Evaluación en el área de Matemática

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Matemática
Serie 1 para docentes de Secundaria
Currículo y desarrollo de capacidades en Matemática
Fascículo 3: EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA
© Ministerio de Educación
Van de Velde 160, San Borja
Primera edición, 2007
Tiraje: 14 000 ejemplares
Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A.
Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318,
Chacra Ríos Sur, Lima 01
Hecho el Depósito Legal en la
Biblioteca Nacional del Perú
Nro. 2007-00255

Coordinación y supervisión general MED
Antonieta Cubas Mejía
Supervisión pedagógica MED
Luis Enrique Eyzaguirre Espino
Verificación de estilo MED
Miguel Luis Bances Gandarilla

Z_S1 F3 D.indd 1

Autoría
Ediciones El Nocedal S.A.C.
Coordinador
Rubén Hildebrando Gálvez Paredes
Elaboración pedagógica
Felipe Eduardo Doroteo Petit
Itala Esperanza Navarro Montenegro
Edgar Justo Chacón Nieto
Daniel José Arroyo Guzmán
Colaboración especial
Luis Antonio Collao Guzmán
Revisión pedagógica
Hno. Marino La Torre Mariño
Revisión académica
Armando Zenteno Ruiz
Diseño y diagramación
Virginia Rosalía Artadi León

Ilustraciones
Patricia Nishimata Oishi
Brenda Román González
Fotografía
Enrique Bachmann
Corrector de estilo
Marlon Aquino Ramírez

6/16/07 10:05:53 AM

PRESENTACIÓN
La Matemática permite que los estudiantes se enfrenten a situaciones
problemáticas, vinculadas o no a un contexto real, con una actitud crítica. Por
ello se debe propiciar que nuestros estudiantes tengan un interés permanente
por desarrollar sus capacidades matemáticas para que les sean de utilidad
en su vida presente y futura. Esto significa que se debe enseñar a usar la
Matemática en función del desarrollo de las capacidades: razonamiento y
demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Este
progreso está ligado a la evaluación de los aprendizajes, ya que ésta debe
verse como un proceso educativo donde los estudiantes aprenden de sus
aciertos y errores.
La evaluación recoge información pertinente sobre los logros, avances y dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de sus aprendizajes.
Dicha información sirve para tomar decisiones de mejoramiento y recuperación pedagógica.
En el desarrollo del presente fascículo se aborda la evaluación del desarrollo
de capacidades en el área de Matemática: fundamentos, propósitos, formas,
funciones y, sobre todo, las estrategias para establecer criterios e indicadores
y elaborar instrumentos coherentes con el enfoque del Diseño Curricular
Nacional. En este enfoque se considera que la evaluación de los aprendizajes
es un proceso pedagógico, mediante el cual se observa, recoge y analiza
información relevante, con la finalidad de reflexionar, emitir juicios de valor
y tomar decisiones oportunas y pertinentes para mejorar los procesos de
aprendizaje de los estudiantes.
La evaluación proporciona información útil para la regulación de las
actividades, tanto de los docentes como de los estudiantes. En el caso del
docente, sirve para mejorar e ir adaptando su enseñanza a las necesidades de
quienes aprenden; en el caso de los estudiantes, para que sean conscientes
de los aspectos a superar y las potencialidades que pueden desarrollar; y en
el caso de los padres de familia, para apoyar a sus hijos en el afianzamiento
de sus logros y superación de sus dificultades.
La evaluación determina, también, si los estudiantes han desarrollado
los aprendizajes previstos para poder otorgarles, o no, la certificación
correspondiente. La evaluación de los aprendizajes en la Educación Básica
Regular se caracteriza por ser integral, continua, sistemática, participativa
y flexible. A lo largo del fascículo hemos considerado que la evaluación es
un acto educativo donde estudiantes y docentes aprenden de sus aciertos y
errores.
Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de
saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación,
chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.

Índice
Presentación ..........................................................................................................................

1

índice.....................................................................................................................................
.

2

Organizador visual de contenidos..........................................................................................

3

Motivación.............................................................................................................................

4

Logros de aprendizaje............................................................................................................

4

Recuperación de saberes previos...........................................................................................

4

1. Evaluación de los aprendizajes matemáticos en función del
desarrollo de capacidades............................................................................................

5

1.1 Logros educativos de los estudiantes........................................................................

5

1.2 Evaluación . ..............................................................................................................

5

1.2.1 Evaluación por fines .......................................................................................

6

a. Evaluación inicial o diagnóstica .................................................................

6

b. Evaluación formativa o de proceso . ...........................................................

6

c. Evaluación sumativa....................................................................................

6

1.2.2 Criterios e indicadores de evaluación..............................................................
1.2.3 Aspectos importantes en los instrumentos de evaluación. ..............................
.

7
9

a. Coherencia...................................................................................................
.

9

b. Múltiples fuentes de información................................................................ 10
c. Métodos, técnicas y formas adecuadas de evaluación................................. 12

1.3 Las capacidades matemáticas para su evaluación..................................................... 13
a. Razonamiento y demostración..................................................................... 13
b. Comunicación matemática........................................................................... 16
c. Resolución de problemas............................................................................. 18

1.4 Pruebas de evaluación de Matemática...................................................................... 20

Actividad 1....................................................................................................................... 28
.

2. Evaluación...................................................................................................................... 29
3. Metacognición. .............................................................................................................. 30
Bibliografía comentada.......................................................................................................... 31
Enlaces web. .......................................................................................................................... 32
.

Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 3

Instrumentos

Indicadores

Criterios

Diagnóstica

teniendo

Formativa

Sumativa

que puede ser

Trabajo

Pruebas

Capacidades

de

para docentes

Razonamiento
y demostración

de

Ejemplos
didácticos

mostrando

Comunicación
matemática

son

Matemática

que en

Propuestas
metodológicas

mostrando

Desarrollo

Aprendizajes
matemáticos
en función del

Formas adecuadas

de los

Técnicas

Evaluación
presentando

Métodos

de la

Estudio

comprende el

EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA

de

Resolución
de problemas

Evaluar

Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

3

5/24/07 5:51:49 PM

Serie 1 / CURRÍCULO Y
DESARROLLO DE CAPACIDADES
EN MATEMÁTICA

EVALUACIÓN
en el ÁREA de

MATEMÁTICA

Motivación
En nuestra vida diaria realizamos una permanente evaluación;
así, antes de adquirir un producto lo evaluamos desde distintos
parámetros: si el producto es de buena calidad, si la textura es
la adecuada, si los colores son los que nos gustan, si el precio
justifica el producto acabado, etc. Si bien es cierto, no lo hacemos de una manera sistemática, la practicamos en cada instante de nuestra vida. Motivo por el cual, la evaluación
no es ajena a nosotros; siempre está presente. Luego, la evaluación en el área de Matemática debe contemplar
el desarrollo de las capacidades específicas de dicha área. Según el Diseño Curricular Básico del Ministerio de
Educación, estas son: el razonamiento y demostración, comunicación matemática y la resolución de problemas.
En el desarrollo del fascículo nos ocuparemos ampliamente de los primeros, pero reflexionaremos también sobre
las actitudes de los estudiantes hacia la Matemática.
La actitud ante el área de Matemática debe reflejar el interés de los estudiantes por querer aprender los contenidos matemáticos, el grado de responsabilidad, el orden, la puntualidad y la fuerza de voluntad por resolver los
problemas heurísticos. Entonces, la evaluación de los aprendizajes matemáticos en el nivel de educación secundaria, debe permitir el desarrollo de actitudes que contribuyan a la formación de la personalidad y carácter
de los estudiantes, el trabajo en equipo con responsabilidad individual y grupal, y la cooperación democrática
y justa.

LOGROS DE APRENDIZAJE

RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS

Analiza las estrategias planteadas para la Lee con atención y responde lo que se te indica en una hoja aparte:
evaluación del aprendizaje de la Matemá¿Qué entiendes por evaluación?
tica, priorizando el desarrollo de capaci¿Qué es medición de logros de aprendizaje?
dades generales y específicas.
Describe tu práctica docente en función de la evaluación de la
Identifica las capacidades del área de MaMatemática y el desarrollo de capacidades.
temática y las capacidades específicas para
el aprendizaje de los estudiantes a través
de ejemplos.
Elabora indicadores e instrumentos de
evaluación en función del desarrollo de
las capacidades matemáticas en forma coherente.

¿Qué diferencia existe entre evaluación y calificación?
¿Qué estrategias de evaluación empleas para el aprendizaje de
la Matemática?
¿Qué se entiende por prueba?
¿Qué instrumentos de evaluación empleas en tu práctica pedagógica?

Identifica los distintos tipos de evaluación
en una hoja aparte de acuerdo con su finalidad, manifestando apertura.
4


6/13/07 6:40:54 PM

fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL

1. EVALUACIÓN de los
APRENDIZAJES MATEMÁTICOS
en FUNCIÓN del DESARROLLO
de CAPACIDADES
1.1 Logros educativos de los estudiantes
Los estudiantes deben relacionar lo que aprenden teóricamente con lo que
viven en la práctica, para ser capaces de resolver problemas. Necesitamos
una educación que prepare a los estudiantes para actuar en concordancia con
los fines de la educación peruana: el desarrollo personal, la ciudadanía, los
cambios en la sociedad del conocimiento y el mundo del trabajo.
Asimismo, la educación debe contribuir a formar una sociedad democrática,
justa, inclusiva, próspera, tolerante y forjadora de una cultura de paz. Ello
implica desarrollar un conjunto de capacidades a lo largo de su educación. Se espera que al concluir la Educación Básica Regular, los estudiantes
presenten ciertas características que se expresan en un conjunto de logros
educativos.
El plan de estudios que organiza el área de Matemática para desarrollar integralmente dichos logros, está plasmado en el Diseño Curricular Nacional; que
considera las capacidades matemáticas generales siguientes: razonamiento y
demostración, comunicación matemática y resolución de problemas.
Por otro lado, los contenidos básicos del área de Matemática se organizan
en componentes, los cuales se desarrollan en forma transversal, y son los siguientes: número, relaciones y funciones, geometría y medida, y estadística
y probabilidad.

Los estudiantes deben relacionar lo
que aprenden teóricamente con lo
que viven en la práctica.

1.2 Evaluación
Consideramos a la evaluación como un proceso que nos permite recoger
información pertinente para la toma de decisiones. La evaluación implica un
juicio de valor, pues siempre implica un pronunciamiento, una interpretación de la información que estamos recogiendo; en definitiva, un juicio claro
y riguroso sobre el objeto de esta evaluación. Sólo así conocemos exactamente la situación del proceso y del objeto, del desarrollo formativo y del
comportamiento de los estudiantes, de los propósitos y de los resultados.
Así, tomaremos decisiones consistentes y acertadas sobre la dirección del
proceso y de la concomitancia de sus elementos. De esta manera, finalmente,
podremos ayudar eficazmente al estudiante, a fin de que seleccione permanentemente las mejores vías y opciones de perfeccionamiento, y alcance los
resultados que razonablemente se pueden esperar, tanto de sus capacidades
como del contexto educativo en que se halla inmerso.
Recordemos que un examen, o una medición escueta, tiene muy poco de juicio de valor sobre lo que está ocurriendo y, en consecuencia, no hay ninguna

La evaluación nos permite recoger
información pertinente para la
toma de decisiones.

EN MATEMÁTICA

Un mate...
– ¿Cuál es la figura
geométrica que
escucha música?
– El círculo.
– ¿Por qué?
– Porque tiene radio.

posibilidad de intervención real en el proceso perfectible de los estudiantes.
La medición sólo describe, tomando como base una unidad dada y frecuentemente limitándose a un sólo rasgo, mientras que la evaluación valora todo
el proceso, todos los elementos y toda la persona, con el fin de llegar a unas
conclusiones y tomar decisiones para mejorar ese proceso y sus elementos,
en definitiva, mejorar los comportamientos del sujeto.
1.2.1 Evaluación por fines
Compartimos lo propuesto por los autores La Torre Ariño y Seco del Pozo,
en su libro Diseño curricular nuevo para una nueva sociedad nueva; en el
que se plantea lo siguiente:
a. Evaluación inicial o diagnóstica: se utiliza para detectar los conceptos previos que posee el estudiante y las destrezas que son capaces de
utilizar en el aprendizaje. Es el andamio o estructura previa de la que
tiene que partir el alumno para poder aprender de forma constructiva y
significativa.
b. Evaluación formativa o de proceso: trata de evaluar los fines de la
educación que son las capacidades-destrezas y valores-actitudes, por
medio de escalas de observación sistemáticas, individualizadas y cualitativas-cuantitativas y a través de pruebas en las que se evalúa el desarrollo de destrezas. La esencia de este tipo de evaluación es conocer a
los estudiantes para ayudarlos a que se conozcan a sí mismos como estudiantes, informándoles sobre los objetivos que lograron y lo que les
hace falta para mejorar. Este tipo de evaluación debe ser una forma de
apoyar los esfuerzos que realizaron y, a la vez, ser constructivamente
crítico y poder diagnosticar, tanto las fortalezas como las debilidadades
de los alumnos y alumnas.
c. Evaluación sumativa: es aquella que evalúa las capacidades, valores y
actitudes a través de los contenidos y métodos de aprendizaje, cualitativa
o cuantitativamente, de una manera progresiva, según la edad de los estudiantes.
La finalidad de la evaluación sumativa es determinar el nivel de logro de
las capacidades después de un periodo de tiempo.
Tanto la evaluación formativa como la evaluación sumativa deben:
• Permitir al docente evaluar lo que los estudiantes pueden hacer así
como la capacidad que tienen para usar contenidos y destrezas. Esta
información es igual de valiosa para los estudiantes.
• Permitir la aplicación de contenidos y destrezas en lugar de la simple
repetición memorística de los hechos.
• Lograr que los estudiantes participen y reflexionen: por ejemplo, los
estudiantes deberán conocer los criterios de evaluación para una tarea
dada, y a veces se les pedirá que ayuden a crear una tabla de evaluación para medir los diferentes aspectos de su rendimiento (autoevaluación).
• Dar a los estudiantes la oportunidad de analizar su propio aprendizaje
y de reconocer qué áreas necesitan mejorar.
• Basarse en niveles de rendimiento fijados por equipos de profesores
para un grupo de edad particular, y comunicados claramente a estudiantes y padres de familia.

6


5/24/07 5:46:30 PM


•
•

•

Resultar informativas para estudiantes, padres de familia y docentes,
así como proporcionar orientación para futuros aprendizajes.
Tomar como referencia capacidades y niveles coherentes con todas
las áreas, como son las capacidades y actitudes de aprender a aprender y la colaboración en el trabajo.
Reflejar el nivel logrado por el estudiante en relación a todos los criterios del área y proporcionar las mismas oportunidades para todos
los estudiantes, independientemente del sexo, cultura y necesidades
especiales.
PROCESO DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
EVALUACIÓN
FORMATIVA O
DE PROCESO

EVALUACIÓN
SUMATIVA

LOGROS DE LOS
APRENDIZAJES

EVALUACIÓN
INICIAL O
DIAGNÓSTICA

1.2.2 Criterios e indicadores de evaluación
Para tener evidencias de los logros de aprendizaje de los estudiantes en términos de capacidades, se requiere de una definición clara y precisa de ciertos criterios e indicadores, que constituyen la base para la elaboración de
diversos tipos de instrumentos de evaluación.
Los criterios nos permiten organizar la evaluación del área de Matemática y nos
dan una visión para enjuiciar los instrumentos de evaluación; y son pertinentes
para todos los niveles, pues ofrecen una base lógica que permite establecer el
avance de los estudiantes y replantearnos la manera en que trazamos dicho
avance, y los procesos y los métodos que empleamos para ello. En nuestro caso,
los criterios de evaluación estarán dados por las capacidades matemáticas.
Los indicadores guían la redacción de los ítems o preguntas que conforman
una prueba de evaluación.
Se entiende por indicador a todos los indicios, señales o conjunto de rasgos,
datos o informaciones perceptibles que al ser confrontados con lo esperado
e interpretados de acuerdo con una fundamentación teórica, pueden considerarse como evidencias significativas de la evolución, estado y nivel, que
en un momento determinado presenta el desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes.
Los indicadores de logro resultan del cruce de los criterios de evaluación y
de los contenidos que conforman cada uno de los componentes del área de
Matemática.
Los indicadores de logro están constituidos por:

EVALUACIÓN
DE LA CALIDAD
EDUCATIVA
Capacidades
fundamentales

Propuesta de evaluación en
el área de Matemática
Criterios
Indicadores
Reproducir
Razonamiento Analizar
y demostración Interpretar
Aplicar
Decodificar
Comunicación
Codificar
matemática
Representar
Interpretar
Resolución de Procesar
problemas
Verificar
Formular

capacidad específica + contenido + método
7


5/24/07 5:46:45 PM

EN MATEMÁTICA

Muchos docentes están de
acuerdo con la integración
de la dimensión afectiva en
el currículo de Matemática,
pero para que esta
integración tenga éxito, es
necesario adoptar métodos
adecuados de evaluación
e incluso modificar ciertas
prácticas relativas al modo
de recoger la información,
la forma de expresarla,
etc. Este fascículo, aparte
de permitirnos establecer
los criterios de evaluación
ofrecidos por las
capacidades matemáticas,
se centra en la evaluación
de los afectos que se
manifiestan en forma
de creencias, actitudes,
emociones o sentimientos
de los estudiantes. Para
esto, se consideran las
técnicas de evaluación en
un programa de actuación
didáctica.

Los indicadores de logro son las destrezas y actitudes, y los criterios de
evaluación son las capacidades y los valores.
Relación de criterios e indicadores de evaluación
Recordemos que los criterios de evaluación nos dan la visión para enjuiciar
los instrumentos de evaluación. Hemos asumido como criterios de evaluación
las capacidades matemáticas: razonamiento y demostración, comunicación
matemática y resolución de problemas, planteadas en el Diseño Curricular
Nacional. Sus respectivas capacidades específicas podemos encontrarlas en
el fascículo 1, Naturaleza, Evolución e Importancia de la Matemática, en la
sección 3.3 Comprendiendo las capacidades matemáticas.
Proponemos algunos indicadores de evaluación que nos servirán para elaborar el instrumento que presentamos en el punto 1.4
Ejemplos:
• Reproduce comprensivamente la información recibida o recabada sobre
números naturales y la teoría de los números por medio de la observación y la identificación, mostrando interés y esfuerzo en su aprendizaje.
• Analiza la información recibida o recabada sobre números naturales y la
teoría de los números a través de la observación, diferenciación, identificación, comparación y la organización mostrando interés y esfuerzo.
• Aplica los números naturales y la teoría de los números en forma adecuada a cada situación y con precisión necesaria, a través de los cálculos
pertinentes en forma mental o con los algoritmos básicos, en función de
su complejidad y de la naturaleza del problema mostrando precisión.
• Codifica enunciados de un lenguaje común a un lenguaje formal a través de la observación, identificación, interpretación, transformación y
expresión mostrando puntualidad y cumplimiento.
• Decodifica enunciados de un lenguaje formal a un lenguaje común a
través de la observación, identificación, interpretación, transformación,
y expresión mostrando puntualidad y cumplimiento.
• Procesa la información sobre los números naturales y la teoría de los números mediante la relación, la transformación y la aplicación mostrando
concentración.
• Interpreta situaciones lógicas propuestas a través del análisis y representación escrita de las expresiones que las manifiestan, escuchando con
atención a sus compañeros y compañeras.
• Procesa la información analizada en situaciones lógicas problémicas propuestas mediante la relación, transformación y aplicación de las propiedades
de los números, escuchando con atención a los compañeros y compañeras.
• Analiza la información recibida para el conteo de figuras geométricas a
través de la observación, diferenciación, identificación y comparación,
cumpliendo con las indicaciones recibidas para el trabajo.
• Aplica las fórmulas pertinentes para el conteo de figuras mediante el cálculo
mental o escrito en función de la complejidad de las figuras para el conteo
respectivo cumpliendo con las indicaciones recibidas para el trabajo.
• Analiza la información recibida en gráficos para el trazo de figuras
geométricas con puntos intersecados por líneas a través de la observación, diferenciación, identificación y comparación, cumpliendo con las
indicaciones recibidas para el trabajo.

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5/24/07 5:47:09 PM


•
•
•

•

•

•

•

•

•

•
•

•

Analiza datos que se nos ofrecen a través de enunciados, tablas, expresiones simbólicas y representaciones gráficas.
Interpreta expresiones gráficas y simbólicas a través de la decodificación.
Analiza la información recibida o recabada sobre expresiones criptoaritméticas a través de la observación, diferenciación, identificación, comparación y la organización de los datos, cumpliendo con las indicaciones
dadas en clase.
Procesa la información sobre expresiones criptoaritméticas mediante la
relación, la transformación y la aplicación respetando las opiniones de
los compañeros y compañeras.
Decodifica enunciados con expresiones simbólicas de divisores o múltiplos a un lenguaje común a través de la interpretación, y la transformación, respetando el trabajo de los compañeros.
Aplica las propiedades, criterios y reglas operativas para los múltiplos
y sobre la divisibilidad en forma adecuada a cada situación y con precisión, a través de los cálculos pertinentes en forma mental o escrita en
función de su complejidad y de la naturaleza del problema, cumpliendo
las indicaciones dadas en clase.
Analiza enunciados para identificar proposiciones mediante la observación, definición, clasificación y comparación, manifestando seguridad en
sí mismo.
Aplica definiciones de los conectivos lógicos para determinar el valor
de verdad de proposiciones compuestas mediante la resolución de ejercicios, manifestando orden en lo que hace.
Interpreta enunciados que involucren fórmulas lógicas para determinar
si son tautológicas, contradictorias o contingentes mediante la elaboración de tablas lógicas, manifestando seguridad en sí mismo.
Aplica leyes lógicas para simplificar fórmulas lógicas mediante la resolución de ejercicios manifestando orden en lo que hace.
Analiza enunciados para identificar funciones proposicionales mediante la observación, definición, clasificación y comparación, manifestando
seguridad en sí mismo.
Procesa información de enunciados que involucran situaciones lógicas
mediante la interpretación, trasformación, resolución y la verificación,
manifestando seguridad en sí mismo.

1.2.3 Aspectos importantes en los instrumentos de evaluación
Los instrumentos de evaluación son los que permiten reunir datos pertinentes y deben cumplir principalmente con dos características para garantizar la
adecuada recolección de dicha información: coherencia y fuentes múltiples de
información. Estas características tienen como fuente principal a los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. (Estándares
curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. NCTM. SAEM
Thales). En seguida consideremos algunos aspectos fundamentales de los instrumentos de evaluación.
a. Coherencia
Para que la evaluación mantenga la coherencia adecuada, el conjunto
de tareas del instrumento de evaluación debe reflejar las metas, obje-

La valoración afectiva
Recordemos que los
criterios de evaluación
nos dan la visión para
enjuiciar los instrumentos
de evaluación, como las
capacidades matemáticas
de razonamiento
y demostración,
comunicación matemática
y resolución de problemas.
Pero como base para
estructurarlas, son
necesarios los aspectos
afectivos del individuo
como las creencias,
actitudes, emociones y la
valoración de la situación
del estudiante frente a las
tareas. Así tenemos:
Emociones:
- Ansiedad.
- Gusto, satisfacción.
Motivación:
- Intrínseca.
- Extrínseca.
Actitudes:
- Naturaleza, valor del
trabajo matemático.
- Papel del error en la
Matemática.
- Aspectos sociales de la
Matemática.
- Apreciación de los
matemáticos.
- Organización y hábitos
de trabajo.
Atribución:
- Esfuerzo del estudiante.
- Eficacia de las
estrategias, cualidad del
estudiante.
Confianza en sí mismo:
- Autoestima.
- Sentimiento de
autoeficacia.
Creencias:
- Acerca de la Matemática.
- Sobre uno mismo.
- Sobre la enseñanza de la
Matemática.
- Sobre el contexto escolar.

9


5/24/07 5:47:24 PM

Serie 1 / currÍculo y
desarrollo de capacidades
en matemática

Un diseño curricular
El centro de gravedad
del trabajo educativo es,
sin duda, el aprendizaje
de los estudiantes. Para
ello, es imprescindible
la contribución de
los docentes a través
de la enseñanza. En
consecuencia, la
enseñanza se puede
definir como el conjunto
de actividades que el
docente desarrolla para
facilitar y fomentar
aprendizajes en los
estudiantes. De esta
manera, el docente juega
un rol preponderante en
la educación, y por esta
razón, se esmeran para
que sus estudiantes logren
un desarrollo educativo
integral, preparándolos
para lograr sus objetivos
en el futuro.

10

tivos y amplitud de temas que se especifican en el Diseño Curricular
Nacional.
Para determinar la coherencia entre un instrumento, las capacidades y los
contenidos propuestos en el Diseño Curricular Nacional, debe examinarse cada una de las pruebas de evaluación para determinar en qué
grado miden las capacidades y el contenido matemático que se supone,
deben medir; es decir, si son coherentes en cuanto a las capacidades y
al contenido que se quiere evaluar.
Por ejemplo, la capacidad de un estudiante de medir una longitud o una
distancia haciendo uso de un instrumento adecuado no se evalúa de forma precisa por medio de tareas como: usando una regla de 30 cm, mide
la longitud de un lápiz usado.
Para evaluar esta capacidad específica, se necesita saber si los estudiantes son capaces de seleccionar una herramienta de medición adecuada,
usarla correctamente (es decir, alinearla cuantas veces sea preciso) y leer
el resultado. Esta información se obtiene mejor por medio de tareas que
exijan que los estudiantes piensen qué matemática es necesaria, elija una
herramienta para la medición y efectúe una medida efectiva.
Podemos decir que la coherencia constituye un tema central para el desarrollo o selección de instrumentos de evaluación, y para la utilización
de datos de evaluación. Los docentes han de mantener la preocupación
por la coherencia entre lo propuesto en el Diseño Curricular Nacional y
el instrumento de evaluación.
La evaluación del aprendizaje matemático de los estudiantes en función
del desarrollo de capacidades debe posibilitar que los docentes extraigan
conclusiones en cuanto a sus necesidades pedagógicas, su avance en la
consecución de los objetivos del currículo y la eficacia del programa de
Matemática. La importancia de las conclusiones que se infieran a partir
de dicha evaluación depende del grado de coherencia que los métodos y
las tareas de evaluación mantengan con el currículo.
Estamos de acuerdo con los estándares curriculares y de evaluación para
la educación Matemática. La SAEM plantea que los métodos y las tareas
que se usen para evaluar el aprendizaje de los estudiantes deben ser coherentes con el Diseño Curricular Nacional en cuanto a lo siguiente:
• Capacidades y contenidos matemáticos.
• El énfasis relativo que se dé a diversos temas y procesos y a sus
relaciones.
• Enfoques y actividades docentes, incluyendo el uso de calculadoras, computadoras y materiales manipulativos.
El Diseño Curricular Nacional es el criterio principal para juzgar un instrumento de evaluación.
b. Múltiples fuentes de información
Si queremos evaluar el desarrollo de capacidades y aprendizajes matemáticos, es necesario utilizar una información abundante que proceda de
diversos métodos de evaluación.
Un tema constante es la necesidad de múltiples fuentes de información. Las
tareas que describimos aquí cubren muchos aspectos de un concepto simple,
utilizan procedimientos en diversos contextos y exigen que los estudiantes


integren el conocimiento, en especial por medio de actividades de resolución
de problemas. Estos tipos de evaluación son valiosos por sí mismos, porque
amplían las experiencias del alumno y le ofrecen una importante información al docente para la docencia. Pero también cuentan con un valor extrínseco, ya que permiten que los docentes alcancen una visión más completa de
la realización y la potencia matemática de los estudiantes.
Cuando un estudiante realiza de forma parecida muchas tareas, los docentes pueden fiarse de su juicio sobre dicho estudiante. También pueden
resultar útiles las discrepancias en cuanto a realización, ya que indican
una dificultad que podría quedar sin descubrir en el caso de que la evaluación se realizara con un solo instrumento. Por ejemplo, un estudiante
puede realizar bien tareas escritas individuales, pero puede mostrarse
reacio o temeroso de describir su enfoque de resolución del problema
durante una discusión en grupo. Otro estudiante puede ser capaz de aplicar una regla en un contexto conocido, pero no llegar a identificar el procedimiento más adecuado cuando se le presenta la tarea en un contexto
desconocido.
Según los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, las decisiones que se tomen sobre el aprendizaje de los estudiantes deben basarse en la convergencia de información obtenida a
partir de diversas fuentes. Estas fuentes deben abarcar tareas que:
• Requieran diferentes tipos de pensamiento matemático.
• Presenten el mismo concepto o procedimiento matemático en contextos, formatos y situaciones de problemas diferentes.
Cuando se comprueba que los estudiantes realizan razonadamente tareas
de formatos diversos que exigen que se piense matemáticamente o que
representan distintos aspectos del pensamiento matemático, entonces los
docentes pueden confiar en la fiabilidad de sus juicios.
El aprendizaje de la Matemática es un proceso acumulativo que ocurre a
medida que la experiencia va aumentando las estructuras conceptuales. Una
calificación numérica o una nota que se dé en un momento determinado
sólo deja entrever el conocimiento y desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes. Si lo que se pretende con la evaluación es conseguir
una imagen válida y fiable de las estructuras conceptuales y de las capacidades y los logros de los estudiantes, debe buscarse evidencia a partir de toda
una variedad de fuentes. El proceso de evaluación que se describe en esta
característica proporcionará un indicativo más completo y válido que el que
se pueda obtener a partir de sólo un tipo de instrumento.
Características del instrumento de evaluación:
• Validez de contenido. Mide lo que realmente se quiere conocer.
• Pertinencia. Las preguntas del instrumento están en función del estudiante, de su conocimiento, experiencia, grado de estudio, etc.
• Claridad. Delimita en forma clara y precisa el objetivo de su aplicación. Las preguntas están redactadas en forma sencilla de manera
que no se presten a confusión. El lenguaje usado debe estar de acuerdo con el nivel del estudiante.
• Rapidez y facilidad de aplicación.

Un tema constante de evaluación
es la necesidad de múltiples
fuentes de información.

Los estudiantes deben realizar sus
tareas utilizando el razonamiento.

Para los griegos
antiguos, la Matemática
era la manifestación
de la armonía, y su
conocimiento representaba
una suerte de integración
con el fundamento
invisible de las cosas,
así como el éxtasis al
completar un orden
superior y perfecto. A
ese descubrimiento
de lo extraordinario
en lo ordinario, a ese
asombro que nace de la
facultad propiamente
humana de experimentar
el sentido mismo del
universo, lo llamaban
THAUMATZEIN
(maravillarse).

11


5/24/07 5:47:41 PM

EN MATEMÁTICA

curiosidades

matemáticas
Un profesor de Matemática,
cuando su alumno le
preguntó: ¿Cuánto es 25 x
28?, le respondió: 700, y le
explicó cómo lo hizo.
Estableces la columna de
los cocientes, que resulta
de dividir 25 entre dos y
a sus demás cocientes
dividirlos entre dos,
sucesivamente hasta llegar
a 1. Luego en las filas
respectivas multiplica 28
por dos sucesivamente,
hasta cubrir la fila que le
corresponde al 1. Esto es:
25
28
12
56
6
112
3
224
1
448
Luego, consideró la
suma de los números
de la segunda columna
que correspondan a los
números impares de la
primera columna. Esto es:
28 + 224 + 448 = 700.
Este resultado es el que se
comunicó.
Puedes probar la
multiplicación con otros
números y verás que el
método es válido.
Ahora, evalúa este método y
da tu punto de vista.

c. Métodos, técnicas y formas adecuadas de evaluación
La evaluación apoya el aprendizaje matemático a partir del desarrollo de
capacidades, y mide el conocimiento matemático de los estudiantes.
Existen diversas técnicas de evaluación que incluyen preguntas de opción
múltiple (tipo test), de respuesta corta, de discusión, o abiertas: entrevistas
estructuradas o libres, trabajos en casa, proyectos, diarios, ensayos, escenificaciones, y exposiciones en clase. Asimismo, estos diversos métodos y
técnicas se pueden trabajar de forma individual, en grupos reducidos o con
toda la clase. El modo de evaluación puede ser escrito u oral.
Las técnicas son un conjunto de acciones o procedimientos que conducen a la obtención de información relevante sobre el aprendizaje de los
estudiantes. Según Díaz Barriga y Hernández Rojas, las técnicas de evaluación se pueden clasificar en:
• Técnicas no formales: que se dan de manera espontánea en el aula. Por
ejemplo, la observación espontánea, o los diálogos y exploraciones a
través de preguntas. Estas preguntas deben estar bien formuladas, ser
coherentes y significativas.
• Técnicas semiformales: vienen a ser los ejercicios y prácticas que
realizan los estudiantes como parte de la actividad del aprendizaje;
requieren mayor tiempo de preparación y exigen respuestas más duraderas de parte de los estudiantes; es decir, se orientan al aprendizaje a
largo plazo y garantizan la participación de la mayoría de los estudiantes. Cuando el trabajo es de extensión (para la casa) se debe garantizar
que sean los alumnos los que desarrollen las tareas.
• Técnicas formales: se realizan al finalizar los capítulos de un tema o
cuando se termina el aprendizaje de un tema en un tiempo determinado. Su formulación, planificación y ejecución es mucho más sofisticada, pues de la información que se recoja derivarán las respectivas
valoraciones sobre el aprendizaje de los estudiantes. Se concretan en
pruebas escritas de diversos tipos.
Estas técnicas reflejan la diversidad de la didáctica de los docentes para
evaluar y conocer las diferentes formas en que aprenden los estudiantes.
Dichas técnicas también permiten que haya diversidad tanto en las respuestas de los estudiantes como en el modo de procesar la información,
y proporcionar información fiable y válida. Las decisiones que se tomen
en cuanto a la docencia deben basarse en la información recogida a partir
de diversas fuentes que apoyen o confirmen la necesidad de que se dé una
determinada respuesta educativa. Cuando la información disponible resulta contradictoria, como por ejemplo el caso de un estudiante que obtiene
buena puntuación en los exámenes pero que es incapaz de expresar procesos matemáticos, la evaluación debe buscar una explicación a un nivel más
profundo. En pocas palabras, la evaluación no debe apoyarse en un solo
instrumento o en una sola técnica o método.
Los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática consideran que las técnicas y los instrumentos de evaluación deben
seleccionarse después de considerar:
• El tipo de información que se quiera obtener.
• El uso que se vaya a dar a la información.
• El nivel de desarrollo y la madurez de los estudiantes.

12


5/24/07 5:48:05 PM


No es adecuado que los datos de la evaluación se usen para otros fines
que no sean los previstos.
Cualquiera sea el propósito de la evaluación, las técnicas que se utilicen
deben considerar las características de los mismos estudiantes. Su desarrollo matemático y cognitivo supone un proceso gradual y acumulativo
que se construye a partir de la experiencia y las estructuras conceptuales
previas. Esta idea resulta especialmente importante en los primeros años,
cuando se encuentran por primera vez las capacidades específicas y los
conceptos básicos. A este nivel, cuando las estructuras conceptuales de
los estudiantes están íntimamente ligadas al uso de materiales físicos, una
tarea de evaluación que les permita utilizar dichos materiales constituirá
un indicador mucho más efectivo de su aprendizaje.
La finalidad de la evaluación es la obtención de información para emitir
un juicio de valor y tomar decisiones; por lo que es fundamental emplear técnicas adecuadas y usar objetivamente la información resultante.
Cuando se utiliza un tipo de evaluación en lugar de varios, la información que se obtiene no tiene por lo general validez ni utilidad. Además,
las técnicas que se utilizan para recoger información deben adecuarse al
nivel de desarrollo y a la madurez de los estudiantes.

1.3 Las capacidades matemáticas para su evaluación
Debemos evaluar si los estudiantes están desarrollando las capacidades matemáticas que según el Diseño Curricular Nacional son las siguientes: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Clarificamos estas capacidades a la luz de los estándares curriculares y
de evaluación para la educación matemática.
a. Razonamiento y demostración
Es natural que los estudiantes formulen conjeturas sobre la base de ejemplos
que han visto o manejado, y que desarrollen argumentos basados en lo que
saben que es cierto. Los estudiantes pueden tener también nociones intuitivas sobre razonamiento proporcional y sobre relaciones espaciales. Todos los
estudiantes deben tener la oportunidad expresa de ocuparse en este razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, toda evaluación de la capacidad de
razonamiento del estudiante debe obtener evidencias de estos procesos.
La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes para razonar matemáticamente debe ofrecer evidencia de que ellos son capaces de:
• Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular
conjeturas.
• Utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de
enunciados matemáticos.
• Utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas.
• Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos.
• Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes.
• Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática.
Los tipos de razonamiento que se identifican en esta capacidad resultan fundamentales para hacer Matemática, pero no siempre pueden ser observados
en las respuestas verbales de los estudiantes o en su trabajo escrito.

El razonamiento es otra
capacidad que debe practicarse
constantemente.

13


5/24/07 5:48:31 PM

EN MATEMÁTICA

¿Los obstáculos son
necesarios para el
aprendizaje?
Sí, seguro.
Si estuviéramos
enfrentados, en
situaciones de aprendizaje,
solamente a situaciones
conocidas que se pueden
vencer sin esfuerzo, no
aprenderíamos muchas
cosas. Es normal que los
estudiantes encuentren
obstáculos para apropiarse
mejor de las nuevas
nociones.
Pero, ¡no se trata de
confundir una situación
de aprendizaje con una
situación de evaluación!
En la fase de evaluación,
conviene examinar
principalmente los
conocimientos adquiridos
por los estudiantes, y no
su capacidad de superar
ciertos obstáculos en
tiempo limitado.
André Antibi

De igual forma, las técnicas de evaluación deben evaluar específicamente
el uso que hagan los estudiantes de los diferentes tipos de razonamiento.
Aunque algunos aspectos del razonamiento pudieran ser más adecuados que
otros en una determinada área, pueden utilizarse todos los aspectos en todas
las áreas curriculares. Sin embargo, en los primeros grados, algunos aspectos deben utilizarse sólo en un sentido intuitivo.
Las técnicas de evaluación han sido obtenidas de los estándares curriculares
y de evaluación para la educación matemática; e ilustran tareas o actividades
para evaluar la capacidad de razonar de los estudiantes. Se pueden utilizar
dentro del contexto docente, como en discusiones de clase, o como tareas
formales de evaluación. A los más jóvenes se les debe pedir que discutan o
expliquen sus respuestas de forma oral.
Esta capacidad de razonamiento y demostración se puede lograr mediante:
1. Razonamiento deductivo utilizando hechos conocidos.
2. Análisis de una situación para hallar propiedades y estructuras comunes.
Ejemplo 1:
Se pide a los estudiantes que trabajen en grupos pequeños con recortes
de cuadrados y rectángulos. Se solicita a cada grupo que considere preguntas de este tipo:
a. ¿Qué propiedades tienen en común los cuadrados y los rectángulos?
b. ¿Qué propiedades no tienen en común?
En una respuesta sólida, los estudiantes compararían las propiedades de
ambas figuras de forma simultánea, reconociendo que las dos figuras tienen cuatro ángulos rectos. Algunos estudiantes podrían determinar primero las propiedades de un cuadrado y después las de un rectángulo pero
no llegarían a efectuar una comparación entre las dos figuras. Está claro
que la tarea exige la existencia de una estructura conceptual en concreto:
la capacidad de comparar y contrastar conceptos.
Ejemplo 2:
3. Razonamiento espacial
Se le tapan los ojos a los estudiantes y se les hace coger un cubo y una
pirámide de base cuadrada y se formulan las interrogantes:
a. ¿Qué figura tienes en la mano?
b. ¿Cuántos vértices tiene?
Esta actividad puede ampliarse incluyendo otros sólidos o planteando
otras preguntas sobre el cubo y la pirámide cuadrada, como «¿Cuántas
aristas tienen estos sólidos?». Los estudiantes que puedan ofrecer una
descripción más detallada de estos poliedros, demuestran manejar un
mejor razonamiento espacial que los que parecen apoyarse en un recuento mecánico de vértices, aristas o caras.
Ejemplo 3:
4. Razonamiento inductivo
Pedir a los estudiantes que consideren la situación siguiente:
En un examen, cinco estudiantes tienen una puntuación de: 62; 75;
80; 86 y 92. Determina la puntuación media. ¿Cuánto aumentaría la
media si se aumentara la puntuación de cada estudiante en:

14


5/24/07 5:48:58 PM


a. 1 punto?
b. 5 puntos?
c. 8 puntos?
d. x puntos?
Escribe un enunciado que exprese cuánto aumentaría la puntuación media si se aumentara cada puntuación individual en x puntos. Desarrolla
un argumento para convencer a otro compañero de que el enunciado es
verdadero.
Ejemplo 4:
5. Razonamiento deductivo y desarrollo de un argumento plausible
Se pide a grupos de estudiantes que construyan modelos y desarrollen la fórmula para determinar el área de un círculo o que expliquen por qué resulta la fórmula A = π r2
Los estudiantes que sean capaces de utilizar la relación entre la forma del
“paralelogramo” y su área y la circunferencia del círculo para desarrollar
la fórmula del área del círculo demuestran un razonamiento plausible y
deductivo. El argumento resulta plausible si demuestra sentido común y
es matemáticamente correcto.
Ejemplo 5:
6. Razonamiento proporcional
Plantear esta cuestión: ¿cuántos estudiantes zurdos hay en el colegio? Los estudiantes deberán desarrollar un procedimiento para
identificar a los zurdos en una muestra de alumnos, y usar un razonamiento proporcional para determinar el número de estudiantes
zurdos de toda la institución educativa.
Los estudiantes tendrán que recoger datos y plantear y resolver una proporción para responder a la pregunta. Pueden investigarse otros temas de
forma parecida. Grupos pequeños de estudiantes pueden recoger información sobre la comunidad en general —por ejemplo, cuánta gente hay
que sea zurda— como parte de un trabajo a largo plazo.
Ejemplo 6:
7. Razonamiento deductivo
Rogelio no cree que sumando el mismo número de puntos a la puntuación de un examen de todos los estudiantes, la puntuación media
se incrementará en esa misma cantidad. Escribe un argumento válido para convencer a Rogelio de que es cierto.
Este argumento debiera ser deductivo: no basta con uno o varios casos concretos. Algunos estudiantes podrían seleccionar un incremento específico
(digamos cinco puntos) y argumentar sobre dicho caso. A causa de su especificidad, este argumento no es tan fuerte como el de seleccionar un incremento cualquiera (n puntos) y demostrar que la media se incrementa en n
puntos.
Ejemplo 7:
8. Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática
En todos los niveles, los estudiantes deben adquirir la noción de que la
Matemática está basada en reglas establecidas y no es un «sombrero de
prestidigitador» que sólo conocen los que enseñan matemática o los ma-

El estudiante debe tener la
capacidad de comparar y
contrastar conceptos.

La demostración es una capacidad
que debe cultivarse ya que ayuda
en la formalización de conceptos.

15


5/24/07 5:49:11 PM

EN MATEMÁTICA

El mundo exterior:
contar y medir
Desde los primeros
grados de la enseñanza,
la escuela debe educar
al estudiante para que
conozca, lo mejor posible,
el mundo en el que va a
vivir. Hay que enseñarle
al estudiante a ver la
naturaleza y a observar y
analizar sus fenómenos.
Incluimos en la naturaleza
a los seres vivientes, entre
ellos el ser humano, tanto
en su comportamiento
individual como social.
Se ha dicho que hay que
“saber ver” el mundo
exterior, es decir, no basta
“mirar” sino que hay que
“ver” ese mundo para
comprenderlo, para lo
cual, la Matemática se
torna imprescindible. Hay
que aprender a contar y a
medir, y hay que ejercitar
estas operaciones de
manera directa, por el
simple uso de los sentidos,
y de manera indirecta, a
través del razonamiento
deductivo e inductivo
y de los conocimientos
matemáticos que se van
adquiriendo.

temáticos profesionales. Es especialmente importante que los estudiantes entiendan que existe un elemento de arbitrariedad en la forma en que
se seleccionan las reglas, pero que el sistema que los comprende es coherente. Los siguientes casos pueden plantearse a los estudiantes en temas
de Geometría, ya que uno de los resultados esperados de la enseñanza de
ésta es que los estudiantes adquieran el significado de lo que constituye
un sistema axiomático.
a. Escribir un ensayo sobre el tema siguiente: ¿de qué forma los
matemáticos que desarrollaron la Geometría no euclídea introdujeron la noción de que en Matemática los postulados pueden
seleccionarse de forma arbitraria?
El ensayo debe centrarse en la imposibilidad de la demostración del postulado de las paralelas (el quinto postulado de Euclides) sobre la base de
postulados y teoremas previos, y en que existen distintas opciones a la
hora de definir un postulado de paralelas. Debe subrayarse la naturaleza
axiomática de la Matemática. Los estudiantes pueden trabajar en grupos
pequeños para desarrollar un ensayo que puede presentarse más tarde en
clase.
b. Supongamos que un sistema axiomático acepta el enunciado siguiente como postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos
alternos internos son iguales.
Supongamos que esto demuestra el enunciado siguiente como teorema:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos
correspondientes son iguales.
¿Se puede asumir que el segundo enunciado demuestra como teorema el primero? ¿Por qué?
b. Comunicación matemática
La capacidad de los estudiantes para comunicarse matemáticamente para su
evaluación debe estar dirigida, por un lado, al significado que den a los conceptos y procedimientos de la Matemática, y por otro a la soltura que tengan
al hablar acerca de ideas matemáticas, y entender y valorar ideas expresadas
matemáticamente. La evaluación debe incluir diferentes formas de comunicación y debe hacer hincapié en la comunicación no sólo entre personas sino
también con formas tecnológicas diversas. La evaluación también debe ser
sensible al desarrollo lingüístico de los estudiantes. Como en cualquier otra
lengua, comunicación en Matemática quiere decir que se puede utilizar un
vocabulario, una forma de notación y una estructura para expresar y entender ideas y relaciones. En este sentido, la comunicación matemática es parte
integrante del conocer y usar la Matemática.
Según lo propuesto por los estándares curriculares y de evaluación para la
educación matemática, la evaluación de la capacidad de los estudiantes para
comunicar debe mostrar evidencia de que éstos son capaces de:
• Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y
representándolas visualmente.
• Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas de forma
escrita, oral o visual.
• Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para repre-

16


5/24/07 5:49:30 PM


sentar ideas, describir relaciones y modelar situaciones.
La comunicación es parte integrante de todo este proceso social. Las
ideas se discuten, los hallazgos se ponen en común, las hipótesis se confirman y el conocimiento se adquiere al explicar, escribir, hablar, escuchar y leer. El acto mismo de la comunicación clarifica las ideas y fuerza
a los alumnos a dedicarse a hacer Matemática. La comunicación como
tal resulta esencial en el aprendizaje y conocimiento de la Matemática.
Pero la comunicación matemática presenta unas dificultades específicas
para los estudiantes. La Matemática se apoya en la utilización de símbolos y da un significado específico, y a menudo diferente, a palabras
comunes. Esto puede desembocar en que resulte confuso y difícil expresar ideas matemáticas. Las formas tradicionales de examen no logran
siempre identificar esta confusión y esta dificultad, y por lo tanto ignoran
el contexto social de la Matemática.
Como la comunicación es una actividad social que tiene lugar dentro de un
contexto, debe ser evaluada en una diversidad de situaciones. En la evaluación, como en la enseñanza, los profesores deben ser conscientes de cómo
expresan ideas matemáticas los estudiantes y de cómo interpretan las expresiones matemáticas de los demás. Al evaluar la capacidad del estudiante para
comunicarse, los docentes deben prestarle atención a la claridad, precisión
y propiedad del lenguaje que utiliza. Además, la capacidad de los estudiantes para entender la comunicación oral o escrita de los demás constituye un
componente importante de la docencia y de la evaluación.
Los estudiantes se enfrentan con ideas más abstractas y tienen una experiencia mucho más profunda con el lenguaje formal de las Matemáticas. La
evaluación debe dirigirse a las estructuras conceptuales de los estudiantes
sobre el lenguaje matemático, sus términos y su sintaxis, así como hacia
el reconocimiento que hagan del papel que cumplen el rigor y la precisión
en la comunicación de ideas matemáticas. Aunque sigue siendo importante una observación informal en la enseñanza secundaria, al aumentar las
presentaciones matemáticas formales se necesitan criterios nuevos para la
evaluación. En este nivel, debe juzgarse el trabajo escrito de los estudiantes
en cuanto a su precisión, su claridad y lo adecuado de la presentación. Los
estudiantes deben ser capaces de formar múltiples expresiones de ideas y de
relaciones, y de reconocer su relativa conveniencia.
Sin embargo, debe esperarse un uso de los símbolos de acuerdo con la madurez de los estudiantes y con el contexto de la tarea. A veces se necesitará
una expresión simbólica; en otros contextos podría resultar adecuada una
mezcla de símbolos y de lenguaje natural; otras veces, el simbolismo podría
estar completamente injustificado.
Es importante darse cuenta de que puede evaluarse la capacidad de los estudiantes para comunicarse matemáticamente haciendo que escriban acerca
de la Matemática. Las respuestas escritas deben juzgarse en cuanto a su
exactitud, claridad y precisión, y al uso apropiado de términos y símbolos
matemáticos. El ejemplo siguiente es una tarea sencilla:
Ejemplo 8:
Imagínate que estás hablando con un compañero de tu clase por teléfono y quieres que dibuje algunas figuras. El otro no puede ver las
figuras. Escribe una secuencia de instrucciones de forma que tu compañero pueda dibujar la figura y la grafique exactamente como se

Comunique sus ideas
constantemente.

Los estudiantes deben tener la
capacidad de comunicarse
matemáticamente.

17


5/24/07 5:49:41 PM

EN MATEMÁTICA

Los estudiantes deben resolver
constantemente problemas
y comunicar sus respectivas
soluciones.

muestra en la figura.
La evaluación debe incluir algo más que juicios sobre un trabajo escrito.
Aunque pueda evaluarse la capacidad de los estudiantes para entender textos o artículos matemáticos por medio de resúmenes escritos, una discusión
puede constituir un contexto de más utilidad para enjuiciar la capacidad que
tenga el estudiante de funcionar como participante activo y crítico en los
procesos de lectura o comprensión oral que se realicen durante la clase o en
discusiones en pequeños grupos.
c. Resolución de problemas
La capacidad que tengan los estudiantes para resolver problemas estará reflejada en los criterios e indicadores de evaluación en la que se debe determinar
si son capaces, por ejemplo, de formular problemas, de hacer preguntas, utilizar una información dada y elaborar conjeturas, utilizar estrategias y técnicas
adecuadas y comprobar e interpretar los resultados.
De acuerdo con lo planteado en los estándares curriculares y de evaluación
para la educación matemática de la National Council of Teachers of Mathematics (SAEM. Thales), la evaluación de la capacidad que tengan los
estudiantes de utilizar la Matemática para la resolución de problemas debe
mostrar evidencia de que son capaces de:
• Formular problemas.
• Aplicar diversas estrategias para resolver problemas.
• Resolver problemas.
• Comprobar e interpretar resultados.
• Generalizar soluciones.
En la evaluación, la resolución de problemas ha de ser el centro de atención de la Matemática. La capacidad del estudiante para resolver problemas se va desarrollando paulatinamente como resultado de una orientación
adecuada de parte de sus docentes y de haberse enfrentado a situaciones
del mundo real. El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática,
deliberada y continuamente para que se pueda afianzar su capacidad para
resolver problemas en contextos diversos. Para esto es muy importante
que los estudiantes reciban información y respuesta del resultado de esta
evaluación, en lo que respecta tanto a los procedimientos usados como a
los resultados obtenidos. Además, los problemas deben constituir un reto
para los estudiantes, ser instructivos e interesantes, sin llegar a ser irresolubles.
Entre los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas que
tenga el estudiante se incluyen: la observación del estudiante al resolver
problemas por separado, en grupos pequeños o en discusiones del grupo; escuchar a los estudiantes discutir sus procesos de resolución; y analizar exámenes, tareas hechas en casa, diarios y trabajos escritos. La respuesta que
se proporcione a los estudiantes puede adoptar diversas formas, incluyendo
comentarios escritos u orales.
Ejemplos obtenidos de los estándares curriculares y de evaluación para
la educación matemática.
Ejemplo 9:
Lee el problema siguiente y responde a la pregunta que se plantea:
Paula, Teresa y Rosa corrieron en una competencia. Paula tardó tres

18


5/24/07 5:49:59 PM


minutos y Rosa tardó cuatro en llegar al ﬁnal. ¿Quién ganó la carrera?
Esta tarea puede usarse en la docencia para ver si los estudiantes reconocen
que la información es esencial. Una vez que están de acuerdo con que hay
que saber el tiempo de Teresa, pueden hacerse otras preguntas: ¿es posible
darle a Teresa un tiempo para que sea ella la que gane? ¿Es posible darle
un tiempo a Teresa para que gane Paula? Es importante que se observe si
la información que se da es razonable y si los estudiantes pueden expresar
con palabras por qué se da al tiempo de Teresa un determinado valor. Este
ejemplo demuestra cómo se puede usar un ejercicio de rutina como base
para generar otras tareas si se omite una condición, se elimina la pregunta
o se añade información no relevante.
Ejemplo 10:
• Aplicar estrategias para resolver problemas.
Con una calculadora, determina tres números cuyo producto sea 2 431.
Anota lo que haces para encontrar la respuesta.
Esta tarea es apropiada para estrategias de tanteo y comprobación y puede
utilizarse en una situación de examen. Hay que animar a los estudiantes a
que escriban sus conjeturas y expliquen qué han ido haciendo. Hay que observar si los estudiantes siguen un enfoque sistemático para desarrollar cada
intento, y si establecen algún límite para el número factible (por ejemplo,
sólo saldrá con números impares). La calculadora resulta imprescindible
para hacer tanteos en poco tiempo. Hay que dar puntos a los estudiantes tanto por una respuesta correcta como por el uso de una o más de una estrategia
adecuada. Por elegir números al azar no se ganan los puntos de estrategia.
Debe dejarse algún tiempo para que los estudiantes expliquen cómo enfocaron el problema.
Ejemplo 11:
• Formular problemas y resolver problemas.
a. Tienes que comprar 10 artículos en un supermercado. En la caja rápida
(para 10 artículos o menos) hay seis personas esperando, en la caja 1 hay
una persona, y en la caja 3 hay 3 personas esperando. Las demás cajas están
cerradas. ¿En qué cola deberías ponerte?
b. Estás pensando en comprarte un automóvil, y tienes dos modelos para
elegir, los dos de cuatro años de antigüedad. Uno cuesta $ 3 000 y recorre 40
km por galón. El otro cuesta $ 4 500 y recorre 35 km por galón. ¿Cuál de los
dos automóviles comprarías si piensas tenerlo dos años?
¿Qué información hace falta para contestar estas preguntas?
Un aspecto de la formulación de problemas es darse cuenta de si hace falta alguna información adicional. Ninguno de los dos problemas citados da
toda la información que se necesita para tomar una decisión. Los estudiantes
tienen que averiguar qué información falta y qué estimación sería probable para las cantidades que faltan. En la cuestión a, hay que considerar el
número de artículos que lleva cada persona y la velocidad de la cajera. En
el problema b, hay que considerar el número de millas que se piensa viajar
cada año, el precio de la gasolina y el dinero que se tiene. La cuestión sería
diferente si hay que pedir un préstamo para comprar.
Ejemplo 12:
Demuestra las siguientes aﬁrmaciones:

Las respuestas escritas deben
juzgarse en cuanto a exactitud,
claridad y precisión.

Ejemplos de gráficos que
pueden realizarse mediante instrucciones.

19


5/24/07 5:50:14 PM

EN MATEMÁTICA

a. La suma de dos números naturales consecutivos no es divisible por 2.
b. La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por 3.
Explica cuál consideras que es el caso general de estas afirmaciones. Demuéstralo o da un contraejemplo.
Esta tarea puede incluirse en un examen o como problema para solucionar
en casa. La valoración de este trabajo supone evaluar la capacidad de los
alumnos para demostrar las afirmaciones; y para demostrar o refutar la afirmación general. Una posible formulación del caso general sería:
¿Es cierto que la suma de un número par de números naturales consecutivos
no es divisible por dicho número, pero que la suma de un número impar de
números naturales consecutivos sí es divisible por dicho número?
Este problema puede calificarse dando puntos a las diferentes partes de
la solución del problema, un punto puede representar adecuadamente la
primera afirmación ¿(n + (n + 1))/2 = un número entero?, un punto por dar
un argumento convincente para el caso de dos números naturales consecutivos, un punto por representar adecuadamente la segunda afirmación, un
punto por dar un argumento convincente para dicha afirmación, dos puntos
por expresar el caso general, dos puntos por ofrecer una demostración adecuada, y dos puntos por explicar qué estrategias fueron utilizadas.

1.4 Pruebas de evaluación de Matemática
En seguida presentamos pruebas de evaluación de Matemática para estudiantes de educación secundaria, con el propósito de contrastar los fundamentos teóricos de la evaluación, y que el docente al final de la prueba
pueda formular sus respectivas apreciaciones a partir de la propuesta metodológica de trabajo.
PROPUESTA METODOLÓGICA DE TRABAJO

En un equipo se debe crear una
atmósfera libre de inhibiciones.

Técnica: trabajo en equipo
Un equipo de trabajo puede contar con tres o cuatro integrantes. Se podrían reunir una vez por semana durante un buen periodo, como de un
bimestre, semestre o año. Una sesión típica puede durar una hora y media.
La sesión tiene dos momentos bien diferenciados. La primera parte tiene
por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-prácticos
para resolver los ejercicios y problemas de las pruebas propuestas, pero
en equipo.
Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo ha preparado mediante lecturas adecuadas un tema concreto de naturaleza teóricopráctica, lo expone en 20 minutos y se establece un periodo de discusión,
comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10 minutos.
Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en
esta segunda etapa como secretario, observador y seleccionador de ejercicios y/o problemas. Otra de ellas actuará como moderador. Los papeles
de los componentes del grupo serán desempeñados por turno en diferentes reuniones.

20


6/13/07 7:46:16 PM


El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos cuatro
o cinco problemas y/o ejercicios de la prueba propuesta, que presenta al
resto, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de
resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas y/o
ejercicios, pues aunque durante el proceso tendrá que actuar meramente
como observador, al final deberá él mismo iluminar y complementar los
resultados alcanzados por el equipo.
Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el equipo
va a realizar puede quedar perfectamente cumplida, aunque los ejercicios
y/o problemas no se resuelvan.
La misión del secretario-observador, aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos más importantes del
camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución del problema
y/o ejercicio. Él es el encargado de redactar el protocolo del proceso
y sus observaciones y notas que ayudarán significativamente en la reflexión final que cerrará esta etapa de trabajo. En general, permanecerá
en silencio, cosa nada fácil de llevar a cabo; sin embargo, parece conveniente que intervenga en alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo
para preguntar sobre el origen de una nueva idea por parte de algún componente del grupo, que probablemente se alejaría de su memoria si se
espera al periodo de reflexión al final del proceso.
Como antes ha quedado dicho, de los otros componentes del equipo,
uno actúa como moderador para esta reunión de trabajo. Los papeles de
ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión. La forma de
proceder del grupo hacia la resolución de ejercicios y/o problemas puede
ser muy variada y sería conveniente experimentar diferentes esquemas
para que cada equipo elija la que mejor se adapta.
Lo verdaderamente importante es que se crea en el equipo una atmósfera
libre de inhibiciones y de competitividad, donde cada uno esté deseoso de
aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda
parecer más estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas
iniciadas por los otros, y viendo con interés cómo los otros van perfeccionando las ideas propuestas. La tarea esencial del moderador es precisamente
mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a callar demasiado, e inhibiendo con suavidad la del
que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse
inmóvil, tratando de abrir nuevas vías cuando todo parece cerrado...
El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general:
- El equipo se familiariza con el ejercicio y/o problema.
- El equipo busca todas las estrategias posibles.
- El equipo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más
adecuadas.
- El equipo reflexiona sobre el proceso que ha seguido.
Ahora ponga en práctica esta propuesta metodológica resolviendo los
ejercicios y problemas formulados en las pruebas que se presentan a continuación.

http://www.institutohebreo.
cl/imagen/Imagen4a.jpg

El trabajo en equipo
Implica un grupo de
personas participando de
manera coordinada en la
ejecución de un proyecto.
• El equipo responde en
conjunto por el resultado
final y no cada uno de
sus miembros de forma
independiente.
• Cada miembro está
especializado en un área
determinada que afecta al
proyecto.
• Cada miembro del equipo
es responsable de cumplir
un objetivo, y sólo si
todos ellos cumplen su
función será posible sacar
el proyecto adelante.
http://www.aulafacil.com/

21

en matemática

Ejemplo 13:
Prueba escrita de matemática para el primer grado de Educación Secundaria.
PRUEBA DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA
1er grado de Secundaria

1. ¿Cuál de los siguientes números decimales
está representado, aproximadamente, en la
recta numérica en el punto m ?
m
–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

A. 4,3
B. 3,8
C. –3,7
D. –4,3
2. La expresión [ 2 + (–3 × –1) ] × (–1 – 4 ) es
igual a:
A. –15
B. 5
C. –5
D. –25
3. El registro de temperatura en una ciudad el 20
de julio a las 18 horas fue 9°C. Si a partir de
esa hora descendió 2°C por hora. ¿Cuál fue la
temperatura a las 23 horas?
A. 4°C
B. 19°C
C. –3°C
D. –1°C
4. Se necesita preparar jugo de naranja para llenar 40 vasos de 0,15 litros cada uno. Si se prepara en jarras de 1,50 litros cada una, se deben
preparar:
A. 4 jarras
B. 9 jarras
C. 10 jarras
D. 40 jarras
5. Pablo trabaja en un supermercado. Convino
con el dueño en que cada 8 días iría al mayorista de comestibles y cada 12 días al de
artículos de limpieza, comenzando el mismo
día. Las dos compras coinciden cada:
A. 4 días
B. 8 días
C. 12 días
D. 24 días
6. Hay dos grupos de turistas de 60 personas
cada uno. Si los ¾ del primer grupo y los

22

2/3 del segundo grupo suben a colectivos para
viajar a otro lugar, ¿cuántas personas más del
primer grupo que del segundo grupo suben a
los colectivos?
A. 5 personas
B. 10 personas
C. 40 personas
D. 45 personas
7. Uno de los insectos más pequeños tiene una
longitud de 0,02 cm y uno de los más largos 15
cm. La diferencia de longitud entre ambos es:
A. 14,02 cm
B. 14,08 cm
C. 14,98 cm
D. 15,02 cm
8. ¿Qué porcentaje de 200 es 160?
A. 320 %
B. 125 %
C. 80 %
D. 20 %
9. Un fabricante envasa caramelos en bolsas de
50 caramelos cada una. Necesita 72 bolsas
para envasar la totalidad de los caramelos. Si
ahora desea envasarlos en bolsas de 150 caramelos cada una, ¿cuántas bolsas usará para la
misma cantidad de caramelos?
A. 24
B. 36
C. 172
D. 216
10. Sabiendo que un casete de 60 minutos de duración tiene 90 metros de cinta, ¿cuántos metros
de cinta serán utilizados para una grabación de
un cuarto de hora?
A. 0,375 m
B. 22,50 m
C. 112,50 m
D. 360 m
11. En una clase de 40 estudiantes hay 24 mujeres.
¿Qué porcentaje de la clase son varones?
A. 16 %
B. 24 %
C. 40 %
D. 60 %


12. ¿Cuántos kilogramos son 50 g?
A. 0,05
B. 0,50
C. 5 000
D. 50 000
13. El área de una habitación de 3, 5 m por 25 dm
es:
A. 8,75 m2
B. 8,75 dm2
C. 875 cm2
D. 875 m2

III

IV

A. I
B. II
C. III
D. IV

14. El perímetro de un triángulo isósceles es de 4
m. Uno de los lados congruentes mide 1,6 m.
18. En un cuadrilátero, dos ángulos miden 70º
El lado desigual mide:
cada uno, y la medida de un tercer ángulo es
A. 0,8 cm
90 º. ¿Cuál es la medida del ángulo restante?
B. 1,2 cm
A. 130 º
C. 2,4 cm
B. 100 º
D. 2,5 cm
C. 90 º
D. 20 º
15. El perímetro de un cuadrado ABCD es 16 cm.
El área del triángulo ACD es:
19. El cuadrado del consecutivo de un número enA
B
A. 4 cm2
tero x se expresa simbólicamente:
2
B. 8 cm
A. (x + 1)2
2
C. 16 cm
B. x2 + 1
D. 32 cm2
C. (x – 1)2
D. x + 12
C
D
20. El número cincuenta y dos milésimos se escribe:
16. En la figura, ¿cuál es el valor de x?
A. 0,52
A. 40º
B. 0,052
B. 65º
x
C. 0,0052
C. 75º
115º
D. 0,00052
140º
D. 85º
17. Se desea construir una caja como la que aquí
se representa:

Observación: Los problemas propuestos han sido
obtenidos de un instrumento de evaluación del
Ministerio de Cultura y Educación de Argentina.

¿Cuál es el desarrollo que permite reconstruir
la caja doblando por las líneas de puntos?

I

II

23

EN MATEMÁTICA

Ejemplo de evaluación de proceso:
EVALUACIÓN DE PROCESO

1. NIVEL: Secundaria 3. PERIODO: 1
2. GRADO: Segundo
4. Tema:
Fracciones
CAPACIDAD: Razonamiento Lógico

DESTREZAS: Analizar / Aplicar

ANALIZA información recibida o recabada
sobre fracciones a través de la observación,
diferenciación, identiﬁcación, comparación y la
organización mostrando interés y esfuerzo.
1. En cada una de las siguientes ﬁguras,
sombrea la parte correspondiente a la fracción
referida:
a.

b.

2. Complete en cada caso:
a. En una fracción, el numerador indica _____
_____ y el denominador indica el número de
partes en que se ha dividido la unidad.
b. La mitad de

5. PROFESOR:
6. Alumno:

7: Fecha
NOTA:

APLICA fracciones en forma adecuada a cada
situación y con precisión necesaria, a través de
los cálculos pertinentes en forma mental o con los
algoritmos básicos en función de su complejidad
y de la naturaleza del problema, mostrando
precisión.
1. Escribe en los recuadros el número que hace
que la igualdad sea cierta:
a.

b.

es ________, porque
c.

c. El doble de _______ es
d. La mitad de es

, porque
2. Efectúa cada una de las siguientes operaciones
combinadas:

, porque

a.
e. Las fracciones equivalentes
pertenecen a la clase de equivalencia

,

porque ______________________________
f. Las fracciones

y

son ____________

porque 15 × 6 = 9 × 10
g. En 4 unidades hay ______ tercios.
h. Dos o mas fracciones son heterogéneas si ___
_______________________________

b.
3. Tres hombres pesan

kg,

kg y

kg. ¿Cuánto pesan entre los tres?
4. Una calle tiene

m de longitud y otra

m. ¿Cuántos metros tienen entre las dos
calles juntas y cuántos metros le faltan a cada
una de ellas para tener 60m?

24


6/13/07 6:37:33 PM


Ejemplo de evaluación sumativa:
EVALUACIÓN FINAL DE UNIDAD
1. NIVEL: Secundaria
3. PERIODO: 1
5. PROFESOR:
CAPACIDAD: Razonamiento Lógico
DESTREZAS: Identifica/ Reproduce

2. GRADO: 5to
4. Tema: ______________
6. Fecha:
NOTA:

1. Dados los siguientes gráficos, identifica a qué clase de sistemas pertenecen. (5p)
a. Y

L1

L2

b. Y

L1//L2
0

c. Y

L1

L1

L2
0

X

L2

0

X

X

a.
b.
c.
2. Sin resolver los siguientes sistemas identifica si son o no compatibles. ¿Por qué? (5p)
a.

b.

c.

a.
b.
c.

3. Relaciona las ecuaciones que son equivalentes (5p)
a.

b. x + 1 = 0

c.

d. 8x = 12

4. Define: (5p)
a. Ecuación compatible:
b. Ecuación incompatible:
c. Ecuación compatible determinada:
d. Ecuación compatible indeterminada:

25


5/24/07 5:50:54 PM

en matemática

CAPACIDAD: Resolución de problemas
DESTREZAS: Procesar

NOTA:

Procesa la información sobre los números naturales y la teoría de
los números mediante la relación, la transformación y la aplicación
mostrando concentración y objetividad.

Objetividad
La objetividad es el valor
de ver el mundo como es, y
no como queremos que sea.
Los seres humanos somos
una compleja mezcla de
sentimientos, raciocinio,
experiencia y aprendizaje.
Todos estos elementos
pueden brindar a una
persona una percepción de
la realidad que puede estar
equivocada.
Ser objetivo es un reto
importante, porque
exige de nosotros ver los
problemas y las situaciones
con un enfoque que
equilibre adecuadamente
emoción y razonamiento.
Esto por supuesto es
complicado cuando las
conclusiones se basan
más en los sentimientos.
Por ello el valor de
la objetividad es tan
importante, porque nos
permite dar su justo peso a
los acontecimientos y obrar
de una forma coherente.

1. Un grupo de estudiantes de un colegio ha organizado un paseo
a Chosica, el costo de dicha actividad es de S/. 240 nuevos soles.
Por razones de fuerza mayor, 4 de los integrantes se retiraron, lo
que ocasionó que el costo por estudiantes se incremente en S/. 2.
¿Cuántos estudiantes fueron al paseo? (6p)
Procesos de resolución:
a. Interpreta esquemáticamente el problema.
b. Transforma tu interpretación en una ecuación.
c. Resuelve la ecuación obtenida.
d. Comprueba tu resultado de acuerdo con las condiciones del
problema.
2. Tania Distraída hizo un inventario en la tienda “Sobre Ruedas”
y, haciendo honor a su apellido, en lugar de contar el número de
bicicletas y triciclos existentes, contó el número de pedales y el de
ruedas, lo que le dio un total de 152 ruedas y 136 pedales. ¿Cuántas
bicicletas y triciclos había? (7p)
a. Interpreta esquemáticamente el problema.
b. Transforma tu interpretación en un sistema de ecuaciones.
c. Resuelve el sistema obtenido.
problema.
3. Luisa tiene tres tapetes en forma de cuadrado, el área del más grande
es 169 cm2, el área del mediano es 81 cm2 y el área del más pequeño
es 49 cm2. ¿Cuál será el perímetro de la figura que se forma cuando
Luisa coloca sus tapetes uno junto al otro como se muestra en la
figura? (7p)

http://www.encuentra.com/

a. Interpreta el esquema del problema presentado.
b. Transforma tu interpretación en una ecuación.
c. Resuelve la ecuación obtenida reemplazando las variables por sus
valores respectivos.
problema.
26


Desarrollando las formas de evaluar a los estudiantes
Tomado de: http://www.educared.edu.pe/
Las preocupaciones y dificultades con que se encuentra el docente no están
relacionadas únicamente con la forma de enseñar y las estrategias y recursos
utilizados, sino con la cuestión de cómo evaluar los logros y los aprendizajes
de sus estudiantes.
A veces los estudiantes tienen la percepción de que no reciben una nota
que representa sus logros, ni sus conocimientos, ni el esfuerzo puesto en el
aprendizaje.
Algunos expertos señalan, en relación con el tema de la evaluación, que
uno de los aspectos más importantes es que los estudiantes reciban una
devolución atinada y precisa de su desempeño, de modo tal que puedan
mejorar su rendimiento.
Se suele observar poco acuerdo acerca de qué es lo que se debería considerar
en una evaluación: si ésta responde a un criterio o se basa en una norma
establecida, y si la evaluación debería constituir un elemento motivador o
simplemente de comunicación. La realidad indica que la metodología de
evaluación utilizada por el docente depende de la visión o postura que sobre
ella tenga el educador y, en todo caso, la escuela.
A continuación presentamos algunos lineamientos para evaluar a los
estudiantes, basados en el artículo “Guidelines for improving grading
practices”, publicado en el vol. 40, Nº 8, diciembre, 1998 de Education
Update de Association for Supervision and Curriculum Developmen.
•

Limite la evaluación de atributos a la evaluación de los logros individuales.
Según proponen algunos expertos, el esfuerzo, la participación y la
actitud adoptada deben ser especificados y evaluados por separado, para
lo cual se requerirá un boletín con características especiales.

•

Evite utilizar la evaluación de contenidos para calificar el comportamiento
o la disciplina.

•

Realice un promedio del rendimiento del estudiante, no será necesario
colocar una nota para cada tarea que realiza; tampoco es necesario
incluir todas las notas obtenidas en las evaluaciones finales. Los
especialistas sugieren hacer una devolución en relación al progreso en
cuanto al rendimiento general, incluyendo solamente el promedio o
evaluación conjunta de los logros. Asimismo, es conveniente enfatizar
las evaluaciones y resultados más recientes, que en definitiva estarían
mostrando hasta dónde ha llegado el estudiante en su desempeño
y su aprendizaje. Es importante que el docente ofrezca diferentes
oportunidades a los estudiantes para mejorar sus notas. Esto no significa

Cuestiones formuladas
por el docente y los estudiantes:
Experimentación:
1. Presentación de la tarea.
2. Trabajo en grupo (cuatro a cinco estudiantes).
3. Trabajo de campo (recolección de datos).
Representación:
Interacción entre
estudiante – estudiante.
1. Trabajo de grupo.
2. Organizar y tabular datos.
3. Construir gráficos.
Comunicación:
1. El docente plantea cuestiones que faciliten la
evaluación y comparación de las relaciones
encontradas.
2. Se identifican cuestiones sin solución.
3. Se identifican algunas
estrategias que resuelven algunos casos.
Reflexión:
Identificar otros contextos
en los que también aparecen las mismas relaciones.
Es decir, la traslación de
las experiencias.

27


5/24/07 5:51:09 PM

en matemática

darle a los estudiantes oportunidades ilimitadas para aprobar un examen,
sino brindarles la posibilidad de demostrar que realizaron un esfuerzo
adicional y que ello incrementa la posibilidad de obtener mejores
resultados.
• Relacione los procedimientos de evaluación con los objetivos propuestos
en cuanto al aprendizaje: el énfasis puesto en los diferentes temas o
habilidades debería verse reflejado en el peso e importancia que tienen al
diseñar las evaluaciones finales.
• Utilice las notas con criterio y cuidado: los especialistas sostienen que
uno de los dilemas más importantes es qué hacer cuando un alumno
obtiene la nota mínima en una materia. Si los resultados de cada materia
son promediados, esa nota podría estar representando una evaluación
que no refleja el rendimiento real del estudiante.
• Establezca un criterio basado en el rendimiento promedio: la idea sería
evaluar a los estudiantes de acuerdo con cuán cerca estén de alcanzar el
patrón de rendimiento esperado. Por ejemplo, si todos los estudiantes
alcanzan el patrón esperado es correcto que reciban la evaluación más
alta.
• Converse con sus estudiantes acerca del criterio de evaluación: es muy
positivo para ellos conocer la forma en la que son evaluados y que este
deje de ser un misterio.

Actividad 1
Organizados en grupos de trabajo de cuatro colegas, respondan las situaciones siguientes, socializando
sus respuestas y presentando un informe escrito.
1. Resuma en un esquema o mapa conceptual los métodos y técnicas de evaluación en Matemática.
2. Diseñe un instrumento de evaluación, considerando las respectivas capacidades en Matemática.
3. Realice un listado de criterios e indicadores de evaluación respecto a un determinado contenido
matemático considerado para Educación Secundaria.
4. Considerando las capacidades generales y específicas en Matemática, formule un ítem de un
instrumento de evaluación con cuatro grados de dificultad tomando en cuenta algún contenido de
la Geometría.
5. Presente un ensayo respecto a la evaluación de las capacidades generales en Matemática, a partir
de la revisión de información en la web.

28


2. Evaluación
Lee con atención y en una hoja aparte responde lo que se te pide. Organiza talleres para
exponer los trabajos presentados.
1. Escribe cada capacidad matemática con sus capacidades específicas, respecto al tema
estadística descriptiva para Educación Secundaria.
2. Redacta los indicadores de evaluación de Matemática en función del desarrollo de
capacidades, en los grados en que estás trabajando.
3. Elabora una prueba de evaluación inicial o diagnóstica y otra formativa o de proceso,
para el contenido “funciones” en segundo grado de Educación Secundaria, en el que se
evalúan las tres capacidades del área.
4. Forma un grupo con tus colegas. Analicen el siguiente ítem liberado del Proyecto Pisa,
y describan qué capacidades matemáticas específicas se pueden evaluar:
Pregunta 23: PUNTUACIONES EN UN EXAMEN
M513Q01 - 0 1 9
El diagrama siguiente muestra los resultados en un examen de Ciencias para dos grupos,
denominados A y B.
La puntuación media del grupo A es 62,0 y la media del grupo B es 64,5. Los estudiantes
aprueban este examen cuando su puntuación es 50 o más.
Gráfico Nº 01

Grupo A

Grupo B

90 - 100

80 - 89

70 - 79

60 - 69

50 - 59

40 - 49

30 - 39

20 - 29

10 - 19

0-9

Puntuaciones en un examen de Ciencias

Puntuación

Evaluación PISA

Al observar el diagrama, el profesor afirma que en este examen el grupo B fue
mejor que el grupo A.
Los estudiantes del grupo A no están de acuerdo con su profesor. Intentan convencer
al profesor de que el grupo B no tiene por qué haber sido necesariamente el
mejor en este examen.
Da un argumento matemático, utilizando la información del diagrama, que
puedan utilizar los estudiantes del grupo A.
5. Con tus colegas, elaboren pruebas de evaluación sumativa de Matemática en
función del desarrollo de capacidades respecto al contenido ecuaciones de primer
grado, para estudiantes de Educación Secundaria.
29

3. METACOGNICIÓN
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,
sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos.

Responde en una hoja aparte:
1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades
propuestas?
2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué?
3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo?
4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades?
5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad?
6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades?
7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad?
8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades?
9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este
fascículo?
10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este
fascículo?
Muy bueno

Bueno

Regular

Deficiente

NO ESCRIBIR
¿Por qué?
11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo?
Explica.
12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas?
¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho?

30


BIBLIOGRAFÍA

comentada

1. Bernard Mainar, Juan Antonio. Modelo cognitivo de evaluación educativa. Madrid.
Narcea S. A. Ediciones, 2000.
Constituye un buen libro, pues abre nuevos horizontes. Uno de ellos se relaciona
prioritariamente con la creación de instrumentos destinados a enriquecer el proceso
de evaluar a los estudiantes. Contiene para el docente un abundante paquete de datos
que le sirven de base psicológica para dirigir a los estudiantes en su trabajo. El autor es
doctor en Educación, y es uno de los especialistas españoles en el campo de Estrategias
de Aprendizaje.
2. Guzmán, Miguel de. Enseñanza de la Ciencia y de la Matemática. Zaragoza.
Publicaciones del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de Zaragoza,
1989.
Las notas contienen una serie de observaciones personales de Miguel de Guzmán sobre
algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática. Se presentan unas
cuantas reﬂexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos,
señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de
algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un
pasado reciente.
3. La Torre Ariño, Marino; Seco del Pozo, Carlos Javier. Diseño curricular nuevo para
una nueva sociedad. Lima. Universidad Marcelino Champagnat, 2006.
Presenta las bases curriculares para la nueva sociedad de la información. Aclara que
no es lo mismo información que conocimiento; para que la información se convierta
en conocimiento es necesario poner en marcha una serie de estrategias, para lo cual se
requiere poseer habilidades cognitivas. Constituye un buen texto para el docente de
Educación Secundaria.
4. National Council of Teachers of Mathematics. Estándares curriculares y de
evaluación para la Educación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación
Matemática Thales, 1990.
Al igual que Principios Estándares para la Educación Matemática, es un documento
de última generación que todo docente debe tener en su biblioteca personal; en él
encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo y evaluación de las capacidades
matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional, con ejemplos ilustrativos.
5. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la
Educación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales,
2003.
Es un documento de última generación que todo docente debe tener en su biblioteca
personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las
capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional.
31


6/13/07 7:39:58 PM

en matemática

Enlaces

web

1. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm
En esta dirección electrónica se encontrarán interesantes instrumentos de evaluación del
aprendizaje elaborados por los matemáticos Fidel Oteiza y Hernán Miranda. Se propone un
conjunto de instrumentos que pueden ser usados como otras formas de evaluar y que son
particularmente adaptables a las prácticas que involucran el uso de la tecnología informática. Se promueve la participación activa de los estudiantes (los mapas conceptuales, las
pautas de presentación de proyectos, los portafolios) y provee de herramientas al docente
para observar la actuación de su alumnado.
2. http://juanantonio.wiki.mailxmail.com/PaginaInicial
En esta página web se puede encontrar el artículo: “La evaluación continua en Matemática”.
Se parte de la premisa de que los estudiantes y el docente deben interactuar de manera muy
especial para que se consiga la finalidad última que es el buen funcionamiento del proceso
enseñanza-aprendizaje. Y un elemento fundamental en la tarea docente es conocer a fondo a
los educandos, tanto en su capacidad como en su intelectualidad, y eso se logra a través de
una evaluación idónea.
3. http://www.labiblio.com/
Colección de enlaces clasificados en muchos temas. Contiene una sección dedicada a la
Matemática y otra de apuntes.
4. http://www.ilustrados.com/publicaciones/EEuAypFkFZqoeJJGgc.php
La evaluación del aprendizaje en la Matemática y su impacto. La evaluación como proceso
individualizado implica la necesidad de una comunicación.
5. http://www.eduteka.org/PrincipiosMath.php
Los Estándares describen el contenido y los procesos matemáticos que los estudiantes necesitan. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de conceptos, términos y símbolos, la aplicación de algoritmos, interpretación de gráficos y/o expresiones simbólicas, comunicación
matemática y resolución de problemas, es decir, el aprendizaje de la Matemática en función
del desarrollo de las capacidades matemáticas. También plantea los estándares de evaluación.
6. http://www.ucentral.cl/educacion_2006/postitulo_matematica_ciencias.doc
Para adquirir conocimientos actualizados respecto del proceso de evaluación y de propuestas
innovadoras para el aprendizaje de las ciencias y la Matemática. La reforma educacional ha
planteado una serie de desafíos a todos los niveles del sistema educativo: la elaboración de
nuevos planes y programas que se enmarquen en nuevos enfoques curriculares y didácticos,
la incorporación de nuevos contenidos y el planteamiento del desarrollo de las capacidades
matemáticas.
32

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