Tutorial de series de Fourier
Conceptos clave
Identidad entre cualquier se˜nal peri´odica y una suma de exponenciales
comp...
Paso 1. Encontrar la frecuencia ω0 de x(t).
Paso 2. Encontrar el periodo de x(t) con la f´ormula T0 = 2π/ω0.
Paso 3. Encon...
la magnitud o la fase de cada coeficiente ck en el eje vertical. Como los coeficien-
tes s´olo existen para las frecuencias ...
tiempo. La integral queda como sigue:
ck =
A
T0
T0/2
0
e−jkω0t
dt
=
A
jk2π
(1 − ejkπ
),
tomando en cuenta que:
El factor A...
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Magnitud
Frecuencia (hertz)
Espectro de magnitud
Figura 1: Espectro de magnitud del...
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
Fase
Frecuencia (hertz)
Espectro de fase
Figura 2: Espectro de fase del ejemplo
...
que ya casi est´a expresado en forma de serie de Fourier. La serie va a
consistir s´olo de dos t´erminos, c1 y c−1, con
c1...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Tutorial sf

278 visualizaciones

Publicado el

algo de series fourier

Publicado en: Tecnología, Empresariales
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
278
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
3
Acciones
Compartido
0
Descargas
3
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Tutorial sf

  1. 1. Tutorial de series de Fourier Conceptos clave Identidad entre cualquier se˜nal peri´odica y una suma de exponenciales complejas M´etodo mec´anico para obtener la suma de exponenciales complejas Espectro de amplitud y fase La idea clave de las series de Fourier es que cualquier se˜nal peri´odica, cual- quiera1 , es igual a una suma de exponenciales complejas, cada una de cierta amplitud, fase y frecuencia. Como una exponencial compleja es un coseno m´as un seno (de amplitud compleja, entonces toda se˜nal peri´odica es igual a una suma de senos y cosenos, cada uno con una fase, frecuencia y amplitud particular. El an´alisis de Fourier consiste en encontrar, para una se˜nal peri´odica x(t), las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a x(t). Esto equivale a encontrar la fase, frecuencia y amplitud de cada exponencial compleja. De acuerdo a Fourier, cualquier se˜nal x(t) se puede escribir como x(t) = ∞ k=−∞ ckejkω0 . Analicemos esta ecuaci´on: Es una sumatoria de un n´umero infinito de sumandos. La suma tiene un ´ındice, k, que es entero y toma todos los valores entre −∞ y ∞. Cada sumando contiene un n´umero ck, que es un n´umero complejo. Estos n´umeros se llaman coeficientes de Fourier. Cada coeficiente multiplica a una exponencial compleja de frecuencia kω0, donde ω0 es la frecuencia de x(t). Esto es, cada exponencial compleja tiene una frecuencia igual a kω0, y tiene una amplitud y una fase determinadas por ck (ver ´ultimo p´arrafo del tutorial de trigonometr´ıa). El proceso para encontrar la serie de Fourier de x(t) es totalmente mec´anico. Hay que seguir estos pasos: 1No todas las funciones matem´aticas peri´ocicas tienen serie de Fourier, pero s´ı todas las se˜nales usadas en telecomunicaciones 1
  2. 2. Paso 1. Encontrar la frecuencia ω0 de x(t). Paso 2. Encontrar el periodo de x(t) con la f´ormula T0 = 2π/ω0. Paso 3. Encontrar los coeficientes complejos de Fourier ck con la siguiente f´ormula: ck = 1 T0 T0 x(t)e−jkω0t dt. Analicemos esta ecuaci´on: Para resolver la integral, necesitamos los valores de ω0 y T0 encon- trados en los pasos 1 y 2. La integral se hace sobre un periodo de x(t); qu´e periodo particular no importa. Lo m´as com´un es hacer la integral de 0 a T0, o de −T0/2 a T0/2. La ecuaci´on que resulta de resolver la integral tiene un par´ametro k. Para encontrar cada coeficiente de la serie de Fourier hay que sustituir k por n´umeros enteros. Por ejemplo, sustituir k = 0 nos da c0, k = 1 nos da c1, k = −1 nos da c−1, etc´etera. Los coeficientes ck son n´umeros complejos. Espectro de una se˜nal. La gr´afica de una se˜nal x(t) nos da cierta infor- maci´on sobre la se˜nal: su forma, c´omo cambia en el tiempo, su amplitud, sus cruces por cero. La serie de Fourier nos da otro tipo de informaci´on: qu´e com- ponentes forman a la se˜nal, y qu´e amplitud y fase tiene cada componente. Los componentes son las exponenciales complejas que, sumadas, son iguales a la se˜nal x(t). As´ı como se puede graficar la se˜nal x(t) de la forma convencional, sus coeficientes complejos de Fourier tambi´en se pueden graficar. Esto nos permite visualizar sus propiedades. Como los coeficientes son complejos, no se pueden graficar en una s´ola gr´afica, se necesitan dos: una para su magnitud, y otra para su fase. Si escribimos cada coeficiente ck en coordenadas polares, ck = |ck|ej∠ck , entonces podemos graficar la magnitud y la fase por separado. Ver un ejemplo m´as adelante. Repitiendo: la gr´afica de una se˜nal en el tiempo y sus espectros de magnitud y fase son dos representaciones de la misma se˜nal; cada representaci´on nos da diferente informaci´on sobre la se˜nal. Es com´un decir que la gr´afica convencional de x(t) est´a en el dominio del tiempo y que los espectros est´an en el dominio de la frecuencia. Para el dise˜no y an´alisis de sistemas de comunicaciones, la visi´on en el dominio de la frecuencia resulta muchas veces mucho m´as ´util que la del dominio del tiempo. As´ı como la gr´afica de x(t) en el tiempo tiene un eje horizontal que representa el tiempo, y un eje vertical que representa la amplitud de la se˜nal en cada instan- te, as´ı los espectros de amplitud y fase tienen la frecuencia ω en el eje horizontal y
  3. 3. la magnitud o la fase de cada coeficiente ck en el eje vertical. Como los coeficien- tes s´olo existen para las frecuencias kω0, para k entero tal que −∞ < k < ∞, entonces el espectro es discreto y s´olo se grafican las magnitudes y fases en las frecuencias kω0. Notas importantes. Otras cosas que hay que saber sobre la serie de Fourier son: Si x(t) es real, como suceder´a en la mayor parte del curso, entonces los coeficientes de Fourier tienen la siguiente propiedad: la magnitud de ck es igual a la de c−k, y la fase de ck es igual a −1 por la fase de c−k. |c−k| = |ck| ∠c−k = −∠ck. Lo importante aqu´ı es que no es necesario calcular todos los coeficientes, s´olo aquellos para k ≥ 0. Una vez que se conocen ´estos se pueden deducir aquellos para k < 0 usando la f´orumla de arriba. La potencia de la se˜nal en un periodo puede calcularse tanto en el tiempo como en la frecuencia, seg´un la relaci´on de Parseval: Px = 1 T0 T0 |x(t)|2 dt = ∞ k=−∞ |ck|2 . Dependiendo de cada caso, puede ser m´as f´acil calcular la potencia de la se˜nal empleando su representaci´on en el tiempo o en la frecuencia. Ejemplo. Vamos a resolver el ejercicio 5.5(a) del libro de texto, paso por paso. Se trata de obtener la serie de Fourier de una forma de onda que se conoce como onda cuadrada peri´odica (ver figura en el libro). Vamos a seguir los pasos indicados arriba. Paso 1. Identificar la frecuencia ω0 de la se˜nal. Viendo la gr´afica, podemos encontrar que el periodo de la se˜nal es T0; por lo tanto, su frecuencia es ω0 = 2π/T0. Paso 2. La figura autom´aticamente nos proporciona el periodo de la se˜nal. Podemos tambi´en ver que la se˜nal vale 0 durante la mitad del periodo. Paso 3. Hacer la integral para obtener los coeficientes. La f´ormula es: ck = 1 T0 T0 x(t)e−jkω0t dt. La integral la podemos hacer s´olo de 0 a T0/2 porque la se˜nal vale cero entre T0/2 y T0. Podemos sustituir x(t) con A durante ese intervalo de
  4. 4. tiempo. La integral queda como sigue: ck = A T0 T0/2 0 e−jkω0t dt = A jk2π (1 − ejkπ ), tomando en cuenta que: El factor A sale de la integral La integral se resuelve completando el diferencial Tanto en el denominador como en el exponente de e se ha usado el hecho de que T0ω0 = 2π. (Esto es cierto para toda se˜nal). Se ha supuesto que k = 0; de otra forma la ecuaci´on queda indefinida. Entonces queda pendiente lo siguiente: simplificar m´as la ecuaci´on, y encontrar c0. La ecuaci´on se puede simplificar viendo que e−jkπ = ej(−k)π es siempre un n´umero real, que vale 1 cuando k es par y −1 cuando k es impar. Por ejemplo, para k = 1 tenemos e−jπ que vale -1, y para k = 2 tenemos e−j2π que vale 1. Esto se puede simplificar como e−jkπ = (−1)k y entonces ck = A jk2π (1 − (−1)k ). Por la resta, tenemos que si k es par, entonces ck vale cero, y si k es impar, entonces ck = A jkπ . Queda pendiente encontrar c0. Se puede calcular directamente de la defi- nici´on de los coeficientes, sustituyendo k por cero, es decir, sustituyendo la exponencial por 1: c0 = A T0 T0/2 0 dt = A/2. Note que el valor de los coeficientes no depende de T0. Para encontrar los espectros hacemos lo siguiente. Para poder calcular valo- res num´ericos supongamos que A = 1 y T0 = 1, es decir, ω0 = 2π. Calculemos primero el espectro de magnitud. La magnitud de ck para k impar es igual a |ck| = 1 kπ , Podemos calcular los primeros siete valores de |ck|:
  5. 5. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Magnitud Frecuencia (hertz) Espectro de magnitud Figura 1: Espectro de magnitud del ejemplo. k |ck| -3 1/(3π) -2 0 -1 1/π 0 1/2 1 1/π 2 0 3 1/(3π) El espectro de amplitud se muestra en la figura (1). La frecuencia en el eje horizontal est´a convertida a hertz. Para calcular el espectro de fase, vemos que s´olo hay tres fases posibles. Si k < 0 e impar, entonces ck = 1 jkπ donde k es negativo. Tenemos entonces un n´umero de la forma −1/j = j, cuya fase es π/2. Si k > 0 e impar, entonces tenemos un n´umero de la forma 1/j = −j, que tiene fase 3π/2. Si k es par o 0, entonces la fase es cero. El espectro de fase se muestra en la figura (2). Los dos espectros fueron calculados y graficados empleando c´odigo de Octave similar a la pr´actica 1. Se puede ver que los espectros son discretos y que la fase y magnitud de ck se grafican en la frecuencia ω = kω0. Ejercicio 1. En los espectros mostrados arriba, verifique que la conversi´on de hertz a radianes por segundo sea correcta.
  6. 6. -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 Fase Frecuencia (hertz) Espectro de fase Figura 2: Espectro de fase del ejemplo Ejercicio 2. La serie de Fourier de una se˜nal x(t) tiene en general un n´umero infinito de t´erminos (aunque algunas se˜nales s´olo necesitan algunos pocos t´erminos). Cuando una se˜nal necesita un n´umero infinito de t´erminos (como es el caso en el ejemplo mostrado arriba), pero s´olo se toman unos cuantos, se tiene lo que se llama una suma truncada. En este caso, la suma truncada es s´olo una aproximaci´on a x(t). Una forma de evaluar qu´e tan buena aproximaci´on es la suma truncada es comparar la potencia de x(t) con la de la suma truncada. Para la se˜nal del ejemplo: Calcular la potencia de un periodo de x(t). Calcular la potencia de la suma truncada con 3, 7, y 15 t´erminos, utilizando el teorema de Parseval. Comparar (en porcentaje) la potencia de x(t) con la de cada suma truncada. Ejercicio 3. En todos los ejercicios de series de Fourier del libro de texto, grafique los espectros de amplitud y fase para los primeros 11 t´erminos. Ejercicio 4. Las se˜nales senoidales y cosenoidales son especialmente sencillas de expresar como serie de Fourier, gracias a la identidad de Euler. Por ejemplo, para el coseno, cos(ω0t + φ) = 1 2 ej(ω0t+φ) + ej(−ω0t−φ) ,
  7. 7. que ya casi est´a expresado en forma de serie de Fourier. La serie va a consistir s´olo de dos t´erminos, c1 y c−1, con c1 = eφ /2 c−1 = e−φ /2. Calcule la serie de Fourier de 2 sen(3πt + π) cos(100πt + 3) 2 sen(5πt + π) + 3 cos(10πt − 3π/2).

×