MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Matemática
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PRESENTACIÓN
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problemáticas, vinculadas o no a un cont...
Índice
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DESARROLLO DE CAPACIDADES
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DESARROLLO DE CAPACIDADES
EN MATEMÁTICA

El mundo exterior:
contar y medir
Desde los primeros
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ÁREA DE MATEMÁTICA

sentar ideas, describir relaciones y modelar situaciones.
La comunicaci...
Serie 1 / CURRÍCULO Y
DESARROLLO DE CAPACIDADES
EN MATEMÁTICA

Los estudiantes deben resolver
constantemente problemas
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Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

minutos y Rosa tardó cuatro en llegar al final. ¿Quién ganó la carrera?
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Serie 1 / CURRÍCULO Y
DESARROLLO DE CAPACIDADES
EN MATEMÁTICA

a. La suma de dos números naturales consecutivos no es divi...
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ÁREA DE MATEMÁTICA

El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos cuatro...
Serie 1 / currÍculo y
desarrollo de capacidades
en matemática

Ejemplo 13:
Prueba escrita de matemática para el primer gra...
fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

12. ¿Cuántos kilogramos son 50 g?
A.	 0,05
B.	 0,50
C.	 5 000
D.	 50 00...
Serie 1 / CURRÍCULO Y
DESARROLLO DE CAPACIDADES
EN MATEMÁTICA

Ejemplo de evaluación de proceso:
EVALUACIÓN DE PROCESO

1....
Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

Ejemplo de evaluación sumativa:
EVALUACIÓN FINAL DE UNIDAD
1. NIVEL: Se...
Serie 1 / currÍculo y
desarrollo de capacidades
en matemática

CAPACIDAD: Resolución de problemas
DESTREZAS: Procesar				
...
Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

Desarrollando las formas de evaluar a los estudiantes
Tomado de: http:/...
Serie 1 / currÍculo y
desarrollo de capacidades
en matemática

darle a los estudiantes oportunidades ilimitadas para aprob...
fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

	

2. Evaluación
Lee con atención y en una hoja aparte responde lo que ...
3. METACOGNICIÓN
Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir,
sirve para da...
Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL
ÁREA DE MATEMÁTICA

BIBLIOGRAFÍA

comentada

1. Bernard Mainar, Juan Antonio. Modelo cognit...
Serie 1 / currÍculo y
desarrollo de capacidades
en matemática

Enlaces

web

1. 	 http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enf...
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  1. 1. MINISTERIO DE EDUCACIÓN Matemática Serie 1 para docentes de Secundaria Currículo y desarrollo de capacidades en Matemática Fascículo 3: EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA © Ministerio de Educación Van de Velde 160, San Borja Primera edición, 2007 Tiraje: 14 000 ejemplares Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr. Juan del Mar y Bernedo 1318, Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nro. 2007-00255 Coordinación y supervisión general MED Antonieta Cubas Mejía Supervisión pedagógica MED Luis Enrique Eyzaguirre Espino Verificación de estilo MED Miguel Luis Bances Gandarilla Z_S1 F3 D.indd 1 Autoría Ediciones El Nocedal S.A.C. Coordinador Rubén Hildebrando Gálvez Paredes Elaboración pedagógica Felipe Eduardo Doroteo Petit Itala Esperanza Navarro Montenegro Edgar Justo Chacón Nieto Daniel José Arroyo Guzmán Colaboración especial Luis Antonio Collao Guzmán Revisión pedagógica Hno. Marino La Torre Mariño Revisión académica Armando Zenteno Ruiz Diseño y diagramación Virginia Rosalía Artadi León Ilustraciones Patricia Nishimata Oishi Brenda Román González Fotografía Enrique Bachmann Corrector de estilo Marlon Aquino Ramírez 6/16/07 10:05:53 AM
  2. 2. PRESENTACIÓN La Matemática permite que los estudiantes se enfrenten a situaciones problemáticas, vinculadas o no a un contexto real, con una actitud crítica. Por ello se debe propiciar que nuestros estudiantes tengan un interés permanente por desarrollar sus capacidades matemáticas para que les sean de utilidad en su vida presente y futura. Esto significa que se debe enseñar a usar la Matemática en función del desarrollo de las capacidades: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Este progreso está ligado a la evaluación de los aprendizajes, ya que ésta debe verse como un proceso educativo donde los estudiantes aprenden de sus aciertos y errores. La evaluación recoge información pertinente sobre los logros, avances y dificultades que presentan los estudiantes en el desarrollo de sus aprendizajes. Dicha información sirve para tomar decisiones de mejoramiento y recuperación pedagógica. En el desarrollo del presente fascículo se aborda la evaluación del desarrollo de capacidades en el área de Matemática: fundamentos, propósitos, formas, funciones y, sobre todo, las estrategias para establecer criterios e indicadores y elaborar instrumentos coherentes con el enfoque del Diseño Curricular Nacional. En este enfoque se considera que la evaluación de los aprendizajes es un proceso pedagógico, mediante el cual se observa, recoge y analiza información relevante, con la finalidad de reflexionar, emitir juicios de valor y tomar decisiones oportunas y pertinentes para mejorar los procesos de aprendizaje de los estudiantes. La evaluación proporciona información útil para la regulación de las actividades, tanto de los docentes como de los estudiantes. En el caso del docente, sirve para mejorar e ir adaptando su enseñanza a las necesidades de quienes aprenden; en el caso de los estudiantes, para que sean conscientes de los aspectos a superar y las potencialidades que pueden desarrollar; y en el caso de los padres de familia, para apoyar a sus hijos en el afianzamiento de sus logros y superación de sus dificultades. La evaluación determina, también, si los estudiantes han desarrollado los aprendizajes previstos para poder otorgarles, o no, la certificación correspondiente. La evaluación de los aprendizajes en la Educación Básica Regular se caracteriza por ser integral, continua, sistemática, participativa y flexible. A lo largo del fascículo hemos considerado que la evaluación es un acto educativo donde estudiantes y docentes aprenden de sus aciertos y errores. Complementamos el fascículo con logros de aprendizaje, recuperación de saberes previos, estrategias de aprendizaje, metacognición, evaluación, chistes matemáticos, curiosidades matemáticas, bibliografía y enlaces web.
  3. 3. Índice Presentación .......................................................................................................................... 1 índice..................................................................................................................................... . 2 Organizador visual de contenidos.......................................................................................... 3 Motivación............................................................................................................................. 4 Logros de aprendizaje............................................................................................................ 4 Recuperación de saberes previos........................................................................................... 4 1. Evaluación de los aprendizajes matemáticos en función del desarrollo de capacidades............................................................................................ 5 1.1 Logros educativos de los estudiantes........................................................................ 5 1.2 Evaluación . .............................................................................................................. 5 1.2.1 Evaluación por fines ....................................................................................... 6 a. Evaluación inicial o diagnóstica ................................................................. 6 b. Evaluación formativa o de proceso . ........................................................... 6 c. Evaluación sumativa.................................................................................... 6 1.2.2 Criterios e indicadores de evaluación.............................................................. 1.2.3 Aspectos importantes en los instrumentos de evaluación. .............................. . 7 9 a. Coherencia................................................................................................... . 9 b. Múltiples fuentes de información................................................................ 10 c. Métodos, técnicas y formas adecuadas de evaluación................................. 12 1.3 Las capacidades matemáticas para su evaluación..................................................... 13 a. Razonamiento y demostración..................................................................... 13 b. Comunicación matemática........................................................................... 16 c. Resolución de problemas............................................................................. 18 1.4 Pruebas de evaluación de Matemática...................................................................... 20 Actividad 1....................................................................................................................... 28 . 2. Evaluación...................................................................................................................... 29 3. Metacognición. .............................................................................................................. 30 Bibliografía comentada.......................................................................................................... 31 Enlaces web. .......................................................................................................................... 32 .
  4. 4. Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 3 Instrumentos Indicadores Criterios Diagnóstica teniendo Formativa Sumativa que puede ser Trabajo Pruebas Capacidades de para docentes Razonamiento y demostración de Ejemplos didácticos mostrando Comunicación matemática son Matemática que en Propuestas metodológicas mostrando Desarrollo Aprendizajes matemáticos en función del Formas adecuadas de los Técnicas Evaluación presentando Métodos de la Estudio comprende el EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA de Resolución de problemas Evaluar Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA 3 5/24/07 5:51:49 PM
  5. 5. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA EVALUACIÓN en el ÁREA de MATEMÁTICA Motivación En nuestra vida diaria realizamos una permanente evaluación; así, antes de adquirir un producto lo evaluamos desde distintos parámetros: si el producto es de buena calidad, si la textura es la adecuada, si los colores son los que nos gustan, si el precio justifica el producto acabado, etc. Si bien es cierto, no lo hacemos de una manera sistemática, la practicamos en cada instante de nuestra vida. Motivo por el cual, la evaluación no es ajena a nosotros; siempre está presente. Luego, la evaluación en el área de Matemática debe contemplar el desarrollo de las capacidades específicas de dicha área. Según el Diseño Curricular Básico del Ministerio de Educación, estas son: el razonamiento y demostración, comunicación matemática y la resolución de problemas. En el desarrollo del fascículo nos ocuparemos ampliamente de los primeros, pero reflexionaremos también sobre las actitudes de los estudiantes hacia la Matemática. La actitud ante el área de Matemática debe reflejar el interés de los estudiantes por querer aprender los contenidos matemáticos, el grado de responsabilidad, el orden, la puntualidad y la fuerza de voluntad por resolver los problemas heurísticos. Entonces, la evaluación de los aprendizajes matemáticos en el nivel de educación secundaria, debe permitir el desarrollo de actitudes que contribuyan a la formación de la personalidad y carácter de los estudiantes, el trabajo en equipo con responsabilidad individual y grupal, y la cooperación democrática y justa. LOGROS DE APRENDIZAJE RECUPERACIÓN DE SABERES PREVIOS Analiza las estrategias planteadas para la Lee con atención y responde lo que se te indica en una hoja aparte: evaluación del aprendizaje de la Matemá¿Qué entiendes por evaluación? tica, priorizando el desarrollo de capaci¿Qué es medición de logros de aprendizaje? dades generales y específicas. Describe tu práctica docente en función de la evaluación de la Identifica las capacidades del área de MaMatemática y el desarrollo de capacidades. temática y las capacidades específicas para el aprendizaje de los estudiantes a través de ejemplos. Elabora indicadores e instrumentos de evaluación en función del desarrollo de las capacidades matemáticas en forma coherente. ¿Qué diferencia existe entre evaluación y calificación? ¿Qué estrategias de evaluación empleas para el aprendizaje de la Matemática? ¿Qué se entiende por prueba? ¿Qué instrumentos de evaluación empleas en tu práctica pedagógica? Identifica los distintos tipos de evaluación en una hoja aparte de acuerdo con su finalidad, manifestando apertura. 4 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 4 6/13/07 6:40:54 PM
  6. 6. fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA 1. EVALUACIÓN de los APRENDIZAJES MATEMÁTICOS en FUNCIÓN del DESARROLLO de CAPACIDADES 1.1 Logros educativos de los estudiantes Los estudiantes deben relacionar lo que aprenden teóricamente con lo que viven en la práctica, para ser capaces de resolver problemas. Necesitamos una educación que prepare a los estudiantes para actuar en concordancia con los fines de la educación peruana: el desarrollo personal, la ciudadanía, los cambios en la sociedad del conocimiento y el mundo del trabajo. Asimismo, la educación debe contribuir a formar una sociedad democrática, justa, inclusiva, próspera, tolerante y forjadora de una cultura de paz. Ello implica desarrollar un conjunto de capacidades a lo largo de su educación. Se espera que al concluir la Educación Básica Regular, los estudiantes presenten ciertas características que se expresan en un conjunto de logros educativos. El plan de estudios que organiza el área de Matemática para desarrollar integralmente dichos logros, está plasmado en el Diseño Curricular Nacional; que considera las capacidades matemáticas generales siguientes: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Por otro lado, los contenidos básicos del área de Matemática se organizan en componentes, los cuales se desarrollan en forma transversal, y son los siguientes: número, relaciones y funciones, geometría y medida, y estadística y probabilidad. Los estudiantes deben relacionar lo que aprenden teóricamente con lo que viven en la práctica. 1.2 Evaluación Consideramos a la evaluación como un proceso que nos permite recoger información pertinente para la toma de decisiones. La evaluación implica un juicio de valor, pues siempre implica un pronunciamiento, una interpretación de la información que estamos recogiendo; en definitiva, un juicio claro y riguroso sobre el objeto de esta evaluación. Sólo así conocemos exactamente la situación del proceso y del objeto, del desarrollo formativo y del comportamiento de los estudiantes, de los propósitos y de los resultados. Así, tomaremos decisiones consistentes y acertadas sobre la dirección del proceso y de la concomitancia de sus elementos. De esta manera, finalmente, podremos ayudar eficazmente al estudiante, a fin de que seleccione permanentemente las mejores vías y opciones de perfeccionamiento, y alcance los resultados que razonablemente se pueden esperar, tanto de sus capacidades como del contexto educativo en que se halla inmerso. Recordemos que un examen, o una medición escueta, tiene muy poco de juicio de valor sobre lo que está ocurriendo y, en consecuencia, no hay ninguna La evaluación nos permite recoger información pertinente para la toma de decisiones.
  7. 7. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA Un mate... – ¿Cuál es la figura geométrica que escucha música? – El círculo. – ¿Por qué? – Porque tiene radio. posibilidad de intervención real en el proceso perfectible de los estudiantes. La medición sólo describe, tomando como base una unidad dada y frecuentemente limitándose a un sólo rasgo, mientras que la evaluación valora todo el proceso, todos los elementos y toda la persona, con el fin de llegar a unas conclusiones y tomar decisiones para mejorar ese proceso y sus elementos, en definitiva, mejorar los comportamientos del sujeto. 1.2.1 Evaluación por fines Compartimos lo propuesto por los autores La Torre Ariño y Seco del Pozo, en su libro Diseño curricular nuevo para una nueva sociedad nueva; en el que se plantea lo siguiente: a. Evaluación inicial o diagnóstica: se utiliza para detectar los conceptos previos que posee el estudiante y las destrezas que son capaces de utilizar en el aprendizaje. Es el andamio o estructura previa de la que tiene que partir el alumno para poder aprender de forma constructiva y significativa. b. Evaluación formativa o de proceso: trata de evaluar los fines de la educación que son las capacidades-destrezas y valores-actitudes, por medio de escalas de observación sistemáticas, individualizadas y cualitativas-cuantitativas y a través de pruebas en las que se evalúa el desarrollo de destrezas. La esencia de este tipo de evaluación es conocer a los estudiantes para ayudarlos a que se conozcan a sí mismos como estudiantes, informándoles sobre los objetivos que lograron y lo que les hace falta para mejorar. Este tipo de evaluación debe ser una forma de apoyar los esfuerzos que realizaron y, a la vez, ser constructivamente crítico y poder diagnosticar, tanto las fortalezas como las debilidadades de los alumnos y alumnas. c. Evaluación sumativa: es aquella que evalúa las capacidades, valores y actitudes a través de los contenidos y métodos de aprendizaje, cualitativa o cuantitativamente, de una manera progresiva, según la edad de los estudiantes. La finalidad de la evaluación sumativa es determinar el nivel de logro de las capacidades después de un periodo de tiempo. Tanto la evaluación formativa como la evaluación sumativa deben: • Permitir al docente evaluar lo que los estudiantes pueden hacer así como la capacidad que tienen para usar contenidos y destrezas. Esta información es igual de valiosa para los estudiantes. • Permitir la aplicación de contenidos y destrezas en lugar de la simple repetición memorística de los hechos. • Lograr que los estudiantes participen y reflexionen: por ejemplo, los estudiantes deberán conocer los criterios de evaluación para una tarea dada, y a veces se les pedirá que ayuden a crear una tabla de evaluación para medir los diferentes aspectos de su rendimiento (autoevaluación). • Dar a los estudiantes la oportunidad de analizar su propio aprendizaje y de reconocer qué áreas necesitan mejorar. • Basarse en niveles de rendimiento fijados por equipos de profesores para un grupo de edad particular, y comunicados claramente a estudiantes y padres de familia. 6 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 6 5/24/07 5:46:30 PM
  8. 8. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA • • • Resultar informativas para estudiantes, padres de familia y docentes, así como proporcionar orientación para futuros aprendizajes. Tomar como referencia capacidades y niveles coherentes con todas las áreas, como son las capacidades y actitudes de aprender a aprender y la colaboración en el trabajo. Reflejar el nivel logrado por el estudiante en relación a todos los criterios del área y proporcionar las mismas oportunidades para todos los estudiantes, independientemente del sexo, cultura y necesidades especiales. PROCESO DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE EVALUACIÓN FORMATIVA O DE PROCESO EVALUACIÓN SUMATIVA LOGROS DE LOS APRENDIZAJES EVALUACIÓN INICIAL O DIAGNÓSTICA 1.2.2 Criterios e indicadores de evaluación Para tener evidencias de los logros de aprendizaje de los estudiantes en términos de capacidades, se requiere de una definición clara y precisa de ciertos criterios e indicadores, que constituyen la base para la elaboración de diversos tipos de instrumentos de evaluación. Los criterios nos permiten organizar la evaluación del área de Matemática y nos dan una visión para enjuiciar los instrumentos de evaluación; y son pertinentes para todos los niveles, pues ofrecen una base lógica que permite establecer el avance de los estudiantes y replantearnos la manera en que trazamos dicho avance, y los procesos y los métodos que empleamos para ello. En nuestro caso, los criterios de evaluación estarán dados por las capacidades matemáticas. Los indicadores guían la redacción de los ítems o preguntas que conforman una prueba de evaluación. Se entiende por indicador a todos los indicios, señales o conjunto de rasgos, datos o informaciones perceptibles que al ser confrontados con lo esperado e interpretados de acuerdo con una fundamentación teórica, pueden considerarse como evidencias significativas de la evolución, estado y nivel, que en un momento determinado presenta el desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes. Los indicadores de logro resultan del cruce de los criterios de evaluación y de los contenidos que conforman cada uno de los componentes del área de Matemática. Los indicadores de logro están constituidos por: EVALUACIÓN DE LA CALIDAD EDUCATIVA Capacidades fundamentales Propuesta de evaluación en el área de Matemática Criterios Indicadores Reproducir Razonamiento Analizar y demostración Interpretar Aplicar Decodificar Comunicación Codificar matemática Representar Interpretar Resolución de Procesar problemas Verificar Formular capacidad específica + contenido + método 7 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 7 5/24/07 5:46:45 PM
  9. 9. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA Muchos docentes están de acuerdo con la integración de la dimensión afectiva en el currículo de Matemática, pero para que esta integración tenga éxito, es necesario adoptar métodos adecuados de evaluación e incluso modificar ciertas prácticas relativas al modo de recoger la información, la forma de expresarla, etc. Este fascículo, aparte de permitirnos establecer los criterios de evaluación ofrecidos por las capacidades matemáticas, se centra en la evaluación de los afectos que se manifiestan en forma de creencias, actitudes, emociones o sentimientos de los estudiantes. Para esto, se consideran las técnicas de evaluación en un programa de actuación didáctica. Los indicadores de logro son las destrezas y actitudes, y los criterios de evaluación son las capacidades y los valores. Relación de criterios e indicadores de evaluación Recordemos que los criterios de evaluación nos dan la visión para enjuiciar los instrumentos de evaluación. Hemos asumido como criterios de evaluación las capacidades matemáticas: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas, planteadas en el Diseño Curricular Nacional. Sus respectivas capacidades específicas podemos encontrarlas en el fascículo 1, Naturaleza, Evolución e Importancia de la Matemática, en la sección 3.3 Comprendiendo las capacidades matemáticas. Proponemos algunos indicadores de evaluación que nos servirán para elaborar el instrumento que presentamos en el punto 1.4 Ejemplos: • Reproduce comprensivamente la información recibida o recabada sobre números naturales y la teoría de los números por medio de la observación y la identificación, mostrando interés y esfuerzo en su aprendizaje. • Analiza la información recibida o recabada sobre números naturales y la teoría de los números a través de la observación, diferenciación, identificación, comparación y la organización mostrando interés y esfuerzo. • Aplica los números naturales y la teoría de los números en forma adecuada a cada situación y con precisión necesaria, a través de los cálculos pertinentes en forma mental o con los algoritmos básicos, en función de su complejidad y de la naturaleza del problema mostrando precisión. • Codifica enunciados de un lenguaje común a un lenguaje formal a través de la observación, identificación, interpretación, transformación y expresión mostrando puntualidad y cumplimiento. • Decodifica enunciados de un lenguaje formal a un lenguaje común a través de la observación, identificación, interpretación, transformación, y expresión mostrando puntualidad y cumplimiento. • Procesa la información sobre los números naturales y la teoría de los números mediante la relación, la transformación y la aplicación mostrando concentración. • Interpreta situaciones lógicas propuestas a través del análisis y representación escrita de las expresiones que las manifiestan, escuchando con atención a sus compañeros y compañeras. • Procesa la información analizada en situaciones lógicas problémicas propuestas mediante la relación, transformación y aplicación de las propiedades de los números, escuchando con atención a los compañeros y compañeras. • Analiza la información recibida para el conteo de figuras geométricas a través de la observación, diferenciación, identificación y comparación, cumpliendo con las indicaciones recibidas para el trabajo. • Aplica las fórmulas pertinentes para el conteo de figuras mediante el cálculo mental o escrito en función de la complejidad de las figuras para el conteo respectivo cumpliendo con las indicaciones recibidas para el trabajo. • Analiza la información recibida en gráficos para el trazo de figuras geométricas con puntos intersecados por líneas a través de la observación, diferenciación, identificación y comparación, cumpliendo con las indicaciones recibidas para el trabajo. 8 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 8 5/24/07 5:47:09 PM
  10. 10. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA • • • • • • • • • • • • Analiza datos que se nos ofrecen a través de enunciados, tablas, expresiones simbólicas y representaciones gráficas. Interpreta expresiones gráficas y simbólicas a través de la decodificación. Analiza la información recibida o recabada sobre expresiones criptoaritméticas a través de la observación, diferenciación, identificación, comparación y la organización de los datos, cumpliendo con las indicaciones dadas en clase. Procesa la información sobre expresiones criptoaritméticas mediante la relación, la transformación y la aplicación respetando las opiniones de los compañeros y compañeras. Decodifica enunciados con expresiones simbólicas de divisores o múltiplos a un lenguaje común a través de la interpretación, y la transformación, respetando el trabajo de los compañeros. Aplica las propiedades, criterios y reglas operativas para los múltiplos y sobre la divisibilidad en forma adecuada a cada situación y con precisión, a través de los cálculos pertinentes en forma mental o escrita en función de su complejidad y de la naturaleza del problema, cumpliendo las indicaciones dadas en clase. Analiza enunciados para identificar proposiciones mediante la observación, definición, clasificación y comparación, manifestando seguridad en sí mismo. Aplica definiciones de los conectivos lógicos para determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas mediante la resolución de ejercicios, manifestando orden en lo que hace. Interpreta enunciados que involucren fórmulas lógicas para determinar si son tautológicas, contradictorias o contingentes mediante la elaboración de tablas lógicas, manifestando seguridad en sí mismo. Aplica leyes lógicas para simplificar fórmulas lógicas mediante la resolución de ejercicios manifestando orden en lo que hace. Analiza enunciados para identificar funciones proposicionales mediante la observación, definición, clasificación y comparación, manifestando seguridad en sí mismo. Procesa información de enunciados que involucran situaciones lógicas mediante la interpretación, trasformación, resolución y la verificación, manifestando seguridad en sí mismo. 1.2.3 Aspectos importantes en los instrumentos de evaluación Los instrumentos de evaluación son los que permiten reunir datos pertinentes y deben cumplir principalmente con dos características para garantizar la adecuada recolección de dicha información: coherencia y fuentes múltiples de información. Estas características tienen como fuente principal a los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. (Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. NCTM. SAEM Thales). En seguida consideremos algunos aspectos fundamentales de los instrumentos de evaluación. a. Coherencia Para que la evaluación mantenga la coherencia adecuada, el conjunto de tareas del instrumento de evaluación debe reflejar las metas, obje- La valoración afectiva Recordemos que los criterios de evaluación nos dan la visión para enjuiciar los instrumentos de evaluación, como las capacidades matemáticas de razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Pero como base para estructurarlas, son necesarios los aspectos afectivos del individuo como las creencias, actitudes, emociones y la valoración de la situación del estudiante frente a las tareas. Así tenemos: Emociones: - Ansiedad. - Gusto, satisfacción. Motivación: - Intrínseca. - Extrínseca. Actitudes: - Naturaleza, valor del trabajo matemático. - Papel del error en la Matemática. - Aspectos sociales de la Matemática. - Apreciación de los matemáticos. - Organización y hábitos de trabajo. Atribución: - Esfuerzo del estudiante. - Eficacia de las estrategias, cualidad del estudiante. Confianza en sí mismo: - Autoestima. - Sentimiento de autoeficacia. Creencias: - Acerca de la Matemática. - Sobre uno mismo. - Sobre la enseñanza de la Matemática. - Sobre el contexto escolar. 9 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 9 5/24/07 5:47:24 PM
  11. 11. Serie 1 / currÍculo y desarrollo de capacidades en matemática Un diseño curricular El centro de gravedad del trabajo educativo es, sin duda, el aprendizaje de los estudiantes. Para ello, es imprescindible la contribución de los docentes a través de la enseñanza. En consecuencia, la enseñanza se puede definir como el conjunto de actividades que el docente desarrolla para facilitar y fomentar aprendizajes en los estudiantes. De esta manera, el docente juega un rol preponderante en la educación, y por esta razón, se esmeran para que sus estudiantes logren un desarrollo educativo integral, preparándolos para lograr sus objetivos en el futuro. 10 tivos y amplitud de temas que se especifican en el Diseño Curricular Nacional. Para determinar la coherencia entre un instrumento, las capacidades y los contenidos propuestos en el Diseño Curricular Nacional, debe examinarse cada una de las pruebas de evaluación para determinar en qué grado miden las capacidades y el contenido matemático que se supone, deben medir; es decir, si son coherentes en cuanto a las capacidades y al contenido que se quiere evaluar. Por ejemplo, la capacidad de un estudiante de medir una longitud o una distancia haciendo uso de un instrumento adecuado no se evalúa de forma precisa por medio de tareas como: usando una regla de 30 cm, mide la longitud de un lápiz usado. Para evaluar esta capacidad específica, se necesita saber si los estudiantes son capaces de seleccionar una herramienta de medición adecuada, usarla correctamente (es decir, alinearla cuantas veces sea preciso) y leer el resultado. Esta información se obtiene mejor por medio de tareas que exijan que los estudiantes piensen qué matemática es necesaria, elija una herramienta para la medición y efectúe una medida efectiva. Podemos decir que la coherencia constituye un tema central para el desarrollo o selección de instrumentos de evaluación, y para la utilización de datos de evaluación. Los docentes han de mantener la preocupación por la coherencia entre lo propuesto en el Diseño Curricular Nacional y el instrumento de evaluación. La evaluación del aprendizaje matemático de los estudiantes en función del desarrollo de capacidades debe posibilitar que los docentes extraigan conclusiones en cuanto a sus necesidades pedagógicas, su avance en la consecución de los objetivos del currículo y la eficacia del programa de Matemática. La importancia de las conclusiones que se infieran a partir de dicha evaluación depende del grado de coherencia que los métodos y las tareas de evaluación mantengan con el currículo. Estamos de acuerdo con los estándares curriculares y de evaluación para la educación Matemática. La SAEM plantea que los métodos y las tareas que se usen para evaluar el aprendizaje de los estudiantes deben ser coherentes con el Diseño Curricular Nacional en cuanto a lo siguiente: • Capacidades y contenidos matemáticos. • El énfasis relativo que se dé a diversos temas y procesos y a sus relaciones. • Enfoques y actividades docentes, incluyendo el uso de calculadoras, computadoras y materiales manipulativos. El Diseño Curricular Nacional es el criterio principal para juzgar un instrumento de evaluación. b. Múltiples fuentes de información Si queremos evaluar el desarrollo de capacidades y aprendizajes matemáticos, es necesario utilizar una información abundante que proceda de diversos métodos de evaluación. Un tema constante es la necesidad de múltiples fuentes de información. Las tareas que describimos aquí cubren muchos aspectos de un concepto simple, utilizan procedimientos en diversos contextos y exigen que los estudiantes
  12. 12. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA integren el conocimiento, en especial por medio de actividades de resolución de problemas. Estos tipos de evaluación son valiosos por sí mismos, porque amplían las experiencias del alumno y le ofrecen una importante información al docente para la docencia. Pero también cuentan con un valor extrínseco, ya que permiten que los docentes alcancen una visión más completa de la realización y la potencia matemática de los estudiantes. Cuando un estudiante realiza de forma parecida muchas tareas, los docentes pueden fiarse de su juicio sobre dicho estudiante. También pueden resultar útiles las discrepancias en cuanto a realización, ya que indican una dificultad que podría quedar sin descubrir en el caso de que la evaluación se realizara con un solo instrumento. Por ejemplo, un estudiante puede realizar bien tareas escritas individuales, pero puede mostrarse reacio o temeroso de describir su enfoque de resolución del problema durante una discusión en grupo. Otro estudiante puede ser capaz de aplicar una regla en un contexto conocido, pero no llegar a identificar el procedimiento más adecuado cuando se le presenta la tarea en un contexto desconocido. Según los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, las decisiones que se tomen sobre el aprendizaje de los estudiantes deben basarse en la convergencia de información obtenida a partir de diversas fuentes. Estas fuentes deben abarcar tareas que: • Requieran diferentes tipos de pensamiento matemático. • Presenten el mismo concepto o procedimiento matemático en contextos, formatos y situaciones de problemas diferentes. Cuando se comprueba que los estudiantes realizan razonadamente tareas de formatos diversos que exigen que se piense matemáticamente o que representan distintos aspectos del pensamiento matemático, entonces los docentes pueden confiar en la fiabilidad de sus juicios. El aprendizaje de la Matemática es un proceso acumulativo que ocurre a medida que la experiencia va aumentando las estructuras conceptuales. Una calificación numérica o una nota que se dé en un momento determinado sólo deja entrever el conocimiento y desarrollo de las capacidades matemáticas de los estudiantes. Si lo que se pretende con la evaluación es conseguir una imagen válida y fiable de las estructuras conceptuales y de las capacidades y los logros de los estudiantes, debe buscarse evidencia a partir de toda una variedad de fuentes. El proceso de evaluación que se describe en esta característica proporcionará un indicativo más completo y válido que el que se pueda obtener a partir de sólo un tipo de instrumento. Características del instrumento de evaluación: • Validez de contenido. Mide lo que realmente se quiere conocer. • Pertinencia. Las preguntas del instrumento están en función del estudiante, de su conocimiento, experiencia, grado de estudio, etc. • Claridad. Delimita en forma clara y precisa el objetivo de su aplicación. Las preguntas están redactadas en forma sencilla de manera que no se presten a confusión. El lenguaje usado debe estar de acuerdo con el nivel del estudiante. • Rapidez y facilidad de aplicación. Un tema constante de evaluación es la necesidad de múltiples fuentes de información. Los estudiantes deben realizar sus tareas utilizando el razonamiento. Para los griegos antiguos, la Matemática era la manifestación de la armonía, y su conocimiento representaba una suerte de integración con el fundamento invisible de las cosas, así como el éxtasis al completar un orden superior y perfecto. A ese descubrimiento de lo extraordinario en lo ordinario, a ese asombro que nace de la facultad propiamente humana de experimentar el sentido mismo del universo, lo llamaban THAUMATZEIN (maravillarse). 11 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 11 5/24/07 5:47:41 PM
  13. 13. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA curiosidades matemáticas Un profesor de Matemática, cuando su alumno le preguntó: ¿Cuánto es 25 x 28?, le respondió: 700, y le explicó cómo lo hizo. Estableces la columna de los cocientes, que resulta de dividir 25 entre dos y a sus demás cocientes dividirlos entre dos, sucesivamente hasta llegar a 1. Luego en las filas respectivas multiplica 28 por dos sucesivamente, hasta cubrir la fila que le corresponde al 1. Esto es: 25 28 12 56 6 112 3 224 1 448 Luego, consideró la suma de los números de la segunda columna que correspondan a los números impares de la primera columna. Esto es: 28 + 224 + 448 = 700. Este resultado es el que se comunicó. Puedes probar la multiplicación con otros números y verás que el método es válido. Ahora, evalúa este método y da tu punto de vista. c. Métodos, técnicas y formas adecuadas de evaluación La evaluación apoya el aprendizaje matemático a partir del desarrollo de capacidades, y mide el conocimiento matemático de los estudiantes. Existen diversas técnicas de evaluación que incluyen preguntas de opción múltiple (tipo test), de respuesta corta, de discusión, o abiertas: entrevistas estructuradas o libres, trabajos en casa, proyectos, diarios, ensayos, escenificaciones, y exposiciones en clase. Asimismo, estos diversos métodos y técnicas se pueden trabajar de forma individual, en grupos reducidos o con toda la clase. El modo de evaluación puede ser escrito u oral. Las técnicas son un conjunto de acciones o procedimientos que conducen a la obtención de información relevante sobre el aprendizaje de los estudiantes. Según Díaz Barriga y Hernández Rojas, las técnicas de evaluación se pueden clasificar en: • Técnicas no formales: que se dan de manera espontánea en el aula. Por ejemplo, la observación espontánea, o los diálogos y exploraciones a través de preguntas. Estas preguntas deben estar bien formuladas, ser coherentes y significativas. • Técnicas semiformales: vienen a ser los ejercicios y prácticas que realizan los estudiantes como parte de la actividad del aprendizaje; requieren mayor tiempo de preparación y exigen respuestas más duraderas de parte de los estudiantes; es decir, se orientan al aprendizaje a largo plazo y garantizan la participación de la mayoría de los estudiantes. Cuando el trabajo es de extensión (para la casa) se debe garantizar que sean los alumnos los que desarrollen las tareas. • Técnicas formales: se realizan al finalizar los capítulos de un tema o cuando se termina el aprendizaje de un tema en un tiempo determinado. Su formulación, planificación y ejecución es mucho más sofisticada, pues de la información que se recoja derivarán las respectivas valoraciones sobre el aprendizaje de los estudiantes. Se concretan en pruebas escritas de diversos tipos. Estas técnicas reflejan la diversidad de la didáctica de los docentes para evaluar y conocer las diferentes formas en que aprenden los estudiantes. Dichas técnicas también permiten que haya diversidad tanto en las respuestas de los estudiantes como en el modo de procesar la información, y proporcionar información fiable y válida. Las decisiones que se tomen en cuanto a la docencia deben basarse en la información recogida a partir de diversas fuentes que apoyen o confirmen la necesidad de que se dé una determinada respuesta educativa. Cuando la información disponible resulta contradictoria, como por ejemplo el caso de un estudiante que obtiene buena puntuación en los exámenes pero que es incapaz de expresar procesos matemáticos, la evaluación debe buscar una explicación a un nivel más profundo. En pocas palabras, la evaluación no debe apoyarse en un solo instrumento o en una sola técnica o método. Los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática consideran que las técnicas y los instrumentos de evaluación deben seleccionarse después de considerar: • El tipo de información que se quiera obtener. • El uso que se vaya a dar a la información. • El nivel de desarrollo y la madurez de los estudiantes. 12 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 12 5/24/07 5:48:05 PM
  14. 14. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA No es adecuado que los datos de la evaluación se usen para otros fines que no sean los previstos. Cualquiera sea el propósito de la evaluación, las técnicas que se utilicen deben considerar las características de los mismos estudiantes. Su desarrollo matemático y cognitivo supone un proceso gradual y acumulativo que se construye a partir de la experiencia y las estructuras conceptuales previas. Esta idea resulta especialmente importante en los primeros años, cuando se encuentran por primera vez las capacidades específicas y los conceptos básicos. A este nivel, cuando las estructuras conceptuales de los estudiantes están íntimamente ligadas al uso de materiales físicos, una tarea de evaluación que les permita utilizar dichos materiales constituirá un indicador mucho más efectivo de su aprendizaje. La finalidad de la evaluación es la obtención de información para emitir un juicio de valor y tomar decisiones; por lo que es fundamental emplear técnicas adecuadas y usar objetivamente la información resultante. Cuando se utiliza un tipo de evaluación en lugar de varios, la información que se obtiene no tiene por lo general validez ni utilidad. Además, las técnicas que se utilizan para recoger información deben adecuarse al nivel de desarrollo y a la madurez de los estudiantes. 1.3 Las capacidades matemáticas para su evaluación Debemos evaluar si los estudiantes están desarrollando las capacidades matemáticas que según el Diseño Curricular Nacional son las siguientes: razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas. Clarificamos estas capacidades a la luz de los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. a. Razonamiento y demostración Es natural que los estudiantes formulen conjeturas sobre la base de ejemplos que han visto o manejado, y que desarrollen argumentos basados en lo que saben que es cierto. Los estudiantes pueden tener también nociones intuitivas sobre razonamiento proporcional y sobre relaciones espaciales. Todos los estudiantes deben tener la oportunidad expresa de ocuparse en este razonamiento intuitivo e informal y, por tanto, toda evaluación de la capacidad de razonamiento del estudiante debe obtener evidencias de estos procesos. La evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes para razonar matemáticamente debe ofrecer evidencia de que ellos son capaces de: • Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas. • Utilizar el razonamiento para desarrollar argumentos plausibles de enunciados matemáticos. • Utilizar el razonamiento proporcional y espacial para resolver problemas. • Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un argumento y construir argumentos válidos. • Analizar situaciones para determinar propiedades y estructuras comunes. • Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática. Los tipos de razonamiento que se identifican en esta capacidad resultan fundamentales para hacer Matemática, pero no siempre pueden ser observados en las respuestas verbales de los estudiantes o en su trabajo escrito. El razonamiento es otra capacidad que debe practicarse constantemente. 13 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 13 5/24/07 5:48:31 PM
  15. 15. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA ¿Los obstáculos son necesarios para el aprendizaje? Sí, seguro. Si estuviéramos enfrentados, en situaciones de aprendizaje, solamente a situaciones conocidas que se pueden vencer sin esfuerzo, no aprenderíamos muchas cosas. Es normal que los estudiantes encuentren obstáculos para apropiarse mejor de las nuevas nociones. Pero, ¡no se trata de confundir una situación de aprendizaje con una situación de evaluación! En la fase de evaluación, conviene examinar principalmente los conocimientos adquiridos por los estudiantes, y no su capacidad de superar ciertos obstáculos en tiempo limitado. André Antibi De igual forma, las técnicas de evaluación deben evaluar específicamente el uso que hagan los estudiantes de los diferentes tipos de razonamiento. Aunque algunos aspectos del razonamiento pudieran ser más adecuados que otros en una determinada área, pueden utilizarse todos los aspectos en todas las áreas curriculares. Sin embargo, en los primeros grados, algunos aspectos deben utilizarse sólo en un sentido intuitivo. Las técnicas de evaluación han sido obtenidas de los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática; e ilustran tareas o actividades para evaluar la capacidad de razonar de los estudiantes. Se pueden utilizar dentro del contexto docente, como en discusiones de clase, o como tareas formales de evaluación. A los más jóvenes se les debe pedir que discutan o expliquen sus respuestas de forma oral. Esta capacidad de razonamiento y demostración se puede lograr mediante: 1. Razonamiento deductivo utilizando hechos conocidos. 2. Análisis de una situación para hallar propiedades y estructuras comunes. Ejemplo 1: Se pide a los estudiantes que trabajen en grupos pequeños con recortes de cuadrados y rectángulos. Se solicita a cada grupo que considere preguntas de este tipo: a. ¿Qué propiedades tienen en común los cuadrados y los rectángulos? b. ¿Qué propiedades no tienen en común? En una respuesta sólida, los estudiantes compararían las propiedades de ambas figuras de forma simultánea, reconociendo que las dos figuras tienen cuatro ángulos rectos. Algunos estudiantes podrían determinar primero las propiedades de un cuadrado y después las de un rectángulo pero no llegarían a efectuar una comparación entre las dos figuras. Está claro que la tarea exige la existencia de una estructura conceptual en concreto: la capacidad de comparar y contrastar conceptos. Ejemplo 2: 3. Razonamiento espacial Se le tapan los ojos a los estudiantes y se les hace coger un cubo y una pirámide de base cuadrada y se formulan las interrogantes: a. ¿Qué figura tienes en la mano? b. ¿Cuántos vértices tiene? Esta actividad puede ampliarse incluyendo otros sólidos o planteando otras preguntas sobre el cubo y la pirámide cuadrada, como «¿Cuántas aristas tienen estos sólidos?». Los estudiantes que puedan ofrecer una descripción más detallada de estos poliedros, demuestran manejar un mejor razonamiento espacial que los que parecen apoyarse en un recuento mecánico de vértices, aristas o caras. Ejemplo 3: 4. Razonamiento inductivo Pedir a los estudiantes que consideren la situación siguiente: En un examen, cinco estudiantes tienen una puntuación de: 62; 75; 80; 86 y 92. Determina la puntuación media. ¿Cuánto aumentaría la media si se aumentara la puntuación de cada estudiante en: 14 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 14 5/24/07 5:48:58 PM
  16. 16. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA a. 1 punto? b. 5 puntos? c. 8 puntos? d. x puntos? Escribe un enunciado que exprese cuánto aumentaría la puntuación media si se aumentara cada puntuación individual en x puntos. Desarrolla un argumento para convencer a otro compañero de que el enunciado es verdadero. Ejemplo 4: 5. Razonamiento deductivo y desarrollo de un argumento plausible Se pide a grupos de estudiantes que construyan modelos y desarrollen la fórmula para determinar el área de un círculo o que expliquen por qué resulta la fórmula A = π r2 Los estudiantes que sean capaces de utilizar la relación entre la forma del “paralelogramo” y su área y la circunferencia del círculo para desarrollar la fórmula del área del círculo demuestran un razonamiento plausible y deductivo. El argumento resulta plausible si demuestra sentido común y es matemáticamente correcto. Ejemplo 5: 6. Razonamiento proporcional Plantear esta cuestión: ¿cuántos estudiantes zurdos hay en el colegio? Los estudiantes deberán desarrollar un procedimiento para identificar a los zurdos en una muestra de alumnos, y usar un razonamiento proporcional para determinar el número de estudiantes zurdos de toda la institución educativa. Los estudiantes tendrán que recoger datos y plantear y resolver una proporción para responder a la pregunta. Pueden investigarse otros temas de forma parecida. Grupos pequeños de estudiantes pueden recoger información sobre la comunidad en general —por ejemplo, cuánta gente hay que sea zurda— como parte de un trabajo a largo plazo. Ejemplo 6: 7. Razonamiento deductivo Rogelio no cree que sumando el mismo número de puntos a la puntuación de un examen de todos los estudiantes, la puntuación media se incrementará en esa misma cantidad. Escribe un argumento válido para convencer a Rogelio de que es cierto. Este argumento debiera ser deductivo: no basta con uno o varios casos concretos. Algunos estudiantes podrían seleccionar un incremento específico (digamos cinco puntos) y argumentar sobre dicho caso. A causa de su especificidad, este argumento no es tan fuerte como el de seleccionar un incremento cualquiera (n puntos) y demostrar que la media se incrementa en n puntos. Ejemplo 7: 8. Reconocer la naturaleza axiomática de la Matemática En todos los niveles, los estudiantes deben adquirir la noción de que la Matemática está basada en reglas establecidas y no es un «sombrero de prestidigitador» que sólo conocen los que enseñan matemática o los ma- El estudiante debe tener la capacidad de comparar y contrastar conceptos. La demostración es una capacidad que debe cultivarse ya que ayuda en la formalización de conceptos. 15 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 15 5/24/07 5:49:11 PM
  17. 17. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA El mundo exterior: contar y medir Desde los primeros grados de la enseñanza, la escuela debe educar al estudiante para que conozca, lo mejor posible, el mundo en el que va a vivir. Hay que enseñarle al estudiante a ver la naturaleza y a observar y analizar sus fenómenos. Incluimos en la naturaleza a los seres vivientes, entre ellos el ser humano, tanto en su comportamiento individual como social. Se ha dicho que hay que “saber ver” el mundo exterior, es decir, no basta “mirar” sino que hay que “ver” ese mundo para comprenderlo, para lo cual, la Matemática se torna imprescindible. Hay que aprender a contar y a medir, y hay que ejercitar estas operaciones de manera directa, por el simple uso de los sentidos, y de manera indirecta, a través del razonamiento deductivo e inductivo y de los conocimientos matemáticos que se van adquiriendo. temáticos profesionales. Es especialmente importante que los estudiantes entiendan que existe un elemento de arbitrariedad en la forma en que se seleccionan las reglas, pero que el sistema que los comprende es coherente. Los siguientes casos pueden plantearse a los estudiantes en temas de Geometría, ya que uno de los resultados esperados de la enseñanza de ésta es que los estudiantes adquieran el significado de lo que constituye un sistema axiomático. a. Escribir un ensayo sobre el tema siguiente: ¿de qué forma los matemáticos que desarrollaron la Geometría no euclídea introdujeron la noción de que en Matemática los postulados pueden seleccionarse de forma arbitraria? El ensayo debe centrarse en la imposibilidad de la demostración del postulado de las paralelas (el quinto postulado de Euclides) sobre la base de postulados y teoremas previos, y en que existen distintas opciones a la hora de definir un postulado de paralelas. Debe subrayarse la naturaleza axiomática de la Matemática. Los estudiantes pueden trabajar en grupos pequeños para desarrollar un ensayo que puede presentarse más tarde en clase. b. Supongamos que un sistema axiomático acepta el enunciado siguiente como postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales. Supongamos que esto demuestra el enunciado siguiente como teorema: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales. ¿Se puede asumir que el segundo enunciado demuestra como teorema el primero? ¿Por qué? b. Comunicación matemática La capacidad de los estudiantes para comunicarse matemáticamente para su evaluación debe estar dirigida, por un lado, al significado que den a los conceptos y procedimientos de la Matemática, y por otro a la soltura que tengan al hablar acerca de ideas matemáticas, y entender y valorar ideas expresadas matemáticamente. La evaluación debe incluir diferentes formas de comunicación y debe hacer hincapié en la comunicación no sólo entre personas sino también con formas tecnológicas diversas. La evaluación también debe ser sensible al desarrollo lingüístico de los estudiantes. Como en cualquier otra lengua, comunicación en Matemática quiere decir que se puede utilizar un vocabulario, una forma de notación y una estructura para expresar y entender ideas y relaciones. En este sentido, la comunicación matemática es parte integrante del conocer y usar la Matemática. Según lo propuesto por los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, la evaluación de la capacidad de los estudiantes para comunicar debe mostrar evidencia de que éstos son capaces de: • Expresar ideas matemáticas hablando, escribiendo, demostrándolas y representándolas visualmente. • Entender, interpretar y juzgar ideas matemáticas presentadas de forma escrita, oral o visual. • Utilizar vocabulario matemático, notaciones y estructuras para repre- 16 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 16 5/24/07 5:49:30 PM
  18. 18. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA sentar ideas, describir relaciones y modelar situaciones. La comunicación es parte integrante de todo este proceso social. Las ideas se discuten, los hallazgos se ponen en común, las hipótesis se confirman y el conocimiento se adquiere al explicar, escribir, hablar, escuchar y leer. El acto mismo de la comunicación clarifica las ideas y fuerza a los alumnos a dedicarse a hacer Matemática. La comunicación como tal resulta esencial en el aprendizaje y conocimiento de la Matemática. Pero la comunicación matemática presenta unas dificultades específicas para los estudiantes. La Matemática se apoya en la utilización de símbolos y da un significado específico, y a menudo diferente, a palabras comunes. Esto puede desembocar en que resulte confuso y difícil expresar ideas matemáticas. Las formas tradicionales de examen no logran siempre identificar esta confusión y esta dificultad, y por lo tanto ignoran el contexto social de la Matemática. Como la comunicación es una actividad social que tiene lugar dentro de un contexto, debe ser evaluada en una diversidad de situaciones. En la evaluación, como en la enseñanza, los profesores deben ser conscientes de cómo expresan ideas matemáticas los estudiantes y de cómo interpretan las expresiones matemáticas de los demás. Al evaluar la capacidad del estudiante para comunicarse, los docentes deben prestarle atención a la claridad, precisión y propiedad del lenguaje que utiliza. Además, la capacidad de los estudiantes para entender la comunicación oral o escrita de los demás constituye un componente importante de la docencia y de la evaluación. Los estudiantes se enfrentan con ideas más abstractas y tienen una experiencia mucho más profunda con el lenguaje formal de las Matemáticas. La evaluación debe dirigirse a las estructuras conceptuales de los estudiantes sobre el lenguaje matemático, sus términos y su sintaxis, así como hacia el reconocimiento que hagan del papel que cumplen el rigor y la precisión en la comunicación de ideas matemáticas. Aunque sigue siendo importante una observación informal en la enseñanza secundaria, al aumentar las presentaciones matemáticas formales se necesitan criterios nuevos para la evaluación. En este nivel, debe juzgarse el trabajo escrito de los estudiantes en cuanto a su precisión, su claridad y lo adecuado de la presentación. Los estudiantes deben ser capaces de formar múltiples expresiones de ideas y de relaciones, y de reconocer su relativa conveniencia. Sin embargo, debe esperarse un uso de los símbolos de acuerdo con la madurez de los estudiantes y con el contexto de la tarea. A veces se necesitará una expresión simbólica; en otros contextos podría resultar adecuada una mezcla de símbolos y de lenguaje natural; otras veces, el simbolismo podría estar completamente injustificado. Es importante darse cuenta de que puede evaluarse la capacidad de los estudiantes para comunicarse matemáticamente haciendo que escriban acerca de la Matemática. Las respuestas escritas deben juzgarse en cuanto a su exactitud, claridad y precisión, y al uso apropiado de términos y símbolos matemáticos. El ejemplo siguiente es una tarea sencilla: Ejemplo 8: Imagínate que estás hablando con un compañero de tu clase por teléfono y quieres que dibuje algunas figuras. El otro no puede ver las figuras. Escribe una secuencia de instrucciones de forma que tu compañero pueda dibujar la figura y la grafique exactamente como se Comunique sus ideas constantemente. Los estudiantes deben tener la capacidad de comunicarse matemáticamente. 17 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 17 5/24/07 5:49:41 PM
  19. 19. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA Los estudiantes deben resolver constantemente problemas y comunicar sus respectivas soluciones. muestra en la figura. La evaluación debe incluir algo más que juicios sobre un trabajo escrito. Aunque pueda evaluarse la capacidad de los estudiantes para entender textos o artículos matemáticos por medio de resúmenes escritos, una discusión puede constituir un contexto de más utilidad para enjuiciar la capacidad que tenga el estudiante de funcionar como participante activo y crítico en los procesos de lectura o comprensión oral que se realicen durante la clase o en discusiones en pequeños grupos. c. Resolución de problemas La capacidad que tengan los estudiantes para resolver problemas estará reflejada en los criterios e indicadores de evaluación en la que se debe determinar si son capaces, por ejemplo, de formular problemas, de hacer preguntas, utilizar una información dada y elaborar conjeturas, utilizar estrategias y técnicas adecuadas y comprobar e interpretar los resultados. De acuerdo con lo planteado en los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática de la National Council of Teachers of Mathematics (SAEM. Thales), la evaluación de la capacidad que tengan los estudiantes de utilizar la Matemática para la resolución de problemas debe mostrar evidencia de que son capaces de: • Formular problemas. • Aplicar diversas estrategias para resolver problemas. • Resolver problemas. • Comprobar e interpretar resultados. • Generalizar soluciones. En la evaluación, la resolución de problemas ha de ser el centro de atención de la Matemática. La capacidad del estudiante para resolver problemas se va desarrollando paulatinamente como resultado de una orientación adecuada de parte de sus docentes y de haberse enfrentado a situaciones del mundo real. El avance de los estudiantes debe evaluarse sistemática, deliberada y continuamente para que se pueda afianzar su capacidad para resolver problemas en contextos diversos. Para esto es muy importante que los estudiantes reciban información y respuesta del resultado de esta evaluación, en lo que respecta tanto a los procedimientos usados como a los resultados obtenidos. Además, los problemas deben constituir un reto para los estudiantes, ser instructivos e interesantes, sin llegar a ser irresolubles. Entre los métodos para evaluar la capacidad para resolver problemas que tenga el estudiante se incluyen: la observación del estudiante al resolver problemas por separado, en grupos pequeños o en discusiones del grupo; escuchar a los estudiantes discutir sus procesos de resolución; y analizar exámenes, tareas hechas en casa, diarios y trabajos escritos. La respuesta que se proporcione a los estudiantes puede adoptar diversas formas, incluyendo comentarios escritos u orales. Ejemplos obtenidos de los estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática. Ejemplo 9: Lee el problema siguiente y responde a la pregunta que se plantea: Paula, Teresa y Rosa corrieron en una competencia. Paula tardó tres 18 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 18 5/24/07 5:49:59 PM
  20. 20. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA minutos y Rosa tardó cuatro en llegar al final. ¿Quién ganó la carrera? Esta tarea puede usarse en la docencia para ver si los estudiantes reconocen que la información es esencial. Una vez que están de acuerdo con que hay que saber el tiempo de Teresa, pueden hacerse otras preguntas: ¿es posible darle a Teresa un tiempo para que sea ella la que gane? ¿Es posible darle un tiempo a Teresa para que gane Paula? Es importante que se observe si la información que se da es razonable y si los estudiantes pueden expresar con palabras por qué se da al tiempo de Teresa un determinado valor. Este ejemplo demuestra cómo se puede usar un ejercicio de rutina como base para generar otras tareas si se omite una condición, se elimina la pregunta o se añade información no relevante. Ejemplo 10: • Aplicar estrategias para resolver problemas. Con una calculadora, determina tres números cuyo producto sea 2 431. Anota lo que haces para encontrar la respuesta. Esta tarea es apropiada para estrategias de tanteo y comprobación y puede utilizarse en una situación de examen. Hay que animar a los estudiantes a que escriban sus conjeturas y expliquen qué han ido haciendo. Hay que observar si los estudiantes siguen un enfoque sistemático para desarrollar cada intento, y si establecen algún límite para el número factible (por ejemplo, sólo saldrá con números impares). La calculadora resulta imprescindible para hacer tanteos en poco tiempo. Hay que dar puntos a los estudiantes tanto por una respuesta correcta como por el uso de una o más de una estrategia adecuada. Por elegir números al azar no se ganan los puntos de estrategia. Debe dejarse algún tiempo para que los estudiantes expliquen cómo enfocaron el problema. Ejemplo 11: • Formular problemas y resolver problemas. a. Tienes que comprar 10 artículos en un supermercado. En la caja rápida (para 10 artículos o menos) hay seis personas esperando, en la caja 1 hay una persona, y en la caja 3 hay 3 personas esperando. Las demás cajas están cerradas. ¿En qué cola deberías ponerte? b. Estás pensando en comprarte un automóvil, y tienes dos modelos para elegir, los dos de cuatro años de antigüedad. Uno cuesta $ 3 000 y recorre 40 km por galón. El otro cuesta $ 4 500 y recorre 35 km por galón. ¿Cuál de los dos automóviles comprarías si piensas tenerlo dos años? ¿Qué información hace falta para contestar estas preguntas? Un aspecto de la formulación de problemas es darse cuenta de si hace falta alguna información adicional. Ninguno de los dos problemas citados da toda la información que se necesita para tomar una decisión. Los estudiantes tienen que averiguar qué información falta y qué estimación sería probable para las cantidades que faltan. En la cuestión a, hay que considerar el número de artículos que lleva cada persona y la velocidad de la cajera. En el problema b, hay que considerar el número de millas que se piensa viajar cada año, el precio de la gasolina y el dinero que se tiene. La cuestión sería diferente si hay que pedir un préstamo para comprar. Ejemplo 12: Demuestra las siguientes afirmaciones: Las respuestas escritas deben juzgarse en cuanto a exactitud, claridad y precisión. Ejemplos de gráficos que pueden realizarse mediante instrucciones. 19 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 19 5/24/07 5:50:14 PM
  21. 21. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA a. La suma de dos números naturales consecutivos no es divisible por 2. b. La suma de tres números naturales consecutivos es divisible por 3. Explica cuál consideras que es el caso general de estas afirmaciones. Demuéstralo o da un contraejemplo. Esta tarea puede incluirse en un examen o como problema para solucionar en casa. La valoración de este trabajo supone evaluar la capacidad de los alumnos para demostrar las afirmaciones; y para demostrar o refutar la afirmación general. Una posible formulación del caso general sería: ¿Es cierto que la suma de un número par de números naturales consecutivos no es divisible por dicho número, pero que la suma de un número impar de números naturales consecutivos sí es divisible por dicho número? Este problema puede calificarse dando puntos a las diferentes partes de la solución del problema, un punto puede representar adecuadamente la primera afirmación ¿(n + (n + 1))/2 = un número entero?, un punto por dar un argumento convincente para el caso de dos números naturales consecutivos, un punto por representar adecuadamente la segunda afirmación, un punto por dar un argumento convincente para dicha afirmación, dos puntos por expresar el caso general, dos puntos por ofrecer una demostración adecuada, y dos puntos por explicar qué estrategias fueron utilizadas. 1.4 Pruebas de evaluación de Matemática En seguida presentamos pruebas de evaluación de Matemática para estudiantes de educación secundaria, con el propósito de contrastar los fundamentos teóricos de la evaluación, y que el docente al final de la prueba pueda formular sus respectivas apreciaciones a partir de la propuesta metodológica de trabajo. PROPUESTA METODOLÓGICA DE TRABAJO En un equipo se debe crear una atmósfera libre de inhibiciones. Técnica: trabajo en equipo Un equipo de trabajo puede contar con tres o cuatro integrantes. Se podrían reunir una vez por semana durante un buen periodo, como de un bimestre, semestre o año. Una sesión típica puede durar una hora y media. La sesión tiene dos momentos bien diferenciados. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos teórico-prácticos para resolver los ejercicios y problemas de las pruebas propuestas, pero en equipo. Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo ha preparado mediante lecturas adecuadas un tema concreto de naturaleza teóricopráctica, lo expone en 20 minutos y se establece un periodo de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10 minutos. Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en esta segunda etapa como secretario, observador y seleccionador de ejercicios y/o problemas. Otra de ellas actuará como moderador. Los papeles de los componentes del grupo serán desempeñados por turno en diferentes reuniones. 20 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 20 6/13/07 7:46:16 PM
  22. 22. fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas y/o ejercicios de la prueba propuesta, que presenta al resto, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas y/o ejercicios, pues aunque durante el proceso tendrá que actuar meramente como observador, al final deberá él mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el equipo. Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el equipo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida, aunque los ejercicios y/o problemas no se resuelvan. La misión del secretario-observador, aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos más importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución del problema y/o ejercicio. Él es el encargado de redactar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas que ayudarán significativamente en la reflexión final que cerrará esta etapa de trabajo. En general, permanecerá en silencio, cosa nada fácil de llevar a cabo; sin embargo, parece conveniente que intervenga en alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo para preguntar sobre el origen de una nueva idea por parte de algún componente del grupo, que probablemente se alejaría de su memoria si se espera al periodo de reflexión al final del proceso. Como antes ha quedado dicho, de los otros componentes del equipo, uno actúa como moderador para esta reunión de trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión. La forma de proceder del grupo hacia la resolución de ejercicios y/o problemas puede ser muy variada y sería conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada equipo elija la que mejor se adapta. Lo verdaderamente importante es que se crea en el equipo una atmósfera libre de inhibiciones y de competitividad, donde cada uno esté deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda parecer más estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas iniciadas por los otros, y viendo con interés cómo los otros van perfeccionando las ideas propuestas. La tarea esencial del moderador es precisamente mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a callar demasiado, e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse inmóvil, tratando de abrir nuevas vías cuando todo parece cerrado... El esquema concreto de trabajo puede tener lugar según estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general: - El equipo se familiariza con el ejercicio y/o problema. - El equipo busca todas las estrategias posibles. - El equipo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más adecuadas. - El equipo reflexiona sobre el proceso que ha seguido. Ahora ponga en práctica esta propuesta metodológica resolviendo los ejercicios y problemas formulados en las pruebas que se presentan a continuación. http://www.institutohebreo. cl/imagen/Imagen4a.jpg El trabajo en equipo Implica un grupo de personas participando de manera coordinada en la ejecución de un proyecto. • El equipo responde en conjunto por el resultado final y no cada uno de sus miembros de forma independiente. • Cada miembro está especializado en un área determinada que afecta al proyecto. • Cada miembro del equipo es responsable de cumplir un objetivo, y sólo si todos ellos cumplen su función será posible sacar el proyecto adelante. http://www.aulafacil.com/ 21
  23. 23. Serie 1 / currÍculo y desarrollo de capacidades en matemática Ejemplo 13: Prueba escrita de matemática para el primer grado de Educación Secundaria. PRUEBA DE EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA 1er grado de Secundaria 1. ¿Cuál de los siguientes números decimales está representado, aproximadamente, en la recta numérica en el punto m ? m –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 A. 4,3 B. 3,8 C. –3,7 D. –4,3 2. La expresión [ 2 + (–3 × –1) ] × (–1 – 4 ) es igual a: A. –15 B. 5 C. –5 D. –25 3. El registro de temperatura en una ciudad el 20 de julio a las 18 horas fue 9°C. Si a partir de esa hora descendió 2°C por hora. ¿Cuál fue la temperatura a las 23 horas? A. 4°C B. 19°C C. –3°C D. –1°C 4. Se necesita preparar jugo de naranja para llenar 40 vasos de 0,15 litros cada uno. Si se prepara en jarras de 1,50 litros cada una, se deben preparar: A. 4 jarras B. 9 jarras C. 10 jarras D. 40 jarras 5. Pablo trabaja en un supermercado. Convino con el dueño en que cada 8 días iría al mayorista de comestibles y cada 12 días al de artículos de limpieza, comenzando el mismo día. Las dos compras coinciden cada: A. 4 días B. 8 días C. 12 días D. 24 días 6. Hay dos grupos de turistas de 60 personas cada uno. Si los ¾ del primer grupo y los 22 2/3 del segundo grupo suben a colectivos para viajar a otro lugar, ¿cuántas personas más del primer grupo que del segundo grupo suben a los colectivos? A. 5 personas B. 10 personas C. 40 personas D. 45 personas 7. Uno de los insectos más pequeños tiene una longitud de 0,02 cm y uno de los más largos 15 cm. La diferencia de longitud entre ambos es: A. 14,02 cm B. 14,08 cm C. 14,98 cm D. 15,02 cm 8. ¿Qué porcentaje de 200 es 160? A. 320 % B. 125 % C. 80 % D. 20 % 9. Un fabricante envasa caramelos en bolsas de 50 caramelos cada una. Necesita 72 bolsas para envasar la totalidad de los caramelos. Si ahora desea envasarlos en bolsas de 150 caramelos cada una, ¿cuántas bolsas usará para la misma cantidad de caramelos? A. 24 B. 36 C. 172 D. 216 10. Sabiendo que un casete de 60 minutos de duración tiene 90 metros de cinta, ¿cuántos metros de cinta serán utilizados para una grabación de un cuarto de hora? A. 0,375 m B. 22,50 m C. 112,50 m D. 360 m 11. En una clase de 40 estudiantes hay 24 mujeres. ¿Qué porcentaje de la clase son varones? A. 16 % B. 24 % C. 40 % D. 60 %
  24. 24. fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA 12. ¿Cuántos kilogramos son 50 g? A. 0,05 B. 0,50 C. 5 000 D. 50 000 13. El área de una habitación de 3, 5 m por 25 dm es: A. 8,75 m2 B. 8,75 dm2 C. 875 cm2 D. 875 m2 III IV A. I B. II C. III D. IV 14. El perímetro de un triángulo isósceles es de 4 m. Uno de los lados congruentes mide 1,6 m. 18. En un cuadrilátero, dos ángulos miden 70º El lado desigual mide: cada uno, y la medida de un tercer ángulo es A. 0,8 cm 90 º. ¿Cuál es la medida del ángulo restante? B. 1,2 cm A. 130 º C. 2,4 cm B. 100 º D. 2,5 cm C. 90 º D. 20 º 15. El perímetro de un cuadrado ABCD es 16 cm. El área del triángulo ACD es: 19. El cuadrado del consecutivo de un número enA B A. 4 cm2 tero x se expresa simbólicamente: 2 B. 8 cm A. (x + 1)2 2 C. 16 cm B. x2 + 1 D. 32 cm2 C. (x – 1)2 D. x + 12 C D 20. El número cincuenta y dos milésimos se escribe: 16. En la figura, ¿cuál es el valor de x? A. 0,52 A. 40º B. 0,052 B. 65º x C. 0,0052 C. 75º 115º D. 0,00052 140º D. 85º 17. Se desea construir una caja como la que aquí se representa: Observación: Los problemas propuestos han sido obtenidos de un instrumento de evaluación del Ministerio de Cultura y Educación de Argentina. ¿Cuál es el desarrollo que permite reconstruir la caja doblando por las líneas de puntos? I II 23
  25. 25. Serie 1 / CURRÍCULO Y DESARROLLO DE CAPACIDADES EN MATEMÁTICA Ejemplo de evaluación de proceso: EVALUACIÓN DE PROCESO 1. NIVEL: Secundaria 3. PERIODO: 1 2. GRADO: Segundo 4. Tema: Fracciones CAPACIDAD: Razonamiento Lógico DESTREZAS: Analizar / Aplicar ANALIZA información recibida o recabada sobre fracciones a través de la observación, diferenciación, identificación, comparación y la organización mostrando interés y esfuerzo. 1. En cada una de las siguientes figuras, sombrea la parte correspondiente a la fracción referida: a. b. 2. Complete en cada caso: a. En una fracción, el numerador indica _____ _____ y el denominador indica el número de partes en que se ha dividido la unidad. b. La mitad de 5. PROFESOR: 6. Alumno: 7: Fecha NOTA: APLICA fracciones en forma adecuada a cada situación y con precisión necesaria, a través de los cálculos pertinentes en forma mental o con los algoritmos básicos en función de su complejidad y de la naturaleza del problema, mostrando precisión. 1. Escribe en los recuadros el número que hace que la igualdad sea cierta: a. b. es ________, porque c. c. El doble de _______ es d. La mitad de es , porque 2. Efectúa cada una de las siguientes operaciones combinadas: , porque a. e. Las fracciones equivalentes pertenecen a la clase de equivalencia , porque ______________________________ f. Las fracciones y son ____________ porque 15 × 6 = 9 × 10 g. En 4 unidades hay ______ tercios. h. Dos o mas fracciones son heterogéneas si ___ _______________________________ b. 3. Tres hombres pesan kg, kg y kg. ¿Cuánto pesan entre los tres? 4. Una calle tiene m de longitud y otra m. ¿Cuántos metros tienen entre las dos calles juntas y cuántos metros le faltan a cada una de ellas para tener 60m? 24 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 24 6/13/07 6:37:33 PM
  26. 26. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA Ejemplo de evaluación sumativa: EVALUACIÓN FINAL DE UNIDAD 1. NIVEL: Secundaria 3. PERIODO: 1 5. PROFESOR: CAPACIDAD: Razonamiento Lógico DESTREZAS: Identifica/ Reproduce 2. GRADO: 5to 4. Tema: ______________ 6. Fecha: NOTA: 1. Dados los siguientes gráficos, identifica a qué clase de sistemas pertenecen. (5p) a. Y L1 L2 b. Y L1//L2 0 c. Y L1 L1 L2 0 X L2 0 X X a. b. c. 2. Sin resolver los siguientes sistemas identifica si son o no compatibles. ¿Por qué? (5p) a. b. c. a. b. c. 3. Relaciona las ecuaciones que son equivalentes (5p) a. b. x + 1 = 0 c. d. 8x = 12 4. Define: (5p) a. Ecuación compatible: b. Ecuación incompatible: c. Ecuación compatible determinada: d. Ecuación compatible indeterminada: 25 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 25 5/24/07 5:50:54 PM
  27. 27. Serie 1 / currÍculo y desarrollo de capacidades en matemática CAPACIDAD: Resolución de problemas DESTREZAS: Procesar NOTA: Procesa la información sobre los números naturales y la teoría de los números mediante la relación, la transformación y la aplicación mostrando concentración y objetividad. Objetividad La objetividad es el valor de ver el mundo como es, y no como queremos que sea. Los seres humanos somos una compleja mezcla de sentimientos, raciocinio, experiencia y aprendizaje. Todos estos elementos pueden brindar a una persona una percepción de la realidad que puede estar equivocada. Ser objetivo es un reto importante, porque exige de nosotros ver los problemas y las situaciones con un enfoque que equilibre adecuadamente emoción y razonamiento. Esto por supuesto es complicado cuando las conclusiones se basan más en los sentimientos. Por ello el valor de la objetividad es tan importante, porque nos permite dar su justo peso a los acontecimientos y obrar de una forma coherente. 1. Un grupo de estudiantes de un colegio ha organizado un paseo a Chosica, el costo de dicha actividad es de S/. 240 nuevos soles. Por razones de fuerza mayor, 4 de los integrantes se retiraron, lo que ocasionó que el costo por estudiantes se incremente en S/. 2. ¿Cuántos estudiantes fueron al paseo? (6p) Procesos de resolución: a. Interpreta esquemáticamente el problema. b. Transforma tu interpretación en una ecuación. c. Resuelve la ecuación obtenida. d. Comprueba tu resultado de acuerdo con las condiciones del problema. 2. Tania Distraída hizo un inventario en la tienda “Sobre Ruedas” y, haciendo honor a su apellido, en lugar de contar el número de bicicletas y triciclos existentes, contó el número de pedales y el de ruedas, lo que le dio un total de 152 ruedas y 136 pedales. ¿Cuántas bicicletas y triciclos había? (7p) Procesos de resolución: a. Interpreta esquemáticamente el problema. b. Transforma tu interpretación en un sistema de ecuaciones. c. Resuelve el sistema obtenido. d. Comprueba tu resultado de acuerdo con las condiciones del problema. 3. Luisa tiene tres tapetes en forma de cuadrado, el área del más grande es 169 cm2, el área del mediano es 81 cm2 y el área del más pequeño es 49 cm2. ¿Cuál será el perímetro de la figura que se forma cuando Luisa coloca sus tapetes uno junto al otro como se muestra en la figura? (7p) http://www.encuentra.com/ Procesos de resolución: a. Interpreta el esquema del problema presentado. b. Transforma tu interpretación en una ecuación. c. Resuelve la ecuación obtenida reemplazando las variables por sus valores respectivos. d. Comprueba tu resultado de acuerdo con las condiciones del problema. 26
  28. 28. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA Desarrollando las formas de evaluar a los estudiantes Tomado de: http://www.educared.edu.pe/ Las preocupaciones y dificultades con que se encuentra el docente no están relacionadas únicamente con la forma de enseñar y las estrategias y recursos utilizados, sino con la cuestión de cómo evaluar los logros y los aprendizajes de sus estudiantes. A veces los estudiantes tienen la percepción de que no reciben una nota que representa sus logros, ni sus conocimientos, ni el esfuerzo puesto en el aprendizaje. Algunos expertos señalan, en relación con el tema de la evaluación, que uno de los aspectos más importantes es que los estudiantes reciban una devolución atinada y precisa de su desempeño, de modo tal que puedan mejorar su rendimiento. Se suele observar poco acuerdo acerca de qué es lo que se debería considerar en una evaluación: si ésta responde a un criterio o se basa en una norma establecida, y si la evaluación debería constituir un elemento motivador o simplemente de comunicación. La realidad indica que la metodología de evaluación utilizada por el docente depende de la visión o postura que sobre ella tenga el educador y, en todo caso, la escuela. A continuación presentamos algunos lineamientos para evaluar a los estudiantes, basados en el artículo “Guidelines for improving grading practices”, publicado en el vol. 40, Nº 8, diciembre, 1998 de Education Update de Association for Supervision and Curriculum Developmen. • Limite la evaluación de atributos a la evaluación de los logros individuales. Según proponen algunos expertos, el esfuerzo, la participación y la actitud adoptada deben ser especificados y evaluados por separado, para lo cual se requerirá un boletín con características especiales. • Evite utilizar la evaluación de contenidos para calificar el comportamiento o la disciplina. • Realice un promedio del rendimiento del estudiante, no será necesario colocar una nota para cada tarea que realiza; tampoco es necesario incluir todas las notas obtenidas en las evaluaciones finales. Los especialistas sugieren hacer una devolución en relación al progreso en cuanto al rendimiento general, incluyendo solamente el promedio o evaluación conjunta de los logros. Asimismo, es conveniente enfatizar las evaluaciones y resultados más recientes, que en definitiva estarían mostrando hasta dónde ha llegado el estudiante en su desempeño y su aprendizaje. Es importante que el docente ofrezca diferentes oportunidades a los estudiantes para mejorar sus notas. Esto no significa Cuestiones formuladas por el docente y los estudiantes: Experimentación: 1. Presentación de la tarea. 2. Trabajo en grupo (cuatro a cinco estudiantes). 3. Trabajo de campo (recolección de datos). Representación: Interacción entre estudiante – estudiante. 1. Trabajo de grupo. 2. Organizar y tabular datos. 3. Construir gráficos. Comunicación: 1. El docente plantea cuestiones que faciliten la evaluación y comparación de las relaciones encontradas. 2. Se identifican cuestiones sin solución. 3. Se identifican algunas estrategias que resuelven algunos casos. Reflexión: Identificar otros contextos en los que también aparecen las mismas relaciones. Es decir, la traslación de las experiencias. 27 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 27 5/24/07 5:51:09 PM
  29. 29. Serie 1 / currÍculo y desarrollo de capacidades en matemática darle a los estudiantes oportunidades ilimitadas para aprobar un examen, sino brindarles la posibilidad de demostrar que realizaron un esfuerzo adicional y que ello incrementa la posibilidad de obtener mejores resultados. • Relacione los procedimientos de evaluación con los objetivos propuestos en cuanto al aprendizaje: el énfasis puesto en los diferentes temas o habilidades debería verse reflejado en el peso e importancia que tienen al diseñar las evaluaciones finales. • Utilice las notas con criterio y cuidado: los especialistas sostienen que uno de los dilemas más importantes es qué hacer cuando un alumno obtiene la nota mínima en una materia. Si los resultados de cada materia son promediados, esa nota podría estar representando una evaluación que no refleja el rendimiento real del estudiante. • Establezca un criterio basado en el rendimiento promedio: la idea sería evaluar a los estudiantes de acuerdo con cuán cerca estén de alcanzar el patrón de rendimiento esperado. Por ejemplo, si todos los estudiantes alcanzan el patrón esperado es correcto que reciban la evaluación más alta. • Converse con sus estudiantes acerca del criterio de evaluación: es muy positivo para ellos conocer la forma en la que son evaluados y que este deje de ser un misterio. Actividad 1 Organizados en grupos de trabajo de cuatro colegas, respondan las situaciones siguientes, socializando sus respuestas y presentando un informe escrito. 1. Resuma en un esquema o mapa conceptual los métodos y técnicas de evaluación en Matemática. 2. Diseñe un instrumento de evaluación, considerando las respectivas capacidades en Matemática. 3. Realice un listado de criterios e indicadores de evaluación respecto a un determinado contenido matemático considerado para Educación Secundaria. 4. Considerando las capacidades generales y específicas en Matemática, formule un ítem de un instrumento de evaluación con cuatro grados de dificultad tomando en cuenta algún contenido de la Geometría. 5. Presente un ensayo respecto a la evaluación de las capacidades generales en Matemática, a partir de la revisión de información en la web. 28
  30. 30. fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA 2. Evaluación Lee con atención y en una hoja aparte responde lo que se te pide. Organiza talleres para exponer los trabajos presentados. 1. Escribe cada capacidad matemática con sus capacidades específicas, respecto al tema estadística descriptiva para Educación Secundaria. 2. Redacta los indicadores de evaluación de Matemática en función del desarrollo de capacidades, en los grados en que estás trabajando. 3. Elabora una prueba de evaluación inicial o diagnóstica y otra formativa o de proceso, para el contenido “funciones” en segundo grado de Educación Secundaria, en el que se evalúan las tres capacidades del área. 4. Forma un grupo con tus colegas. Analicen el siguiente ítem liberado del Proyecto Pisa, y describan qué capacidades matemáticas específicas se pueden evaluar: Pregunta 23: PUNTUACIONES EN UN EXAMEN M513Q01 - 0 1 9 El diagrama siguiente muestra los resultados en un examen de Ciencias para dos grupos, denominados A y B. La puntuación media del grupo A es 62,0 y la media del grupo B es 64,5. Los estudiantes aprueban este examen cuando su puntuación es 50 o más. Gráfico Nº 01 Grupo A Grupo B 90 - 100 80 - 89 70 - 79 60 - 69 50 - 59 40 - 49 30 - 39 20 - 29 10 - 19 0-9 Puntuaciones en un examen de Ciencias Puntuación Evaluación PISA Al observar el diagrama, el profesor afirma que en este examen el grupo B fue mejor que el grupo A. Los estudiantes del grupo A no están de acuerdo con su profesor. Intentan convencer al profesor de que el grupo B no tiene por qué haber sido necesariamente el mejor en este examen. Da un argumento matemático, utilizando la información del diagrama, que puedan utilizar los estudiantes del grupo A. 5. Con tus colegas, elaboren pruebas de evaluación sumativa de Matemática en función del desarrollo de capacidades respecto al contenido ecuaciones de primer grado, para estudiantes de Educación Secundaria. 29
  31. 31. 3. METACOGNICIÓN Metacognición es la habilidad de pensar sobre el discurso del propio pensamiento, es decir, sirve para darnos cuenta cómo aprendemos cuando aprendemos. Responde en una hoja aparte: 1. ¿De qué manera te organizaste para leer el fascículo y desarrollar las actividades propuestas? 2. ¿Te fue fácil comprender el enunciado de las actividades? ¿Por qué? 3. Si no te fue fácil, ¿qué hiciste para comprenderlo? 4. ¿Qué pasos has seguido para desarrollar cada una de las actividades? 5. ¿Cuáles de estos pasos te presentaron mayor dificultad? 6. ¿Cómo lograste superar estas dificultades? 7. Al resolver la evaluación, ¿qué ítems te presentaron mayor dificultad? 8. ¿Qué pasos has seguido para superar estas dificultades? 9. ¿En qué acciones de tu vida te pueden ayudar los temas desarrollados en este fascículo? 10. ¿Qué nivel de logro de aprendizaje consideras que has obtenido al finalizar este fascículo? Muy bueno Bueno Regular Deficiente NO ESCRIBIR ¿Por qué? 11. ¿Crees que las actividades de investigación fueron realmente un trabajo de equipo? Explica. 12. ¿Tuviste la oportunidad de compartir tus conocimientos con algunos de tus colegas? ¿Qué sentimientos provocaron en ti este hecho? 30
  32. 32. Fascículo 3 / EVALUACIÓN EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFÍA comentada 1. Bernard Mainar, Juan Antonio. Modelo cognitivo de evaluación educativa. Madrid. Narcea S. A. Ediciones, 2000. Constituye un buen libro, pues abre nuevos horizontes. Uno de ellos se relaciona prioritariamente con la creación de instrumentos destinados a enriquecer el proceso de evaluar a los estudiantes. Contiene para el docente un abundante paquete de datos que le sirven de base psicológica para dirigir a los estudiantes en su trabajo. El autor es doctor en Educación, y es uno de los especialistas españoles en el campo de Estrategias de Aprendizaje. 2. Guzmán, Miguel de. Enseñanza de la Ciencia y de la Matemática. Zaragoza. Publicaciones del Instituto de Ciencias de la Educación de la Universidad de Zaragoza, 1989. Las notas contienen una serie de observaciones personales de Miguel de Guzmán sobre algunos aspectos del panorama actual de la educación matemática. Se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situación de cambio en la que actualmente nos encontramos, señalando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vías menos deseables en las que la enseñanza matemática se introdujo en un pasado reciente. 3. La Torre Ariño, Marino; Seco del Pozo, Carlos Javier. Diseño curricular nuevo para una nueva sociedad. Lima. Universidad Marcelino Champagnat, 2006. Presenta las bases curriculares para la nueva sociedad de la información. Aclara que no es lo mismo información que conocimiento; para que la información se convierta en conocimiento es necesario poner en marcha una serie de estrategias, para lo cual se requiere poseer habilidades cognitivas. Constituye un buen texto para el docente de Educación Secundaria. 4. National Council of Teachers of Mathematics. Estándares curriculares y de evaluación para la Educación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 1990. Al igual que Principios Estándares para la Educación Matemática, es un documento de última generación que todo docente debe tener en su biblioteca personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo y evaluación de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional, con ejemplos ilustrativos. 5. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales, 2003. Es un documento de última generación que todo docente debe tener en su biblioteca personal; en él encontramos las orientaciones básicas para el desarrollo de las capacidades matemáticas propuestas en el Diseño Curricular Nacional. 31 Z_Serie3_Fasc9_Doc.indd 31 6/13/07 7:39:58 PM
  33. 33. Serie 1 / currÍculo y desarrollo de capacidades en matemática Enlaces web 1. http://www.comenius.usach.cl/webmat2/enfoque/evaluacion.htm En esta dirección electrónica se encontrarán interesantes instrumentos de evaluación del aprendizaje elaborados por los matemáticos Fidel Oteiza y Hernán Miranda. Se propone un conjunto de instrumentos que pueden ser usados como otras formas de evaluar y que son particularmente adaptables a las prácticas que involucran el uso de la tecnología informática. Se promueve la participación activa de los estudiantes (los mapas conceptuales, las pautas de presentación de proyectos, los portafolios) y provee de herramientas al docente para observar la actuación de su alumnado. 2. http://juanantonio.wiki.mailxmail.com/PaginaInicial En esta página web se puede encontrar el artículo: “La evaluación continua en Matemática”. Se parte de la premisa de que los estudiantes y el docente deben interactuar de manera muy especial para que se consiga la finalidad última que es el buen funcionamiento del proceso enseñanza-aprendizaje. Y un elemento fundamental en la tarea docente es conocer a fondo a los educandos, tanto en su capacidad como en su intelectualidad, y eso se logra a través de una evaluación idónea. 3. http://www.labiblio.com/ Colección de enlaces clasificados en muchos temas. Contiene una sección dedicada a la Matemática y otra de apuntes. 4. http://www.ilustrados.com/publicaciones/EEuAypFkFZqoeJJGgc.php La evaluación del aprendizaje en la Matemática y su impacto. La evaluación como proceso individualizado implica la necesidad de una comunicación. 5. http://www.eduteka.org/PrincipiosMath.php Los Estándares describen el contenido y los procesos matemáticos que los estudiantes necesitan. La evaluación debe apoyar el aprendizaje de conceptos, términos y símbolos, la aplicación de algoritmos, interpretación de gráficos y/o expresiones simbólicas, comunicación matemática y resolución de problemas, es decir, el aprendizaje de la Matemática en función del desarrollo de las capacidades matemáticas. También plantea los estándares de evaluación. 6. http://www.ucentral.cl/educacion_2006/postitulo_matematica_ciencias.doc Para adquirir conocimientos actualizados respecto del proceso de evaluación y de propuestas innovadoras para el aprendizaje de las ciencias y la Matemática. La reforma educacional ha planteado una serie de desafíos a todos los niveles del sistema educativo: la elaboración de nuevos planes y programas que se enmarquen en nuevos enfoques curriculares y didácticos, la incorporación de nuevos contenidos y el planteamiento del desarrollo de las capacidades matemáticas. 32

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