1. MEDIA ARITMÉTICO PARA DATOS NO AGRUPADOS
Llamada también promedio, se denota (cuando es poblacional) y por x (cuando es
muestral)
La media es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones.
Media poblacional ( ) si hay N observaciones en el conjunto de datos de la
población, la media se calcula así:
Media poblacional
X X1 X 2 ... X N
=
N N
Donde es el signo de sumatoria que indica que se suman todas las
observaciones desde i=1 hasta i=N
Media de una muestral ( x )
xi x1 x2 ... xn
x=
n n
En donde:
X1 = son los datos observados de la población
x1= son los datos observados de la muestra
N = tamaño de la población
n = tamaño de la muestra
= Letra griega “que indica suma”
Ejemplo1:
Suponga que se tiene una muestra de los ingresos mensuales en miles de dólares para 5
meses: 56, 57, 52, 45, y 67, la media muestral será:
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2. x= = 57.4
Ejemplo 2
Hay 12 empresas de autos en estados Unidos. Se presentan el número de patentes
otorgadas el año pasado por dicho pais a cada negociación:
Empresa Número de Empresa Número de
patentes patentes
General Motors 511 Mazda 210
Nissan 385 Chrysler 97
DaimlerChrysler 275 Porsche 50
Toyota 257 Mitsubishi 36
Honda 249 Volvo 23
Ford 234 BMW 13
a) ¿La información anterior es una muestra o una población?
b) Halle la media aritmética e interprete.
Solución:
a)Es una población por que se consideran todas las compañías automovilísticas que
obtuvieron patentes.
511 385 ... 13 2340
b) = 195
12 12
Interpretación: El número promedio de patentes recibido por una empresa es de 195.
(Este valor es un parámetro poblacional).
Nota:
La media aritmética es la única medida de tendencia central donde la suma de las
desviaciones de cada valor, respecto a la media, es siempre igual a cero. Simbólicamente es
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3. (X X) 0
Por ejemplo: La media de 3, 8, y 4 es 5.
Entonces (X X ) (3 5) (8 5) (4 5) 0
Desventaja de la Media:
- Si en el conjunto de datos hay alguno o algunos demasiado grandes o muy pequeño
con relación a los demás, la media se distorsiona, por lo tanto no seria conveniente
usarla como medida de tendencia central.
La Media Ponderada
En la discusión sobre la media, se asume que cada discusión era de igual importancia. Sin
embargo, en ciertos casos, puede quererse dar mayor peso a alguna de las observaciones.
Ejemplo
Si el profesor de estadística, dice que el examen final valdrá el doble de los otros exámenes
para determinar la nota final, entonces al puntaje que se obtenga en el examen final debe
dársele el doble de peso. Es decir, que debe contarse doble al calcular la nota. Esto es
exactamente lo que hace la media ponderada al utilizar la formula
Xw= en donde X w es la media ponderada
X es la observación individual
W es el peso o ponderación asignada a cada
Observación.
Se asume que se tuvo un puntaje de 89,92 y 79 en los exámenes parciales y 94 en el
examen final. Estos puntajes y sus respectivas ponderaciones están reflejados en la tabla
Calculo de la media ponderada
Xw= = = 89,6
Nota(x) Peso(w) Xw
49 1 89
92 1 92
79 1 79
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4. 94 2 188
5 448
Este método es igual que sumar la nota del examen final 2 veces al calcular la media
Xw= = 89,6
Media ponderada: la media ponderada toma en cuenta la importancia relativa de las
observaciones
La mediana (Me)
También llamada media posicional, porque queda exactamente en la mitad del conjunto de datos,
después de que las observaciones se han colocado en serie ordenada de menor a mayor o lo
contrario. La mitad de las observaciones estará por encima de la mediana y la otra mitad estará
por debajo de ella.
Tiene como ventaja sobre la media aritmética que los valores muy grandes o muy pequeños con
relación al conjunto de datos no tiene ninguna influencia sobre ella.
Mediana para datos no agrupados.
- Si el conjunto de datos tiene un número impar de observaciones la posición de la mediana es
(después de organizar los datos de menor a mayor o lo contrario):
Posición de la Me= ; o simplemente el valor del centro, en caso de numero de observaciones
sea pequeño
- Si el conjunto de datos es par, es necesario promediar los dos valores medios, también
podemos utilizar la formula : Me=
- Ejemplo 1
- Suponga que se toma una muestra de los ingresos mensuales en una empresa en miles de
dólares (5 meses) US$ 56, 57, 52, 45, y 67.
- Hallar la mediana.
 Ordenamos de menor a mayor:
US $ 45, 52, 56, 57,67
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5. La posición del valor de la mediana será: posición de Me= = 3 ósea será el dato de la tercera
posición, es decir: US $56 = Me
Interpretación:
La mitad de los ingresos estuvieron por debajo de US $56.000
- Ejemplo 2
Si en el mismo ejemplo el número de ingresos de ventas es Par: US $35, 45, 52, 56, 57,67 (ya
ordenados) el valor de la mediana será:
Posición de la mediana
Posición= = 3.5
Me = = = 54, Interpretación: La mitad de los ingresos estuvieron por debajo de US
$54.000
La Moda. (Para datos no agrupados)
Es la observación que ocurre con mayor frecuencia
Ejemplo 3
. Utilizando el ejemplo anterior de: US$ 35, 45, 52, 56, 57, 67, 67
La moda es US $ 67(El ingreso con mayor frecuencia). Si por ejemplo se agregara otro ingreso
(56) entonces el conjunto de datos sería bimodal, es decir con dos modas: US $ 56 y 67(Los
ingresos con mayor frecuencia)
Ejemplo 4
Medidas de tendencia central
La emisión de la revista fortune el 17 de febrero de 1991 reporto que en 1.997 reporto que
en1996 las utilidades en millones de dólares de varias de las 500 mejores compañías que
aparecen en la revista incluían:
Epson US$7,510
Philips Morris 6.246
Intel 5.157
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6. General electric 7,280
IBM 5,429
General motors 4,289
Calcules las tres medidas de tendencia central.
Solución:
Media: tratando los datos como una muestra se tiene que
X= 5,985
Mediana: primero deben colocarse los datos en una serie ordenada. Si no están ordenados, la
posición que se encuentra utilizando la formula 3.3 no tiene sentido.
US$ 4,2895; 5,157; 5,429; 6,246; 7,280; 7,510
La posición de la mediana es = 3.5. La mediana es el promedio de los valores 3 y 4:
5,429+6,246 0 Me= = 5,837, el 50% de las utilidades estuvo por debajo de US $
5,837
Moda: este conjunto de datos no tiene moda debido a que todas las observaciones ocurrieron
con igual frecuencia
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