisées en même temps
l’état du système n’est pas déterminé.
•Ces cas sont appelés cas impossibles ou interdites  comment
représenter ces cas dans la table de vérité ?.
77

78. S
D
C
B
A
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
•Les cas impossibles sont représentées
0
0
1
0
0
aussi par des X dans la table de karnaugh
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
X
1
0
0
1
1
0
1
0
1
X
1
1
0
1
1
0
0
1
1
X
1
0
1
1
1
0
1
1
1
X
1
1
78
1
1
•Pour les cas impossibles ou interdites
il faut mettre un X dans la T.V .
AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
1
X
X
1
01
1
1
1
1
11
10

79. • Il est possible d’utiliser les X dans des regroupements :
– Soit les prendre comme étant des 1
– Ou les prendre comme étant des 0
• Il ne faut pas former des regroupement qui contient uniquement des X
AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB
79

80. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD
80

81. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
1
01
1
1
11
10
AB + CD + BD
81

82. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD + BD + AC
82

83. AB
CD
10
11
01
00
00
1
X
X
X
X
1
1
1
01
1
1
1
11
10
AB + CD + BD + AC + BC
83

84. Exercice 1
Trouver la fonction logique simplifiée à partir de la table
suivante ?
AB
CD
10
11
01
X
1
1
X
00
00
1
01
1
X
1
11
X
1
X
10
84

85. Circuits de Base
85

86. Inverseur (NON)
86

87. Conjonction ET (AND)
87

88. Disjonction (OU) (OR)
88

89. Circuits combinés
89

90. 7.3 NOR ( NON OU )
F(A, B) = A + B
F ( A, B ) = A ↓ B
90

91. Non-OU (NAND)
91

92. 7.2 NAND ( NON ET )
F(A, B) = A . B
F ( A, B ) = A ↑ B
92

93. NON-ET (Nand)
93

94. OU exclusif (XOR)
F ( A, B) = A ⊕ B
A ⊕ B = A.B + A.B
94

95. OU exclusif (XOR)
95

96. Exercice 1
• Donner le logigramme des fonctions suivantes :
F(A, B) = A.B + A.B
F(A, B, C) = (A + B).(A + C).(B + C)
F(A, B, C) = (A . B) . ( C + B) + A.B.C
96

97. Exercice 2 : Donner l’équation de F ?
97