Aritmética ci - (iii y iv bimestres)

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ARITMÉTICA CÍRCULO I
ARITMÉTICA Página 2
Este nuevo cuaderno de trabajo ha sido posible elaborarlo gracias
al trabajo en conjunto de todos los docentes del área de ciencias,
con el único propósito de servir cada día mejor a nuestros
estudiantes, que son la razón de nuestra labor docente.
Es nuestra preocupación formar estudiantes que respondan a las
expectativas de la sociedad en la que vivimos, por ello laboramos
permanentemente en la formación de estudiantes analíticos y
críticos, con sólidos conocimientos científicos y filosóficos, con una
base emocional capaz de sobresalir ante cualquier situación que se
le presente.
Este cuaderno de trabajo cumple un papel importante dentro de
todo este trabajo organizado que se realiza en la institución, nos
permitirá complementar y reforzar los contenidos de las unidades
programadas para este año.
Finalmente reconocemos la labor que realizan los padres de
familia que junto con los profesores, se esfuerzan día a día por
lograr una educación científica e integral en sus hijos.
Aprovechamos la oportunidad para reanudar nuestro
compromiso de servirlos cada día mejor, presentándoles mejores
propuestas educativas a la sociedad.

CONTENIDO – 2013
5ta
UNIDAD:
 Criterios de Divisibilidad
 Clasificación de lo Z+
6ta
UNIDAD:
 Razones y S.R.G.E
 Proporciones
7ma
UNIDAD:
 Promedios
 Magnitudes Proporcionales
8va
UNIDAD:
 Aplicaciones de las Magnitudes Proporcionales
 Regla del Tanto por Ciento
PROF.: LIVIO MISAJEL NAVARRETE

¿Un truco aritmético?
(Adaptado de MATEMÀTICA RECREATIVA de YAKOV
PERELMAN)
Un profesor de aritmética en un salón de
clase le dice a uno de sus alumnos:
-Toma una hoja de papel y escribe un
número de tres cifras sin que yo lo vea.
-¿Puede tener ceros?
-No pongo limitación alguna. Cualquier
número de tres cifras, el que desees.
- Ya lo he escrito. ¿Qué más?
-A continuación de ese mismo número,
escríbelo otra vez y obtendrás un número
de seis cifras.
-Ya está. Efectivamente, es un número de
seis cifras.
-Ahora entrega el papel a un compañero
tuyo que este lo más alejado de mí, y que
éste último divida el número entre siete.
-¡Qué fácil es decir divídalo por siete! A lo
mejor no se puede dividir exactamente.
- No se apure; se divide sin dejar residuo.
- No sabe usted qué número es y asegura
que se divide exactamente.
- Haga primero la división y luego
hablaremos.
- Ha tenido usted la suerte de que se
dividiera exactamente.
-Entregue el resultado a otro compañero,
sin que yo me entere de cuál es, y que él lo
divida entre 11.
- ¿Piensa usted que va a tener otra vez
suerte y que va a dividirse exactamente?
- Haga, haga usted la división; no quedará
residuo.
- En efecto; ¡no hay residuo! ¿Ahora, qué
más?
- Pase el resultado a otro compañero.
Vamos a dividirlo por…….. 13.
- No ha elegido bien. Son pocos los números
que se dividen exactamente por 13…… ¡Oh,
la división es exacta! ¡Qué suerte tiene
usted!
- Ahora dame el papel con el último
resultado, pero dóblalo para que yo no
pueda ver el número.
El profesor enseña el resultado a todos sus
alumnos y dijo: ¡ahí tienen el número que
pensó!
¿Cómo supo que el
resultado final era igual
al número pensado por su
alumno?
OBJETIVOS
 Reconocer los principales criterios de divisibilidad.
 Aplicar correctamente los criterios de divisibilidad en la resolución de situaciones diversas.
 Reconocer un número primo y compuesto y sus propiedades.
 Utilizar las propiedades que poseen estos números para solucionar diversas situaciones.
 Analizar y estudiar a los divisores de un número entero positivo.

Se llaman Criterios de Divisibilidad a ciertas
reglas prácticas que aplicadas a las cifras de
un numeral permiten determinar su
divisibilidad respecto a cierto módulo, o en
todo caso conocer su residuo en el caso de
no se divisible.
 DIVISIBILIDAD ENTRE LAS POTENCIAS DEL 2
 DIVISIBILIDAD ENTRE LAS POTENCIAS DE 5
 DIVISIBILIDAD ENTRE 3 Ó 9
 DIVISIBILIDAD ENTRE 7
Un numeral es divisible entre 7 si al
multiplicar a cada una de sus cifras (a partir
de la derecha) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, …
y luego efectuar, la suma algebraica de los
productos resultantes, dicha suma es
divisible entre 7.
Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si
la diferencia entre la suma de sus cifras de
orden impar y la suma de sus cifras de orden
par es divisible entre 11.
Un numeral es divisible entre 13 y si al
multiplicar a cada una de sus cifras (a partir
de la derecha) 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, -4, …
y luego efectuar, la suma algebraica de los
productos resultantes , dicha suma es
divisible entre 13.
APRENDIENDO MÁS……….
Además de los criterios ya explicado,
existe otra sencilla regla para comprobar
si un número entero positivo es divisible
entre 7, que es la siguiente:
Separamos la cifra de las unidades del
número inicial, la multiplicamos por 2 y se
la restamos al resto del número (lo que
quedó sin las unidades). Si obtenemos un
múltiplo de 7 entonces el número inicial es
múltiplo de 7, y si obtenemos un número
que no es múltiplo de 7 pues el inicial
tampoco lo es.
Pongamos un ejemplo:
Veamos si el número 432 esmúltiplo de 7.
 2 . 2 =4
 43 – 4 = 39
 Como 39 no es múltiplo de 7
entonces ¡432 no es múltiplo de 7!
Si obtenemos un número demasiado
grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o
no, repetimos el proceso anterior las
veces necesarias hasta que lleguemos a un
número del que sepamos si es o no
múltiplo de 7.
Particularmente veo que este algoritmo es
algo lento si el número es demasiado
grande, pero bueno, al menos tenemos
otro, ¿no?
Uhmm… ¿no habrá alguna otra forma?
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Si: e =
Si:
Si:
Si: e =
Si:
Si:
Si: a + b + c + d =
Si: a + b + c + d =

Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos
tiene guardada una sorpresa en lo que al
7 se refiere…
EL GRAFO DE LA DIVISIBILIDAD
ENTRE 7
El blog de Tanya Khovanova es uno de
esos sitios en los que muy a menudo
pueden encontrarse auténticas perlas
matemáticas. La que les voy a explicar
aquí la he encontrado allí, aunque no es
de ella, sino de David Wilson. Es un
grafo a partir del cual no sólo podemos
saber si un número es divisible entre 7
de manera algo más rápida que con el
algoritmo anterior (al menos bajo mi
punto de vista) sino también el resto
que deja dicha división en el caso de
no serlo. Vamos a verlo:
Para saber si un número natural es
divisible entre 7 comenzamos en el cero,
recorremos desde él tantas flechas
negras como indique la primera cifra del
número y después seguimos la flecha
blanca que salga del punto al que hemos
llegado. Tomamos la segunda cifra y
hacemos lo mismo:
Desde el punto donde nos encontramos
recorremos tantas flechas negras como
indique la segunda cifra y después la
flecha blanca que nos encontramos en el
destino. Y así sucesivamente.
Cuando lleguemos a la última cifra
recorremos desde el punto donde nos
encontremos tantas flechas negras como
ella indique y el punto al que lleguemos
nos dice el resto de dividir el número
inicial entre 7.
Un ejemplo:
Tomemos un número grande, digamos
el 239058. Con el método anterior
posiblemente tardaríamos un buen rato
en comprobar si nuestro número es
divisible entre 7 o no (podemos
comprobarlo). Además no conoceríamos
el resto de dicha división.
Probemos con nuestro grafo:
Desde el 0 dos flechas negras, llegando al
2; ahora una flecha blanca y llegamos
al 6
Desde el 6 tres flechas negras, llegando
al 2; ahora una flecha blanca y llegamos
otra vez al 6
Desde el 6 nueve flechas negras, llegando
al 1; ahora una flecha blanca y llegamos
al 3
Desde el 3 no recorremos ninguna flecha
negra, por lo que nos quedamos en el 3;
ahora una flecha blanca y llegamos al 2.
Desde el 2 cinco flechas negras, llegando
al 0; ahora una flecha blanca, por lo que
nos quedamos en el 0. Para finalizar,
desde el 0 ocho flechas negras, llegando
al 1.
Por tanto, el resto de dividir 239058
entre 7 es (por tanto no es divisible
entre 7).
¿Alguien podría explicar por qué
funciona este método?
QUÉ INTERESANTE…!!!

1. ¿Qué valor debe tomar “x” para que el
numeral 11443x sea divisible entre 8?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 4
2. ¿Qué valores deben tomar “m” y “n” en
el numeral 45 0mn , para que sea divisible
entre 125? Dar como respuesta la suma
de todos los valores de m+n.
a) 15 b) 24 c) 13 d) 16 e) 12
3. Calcular el valor de x sabiendo que
67 22xx es divisible entre 9.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)
8
4. Cuál es el valor de “a” si el numeral
13 372a es divisible entre 7?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 1 e) 3
5. ¿Cuál es el valor que debe tomar “y”
para que el numeral 17y14 sea divisible
entre 11?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e)
8
6. ¿Qué valor debe tomar “b” en el
numeral 306b128 si es divisible entre
13?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
7. Halla (a+b) mínimo si:

3a3542 , y

92317b4
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12
8. Si:
0
4 8 7 2aa . ¿Halle la suma de
valores de “a”?
a) 14 b) 15 c) 12 d) 13 e) N.A
9. Hallar “x” en
0
4 683 11 3x x
a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) N.A
10. Si: 1 2 3 9 11
0
a a a a..... . Hallar el valor de
“a”
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
11. Calcular el valor de “a”, si 7 4 3 7
0
a a
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
12. Determina el valor de la cifra “x” si el
número 5 1 4x x es divisible entre 13.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
13. Si:
0
9abc ;
0
5bac y
0
8ca . Halle
a+b+c.
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
14. Si:
0
6 7a ;
0
8aab y
0
23abc Halle
“a+b+c”
a) 16 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
15. Si se cumple que 5 10 72
0
x y . Halle
“x-y”
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
16. Sabiendo que: 4 58 56
0
ab a . Halle axb.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
17. Si: ab ba1 44
0
, Calcular “a+4b”
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
18. Si el numeral 7 361a b es divisible entre
55 pero no entre dos., determine el
valor de a+b.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
19. Calcule “a+b+c”, si 4 3 1125
0
a bc
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

20. Calcule el residuo de dividir
2132abcabc entre 13.
a) 4 b) 2 c) 10 d) 7 e) 8
21. Si: 29959132
0
mn , calcule (m+n).
a) 9 b) 7 c) 8 d) 6 e) 10
22. (PUCP-2004-I) Se tiene los números:
I. 17820
II. 11880
III. 17560
¿Qué números son divisibles entre 2; 3;
4; 5; 6; 9 y 11?
a) solo I b) solo II c) solo III
d) I y II e) II y III
23. (PUCP-2004-II) Si se sabe que:
0
54 2 9n n y
0
52 1 3m . Halle la suma
de todos los valores de (m+n).
a) 9 b) 12 c) 15 d) 21 e) 36
1. Si: 532 9 3 58 11a y b . Halla: a+b
a) 5 b) 7 c) 6 d) 8 e) 10
2. Calcular “a”, si
0
3 2 7a a
a) 1 b) 7 c) 9 d) 11 e) 7
3. Cuantos números de la forma abb son
múltiplos de 4?
a) 90 b) 27 c) 81 d) 18 e) 45
4. Halle el valor de “x”, si
4 5 6 7 9 5
0
x x x x
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
5. determine el valor de “a”, si
5 2 42 6 11
0
a a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. Determina el valor de la cifra “x” si el
número 8x6x2 es divisible entre 13.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
7. ¿Cuántos numerales capicúas de tres
cifras son múltiplos de 7?
a) 5 b) 8 c) 10 d) 4 e) 6
8. Si: 3 758 55
0
a b , halle el mínimo valor
de “a-b”
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
9. Si baa49 13
0
, halle el residuo de
dividir 2 1a a a entre 11.
a) 0 b) 5 c) 2 d) 7 e) 9
10. Halle “a+b+c” Si:
0
11abc ;
0
7cba y
0
9bac
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
11. Calcule “m+n”, si el número 4 53n m es
divisible entre 88.
a) 14 b) 12 c) 11 d) 13 e) N.A
12. Si:
0
165abba . Halle el máximo valor de
(a+b).
a) 12 b) 14 c) 9 d) 11 e) 16
13. Calcule: m-n, Si se cumple que:
9
o
mnmn ;
0
5 5 1m n y
0
6 4n .
a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7
14. Si:
0
2 100 99 1ab y
0
5 032 11 3m n .
Calcule el valor de: (a+b+m+n), si m y n
son diferentes.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 23 e) 24

15. Si: ab 5
0
; ba 9
0
; abc 8
0
. Halle
“a+b+c”
a) 21 b) 18 c) 15 d) 14 e) 17
16. Si 5 10 72
0
x y , Halle “x+y”
a) 12 b) 13 c) 14 c) 15 e) 16
17. Hallar a + b si se cumple que:

55b312a8a1
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
18. Calcular “b - a” si el número bab4a4 es
divisible entre 63.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
19. Calcula “a + b”, si

45aba23a
a) 15 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8
20. Halle la cantidad de números de la
forma 1 1a bab que cumplen con la
condición que sean múltiplos de 63.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
21. (UNMSM-2011-I) Al dividir el número
entero 3 82N a entre 9 su resto es 1.
Halle el valor de 2
1a
a) 65 b)82 c) 37 d) 50 e) 26
22. (UNFV-2002) ¿Cuántas cifras 5 como
máximo hay que colocar a la derecha del
número 2143 para que el resultado sea
múltiplo de 9; sabiendo además, que
dicha cantidad de cifras es menor que
87?
a) 70 b) 75 c) 79 d) 85 e) 90
LOS FANTÁSTICOS NÚMEROS PRIMOS
Desde hace 2500 años los números primos atraen
la atención de matemáticos y aficionados de
todo el mundo, por varias razones. Una de ellas
es la fascinación que produce su irregular
distribución a lo largo de la recta numérica. Los
números primos aparecen esparcidos aquí y allá,
encontrándose sectores en donde abundan y
otros en donde escasean. Se los califica de
misteriosos e indomables pues no parece existir
ninguna regla que determine su ubicación entre
los demás números naturales.
Si bien no hay una fórmula que prediga la
distancia entre un primo y otro, cabe
preguntarse lo siguiente: ¿Acaso no es la
superposición de distintos patrones regulares lo
que produce esa irregularidad? Por otro lado,
sabemos que entre los primeros 30 millones de
números naturales sólo se encuentran 4
números perfectos: 6, 28, 496 y 8128. El quinto
lugar lo ocupa un número de 8 dígitos:
33550336. Nos preguntamos ¿Cuál es el patrón
geométrico subyacente que origina esta extraña
serie? ¿Acaso hay que relacionar varios patrones
distintos para resolver este problema?
LOS PROBLEMAS NO RESULETOS DE LOS
NÚMEROS PRIMOS
¿Existe alguna fórmula para determinar si un
número determinado es primo o no?
¿Hay un número infinito de pares primos? Un
par primo es un par de primos consecutivos
cuya diferencia es dos. Por ejemplo, 3 y 5; 5
y 7; 11 y 13; 41 y 43.
El misterio del número perfecto impar.

NÚMEROS PRIMOS
Un número perfecto es aquel que es igual a la
suma sus divisores propios (un divisor propio es
un divisor que no es igual al número mismo).
El número 6 es un ejemplo de un número
perfecto porque 6=1+2+3. Otros ejemplos son:
28; 496; 8128.
Alrededor del año 300 a.c Euclides demostró que
si un número de la forma 2n-1
es primo,
entonces 2n-1
(2n
-1) es un número perfecto. Luego
en el siglo XVIII Euler demostró que cualquier
número perfecto par debe tener la forma dada
por Euclides. Por ejemplo, 8128=26
(27
-1) Pero lo
números perfectos impares siguen siendo un
misterio. Hasta ahora nadie ha encontrado un
número perfecto impar, ni nadie ha probado que
todos los números perfectos son pares.
LA CONJETURA DE GOLDBACH
¿Todos los números pares mayores que dos son
la suma de dos números primos?
En 1742, el matemático alemán Christian
Goldbach (1690-1764) le comunicó a Leonard
Euler (1707-1783) la conjetura de que todo
número par, salvo el 2, era la suma de dos
números primos. Por ejemplo: 4=2+2; 6=3+3;
8=5+3; 12=7+5; …. Aunque se considera que la
conjetura de Goldbach es cierta, hasta el
momento nadie lo ha demostrado. Hasta el
momento se han producido algunos avances: en
1931, el matemático soviético L. Schnirelmann
aparentemente probó que cualquier número par
puede escribirse como la suma de ni más de 300
000 primos….algo muy alejado de dos primos.
Iván M. Vinogradov (1891-1983) demostró que
todos los enteros impares suficientemente
grandes son la suma de tres números primos. En
1973, Chen Jing-run demostró que cualquier
número par suficientemente grande es la suma
de un número primo y de un número que o bien
es primo o bien tiene dos factores primos.
CLASIFICACIÓN DE LOS ENTEROS
POSITIVOS (Z+
)
I. TENIENDO EN CUENTA SU CANTIDAD DE
DIVISORES, LOS NÚMEROS ENTEROS
POSITIVOS SE CLASIFICAN EN:
Son aquellos que tienen solo 2 divisores.
Ejemplo:
2 1, 2
3 1, 3
5 1, 5
7 1, 7
11 1, 11
13 1, 13
: :
: :
El uno (1) tiene un solo
divisor
Los números primos
tienen solo 2 divisores
Los números compuestos
tienen más de 2 divisores
Z+
NÚMEROS
SIMPLES
Número Primo Divisores

Nro
. Compuesto
NÚMEROS COMPUESTO
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI)
Divisores
Son todos aquellos números que tienen más
de 2 divisores.
Ejemplo:
4 1, 2, 4
12 1, 2, 3, 4, 6, 12
30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
25 1, 5, 25
40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
PROPIEDADES LOS NÚMEROS PRIMOS
 El conjunto de números primos es
infinito.
 2 es el único número primo y par a la
vez.
 2 y 3 son los dos únicos números primos
y consecutivos a la vez.
 Sea “P” es un primo absoluto
Si P > 2, entonces 4 1 4 1
o o
p ó P
Si P > 3, entonces 6 1 6 1
o o
p ó P
¿Cómo se determina si un número es
primo?
 Se extrae la raíz cuadrada entera
aproximada del número dado. Si es
exacta se determina que no es primo.
 Caso contrario, Se verifica la
divisibilidad entre todos los números
primos menores o iguales que la raíz
entera hallada.
 Si es divisible al menos entre alguno de
ellos, el número no es primo. Si todas las
divisiones son inexactas, entonces el
número es primo.
PRACTIQUEMOS: cuáles de los siguientes
números son primos absolutos: 193; 221;
211; 173; 421; 181; 443; 203; 287; 157.
II. CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS
Se les denomina también primos relativos o
coprimos. Es aquel conjunto de dos o más
números, cuyo único divisor en común es la
unidad.
Ejemplo:
Número Divisores
6 1 , 2, 3, 6
15 1 , 3, 5, 15
20 1 , 2, 4, 5, 10, 20
Único divisor en común
PRACTIQUEMOS: Determinar qué conjunto
de números son P.E.S.I
 21; 15 y 8
 14; 21 y 30
 20; 35 y 15
 18; 27 y 35
NOTA: Todo número compuesto
tiene una cantidad de divisores
simples y divisores compuestos
 45; 15; 33 y 42
 12; 25; 20 y 18
 36; 63; 111 y 42
 20; 21; 22 y 23
CD(N) = CDS(N) + CDC(N)

EN GENERAL:
SD(N) =
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA Ó DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
(D.C).- Todo número compuesto puede ser
expresado como la multiplicación indicada
de sus factores primos diferentes elevados a
exponentes enteros y positivos
(Descomposición Canónica).
Ejemplo:
1440 = 25 . 32 . 5
PRACTIQUEMOS:
Descomponer canónicamente los siguientes
números:
1600
1800
450
999
820
620
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN
NÚMERO
 CANTIDAD DE DIVIOSRES DE UN
NÚMERO (CDN).- Un método práctico
para determinar la cantidad de divisores
de un número es utilizando su
descomposición canónica.
Veamos:
Hallar la cantidad de divisores de 120
120 2 120 = 2 3
x 3 1
x 5 1
60 2 Luego:
30 2 CD(120) = 4 x2 x 2
15 3 CD(120) = 16
5 5
1
PRACTIQUEMOS: calcule la cantidad de
divisores de cada uno de los siguientes
números:
3900
1800
1450
365
999
 SUMA DE DIVIOSRES DE UN NÚMERO
(SDN).- Para este caso utilizaremos la
siguiente fórmula:
PRACTIQUEMOS: calcule la suma de los
divisores de cada uno de los siguientes
números:
180
3900
1800
365
482
PARA TENER EN CUENTA
1. Dos o más números consecutivos son
siempre P.E.S.I
2. Dos o más números impares
consecutivos son siempre P.E.S.I.
3. Si dos números A y B son P.E.S.I.,
entonces:
A, B y (A+B) son P.E.S.I.
A, B y (A-B) son P.E.S.I.
RECUERDA
CDN = CDPRIMOS + CDCOMPUESTOS + 1
245
363
510
640
203
273
EN GENERAL:
1560
3850
380
640
2400
1560
3850
380
640
2400
D.C

1. Del siguiente grupo de números: 237;
401; 209; 181; 173. ¿Cuántos de ellos son
primos absolutos?
a) 0 b) 21 c) 2 d) 3 e) 4
2. Si: a3 , 25 y 91 son PESI. Calcule la
suma de los valores de “a”.
a) 31 b) 40 c) 25 d) 28 e) 36
3. Calcule el residuo de dividir el producto
de los 200 primeros números primos
entre 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0
4. Determine la suma de los números
primos absolutos entre 50 y 80.
a) 521 b) 463 c) 423 d) 332 e) 418
5. Si: a, b y c son números primos, además
se tiene que: a+b+c=80 y a-c=39.
Calcule: 222
cba .
a) 259 c) 164 c) 369 d) 168 e) 316
6. Siendo a, b, y c números primos
absolutos, ¿cuántas ternas cumplen con
la condición: a+b+c=48.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7. ¿Cuántos números primos absolutos se
escriben con dos cifras en el sistema
heptanario?
a) 10 b) 9 c) 12 d) 13 e) 11
8. Calcule la suma de todos los números
primos de la forma 3abc .
a) 92 b) 121 c) 83 d) 48 e) 64
9. Siendo a, b, y c números primos
absolutos, ¿cuántas ternas cumplen con
la condición: a+b+c=48.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10. ¿Cuántos números primos de la forma
3aab , existen?
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 6
11. Calcular la cantidad de divisores de abc
, si este descompuesto canónicamente
posee la siguiente forma:
abc=PP
x(P+1)3
x(P+3).
a) 48 b) 43 c) 46 d) 32 e) 42
12. Determine el número de divisores de
720.
a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36
13. Determina la descomposición canónica
de 10! Y diga cuál es el exponente del
factor primo 3.
a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 7
14. ¿Cuántos divisores primos tiene 3500?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
15. Hallar la suma de los divisores primos
que tiene 360.
a) 12 b) 10 c) 11 d) 9 e) 8
16. Si 36n
tienen 49 divisores, ¿cuántos
divisores tendrá 60n
?
a) 84 b) 48 c) 96 d) 110 e) 112
17. ¿Cuántos números compuestos dividen
exactamente al número 12740?
a) 28 b) 32 c) 36 d) 46 e) 42
18. Hallar un número N = 12n
. 15n
, sabiendo
que tiene 75 divisores. Dar como
respuesta la suma de las cifras de N.
a) 18 b) 15 c) 9 d) 27 e) 21
19. Hallar “a” si: N=21. 15a
tiene 20
divisores compuestos.
a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

20. Si:
.
1
a cac b b
D C
N b a b c . Además, se
sabe que N es múltiplo de 35. Calcule la
cantidad de divisores de bac
a) 76 b) 84 c) 52 d) 46 e) N.A
21. calcule el valor de k, si el número k
30
tiene el doble de divisores que el
numeral k
x1815 .
a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7
22. (PUCP-2004-I) ¿Cuál de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
I. Un número primo más otro número
primo siempre resulta otro número
primo.
II. La suma de cuatro números enteros
consecutivos es siempre divisible
entre cuatro.
III. Un número primo es de la forma
4 1
o
.
a) I y II b) II y III c) I y III
d) I, II y III e) N.A
23. (PUCP-2006-II) Sea 15 15
7 2N ,
determinar cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas:
I. “N” es impar.
II. “N” es primo.
III. “N” es múltiplo de 5.
a) II y III b) I y II c) sólo III
d) II y III e) sólo II
24. (LA CANTUTA-2004-I) ¿Cuántos números
naturales que son mayores que 1 y
menores que 20 son primos relativos con
20?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 6 e) 12
25. (CALLAO-2007-II) Si el número de
divisores de 3 21
k
es los 2/3 del número
de divisores que tiene50k
. El valor de
“k” es.
a) 6 b) 4 c) 8 d) 12 e) 10
1. Calcule el residuo de dividir la suma de
los cuadrados de los 32 primeros
números primos entre 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) faltan datos
2. Si: a2 , 34 y 40 son PESI. Calcule la suma
de los valores de “a”.
a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28
3. Determine la suma de todos los números
primos que son mayores que 60 pero
menores que 90.
a) 125 b) 128 c) 204 d) 223 e) N.A
4. De los siguientes números: 113; 193;
201; 217 y 307, ¿cuántos de ellos son
compuestos?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5. Si: a, b y c son números primos
absolutos, y además: a+b+c=52 y b–a=17.
Calcule a.b .c
a) 431 b) 138 c) 1148 d) 1784 e) 1178
6. Siendo los números: p, q y r, primos
absolutos. ¿Cuántas ternas cumplirán la
condición: p+q+r =56?
a) 1 b) 2 c) 3 e) 4 d) 5
7. Si a, b y c son primos, además
a.b.c=754. Halle: a+b+c.
a) 52 b) 44 c) 36 d) 72 e) 41
8. Determina la suma de todos los números
primos de la forma 7a
a) 152 b) 144 c) 136 d) 72 e) N.A
9. ¿Cuántos números primos se escriben
con dos cifras en el sistema senario?

a) 12 b) 10 c) 16 d) 13 e) N.A
10. ¿Cuántos números de la forma: son
primos absolutos?
a) 8 b) 14 c) 16 d) 23 e) N.A
11. Siendo los números: p, q y r, primos
absolutos. ¿Cuántas ternas cumplirán la
condición: p+q+r =56?
a) 5 b) 4 c) 3 d) 7 e) N.A
12. Calcule la suma de todos los números
primos de la forma 3aba .
a) 52 b) 44 c) 36 d) 72 e) 41
13. Halle el número de divisores de 540.
a) 36 b) 42 c) 48 d) 56 e) N.A
14. ¿Cuál es el exponente del factor primo 2
en la descomposición canónica de 8!?
a) 3 b) 2 c) 6 d) 8 e) N.A
15. Hallar la suma de divisores primos del
número 2100.
a) 16 b) 12 c) 18 d) 8 e) N.A
16. Sea la descomposición canónica de N:
ab
bbaaN 41 , donde: a+b=9.
¿Cuántos divisores compuestos tiene N?
a) 91 b) 120 c) 87 d) 58 e) 56
17. Hallar la suma de los divisores simple de
350.
a) 14 b) 12 c) 18 d) 15 e) N.A
18. Hallar “a” si 10a
x 36 tiene 45 divisores.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
19. Si 420.5n
tiene 91 divisores compuestos.
Halle “n”
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6
20. Sabiendo que: A=12.30n
tiene el doble
de la cantidad de divisores que
B=12n
.30. Halle “n”
a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5
21. Si el número: N= 3k+2
.13k
tiene 77
divisores compuestos. Calcule el valor
de “k”
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
22. (UNMSM-2004-II) El cociente del primer
número primo mayor que 505 entre el
primo anterior, con tres cifras decimales
de aproximación es:
a) 1,031 b) 1,001 c) 1,011
d) 1,021 e) 1,041
23. (UNMSM-2005-II) Si M es la suma de los
divisores positivos de 48, entonces
3
1M es:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
24. (UNMSM-2005-II) Indicar el valor de
verdad:
221 no es primo.
2 y 3 son los únicos números
consecutivos y primos a la vez.
Todo número que divide a un
producto de varios números, divide
por lo menos a uno de ellos.
a) FVV b) VVF c) FFV d) VFF e) VVV
25. (UNMSM-2008-II) Si el número
2
3 10n
M tiene 48 divisores positivos,
entonces el valor de “n” es:
a) 2 b) 1 c) 4 d) 5 e) 3
26. (UNMSM-2012-II) Sean 2 .3n
a y
2.3n
b , donde n es un entero positivo.
Si a b tiene 16 divisores positivos,
halle a-b.
a) -6 b) 6 c) 4 d) -4 e)12

RAZONES Y PROPOPORCIONES
FAMOSAS
Existen algunas razones famosas en la
historia de la matemática, aunque no se
expresen con números enteros. Una de ellas
es la razón constante entre la longitud de
la circunferencia (C) y la de su diámetro
(d). Este valor es el que conocemos como el
número π (pi), cuyo valor es 3,141592... De
modo que C/d= π.
Otra razón de interés histórico es la llamada
razón áurea (Zippin, 1996). Surge al
resolver este problema: Dividir un segmento
dado en dos partes, tales que la menor (b)
es a la mayor (a) como el segmento mayor
es al segmento total (a + b); es decir,
La razón b/a se conoce como razón áurea,
y su valor es: 5 1
2
, es decir,
aproximadamente 0,618... Su interés
histórico radica en que con esta razón se
construyeron los rectángulos áureos (la
razón del lado menor al mayor es 0,618...),
que están presentes en numerosos
elementos (la fachada, la planta, los
ventanales, etc.) de muchas construcciones
clásicas (las fachadas del Partenón y de la
Universidad de Salamanca, el cuadro de Las
Meninas de Velásquez...) así como en
objetos de la vida diaria (carnés, cédulas,
tarjetas, páginas...), y dan una extraña
sensación de equilibrio y armonía...
Finalmente, hay que destacar la sensación
de armonía que presentan los cuadros y
dibujos en los que se ofrece una
perspectiva de la realidad que conserva sus
dimensiones relativas y, particularmente, la
“profundidad” de la escena. Desde el punto
de vista matemático, se trata de conservar
en el plano del dibujo las proporciones que
presentan los objetos reales entre sí.
Esta armonía es la que se echa de menos en
los cuadros de los llamados pintores
primitivos, o ingenuos, que presentan todos
los objetos en un mismo plano, pero cuyo
valor artístico no se pone en duda (lo que
OBJETIVOS
 Establecer comparaciones entre cantidades de igual o diferente magnitud.
 Reconocer una S.R.G.E y sus propiedades.
 Aplicar la teoría de razones en la solución de situaciones de su entorno real.
 Reconocer e interpretar a una proporción.
 Inducir las diversas propiedades que presentan las proporciones.
 Aplicar las propiedades y manejar adecuadamente las técnicas operativas para la resolución de los
problemas que se le presenten en la vida diaria.

revela que la lógica de la matemática y la
estética de la obra artística pueden convivir
en mundos complementarios, que a veces se
cruzan...).
LAS RAZONES EN EL CUERPO HUMANO
Podemos realizar un ejercicio muy
interesante que consiste en tomar las
medidas de ciertas partes de nuestro cuerpo
y relacionarlas entre sí. Por ejemplo, la
medida, de punta a punta, de nuestros
brazos extendidos horizontalmente, con la
medida de nuestra estatura. Y también, la
medida del contorno de nuestro puño
cerrado, con la medida de nuestro pie. Y la
medida del contorno de nuestro cuello, con
la medida del perímetro de nuestra cintura.
Se obtienen así tres razones interesantes (se
pueden descubrir otras...).
Si realizamos este ejercicio con un grupo
relativamente numeroso de personas,
podemos observar que los valores de las tres
razones tienden a estabilizarse alrededor de
ciertos valores.
¿Se animan?
¿QUÉ ES UNA RAZÓN?
Se llama razón a la comparación
matemática entre dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos
maneras:
1. Por diferencia, hallando en cuánto
excede una a la otra.
2. Por cociente, hallando cuántas veces
contiene una a la otra.
TIPOS DE RAZONES:
 RAZÓN ARITMÉTICA:
Es la comparación de dos cantidades
mediante la operación de sustracción.
Nos indica el exceso de una de ellas con
respecto a la otra.
Ejemplo:
Edad de Martín es 22 años
Edad de Rodrigo es 4 años
Entonces, la razón aritmética de ambas
edades será:
22 – 4 = 18 años
 RAZÓN GEOMÉTRICA:
Es la comparación de dos cantidades
mediante la operación de división. Nos
indica cuántas veces contiene una de las
cantidades a la otra.
Ejemplo:
Edad de Rosario es 28 años
Edad de Aarón es 4 años
Entonces la razón geométrica de ambas
edades será:
28
4
= 7 años Valor de la razón
geomètrica
Antecedente
Consecuente
Valor de la razón
aritmética
Antecedente
Consecuente

Cuando nos digan: “2 cantidades son entre sí
como 3 es a 2”, podemos plantear.
ó ó H=3k; M=2k
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES (S.R.G.E)
Se denomina así al conjunto de más de dos
razones geométricas que tienen el mismo
valor.
Ejemplo:
15 30 24 45
3 10 8 15
=
Valor de razón
35 14 42 28
40 16 48 32
=
Valor de razón
Donde:
 a1, a2, a3, …., an : antecedentes
 c1, c2, c3, .…., cn : consecuentes
 k: constante de proporcionalidad
Observación
Una serie de razones equivalentes
continuas, se expresa de la siguiente
manera.
PROPIEDAD:
Cada antecedente puede ser representado
en función del último consecuente y la
constante de proporcionalidad.
a = ek4
b = ek3
c = ek2
d = ek
En general:
= k
3
PROPIEDADES
Dada la siguiente S.R.G.E
Entonces:
1.
2.
3.
4.
Último
consecuente

1. La razón aritmética de dos números es
18. ¿Cuánto suman estos números?
Sabiendo que su razón geométrica es
igual a 7/4.
a) 65 b) 66 c) 67 d) 68 e) 69
2. Pedro tiene 72 años y María 45 años.
¿Hace cuántos años dichas edades
estaban en la relación de 4 a 7?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
3. En una fiesta, el número de varones es
al de mujeres como 7 es a 8, y el
número de niños es al total como 1 es a
6. ¿Cuál es la relación entre el número
de varones y el de niños?
a) 5/7 b) 4/5 c) 7/4 d) 7/3 e) 5/3
4. Dos números son entre sí como 8 es a 15.
Si la suma de la cuarta parte del menor
más la quinta parte del mayor es 35,
halle la suma de los dos números.
a) 147 b) 161 c) 168 d) 184 e) 198
5. El peso de un tanque es al peso del agua
como 3 es a 4. ¿Qué cantidad hay que
agregar de agua, para que la relación
sea de 1 a 2, si al inicio hay 8 litros de
agua?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5
6. Dos números están en la relación de 6 a
13, pero al sumarle 42 a uno y restarle
42 al otro, dicha relación se invierte.
Halle el doble del menor de dichos
números.
a) 72 b) 68 c) 65 d) 60 e) 84
7. Si:
5113
cba
; Además: 11a+3b+c=568
Halle 2a + b – c
a) 48 b) 130 c) 96 d) 40 e) 88
8. Jorge tiene canicas de color azul, rojo y
negro. La cantidad de canicas azules y la
cantidad de canicas rojas están en la
relación de 3 a 7, y la cantidad de
canicas rojas y negras están en la
relación de 5 a 4. Determina cuentas
canicas de cada color tiene, si se sabe
que tiene 234 canicas en total.
a) 40; 100; 94 b) 45; 105; 84
c) 55; 105; 74 d) 60; 120; 54
e) 35; 110; 89
9. Se tiene tres números A, B y C, que son
proporcionales a los números 3; 5; y 9
respectivamente. Si el tercer numero
excede al primero en 42 unidades, halle
la suma de dichos números.
a) 110 b) 84 c) 56 d) 98 e) 119
10. En una granja la relación de gallinas,
pavos y patos es de 3; 5 y 6
respectivamente. Si se vende la misma
cantidad de cada uno, la nueva relación
sería 3; 7 y 9. ¿Cuántas aves había
inicialmente, si al final quedaron 90
pavos?
a) 360 b) 180 c) 90 d) 240 e) 270
11. Si:
5
3
35
63
25
34 mn
, Calcule: m+n
a) 10 b) 12 c) 15 d) 9 e) 27
12. si: k
d
c
c
b
b
a
; y 81
dc
ab
Calcule:
2
2
a b c
E
b c d
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
13. Si: ........
531
321 aaa
Además: 3871274 aaa
Calcule: 1185 aaa
a) 395 b) 415 c) 410 d) 400 e) 405
14. Si:
7
7
5
5
3
3
c
c
b
b
a
a
Además: 30622
ba . Calcule a+b+c
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 e) 160

15. (PUCP-2002-II) Si 4
6
A
B
y 9
12
B
C
,
donde A+C=24, Cuál es el valor de B.
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140
16. (PUCP-2003-II) En un plano cartográfico
se lee 125 km que equivalen a 2,5 cm.
¿Cuál es la medida en el plano de una
distancia de 1080 km?
a) 20,4 cm b) 20,7 cm c) 21,2 cm
d) 21,6 cm e) 22, 4 cm
17. (PUCP-2004-I) En una fiesta se retiran
16 mujeres, quedando una mujer por
cada tres hombres, luego se retiran 120
hombres quedando la misma cantidad de
hombres que de mujeres. Hallar la
cantidad inicial de personas.
a) 240 b) 256 c) 260 d) 270 e) 280
18. (PUCP-2004-I) Luis y Miguel tienen sus
edades en proporción de 2 a 5. Miguel
tiene más de 40 años pero todavía no
llega a los 70 años. Hallar la edad de
Luis, si la suma de sus edades es
múltiplo de 5.
a) 10 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
19. (PUCP-2004-I) El piso de un edificio
puede ser cubierto por 96 losetas
cuadradas del tipo A o por 384 losetas
cuadradas del tipo B. Hallar la relación
de las longitudes de los lados de las
losetas tipo A y del tipo B.
a) 4: 1 b) 8: 3 c) 2: 1 d) 8: 1 e) N.A
20. (PUCP-2004-I) Una camisa se vende en
20 EUROS que equivalen a 30 SEUDOS.
¿Cuánto cuesta un pantalón en EUROS
cuyo precio es de 36 SEUDOS?
a) 18 b) 20 c) 24 d) 32 e) 15
21. (PUCP-2004-II) Si:
a b c
b c d
;
Además: a-b=12 ; b-c=6. Hallar
2 2
2
2
2
a b ab
M
b bc bd
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16
22. (PUCP-2004-II) Las edades de Pedro y
Manuel están en la relación de 3 a 7,
siendo su diferencia 16 años. Hallar la
edad de Pedro dentro de 5 años.
a) 12 b) 13 c) 15 d) 17 e) 20
23. (PUCP-2006-II) Si se tiene un tablero de
ajedrez de 8x8, ¿cuántos cuadrados
blancos debo pintar de negro para que la
relación entre cuadrados negros y
blancos sea de 3 a 1? Dar como
respuesta la nueva diferencia entre
cuadrados negros y blancos.
a) 20 b) 16 c) 32 d) 30 e) 40
24. (PUCP-2007-I) En una academia, el
número de alumnos y el número de
alumnas están en la relación de 3 a 4.
De los varones, los que se presenta a
letras y los que se presentan a ciencias
están en la relación de 2 a 3; dicha
relación en las mujeres es de 3 a 5.
Hallar la relación que hay entre el
número de hombres que se presentan a
ciencias y el número de mujeres que se
presentan a letras.
a) 12 : 25 b) 6 : 5 c) 18 : 25
d) 5 : 6 e)1 : 1
25. (UCH-2008-II) En 40 litros de agua
azucarada hay 12 cucharadas de azúcar.
¿Cuántos litros de agua se deben añadir
para que la relación entre el volumen de
agua azucarada y la cantidad de azúcar
sea de 9 a 2?
a) 10 b) 14 c) 16 d) 20 e) 22
26. Se tiene 2 números que están en
relación de 4 a 9. Si a uno de ellos se le
agrega 39 unidades y al otro se le resta
26 unidades, ambos serían iguales. Dar
como respuesta la suma de cifras del
mayor de ellos.
a) 17 b) 12 c) 13 d) 5 e) 9
27. En un bidón se tiene 72 litros de una
mezcla de alcohol y agua, en la relación
de 5 a 3 respectivamente. ¿Cuántos
litros de agua se debe agregar para que
la relación sea de 9 a 10?

1. Si la razón aritmética entre A y b es 20 y
su razón geométrica es 6. Calcule la
razón aritmética entre 5A y 3B.
a) 120 b) 65 c) 20 d) 24 e) 108
2. Martha tiene 40 años y su hija 6 años.
¿Al cabo de cuántos años la razón de sus
edades será 3/5?
a) 5 b) 30 c) 45 d) 10 e) 12
3. Noemí y carolina tienen sus edades en la
relación de 4 a 1. Si dentro de 14 años
sus edades estarán en la delación de 5 a
3, calcule la edad de carolina dentro de
10 años.
a) 20 b) 10 c) 54 d) 27 e) 14
4. En una familia hay 4 hermanos. La razón
entre las edades de los mayores y de los
menores es de 5/6 y 5/7
respectivamente. Si el segundo y el
tercer hermano tienen 20 y 14 años
respectivamente, ¿por cuántos años es
mayor el primero en comparación con el
último de los hermanos?
a) 8 b) 14 c) 38 d) 10 e) 24
5. Elida y Gregorio tienen cierta cantidad
de cuyes que están en la relación de 9 a
5. ¿Cuántos cuyes tiene Gregorio,
sabiendo que si Elida le da 80 cuyes,
ambos tendrían la, misma cantidad?
a) 360 b) 560 c) 80 d) 160 e) 200
6. Se tiene un depósito que contiene agua
y vino, se agrega 3 litros de agua y 8
litros de vino y se observa que el agua y
el vino se mantienen en la misma
proporción. Si al inicio había 55 litros,
determina la diferencia entre el agua y
el vino, al final.
a) 35 b) 15 c) 25 d) 40 e) 30
7. Si:
753
cba
Y 2a + B+C = 54
Halle E = a + 2b + c
a) 58 b) 48 c) 50 d) 60 e) 302
8. Dada la serie:
432
cba
, Si a+b–c = 5
Calcule (c – a )
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
9. Tres números son entre sí como 3; 5 y 9.
si se le quita 2 unidades a cada uno, se
obtiene tres números que son entre sí
como 4; 7 y n. Halle “n”
a) 11 b) 12 c) 9 d) 13 e) 14
10. Tres números están en la delación de 3;
5; y 7. Si el exceso del mayor sobre el
menor es igual al exceso del otro
número sobre 17. Calcula el mayor de
los números.
a) 91 b) 119 c) 126 d) 133 e) 140
11. Juan tiene lapiceros de color rojo, azul y
negro. Observa que por cada 5 lapiceros
rojos hay 4 lapiceros azules, y por cada
2 lapiceros azules hay 3 negros. Si tiene
15 lapiceros rojos, ¿cuántos lapiceros de
color negro tiene?
a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24
12. Las edades de Enrique, Juan y Julio
están en la relación de 5; 7 y 4
respectivamente. Si la edad que Enrique
tendrá dentro de 6 años y la que tuvo
hace 2 años, están en la relación de 9 a
7. ¿En qué relación estarán las edades
de Juan y julio dentro de 3 años?
a) 5 a 4 b) 5 a 3 c) 3 a 1
d) 4 a 3 e) 6 a 5
13. sabiendo que: k
dcba
1751126328
2222
Además: a – b + c = 42
Halle: a + b + c + d
a) 196 b) 216 c) 326 d) 166 e) 106

14. (UNMSM-1993) Descomponer el
número 1134 en cuatro sumandos cuyos
cuadrados sean proporcionales a 12, 27,
48 y 75.
a) 162, 243, 324, 405
b) 161, 244, 324, 405
c) 162, 242, 325, 405
d) d)162, 243, 323, 406
e) 160, 245, 322, 407
15. (UNMSM-2002-I) Juan, Pedro y Luis
tienen dinero en cantidades
proporcionales a 8, 5 y 3
respectivamente. Juan da la mitad de lo
que tiene a Luis, Luis da s/.100 a Pedro,
resultando Pedro y Luis con igual
cantidad de soles. ¿Cuánto tenía Juan
inicialmente?
a) s/.500 b) s/.800 c) s/.300
d) s/.400 e) s/.700
16. (UNMSM-2004-I) La suma de dos
números excede en 36 a su diferencia. Si
el menor es respecto del mayor como 3
es a 8, el número mayor es:
a) 48 b) 40 c) 32 d) 16 e) 56
17. (UNMSM-2008-II) El sueldo de Luis es al
sueldo de Julio como 5 es a 3. Cierto
mes por equivocación Julio recibió 720
soles más, con lo cual recibió la misma
cantidad que Luis. ¿Cuánto el sueldo de
Luis?
a) s/.1080 b) s/.1200 c) s/.1900
d) s/.1700 e) s/.1800
18. (UNMSM-2005-II) Manuel va de compras
llevando cierta cantidad de dinero. ¿Cuál
es esta cantidad si por cada 7 soles que
gasta, ahorra 5 soles y gastó 800 soles
más de lo que ahorró?
a)3200 b)6200 c)4200 d) 3800 e)4800
19. (UNMSM-2008-II) A una fiesta asisten
360 personas, entre hombres y mujeres,
asistiendo 5 hombres por cada 4
mujeres; después de tres horas se
retiran igual número de hombres y
mujeres; quedando entonces 3 hombres
por cada 2 mujeres. ¿Cuántas parejas
formadas por un hombre y una mujer se
retiraron?
a) 40 b) 80 c) 60 d) 30 e) 20
20. Los volúmenes que contienen dos
recipientes están en la relación de 5 a 8.
Si agregamos 22 litros a cada uno, la
nueva relación sería de 7 a 9. ¿Cuántos
litros tenían al inicio cada recipiente?
a) 20 y 28 b) 21 y 26 c) 20 y 31
d) 20 y 32 e) 15 y 23
21. La suma de 3 números es 1425, la razón
del primero y el segundo es 11/3 y la
diferencia de los mismos 600. ¿Cuál es
tercero?
a) 375 b) 825 c) 225 d) 425 e) 535
22. En un coral hay “N” aves entre patos y
gallinas. El número de patos es a “N”
como 3 es a 7 y la diferencia entre patos
y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación
entre patos y gallinas, al quitar 50
gallinas?
a) 3:2 b) 4:3 c) 2:1 d) 5:2 e) 5:4
23. Se sabe que la suma de los cuadrados de
tres números es 7444; y además el
primero es al segundo como 2 a 5 y el
segundo es al tercero como 3 es 8.
Calcula el mayor
a) 70 b) 80 c) 960 d) 24 e) 160
24. Determinar 3 números que sean
directamente proporcionales los
números 10, 20 y 30; siendo el producto
de los dos primeros 800.
a) 40; 60 y 80 b) 20; 40 y 60
c) 100; 8 y 95 d) 8; 100 y 85
e) 32; 25 y 15

Es la igualdad de dos razones de una misma
clase.
 PROPORCIÓN ARITMÉTICA: Es la igualdad
de dos razones aritméticas.
Las proporciones aritméticas se dividen en
dos tipos:
1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA:
Cuando sus términos medios son
diferentes entre sí .
2. PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTINUA:
iguales”
PROPIEDAD:
 PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Igualdad de
dos o más razones geométricas
Las proporciones geométricas se dividen en
dos tipos:
1. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA:
diferentes entre sí .
2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTINUA:
Cuando los términos medios son iguales”
a + d = b + c
a - b = b - c
a x d = b x c
PROPIEDAD
“El producto de los términos
medios es igual al producto de los
términos extremos”PROPIEDAD
“La suma de los términos medios
es igual a la suma de los términos
extremos”
a – b = c - d
Términos medios
Media diferencial o
Media aritmética
Términos extremos
a - b = c - d
4ta diferencial
3ra diferencial
Términos extremos
Términos
medios
4ta proporcional

a x d = b x c
PROPIEDAD:
PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
Sea la proporción:
a c
k
b d
Entonces se cumple que:
1. Hallar la media proporcional de 12 y 27.
a) 18 b) 16 c) 12 d) 15 e) 21
2. Hallar la cuarta proporcional de 15; 20 y
18.
a) 36 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32
3. La media proporcional de “a” y 27 es
“b” y además “a” es la tercera
proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b)
a) 81 b) 162 c) 243 d) 54 e) 30
4. Si 5 es la cuarta proporcional de a, 6 y b
además b es la cuarta proporcional de a,
9 y 30, halle a + b.
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 35
5. Halle la cuarta proporcional de 56, m y
n, sabiendo que m es la media
proporcional de 28 y 7, y n es la
tercera proporcional de 9 y 12.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. En una proporción aritmética la suma de
términos es 98 además los extremos
están en la relación de 4 a 3. Calcule la
diferencia de estos.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
7. En una proporción aritmética continua;
la suma de los extremos es 24. Calcule
la media diferencial.
a) 16 b) 17 c) 14 d) 13 e) 12
8. Si “a” es la media proporcional de 5 y
45; y además “b” es la tercera
proporcional de 12 y 30. Hallar la
tercera proporcional de “ä” y “b”.
a) 375 b) 275 c) 150 d) 225 e) 450
Media proporcional o
Media geométrica
3ra proporcional

9. Hallar la suma de la media diferencial y
la media proporcional de: 25 y 49.
a) 72 b) 27 c) 15 d) 2 e) 37
10. La suma y la diferencia de dos números
están en la misma relación que los
números 10 y 4 respectivamente. ¿Cuál
es el mínimo valor impar de 2 cifras del
mayor de los números?
a) 13 b) 17 c) 15 d) 25 e) 21
11. En una proporción geométrica la suma
de los extremos es 16, y el producto de
los medios es 60. Calcula la diferencia
de los extremos.
a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1
12. En una proporción geométrica continua,
la suma de los extremos es 20, y su
diferencia es 16. ¿Cuál es la media
proporcional?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7
13. El producto de los cuatro términos de
una proporción geométrica continua es
2401. Halle la media proporcional.
a) 6 b) 7 c) 11 d) 9 e) 8
14. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos
de una proporción continua, si la suma
de sus 4 términos es 36 y la razón entre
la suma y la diferencia de los primeros
términos es 3?
a) 15 b) 10 c) 14 d) 11 e) 12
15. Uno de los términos medios de una
proporción aritmética continua es 4, y
uno de los extremos es la media
geométrica de 4 y 9. Calcule el valor del
otro extremo de la proporción.
a)2 b) 5 c) 8 d) 7 e) 3
16. En una proporción geométrica continua,
se sabe que la diferencia de los
extremos es 40 y la suma de términos es
100. Calcule la suma de los extremos.
a) 59 b) 60 c) 58 d) 52 e) 80
17. En una proporción geométrica, el
producto de los términos es 3600,
además los términos extremos suman 16,
calcule la cuarta proporcional, si es
menor que 10.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
1. Hallar la cuarta proporcional de 6, 15 y
10.
2. Si la tercera proporcional de 9 y “a” es
25. Hallar la cuarta proporcional de 35
“a” y 28.
3. Hallar la tercera diferencial de 19 y 12.
4. Hallar la cuarta proporcional de: a2
;
(axb); y (2b)
5. Hallar la cuarta proporcional de: a2
;
(a/b); y (b2
)
6. Calcular “M”, si M=T+P+D. Donde:
T: media diferencial de 12 y P
P: media proporcional de 12 y 3
D: tercia proporcional de T y P
7. Se sabe que “a” es la tercera
proporcional entre 3 y 27, además la
media proporcional de “a” y 27 es “b”.
Halle: a+b.
8. Calcular A + B + C sabiendo que:
A , es cuarta proporcional de 8, 18 y 20
B , es tercera proporcional de A y 15
C , es media proporcional de (A+B) y (B-3)
9. Quince es la media proporcional de a y
25, 2a es la tercera proporcional de 8 y
b ¿cuál es la cuarta proporcional de a, b
y 15?
10. Sumándole un número constante a 20,
50 y 100 resulta una proporción
geométrica, la razón común es:

11. Se tiene una proporción aritmética
continua donde la suma de los cuatro
términos es 72. Halle el valor de la razón
de la proporción sabiendo que los
extremos son entre sí como 7 es 2.
12. En una proporción geométrica continua
la suma de los extremos es 34 y la
diferencia de los mismos es 16. Calcule
la suma de los cuatro términos de la
proporción.
13. En una proporción aritmética, el
segundo y último término suman 14,
mientras que el primer y tercer término
suman 26. Calcule la suma de los
extremos.
a) 26 b) 24 c) 20 d) 22 e) 16
14. En una proporción aritmética continua,
la suma de los extremos es 24. Calcule
la media diferencial.
a) 12 b) 14 c) 4 d) 16 e) 18
15. ¿cuál es el valor de (m+n)? Si “m” es la
tercia proporcional de 40 y 601 y “n” es
la tercia diferencial de 29 y 18.
a) 97 b) 80 c) 82 d) 96 e) 48
16. En una proporción geométrica, el
producto de sus términos es 3600,
además los términos extremos suman 16.
Calcula la cuarta proporcional, si es
menor de 10.
a) 18 b) 6 c) 2 d) 5 e) 14
la suma de los dos primeros términos es
24 y la suma de los dos últimos es 40.
Calcule el producto de los términos
medios.
a) 225 b) 155 c) 250 d) 5 e) 180
18. en una proporción cuya razón es 3/5 se
cumple que la suma de los términos de
cada razón es 40 y 56 respectivamente.
Halle la suma de los términos medios.
a) 47 b) 60 c) 21 d) 46 e) 25
la suma de los extremos es 15 y su
diferencia es 9. ¿Cuál es la medida
proporcional?
el producto de sus cuatro términos
enteros positivos es igual a 1000.
Determine la media proporcional.
¿Qué es un año luz?............
Un año luz es una medida de distancia y no
de tiempo. Mide la distancia que la luz
recorre en un año, digamos que la velocidad
de la luz es 300000 km/seg.
El resultado de multiplicar este número por
60 (para transformarlo en minutos) es
18000000 kilómetros por minuto. Luego,
nuevamente multiplicado por 60, lo
transforma en 1080000000 kilómetros por
hora (mil ochenta millones de kilómetros
por hora). Multiplicado por 24 resulta que
la luz viajó 25920000000 (veinticinco mil
novecientos veinte millones de kilómetros
en un día).
Finalmente, multiplicado por 365 días, un
año luz (o sea, la distancia que la luz viaja
por año) es de (aproximadamente)
9460000000000 (casi nueve billones y
medio) de kilómetros.
De tal manera que cada vez que te
pregunten cuánto es un año luz, ustedes,
convencidos, digan que es una manera de
medir una distancia (grande, pero distancia
al fin) y que es de casi de nueve billones y
medio de kilómetros.
Es bien lejos……………………!!!!!
EXTARIDO DE: MATEMÁTICA… ¿ESTÁS AHÍ?
(ADRIÁN PAENZA)

¿El promedio sirve para describir el
representante “medio” de un grupo?
La mayoría de nosotros usa el promedio
continuamente. Para calcular la nota media
de un alumno, por ejemplo. Cuando nos
indican que el hombre medio mide 1,78
metros, enseguida creemos que es el
ciudadano típico.
Sin embargo, esto es un error. El promedio no
describe exactamente al representante
“medio” de un grupo. Al menos no siempre.
Así pues, hay que distinguir entre la media
aritmética y la mediana, lo cual nos puede
permitir ser mucho más justos en nuestras
valoraciones.
Media aritmética: sumamos todos los valores
y dividimos el resultado entre la cantidad de
valores. Lo malo de esta media es que es muy
sensible a los valores excéntricos, es decir, a
los valores que se desvían mucho del
promedio. Un único habitante con ingresos
millonarios puede empujar al alza la renta
media de una aldea mayoritariamente pobre,
por ejemplo.
Mediana: buscamos al representante “medio”
del conjunto. Por ejemplo, en una empresa, el
trabajador medio según su salario será el
trabajador que gana más que una mitad de la
plantilla y menos que la otra mitad. La
mediana, pues, refleja mucho mejor la
realidad, pues es menos sensible a los
“excéntricos”.
El promedio de un conjunto de datos es un
valor que representa a los de datos de dicho
conjunto.
PROMEDIOS MÁS IMPORTANTES
 MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO
ARITMÉTICO ( ).- Es el promedio más
utilizado, su cálculo se realiza de la
siguiente manera:
OBJETIVOS:
 Identificar a los promedios más importantes.
 Utilizar los promedios más importantes en el estudio de situaciones problemáticas de su
entorno real.
 Identificar las magnitudes que nos rodean.
 Determinar en qué forma se relacionan un conjunto de magnitudes y expresar
matemáticamente dicha relación.
 Reconocer las propiedades que cumplen las magnitudes proporcionales.

Ejemplo:
A continuación se muestra las notas de
aritmética que obtuvo Rodrigo en los tres
bimestres.
¡Veamos si Rodrigo aprobó el curso de
matemática!
12 10 08 11 41
10,25
4 4
NO APROBÓ…!!!!
1. Hallar la media aritmética de: 2, 4, 6,
14 y 22.
2. Halle el promedio aritmético de las
temperaturas de 7 ciudades del norte de
nuestro país.
CIUDAD TEMPERATURA
Cajamarca
Chiclayo
Piura
Tumbes
Iquitos
Ica
Puno
26°
28°
33°
31°
27°
25°
5°
3. A un paseo asisten 5 niñas y 6 niños. Si
cada uno de ellos lleva cierta cantidad
de dinero, halle la cantidad promedio de
dinero por grupo de niñas y niños. Se
sabe lo siguiente:
Niñas: s/.11; s/.14; s/.17; s/.20; s/.23
Niños: s/.8; s/.14; s/.20; s/.26; s/.32; s/.3
4. El chofer de una empresa de transporte
realizó durante la semana cuatro
recorridos a nivel nacional. Halle el
recorrido promedio, si se conoce la
siguiente información.
RUTA DISTANCIA
Lima – Huancayo
Huancayo – Huancavelica
Huancavelica – Ayacucho
Ayacucho - Abancay
298km
147km
245km
367km
CURSO
BIMESTRE
I II III IV
Aritmética 12 10 08 11
PRACTIQUEMOS
Rodrigo
OBSERVACIÓN :
 Para determinar la variación que
experimenta el promedio aritmético de
un conjunto de datos, sólo es necesario
considerar el incremento o
disminución de los datos.
 PROMEDIO PONDERADO ( ).- es
un caso particular del promedio
aritmético. Se utiliza cuando los datos
tienen un “peso” o se repiten varias
veces en el conjunto de datos.
Donde:
Datos : a1; a2; a3; …….; an
Pesos : p1; p2; p3; …….; pn

1. Al finalizar el primer ciclo un estudiante
de la facultad de química, recibe su
record académico que a continuación se
muestra:
Curso Número de
créditos
Nota
Matemática I 4 11
Química I 5 10
Física I 4 12
Redacción 3 15
Calcule el promedio ponderado.
2. En un grupo de estudiantes del colegio
“Virgen de Guadalupe” hay 32 alumnos
que tienen 12 años; 20 alumnos tienen
14 años; 30 alumnos tienen 15 años y 18
tienen 16 años. ¿Cuál será la edad
promedio?
 MEDIA GEOMÉTRICA o PROMEDIO
GEOMÉTRICO .- Es el segundo
promedio más utilizado, generalmente
nos permite promediar índices
porcentuales y tasas de crecimiento. Su
cálculo se realiza de la siguiente
manera:
Observa el siguiente ejemplo:
Hallar MG de los números 1, 3, 9.
= 3279x3x1 33
1. Hallar MG de 2, 4, 8
2. En una comunidad campesina se ha
observado el crecimiento poblacional de
las vicuñas en los tres últimos años.
Halle la tasa promedio anual de
crecimiento.
Año 2007 2008 2009
Crecimiento 4% 9% 6%
3. Los índices de precio al consumidor (IPC)
durante 4 meses en nuestro medio
fueron los siguientes. Halle la inflación
promedio de los 4 primeros meses.
Enero febrero Marzo Abril
Inflación 0,2% 0,36% 0,75% 0,15%
 MEDIA ARMÓNICA o PROMEDIO
ARMÓNICO .- Es la inversa de la,
de las inversas de los datos.
Ejemplo:
Halle la media armónica de 3; 4 y 5
PROPIEDADES
 PARA UN CONJUNTO DE DOS O MÁS
DATOS:
 Si dichos datos son iguales
 Si los datos no son iguales
 SOLO PARA DOS DATOS (a y b):
Son 3 números
Se multiplica los números
PRACTIQUEMOS
PRACTIQUEMOS

Para lo cual se cumple:
1. Si la MA x MH = 100. ¿Cuánto vale MG?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) N.A.
2. Hallar la media armónica de 2 y 4.
a) 16/7 b) 16/6 c) 16/8
d) 10/2 e) N.A.
3. Si: MG = 10 y MH = 20. ¿Cuánto vale la
MA?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.
4. Halle el promedio geométrico de 4, 8, 16
y 1/32
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) N.A.
5. El producto de la media armónica y la
media aritmética de 2 números enteros
es igual al triple de la media geométrica
de ellos. Hallar el producto de los
números.
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
6. Si MA x MH de A y B = 196 y MA x MG de
A y B es 245. ¿Cuál es la diferencia
entre A y B?
a) 25 b) 24 c) 23 d) 22 e) 21
7. El promedio de 38 números consecutivos
es 35 el menor de ellos es:
a) 18,5 b) 16,5 c) 22 d) 21,5 e) N.A.
8. De 500 alumnos de un colegio cuya
estatura promedio es de 1,67 m 150 son
mujeres. Si la estatura promedio de
todas las mujeres es de 1,60 m. ¿Cuál es
el promedio aritmético de la estatura de
los varones de dicho grupo?
a) 1,7 b) 1,59 c) 1,71 d) 1,75 e) N.A.
9. El promedio de 4 números es 75, al
aumentar un quinto número, el nuevo
promedio disminuye en 10 unidades.
Entonces el quinto número es:
a) 20 b) 05 c) 32 d) 14 e) 30
10. Sean los números a y b. Calcule
MH
MG ,
si a = 4b
a)4 b) 2 c) 2/3 d) 5/4 e) 1/2
11. La edad promedio de 6 personas es 54
años. Si ninguno de ellos es mayor de 60
años, entonces la mínima edad de uno
de ellos es:
a) 29 b) 23 c) 25 d) 28 e) 18
12. En la progresión aritmética:
9; 15; 21; 27;………….; a; b; c
144,baMA . Halle la MA de todos los
términos de la progresión.
a) 48 b) 54 c) 81 d) 62 e) 78
13. El promedio geométrico de 3 números
pares consecutivos es 3
154 , entonces la
suma del menor y mayor de ellos es.
a) 15 b) 24 c) 21 d) 25 e) 20
14. Se desea saber cuántos términos tiene la
sucesión: 2; 4; 8; 16;………., si el
promedio geométrico de todos sus
términos es igual a 2048.
a) 27 b) 21 c) 16 d) 26 e) 23
15. Para dos números a y b se cumple que:
245
196
MAxMG
MHxMA
Halle la razón geometría de a y b.
a) 4:3 b) 5:2 c) 6:5 d) 4:1 e) 5:3
(MG)2
= MA x MH

16. Si la MG de dos números es 610 . Si
la MA y la MH son dos números
consecutivos. Halle el mayor de los
números.
a) 500 b) 458 c) 620 d) 520 e) 400
17. De 500 alumnos de un colegio cuya
estatura promedio es de 1,67m; 150 son
mujeres. Si la estatura promedio de
éstas es 1,60m, calcule la estatura
promedio de los varones de dicho grupo.
a) 1,58 b) 1,60 c) 1,62
d) 1,68 e) 1,61
18. 26.- La media armónica de dos
cantidades es 72/13, su media
aritmética es 6,5. ¿Cuál es su media
geométrica.
19. Se tiene 4 números enteros
consecutivos. Se seleccionan 3
cualquiera de ellos y se calcula su media
aritmética, a la cual se le agrega el
entero restante y resulta 29. Repitiendo
el proceso tres veces más se obtiene
como resultados 23; 21 y 17. Determine
la suma de los 4 números.
20. sean a y b dos números enteros. Si el
producto de la media aritmética con su
media armónica es igual al doble de su
media geométrica. Halle el menor valor
de (a+b)
21. El promedio de 50 números es 38, siendo
45 y 55 dos de ellos. Eliminando estos
dos números halle el promedio de los
restantes.
22. La media aritmética de 15 números
pares de dos cifras es 24, y de otros 20
números pares también de 2 cifras, es
66. ¿Cuál es la media aritmética de los
números pares de dos cifras no
considerados?
23. En una aldea, la suma de las edades de
sus pobladores es 1620, siendo la edad
promedio 18 años. Pero, si cada hombre
tuviera 4 años más y cada mujer 2 años
menos, la edad promedio aumentaría en
un año. Halle la relación entre el
número de hombres y el de mujeres.
24. (UNFV-2003) Un automovilista viaja de
A hacia B a 150 km/h y de B hacia M a
100 km/h. calcular la velocidad media
utilizada desde a hasta M.
a) 120 km/h b) 105 km/h c) 125 km/h
d) 115 km/h e) 110 km/h
25. (UNFV-2004) Si la media armónica de
dos números es a su media geométrica
como 12 es 13. Hallar la razón entre
dichos números.
a) 2/3 b) 12/13 c) 9/4 d) 4/9 e) 3/2
26. (PUCP-2002-II) El promedio de edades
de 5 personas es 18 años. Dos de ellos se
van de viaje y le promedio de los tres
que quedan es 20. ¿Cuál es promedio de
las dos personas que se van?
a) 14,5 b) 15 c) 15,5 d) 16 e) 17
27. (PUCP-2002-II) El promedio de edades
de m personas es 14 años, el promedio
de otras n personas es 12, y el promedio
de las (m+n) personas es 13. Hallar m/n
a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2/3 e) 2
28. (PUCP-2003-I) La edad promedio de 20
niños es 11 años y de otros 30 niños es 6
años. Hallar el promedio de las edades
de los 50 niños.
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e)N.A
29. (PUCP-2003-II) El promedio de 10
números es 17, pero por error un
número se consideró 5 siendo 15. Halle
el verdadero promedio.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) No se puede calcular.
30. (PUCP-2004-I) El promedio de 12
números enteros positivos diferentes es
12. Hallar el máximo que puede tomar
el mayor de los números.
a) 78 b) 66 c) 88 d) 64 e) 68

1. El mayor promedio de 2 números es 21 si
la diferencia entre ambos números es
12. ¿Cuál es el número menor?
a) 10 b) 12 c) 15 d) 21 e) N.A.
2. Hallar 2 números sabiendo que su media
aritmética es 5 y su media armónica es
24/5.
a) 7 y 3 b) 8 y 2 c) 6 y 4
d) 6,8 e) N.A.
3. Las edades de 4 hermanos son
proporcionales a 2, 3, 4, 5. Hallar la
edad del menor si el promedio de todas
las edades es 21.
a) 12 b) 30 c) 14 d) 10 e) N.A.
4. Si el promedio de 3 números
consecutivos es 14. Hallar el mayor de
ellos:
a) 1 b) 15 c) 5 d) 13 e) N.A.
5. El mayor promedio de 2 números es 25 si
la diferencia de los números es 12: ¿Cuál
es el menor de los números?
a) 20 b) 19 c) 31 d) 40 e) 22
6. El P.A. de 5 números es 12 si uno de
ellos es 20. ¿Cuál es el P.A. de los otros
cuatro es?
a) 12 b) 10 c) 8 d) 9 e) N.A.
7. La media aritmética de 2 números es 6 y
su media geométrica es 4 2 . Hallar el
mayor de los números.
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
8. Calcular el promedio aritmético de:
12, 14, 16 ……… 50
a) 26 b) 3 c) 34 d) 28 e) N.A.
9. Halle “n” si el promedio geométrico de:
21
. 22
. 23
. 24
… 2n
es 64.
a) 8 b) 13 c) 11 d) 10 e) N.A.
10. 1El promedio de 5 números es 100. Al
aumentar un sexto número, el promedio
aumenta en 15. Determine el sexto
número.
a) 150 b) 190 c) 120 d) 140 e) 185
11. la MA de dos números es 8, y la MH
de los mismos números es 6. Determine
la MG de dichos números.
a) b) 4,2 c) d) e) 2,5
12. la edad promedio de 4 personas es 45
años. Si ninguno de ellos es menor de 40
años, entonces la máxima edad que
puede tener uno de ellos es:
13. determine la MA de los términos de la
siguiente sucesión:
5; 8; 11; 14; ………; 83; 86.
14. En qué relación están la MA y la MH
de dos números, sabiendo que la MA es
a la MG como 5 es a 3.
15. El promedio aritmético de 6 números
distintos es 8. El promedio de otros 8
números también distintos es 6. Halle el
promedio de los 14 números.
16. en la siguiente progresión aritmética:
15; 18; 21; 24; ………….. ; x; y; z. El
promedio de x e y es 73,5. Halle la MA
de todos los términos de la progresión.
17. En qué relación están la media
aritmética y la media armónica de dos
números sabiendo que, la media
aritmética es a la media geométrica
como 5 es a 3.
18. La diferencia de dos números es 7, y la
suma de su media aritmética y su media
geométrica es 24,5. Halle la diferencia
entre la media aritmética y la media
geométrica.
19. Un empleado va a su trabajo en la
mañana a una velocidad de 60km/h, y
regresa por la misma vía a una velocidad

de 30km/h debido a la congestión del
tránsito. ¿Cuál es la velocidad promedio
de su recorrido total?
20. El mayor promedio de 2 números es 21.
Si la diferencia entre ambos números es
12. ¿Cuál es el número menor?
a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) 21
21. Hallar 2 números sabiendo que su media
aritmética es 5 y su media armónica
24/5.
a) 7 y 3 b) 8 y 2 n c) 6,5 y 3,5
d) 6 y 4 e) 5 y 4, 5
22. Se sabe que el promedio aritmético de 2
números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es el
promedio geométrico de los 2 números?
a) 6 b) 7 c) 4 d) 8 e) 23
23. (UNFV-2007) Había 5 loros en una jaula,
su costo promedio era s/.600. Un día
escapó un loro y entonces el costo
promedio de los 4 loros que quedaron
fue de s/.500. ¿Cuál era el precio del
loro que escapó?
a) s/.100 b) s/.200 c) s/.550
d) s/.600 e) s/.1000
24. (UNFV-2008-II) El cociente de dos
números es 4, siendo la diferencia entre
su media aritmética y geométrica la
unidad. Determine su media armónica.
a) 3,2 b) 4,1 c) 3,1 d) 4 e) 5,2
25. (PUCP-2004-II) En un salón de 30
alumnos:
I. Si aumentamos dos puntos a cada
uno el promedio aumenta en 2/30.
II. Si la suma de las notas es 390 y a los
15 primeros se le quita 3 puntos, el
promedio sería 11,5.
III. Si a los 15 primeros se le aumenta un
punto y a los 15 restantes se le quita
un punto, el promedio no varía.
Son ciertas:
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) II y III e) I y III
26. (PUCP-2005-I) El promedio de las
edades de los profesores e instructores
es de 40 años. Si el promedio de las
edades de los profesores es 50 años y de
los instructores 35 años, hallar en qué
relación se encuentran la cantidad de
profesores e instructores en ese orden.
a) 2 : 1 b) 2 : 3 c) 3 : 2
d) 3 : 5 e) 1 : 2
27. (PUCP-2005-I) la media aritmética de
tres números es 3. Si los números están
en la relación de 1; 2 y 3, calcular el
mayor de ellos.
a)1, 5 b) 3 c) 4,5 d) 2 e) 1
28. (PUCP-2005-I) Un auto entra a una
cochera cada tres minutos y sale
también un auto cada siete minutos.
¿Cuál el promedio de entrada de cada
auto?
a) b) 3 c) 4,5 d) 2 e) 1
29. (PUCP-2006-II) En una clase de 12
alumnos, el promedio de los seis más
aplicados es (n+4) y el de los restantes
es (n-4). Si el promedio del tercio
superior e inferior es igual a “n” y “n+1”
respectivamente, halle el promedio del
otro tercio.
a) 4(n-2) b) n+1 c) n-1
d) 4n-1 e) n-2
30. (LA CANTUTA-2004-I) El promedio de 5
números es 32. Si agregamos un sexto
número, el nuevo promedio es 35. ¿Cuál
es este último número?
a) 40 b) 45 c) 50 d) 60 e) 67

“EL PROBLEMA DEL JOYERO”
(EXTRAIDO Y MODIFICADO DE “EL HOMBRE QUE
CALCULABA” DE MALBA TABAN)
Un joyero contaba a su amigo, que Cierta
vez en uno de sus tantos viajes por el
interior del país se hospedó en un hotel
llamado “5COMENTARIOS”. El dueño del
hotel se llamaba José y había sido empleado
de su padre. Conversando con él para
pagarle por el hospedaje decidí proponerle
lo siguiente:
- “Te daré 20 dólares si vendo mis joyas por
100 dólares, y te daré 35 dólares si los logro
vender todo por 200 dólares”.
Estando de acuerdo el dueño del hotel
aceptó mi propuesta que le hice, pero al
cabo de varios días de ir y venir de aquí
para allá, vendí todo en 140 dólares, a lo
cual me hice la siguiente pregunta:
- ¿Cuánto debo pagar por concepto de
hospedaje, teniendo en cuenta lo que le
propuse al dueño del hotel?
Al momento de pagar, le dije al dueño del
hotel
- Te debo pagar apenas 24 dólares y medio
– le dije - Si vendiendo a 200 pagaría 35,
vendiendo a 140 debo pagar 24 y medio.
- Está equivocado – reclamó irritado el
dueño del hotel - según mis cálculos son 28.
Vea usted: si por 100 debía pagarme 20
dólares, por 140 debo recibir 28 dólares.
Ante esta discordia que había entre el
dueño del hotel y yo, llamamos a un “gran
matemático” conocido del lugar, para que
nos pueda resolver el inconveniente.
- Calma, mis amigos – nos dijo el
matemático- es preciso aclarar las dudas
con calma y serenidad, la precipitación
conduce al error y a la discordia. Los
resultados que ustedes indican están
equivocados, según voy a demostrarlo:
Y aclaró el caso del siguiente modo:
- De acuerdo con la combinación hecha por
acuerdo de ustedes, el joyero debería pagar
20 dólares si vendiese sus joyas por 100
dólares, y se vería obligado a pagar 35 si las
vendiese en 200 dólares.
Tenemos así:
- Observen que a una diferencia de 100
dólares en el precio de venta, corresponde
una diferencia de 15 en el precio del
hospedaje. ¿Está claro esto?
- Claro como el agua – asentimos ambos.
- Ahora – prosiguió el matemático -, si un
aumento de 100 dólares en la venta produce
un aumento de 15 dólares en el hospedaje,
un aumento de 40 dólares (que es los dos
quintos de 100) debe producir un aumento
de 6 (que es los dos quintos de 15) a favor
del dueño del hotel. El pago que
corresponde a los 140 dólares es, pues, 20
más 6, o sea, 26 dólares.
Precio de
venta
Precio
hospedaje
200 35
100 20
Diferencia: 100 15
Proporción planteada por mí
200 : 35 = 140 : x
Donde: x = 24,50
Proporción planteada por el dueño del hotel
100 : 20 = 140 : x
Donde: x = 28
Proporción planteada por el matemático
200 : 35 = 140 : x
Donde: x = 26

Y dirigiéndose a mí, me dijo:
- Mi amigo. Los números, a pesar de su
simplicidad aparente, no es raro que nos
engañen, aun al más capaz. Las
proporciones, que nos parecen perfectas,
nos conducen, a veces, al error.
- Tiene usted razón – le dije al matemático
- reconozco que mi cálculo estaba
equivocado.
Dicho esto, saqué de mi bolsillo 26 dólares y
le entregó al dueño del hotel, ofreciéndole
como presente al talentoso matemático un
hermoso anillo de oro de 14.
¿QUÉ ES UNA MAGNITUD?
Es todo aquello que experimenta cambios o
variaciones, el cual puede ser medido
mediante un instrumento de medición.
Ejemplos de magnitudes:
 La velocidad
 la longitud
 el volumen
 La densidad
 la temperatura
 el área
 el tiempo;
 etc
RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
MAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES (D.P)
Dos magnitudes son directamente
proporcionales cuando al aumentar el valor
de una de ellas, el valor de la otra magnitud
también aumenta en forma proporcional.
Un kilogramo de avena cuestaEjemplo:
s/.0,80. ¿Cuánto pesan 7 Kilogramos?
Elaboremos un cuadro con algunos valores
Observa que:
1 2 5 7
.
0,8 1,6 4 5,6
cte
INVESTIGANDO UN POQUITO MÁS!!!
Analizando este problema mediante la teoría de
las interpolaciones, el resultado riguroso no es 26.
En efecto, observemos que para una venta de 200
el pago era 35, es decir el 17,5 % del precio de
venta; y que para una venta de 100 el pago era de
20, es decir el 20% del precio de venta. Para cada
unidad de aumento en la venta corresponde una
disminución en el pago, de un [(20-17,5):100]%.
Para 40 dólares de aumento en la venta
corresponderá, pues, una disminución en el pago,
de un (0.025X40)%=1%. El pago que corresponde
a 140 es, pues, el (20-1)%=19% del precio de
venta, o sea,
140 x 19:100=26,6
y no 26 como indicó nuestro protagonista
INTERESANTE!!!!!

GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES D.P.
De la gráfica se observa que
K
b
a
...
b
a
b
a
n
n
2
2
1
1
MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES (I.P.)
Dos magnitudes serán I.P. si al aumentar o
disminuir los valores de una de ellas, los
valores de la otra disminuye o aumentar en
la misma proporción respectivamente.
Un automóvil que lleva unaEjemplo:
velocidad de 60 km/h tarda 4 horas en ir del
punto A al punto B. ¿Cuánto se demorará si
su velocidad la duplica?
Elaboremos un cuadro con algunos valores
Velocidad 60 120 15 ... 48
Tiempo 8 4 32 ... 10
Observa que:
60x8 = 120x4 = 15x32 = …… =cte.
GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES I.P.
De la gráfica se observa que:
a1xb1 = a2xb2 = a3xb3 = …… = anxbn
EN GENERAL:
Si “A” es D.P a “B”
Entonces:
A
b1 b2 b3
a1
a2
a3
Recta
Si: A (D.P.) B = k
B
V = 60 km/h
Tarda 8 horas
A
V = 120 km/h
Tarda 4 horas
Llegada
Llegada
B
Hipérbola
Equilátera
b1 b2 bn
an
a2
a1
Si A (I.P.) B A . B = K
EN GENERAL:
Si “A” es I.P a “B”
Entonces: A x B = Cte.

PROPIEDADES
I. Si: A I.P B → B D.P A
Si: A D.P B → A I.P B
II. Si: A I.P B → A D.P (1/B)
Si: A D.P B → A I.P (1/B)
III. Si: A D.P B → An
D.P Bn
Si: A I.P B → An
I.P Bn
IV. Si: A D.P B
A I.P C
A D.P D
A I.P E
Entonces:
Ejemplo:
Para tres magnitudes A, B y C se tiene:
A DP B ; (C: cte.)
A DP C2
; (B: cte.)
Si A se triplica y B aumenta en 11 veces su
valor, el valor de c queda multiplicado por:
1. Comparar las siguientes magnitudes:
(Nº de obreros) ........ (Obra)
(Nº de obreros) ........ (Eficiencia)
(Nº de obreros) ........ (Nº de días)
(Nº de obreros) ........ (Horas diarias)
(Nº de objetos) ………… (Precio)
(Tiempo) ………… (Salario)
(Masa) ………… (Peso)
(Velocidad) ………… (Tiempo)
(Obra) …………… (Dificultad)
2. El cuadrado de “A” varía
proporcionalmente al cubo de “B”, si
A=3, B = 4. Hallar B, cuando A es igual a
3
3 .
a) 2/3 b) 5/3 c) 4/3 d) 8/2 e) N.A.
3. Se tiene que “A” es D.P. a “B” si A = 10,
cuando B = 4. Hallar “B”, cuando A = 8.
a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 16
4. “A” es I.P. a “B”, si A = 20 entonces
B=30. Hallar “A”, cuando B = 50.
a) 10 b) 12 c) 8 d) 16 e) 20
5. Si “A” varía D.P. a “B” y cuando A = 800,
B = 250. Hallar “A” cuando B = 75.
a) 240 b) 350 c) 500 d) 800 e) N.A.
6. Del siguiente gráfico, hallar: x/y
a) 15
b) 16
c) 17
d) 14
e) 32
7. Si la magnitud F es D.P. al cubo de T.
Completar el siguiente cuadro y dar
como respuesta el valor de m + p
F m 625 40
T 4 P 2
a) 325 b) 165 c) 720 d) 850 e) N.A.
8. Del siguiente gráfico, hallar “a + b”
a) 15
b) 17
c) 19
d) 28
e) 16
9. Se tiene la siguiente tabla de valores
para las magnitudes A y B. Calcule: m+n
A 36 m 324 9 4
B 6 3 2 12 n
Para sus valores:
4 10 B
A
15
12
3y
5 10 3b
(a2
-1)
24
10

a) 142 b) 140 c) 160 d) 162 e) 156
10. Se tiene dos magnitudes A y B que son
IP, de tal manera que cuando A aumenta
10 unidades, B varía en ¼ de su valor.
¿Cómo varía B, cuando A disminuye 10
unidades?
a) Aumenta en ¼ b) disminuye ½
c) aumenta ½ d) disminuye ¼
e) sigue igual
La magnitud A es IP a 2
B . Las
variaciones de A y B están dadas en la
siguiente tabla de valores: Calcule:
a+b+c
A 3 a c 144 9
B 6 2 b a
11. El precio de un diamante es DP al
cuadrado de su peso. Si un diamante que
pesa 13 gramos cuesta s/.1859, calcule
el precio de un diamante que pesa 20
gramos.
a) s/.4000 b) s/.4800 c) s/.4040
d) s/.8200 e) s/.4400
12. Calcular: x+y, si A y B son magnitudes, y
además se cumple que:
A 3 12 27 x 75
B 2 4 6 8 y
a) 25 b) 42 c) 78 d) 58 e) 48
13. Se tiene el siguiente cuadro de valores
de las magnitudes A y B. Calcule: m + n
A 2 m 54 128 250
B 60 30 20 15 n
a) 17 b) 25 c) 28 d) 31 e) 27
14. Si A es DP con 2
B e IP a C . Cuando
A=4, B=8 y C=16. Calcule A, cuando:
B=12 y C=36.
a) 6 b) 8 c) 12 d) 10 e) 24
15. Si se cumple que:
A DP B (C: constante)
A IP C (B; constante)
Además:
Calcula el valor de “x”
a) 3 b) 9 c) 8 d) 12 e) 6
16. Dadas las magnitudes A, B y C, donde:
A DP B (C: constante)
B IP 3
C (A: constante).
Si: A = 6; B = 8 y C = 3. Calcule B,
cuando A = 12 y C = 1.
a) 864 b) 810 c) 854 d) 972 e) 872
17. La longitud de un resorte es 8cm., y si
soporta un peso de 50g, su longitud es
10 cm. Calcula la longitud que tendrá el
resorte, si éste soporta un peso que es el
doble del anterior, sabiendo además que
la elongación es DP al peso que soporta.
a) 9 b) 12 c) 10 d) 6 e) 13
18. En una fábrica se observa que la
producción es D.P al número de obreros
e I.P a la raíz cuadrada de sus años de
servicio. Inicialmente había 15 obreros
con 9 años de servicio y se contratan 8
obreros más con 4 años de servicio cada
uno. Determine la relación entre lo
producido antes con lo producido
actualmente.
a) 1/9 b) 2/9 c) 3/7 d) 5/9 e) 5/7
19. El precio de un metal varía DP al
cuadrado de su peso. Si dicho metal se
parte en tres trozos que son
proporcionales a 1; 2; y 3; el precio
disminuye en 286 soles. Calcula el precio
del metal al inicio.
a) s/.416 b) s/.468 c) s/.540
d) s/.728 e) s/.568
20. En un pueblo el precio del café es D.P al
precio del azúcar e I.P al precio del té.
¿En qué tanto por ciento varía su precio,
cuando el precio del té sube un 20% y
del azúcar baja en 10%?
a) 25% b) 30% c) 18% d) 40% e) N.A
A 8 5
B 3 30
C 2 X

21. Suponiendo que el apetito de una
persona es D.P a su estatura e I.P a su
estado de ánimo. Si Hugo mide 1,80m y
cuyo estado de ánimo es 4 puntos, se
come 18 sándwich. Halle cuántos
sándwich se comerá Walter que mide
1,20m y su estado de ánimo es de 6
puntos.
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) N.A
22. El gasto de una persona es D.P a su
sueldo, siendo el resto ahorrado. Un
señor cuyo sueldo es de 900 soles ahorra
90 soles, ¿cuál será su sueldo cuando su
gasto sea 1260 soles?
a) 800 b) 1000 c) 860 d) 1200 e) N.A
23. Se sabe que “A” es D.P con el cuadrado
de “B” y con el cubo de “C”, e I.P con
la raíz cuadrada de “D”. En base a esta
información, del cuadrado. Calcular:
x+y
a) 123
b) 142
c) c) 11
d) d) 9
e) e) 87
1. Compara las siguientes magnitudes.
(Ganancia) ............ (Obra)
(Ganancia) ............ (Tiempo)
(Sueldo) ……………… (Obra)
(Sueldo) …………….. (Tiempo)
(Sueldo) …………….. (Nº de faltas)
(Eficiencia) …………….. (Tiempo)
(Obra) …………….. (Dificultad)
(Distancia) …………….. (Tiempo)
2. Si las magnitudes “P” y “Q” son I.P.
Hallar a + b
P 4 b 12
Q a 10 5
a) 25 b) 21 c) 32 d) 41 e) N.A.
3. Si A varía D.P. con B. Cuando A = 15,
B=6. ¿Cuánto vale B, si A = 18?
a) 10 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7.2
4. Del siguiente gráfico, Hallar: a x b
a) 30
b) 50
c) 60
d) 80
e) N.A.
5. Del siguiente gráfico, Hallar: “x2
+ y2
”
a) 61
b) 50
c) 70
d) 80
e) N.A.
6. Del siguiente gráfico, Hallar el valor de
“x”
a) 3
b) 2
c) 5
d) 6
e) 4
7. Si A es D.P. a B2
y cuando A=81, B=12.
Hallar el valor de A cuando B = 64.
a) 20 b) 16 c) 24 d) 12 e) 15
8. Si 3
A es I.P. a B2
y cuando A = 8, B = 2.
¿Cuánto valdrá B cuando A = 1?
a) 4 b) 2 2 c) 2 d) 4 2 e) N.A.
9. se tiene la siguiente tabla de ciertos
valores de las magnitudes A y B. Calcule
la media proporcional entre m y 2n
A 36 m 324 9 4
B 6 3 2 12 n
a) 225 b) 3 c) 240 d)3 e) 236
10. El precio de un diamante es proporcional
al cuadrado de su peso. Un diamante de
5 8 5b
2a
25
10
10 20 5y
90
60
x2
+5
A X 108 324
B 5 2 4
C 2 3 Y
D 25 9 16
4 X(x+1)
18
6

48000 dólares se rompe en dos partes
cuyos pesos están en la relación de 1 a
3. Halle la pérdida sufrida al romperse el
diamante.
a) $1000 b) $12000 c) $18000
d) $6000 e) $20000
11. La velocidad del sonido en el aire es D.P
a la raíz cuadrada de la temperatura. Si
la velocidad del sonido a una
temperatura de 16°C es 340 m/s. ¿Cuál
será la velocidad del sonido en un medio
cuya temperatura es 25°C?
a) 400m/s b) 625 m/s c) 440 m/s
d) 420 m/s e) 425 m/s
12. El siguiente cuadro muestra los valores
de las magnitudes M y n que guardan
cierta relación de proporcionalidad.
Determine a+b.
a) 32 b) 45 c) 52 d) 28 e) N.A
13. Se sabe que A y B son magnitudes que
guardan cierta relación de
proporcionalidad .según esto determinar
x + y
a) 12 b) 45 c) 52 d) 44 e) N.A
14. Se sabe que X es DP al cuadrado de P y
con el cubo de V e IP a la raíz cuadrada
de Z. en base a esta información calcule
(a + b)
a) 153
b) 143
c) 133
d) 123
e) 113
15. Se sabe que A es D.P. a B e I.P. a C2
.
Si A = 3 cuando B = 36 y C = 8. Hallar B
cuando A = 6 y C = 4.
a) 4 b) 6 c) 16 d) 36 e) N.A.
16. “P” varía D.P. a “Q” e I.P. a “R”
cuando Q = 240 y R = 600 entonces P=30.
Hallar “P” cuando Q = 500 y R=150.
a) 250 b) 300 c) 500 d) 750 e) N.A.
17. A es D.P. a B e I.P. a C. Hallar “A”
cuando B = 10 y C = 5. Si cuando B = 20,
C = 15 y A = 2.
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) N.A.
18. Si M es D.P a B2
e I.P. a 3
C . Calcular el
valor de M cuando B = 2 y C = 64, si se
sabe que cuando M = 16, C = 216 y
B = 6.
a) 8 b) 9 c) 10 d) 13 e) N.A.
19. Si A es D.P. a B2
y D.P. a C . Hallar A
cuando B = 2 y C = 25, si cuando B = 5 y
C = 16; A = 15
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.
20. Ivonne descubre que los gastos que hace
en celebrar su cumpleaños es D.P al
número de invitados e I.P a las horas que
dura la reunión. Si la última vez gastó
1200 soles, invitando a 100 personas, y
durando la reunión 12 horas. ¿Cuánto
ahorrará invitando a 20 personas menos
y demorando 4 horas más?
a) 480 b) 300 c) 120 d) 260 e) 360
21. El precio de un libro varía D.P al número
de páginas e I.P al número de
ejemplares. Cuando el número de
ejemplares es 2700, ahora el precio es
15 soles y el número de páginas es 360.
Calcula el precio cuando los libros
tienen 240 hojas y se imprimen 3000
ejemplares.
a) s/.5 b) s/.9 c) s/.10
d) s/.12 e) s/.18
22. El precio de una casa es D.P al área e I.P
a la distancia que lo separa de Lima. Si
una casa ubicada a 75km de Lima cuesta
45000 soles, calcule el costo de una casa
del mismo material, si su arrea es el
triple y se encuentra a 450 Km. de Lima.
a)s/.45000 b) s/.22500 c)s/.11250
d) s/.90000 e) s/.18000
M a 8 24 16 80
N 275 11 b 44 1100
A 5 20 80 x 45
B 3 6 12 21 y
X a 108 324
P 5 2 4
V 2 3 b
Z 25 9 16

LOS OCHO PANES
(ADAPTADO DE “EL HOMBRE QUE CALCULABA” DE
MALBA TABAN)
Cuenta la leyenda que dos viajeros con sus
camellos en su trayecto por el desierto
encontraron aun pobre viejo herido, el cual
había sido asaltado por un grupo de
delincuentes, quienes se habían llevado sus
pertenencias y víveres.
Éste al verles le preguntó:
-¿Tenéis, por casualidad, amigos, alguna cosa
para comer? ¡Estoy casi muriéndome de
hambre!
- Tengo solamente tres panes –respondió uno
de los viajeros.
- Yo traigo cinco –afirmó el otro.
- Pues bien –sugirió el viejo - juntemos esos
panes y compártanlo conmigo y yo a cambio les
entregaré ocho monedas de oro por el pan que
coma, para que se lo repartan entre los dos.
Así lo hicieron, y luego de compartir todos
los panes con el viejo herido, éste les dijo –
estoy agradecido por el gran servicio que me
habéis prestado. Y para cumplir la palabra, les
pagaré el pan que tan generosamente
compartieron conmigo, acto seguido este les
entregó las ocho monedas de oro que les
había prometido diciéndole lo siguiente:
- Por tus cinco panes – le dijo a uno de ellos -
te daré cinco monedas.
Y volviéndose hacia el otro viajero,
concluyó:
- Y a ti, por los tres panes te daré tres monedas.
Con gran sorpresa uno de los viajeros
objetó, respetuosamente:
- ¡Perdón, con el debido respeto que usted se
merece! Pero la división hecha de ese modo será
muy sencilla, mas no es justa. Si yo di 5 panes,
debo recibir 7 monedas; y mi compañero, que
dio tres panes, solamente debe recibir una
moneda.
A eso el viejo respondió
¿Cómo justificas, viajero, tan disparatada forma
de pagar 8 panes con 8 monedas? Si contribuiste
con 5 panes, ¿por qué exiges 7 monedas? Y si tu
amigo contribuyó con 3 panes, ¿por qué afirmas
que debe recibir únicamente una moneda?
PUEDES AYUDARNOS A REPARTIR LAS 8
MONEDAS CON JUSTICIA!!!!!
OBJETIVOS:
 Establecer una relación de las magnitudes con nuestra realidad cotidiana para un adecuado
planteamiento de la resolución de un problema.
 Aplicar métodos prácticos para la resolución de problemas.
 Resolver situaciones de la vida diaria en que se calcule el tanto por cuánto.
 Establecer estrategias de cálculo del tanto por ciento.
 Utilizar el razonamiento proporcional como estrategia para resolver problemas diversos.

LA REGLA DE TRES
La regla de tres es un instrumento muy
sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en
una sencilla operación que nos va a permitir
encontrar el cuarto término de una
proporción, de la que sólo conocemos tres
términos.
Así, por ejemplo, nos permite saber cuánto
cuestan dos kilos de papas si el cartel del
mercado marca el precio de un kilo, o
calcular el precio de 150 lapiceros si la caja
de cinco unidades vale s/.3,20. Además, la
regla de tres nos va a permitir operar al
mismo tiempo con elementos tan distintos
como horas, kilómetros, número de
trabajadores o dinero invertido.
LA REGLA DE TRES SIMPLE
La regla de tres, es simple si sólo se
compara a dos magnitudes ya sean estas
directamente proporcionales o
inversamente proporcionales
 REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Cuando las magnitudes que se comparan son
D.P.
Ejemplo:
Cierta cantidad de operarios pueden
confeccionar 120 polos en un día. Si se
aumentan 5 operarios más, entonces se
confeccionarían 180 polos por día. ¿Cuántos
obreros eran inicialmente?
# Obreros Obra
a 120
(a + 5) x
Luego:
5
120 180
a a
180 a = 120(a+5)
180 a = 120 a + 600
a = 600
 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Se lama inversa, cuando las magnitudes que
se comparan son I.P.
Ejemplo:
Cierta cantidad de obreros pueden construir
un muro en 20 días, pero si ingresan a
trabajar 6 obreros más, dicha obra se podría
construir sólo en 15 días. ¿Cuántos eran los
obreros inicialmente?
# obreros Obra
x 20
(x + 6) 15
Luego:
x . 20 = (x + 6).15
20 x = 15x + 90
5x = 90 x = 18
I.P
a = 10

LA REGLA DE TRES COMPUESTA
La regla de tres compuesta se emplea
cuando se relacionan tres o más
magnitudes, de modo que a partir de las
relaciones establecidas entre las magnitudes
conocidas, obtenemos la desconocida.
Una regla de tres compuesta se
compone de varias reglas de tres simples
aplicadas sucesivamente.
Ejemplo
Nueve grifos abiertos durante 10 horas
diarias han vertido una cantidad de agua por
valor de 20 soles. Averiguar el precio del
agua vertida por 15 grifos abiertos 12 horas
diarias.
REPARTO PROPORCIONAL
A veces debemos repartir una cantidad, no
en partes iguales sino teniendo en cuenta
algunos criterios de reparto: días
trabajados, calificaciones, problemas
resueltos, etc.
DEFINICIÓN.- Es aquella operación que
consiste en repartir una cantidad, en
partes estrictamente proporcionales a
ciertos números dados, llamados índices de
reparto.
CLASES:
REPARTO SIMPLE DIRECTO
EJEMPLO: Juana quiere repartir 200 soles
en forma D.P. a las edades de Juan (2 años),
Pedro (3 años) y José (5 años)
Luego:
Juan = 2k
K
5
José
3
Pedro
2
Juan
Pedro= 3k
José = 5k
2k + 3k + 5k = 200 k = 20
Entonces:
 Juan = 2(20) = 40
 Pedro = 3(20) = 60
 José = 5(20) = 100
REPARTO SIMPLE INVERSO
EJEMPLO.- Repartir S/. 1300 entre tres
personas pero inversamente proporcional a
los números 2, 3, y 4.
OBSERVA:
K
4
1
C
3
1
B
2
1
A
Entonces:
2
K
+
3
K
+
4
K
= 1300
K = 1200
Juan Pedro José
2 años 3 años 5 años
A =
B =
C =

Luego:
A = 1200
600
2
B = 400
3
1200
C = 300
4
1200
LA REGLA DE COMPAÑÍA
La regla de compañía tienen por objeto
repartir un beneficio o pérdida entre cierto
número de socios que han invertido dinero
en un negocio.
Pueden presentarse tres casos:
 1º CASO: Los capitales de los distintos
socios han estado TODOS invertidos
durante el mismo tiempo.
 En este caso el reparto se hace
repartiendo las ganancias o pérdidas en
partes directamente proporcionales a los
capitales invertidos.
 2º CASO: Los capitales invertidos por
cada socio son los mismos, pero el
tiempo de la inversión es distinto.
 En este caso se reparten las ganancias o
pérdidas en partes directamente
proporcionales a los tiempos que han
estado invertidos los capitales.
 3º CASO: Los capitales invertidos y los
tiempos son distintos.
En este caso se reparte el beneficio o
pérdida en partes directamente
proporcionales a los productos de los
capitales por los correspondientes
tiempos.
1. 100 grados centígrados equivale a 80
grados KIN. ¿Cuántos grados marcará el
primero cuando el segundo marque 28
grados?
a) 35 b)40 c)45 d)50 e)N.A
2. Para pintar una pared de 45m² se
necesitaron 12 galones de pintura.
¿Cuántos galones de pintura se
necesitará para pintar una pared de
75m²?
a)20 b)15 c)21 d)17 e)N.A.
4. 2/3 del metro de tela cuestan 32 soles.
¿Cuánto costará 3/4 de metro la misma
tela?
a) s/.45 b) s/.21 c) s/.23
d) s/.36 e) s/.28
3. Con 16 obreros puede terminarse una
obra en 63 días. ¿Cuántos obreros harán
falta si se quiere terminar la obra en 36
días?
a) 15 b) 35 c) 20 d) 25 e) 28
4. Hace 8 meses que obtuve mi carnet
universitario por lo que me he ahorrado
300 soles en pasajes. ¿Cuánto me
hubiese ahorrado si hubiese obtenido
este carnet hace un año?
a) 400 b) 430 c) 450 d) 460 e) 480
5. 39 tripulantes de un barco tienen víveres
para 22 días. Si sólo fueran 33
tripulantes, ¿cuántos días les duraría los
víveres?
a) 18 b) 22 c) 26 d) 28 e) 32
6. Un barco tenía 1900kg de alimentos que
servirá para un viaje de 38 días; sin
embargo, el viaje sólo duró 30 días.
Calcule que cantidad de alimentos
sobró.

a) 400 b) 420 c) 520 d) 480 e) N.A.
7. 14 carpinteros necesitaron trabajar 7
días para entarimar la planta baja de un
almacén. Para hacer el mismo trabajo
en 4,5 días, ¿cuántos carpinteros se
hubieran necesitado?
a) 22,30 b) 21,78 c) 22,40
d) 21,5 e) N.A.
8. Se han disuelto 350 gramos de azúcar en
7 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua
se debe añadir para que el litro de
mezcla tenga solo 10 gramos de azúcar?
a)25 b)26 c)27 d)29 e)28
9. Juan trabajó 246 horas para comprarse
media docena de pantalones con el
dinero que ganó. Si ahora quiere
comprarse una grabadora que cuesta
como 8 pantalones, ¿cuántas horas
tendrá que trabajar?
a) 326 b) 328 c) 322 d) 428 e) 421
10. En un cuartel se calculó que los
alimentos alcanzaban para 65 días pero
al término de 20 días se retiraron 200
soldados por lo que los alimentos
duraron para 15 días más de lo
calculado. ¿Cuántos eran los soldados
inicial-mente?
11. Seis obreros trabajando 16 días de 10
horas diarias pueden asfaltar 1200m de
una autopista. ¿Cuántos días emplearán
8 obreros trabajando 8 horas diarias
para asfaltar 1600m de la misma
autopista?
12. Una obra la pueden hacer 28 obreros en
cierto tiempo. ¿Cuántos obreros se
necesitará para hacer un cuarto de la
obra en un tiempo igual a los 2/7 de la
anterior trabajando la mitad de horas
diarias?
13. En un cuartel se calculó que los
alimentos alcanzarían por 65 días, pero
al termino de 20 días se retiran 200
soldados por lo que los alimentos
duraron para 15 días más de lo
calculado. ¿Cuántos eran los soldados
inicialmente?
14. 4 máquinas textiles de la misma
capacidad fabrican 500 chompas en 10
días. ¿Cuántas chompas fabricarán 2 de
las máquinas trabajando 6 días?
15. Una persona ha caminado 360km. En 8
días ha caminado 5 horas diarias.
¿Cuántos días tardará para recorrer
693km andando 7 horas diarias?
a)10 b)11 c)12 d)13 e)14
16. Un carpintero para hacer "x" mesas
demora 30 días, pero por trabajar 2
horas menos por cada día, demora 10
días más. ¿Cuántas horas demora para
hacer "x/2" mesas?
a)240 b)120 c)180 d)160 e)100
17. Repartir 306 en partes directamente
proporcionales a: 2; 3; 5 y 8. Calcular la
menor diferencia entre dichas partes.
A) 34 B) 17 C) 51 D) 85 E) 102
18. Repartir 288 en partes inversamente
proporcionales a: 18; 9 y 2. Hallar el
menor de ellos.
A) 216 B) 96 C) 48 D) 24 E) 126
19. José repartió cierta cantidad de
caramelos entre 3 niños; en partes
proporcionales a los números 3, 5 y 8, si
el tercero recibió 78 más que el
segundo. ¿Cuál es la cantidad de
caramelos que repartió?
A) 248 B) 461 C) 416 D) 328 E) 426
20. Si la diferencia entre la mayor y la
menor de las partes que resulta de
repartir un número I.P. a: 2, 3 y 6 es
160. Hallar el número.
A) 400 B) 360 C) 480 D) 720 E) 540
21. Dividir 205 en tres partes de tal manera
que la primera sea a la segunda como 2
es a 5 y la segunda sea a la tercera como
3 es a 4. Hallar la primera parte.
A) 30 B) 75 C) 100 D) 45 E) 60

22. Repartir 480 en tres partes D.P. a 3; 4 y
5 é I.P. a 6; 12 y 18. Hallar la menor de
las tres partes.
A) 216 B) 144 C) 126 D) 120 E) 210
23. Tres vecinos quieren pintar las fachadas
de sus casas siendo el costo total 1369
soles. La extensión de las fachadas están
en la misma relación de 6, 21 y 10
respectivamente. Si el gasto se reparte
en forma D.P. a la extensión de las
fachadas. ¿Cuánto le tocó abonar al
3ro.?
A) 222 B) 370 C) 777 D) 120 E) 725
24. Al repartir 22050 D.P. a las raíces
cuadradas de los números 3,6 ; 4,9 y 6,4
se obtiene que la mayor parte excede a
la menor parte en:
A) 1250 B) 1800 C) 2000
D) 2100 E) 2400
25. Eduardo repartió cierta cantidad de
chocolates entre 4 niños; en partes
proporcionales a los números 1, 2, 4 y 5
si el cuarto recibió 60 más que el
segundo. ¿Cuál es la cantidad de
caramelos que repartió?
A) 240 B) 460 C) 410 D) 320 E) 420
26. Repartir 630 en tres partes D.P. a 2; 3 y
6 é I.P. a 4; 3 y 10. Hallar la mayor de
las tres partes.
A) 210 B) 140 C) 150 D) 120 E) 300
27. Tres amigos formaron una empresa
aportando 540; 720 y 810 soles
respectivamente. Si luego de 8 meses
tuvieron una ganancia de 1150, ¿cuánto
le corresponde al que impuso el menor
capital?
a) 250 b) 280 c) 300 d) 320 e) 360
28. Cuatro socios reúnen $2000 y forman
una empresa, el primero aportó la
cuarta parte, el segundo la quinta parte,
el tercero el doble del primero y el
cuarto lo restante. Si luego de 18 meses
las ganancias del primero y tercero
suman $3600, ¿Cuánto suman las
ganancias del segundo y cuarto?
a) 1200 b) 1800 c)1500 d)1600 d) 2100
29. Dos amigos iniciaron un negocio
aportando dos capitales que están en la
relación de 5 a 8. Si la ganancia de este
negocio luego de 15 meses fue de $3250.
¿Cuánto le corresponde al que aportó el
menor capital?
a) 1750 b) 1650 c) 1850 d) 1450 e) 1250
30. Tres amigos se reunieron y formaron una
empresa de suministros de cómputo,
siendo sus aportes $5600; $7000 y
$4200respectivamente. El tiempo que
trabajó cada uno en la empresa es
proporcional a los números: 3; 4 y 6. Si
la utilidad de la empresa ascendió a
$16200. ¿Cuánto recibe el que impuso el
mayor capital?
a) $6400 b) $7500 c) $6480
d) $6000 e) $7800
31. Dos socios inician una empresa
aportando $3000 y $2500
respectivamente, y tres meses después
aceptaron aun tercer socio que aportó
$4000. Si al finalizar el primer año la
empresa se cerró por que tenía una
pérdida de $4080. Halle la mayor de las
pérdidas.
a) 920 b) 960 c) 1260 d) 1440 e) 1480
1. En una noche se usaron 12 velas
consecutivas para tener luz por 8 horas.
Calcule, ¿cuántas velas se hubieran
necesitado si se hubiese requerido
alumbrado por 12 horas?
a)15 b)18 c) 20 d)24 e)N.A.
2. Una casa podría ser construida por 24
albañiles en 36 días. Pero si al empezar
la construcción sólo se cuenta con 18
albañiles; ¿cuántos días demorará la
construcción de la casa?
a)30 b)38 c)48 d)45 e)N.A.

3. 12m de una tela han costado 200 soles,
¿cuánto costará una pieza de 27 metros?
a)450 b)580 c)430 d)500 e)350
4. Mi familia está compuesta por 11
personas y todas las mañanas se compra
1,5kg de pan para el desayuno. Para
mañana invitamos a desayunar a un
viejo amigo y vendrá con toda su familia
que en total son 7. ¿Cuántos kilos de pan
tendría que comprar para mañana?
a)2,45 b)2,50 c)3 d)3,8 e)N.A.
5. Con 17 litros de leche se fabrican 3kg de
mantequilla, ¿cuántos litros de leche se
necesitará para fabricar 15kg de
mantequilla?
a)50 b)52 c)64 d)80 e)85
6. 20 tejedores, en cierto número de días,
hicieron 450m de paño. ¿Cuántos metros
del mismo paño tejerán, en igual
tiempo, 35 tejedores igualmente
hábiles?
a) 787,5m b) 780,0 c) 850,3
d) 650,3 e) N.A.
7. Un agricultor tiene 420 ovejas que
puede alimentar durante 60 días, pero
quiere que dichos alimentos les dure
para 12 días más sin acortar la ración.
¿Cuántas debe vender?
a) 350 b)70 c)50 d)120 e)250
8. En una fiesta de cumpleaños se gastó
1500 soles por los bocaditos para 90
personas. Si se hubiera querido agasajar
a 150 personas, ¿cuánto se hubiese
tenido que invertir en los bocaditos?
a) 2250 b) 2500 c) 2750
d) 2550 e) 2125
9. Un albañil pensó hacer un muro en 15
días pero tardó 6 días más por trabajar 2
horas menos cada día. ¿Cuántas horas
trabajo por día?
a)7 b)5 c)3 d)4 e)6
10. Si 5 hombres hacen 4 muros en 12 días.
¿En cuántos días 2 obreros harán 6
muros?
a)25 b)30 c)35 d)45 e)40
11. 3 hombres trabajando 8 horas diarias,
durante 12 días han hecho 24m de
zanja. ¿Cuántos hombres se necesitarán
para hacer 32m de zanja en 4 días
trabajando 6 horas diarias?
a)12 b)14 c)16 d)18 e)20
12. Un grupo de obreros se compromete a
realizar una obra en 20 días. Pero como
3 de ellos se enfermaron antes de
comenzar el trabajo, los demás tuvieron
que trabajar 4 días más. ¿Cuántos
obreros trabajaron en dicha obra?
a)18 b)17 c)16 d)15 e)14
13. 15 obreros han hecho la mitad de un
trabajo en 20 días. En ese momento
abandonan el trabajo 5 obreros.
¿Cuántos días tardarán en terminar el
trabajo los que quedan?
a)20 b)30 c)40 d)50 e)60
14. 60 obreros pueden cavar una zanja de
800m3
en 50 días. ¿Cuántos días
necesitarán 100 hombres 50% más
eficientes para cavar una zanja de
1200m3
cuya dureza del terreno es tres
veces la anterior?
a)60 b)70 c)80 d)90 e)85
15. Se contratan a 5 costureras que hacen
12 vestidos en 15 días. Si se pretende
hacer 60 vestidos en 25 días. ¿A cuántas
costureras doblemente rápidas se
deberán contratar además de las que ya
se tiene?
a)5 b)4 c)3 d)6 e)7
proporcionales a: 24; 9 y 4. Calcular la
menor de dichas partes.
A)120 B)40 C)90 D)240 E) 30
proporcionales a: 24; 19 y 14 . Calcular

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