Origami y_cabri

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Origami y_cabri

  1. 1. ORIGAMI Y CABRI: DOS HERRAMIENTAS CLAVES PARA LA CONSTRUCCIÓN Y APREHENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ÁREA Y PERÍMETRO Por: Nora Benítez Manjarrés Docente Normal Superior de Pasca y Universidad de Cundinamarca (Colombia) e-mail: norax23@hotmail.comRESUMENComo docentes se debe admitir que los niños cometen errores en el cálculo de áreas evidenciandodificultades tales como la confusión entre área y perímetro. (TIMMS, 1990). Esta incapacidad de los alumnospara distinguir magnitudes diferentes es considerada por Lunzer (1985) como un obstáculo epistemológico,posiblemente debido a la carencia de previos conocimientos que a la larga crean un conflicto y por tanto unaruptura, entre las imágenes intuitivas y deducciones lógicas de ciertas propiedades relacionadas con lasuperficie, la longitud o el volumen. Esta inhabilidad se ha visto propiciada por que en muchos casos, losprogramas oficiales en matemáticas, no incluyen el concepto de magnitud y los pasos necesarios para suconstitución, preocupándose únicamente por las fórmulas. Por tanto es necesario que, en primaria y en losprimeros años de secundaria, se haga una adecuada construcción de esos dos conceptos para que luego deque esto se haya logrado, la utilización de algoritmos tenga un sentido real para los estudiantes en losgrados superiores. Con estos referentes como punto de partida, se presenta una propuesta que articula lapráctica del Origami y la utilización de CABRI II plus como herramientas claves en la formalización de estosconceptos. Así mismo se muestran factores de visibilidad que son indispensables a la hora de solucionaralgunos problemas relativos a estos conceptos.ABSTRACTOrigami and Cabri: two key tools for the construction and comprehension of the concepts of area andperimeter: As educators, we should admit that students make many mistakes when working on concepts ofgeometric calculations. Many students, in fact, have demonstrated difficulties with respect to theconstruction of a satisfying mathematical awareness on the relationships between “perimeter and area” andvery often, they confused them both while doing their calculations. (TIMMS, 1990). This inability of thestudents to differentiate between diverse magnitudes is considered by Lunzer (1985) as an epistemologicalobstacle, possibly due to the lack of previous knowledge that in the long run creates a conflict, and thereforea rupture between intuitive images and logical reasoning of certain properties related to surface, length orvolume. This incompetence has been brought about because in many cases licensed mathematics programsdo not include concepts such as the methods of magnitude and the necessary steps that must be followed inorder to better learned and understand its concept. Most of these programs base their teaching solely ongeometric formulas, therefore, it is imperative that when students begin elementary school and middleschool, an appropriate edification of the concepts of area and perimeter is done, so by the time they beginhigh school the use of algorithms has been learned and clearly perceived. After mentioning the above
  2. 2. observations, I would like to disclose my project which promotes as crucial tools in the teaching ofgeometric concepts, the adoption of Origami and the CABRI II Plus software. This project also defines therole of visualisation as a model of development in geometrical reasoning, which is indispensable whensolving some geometrical situations that are related to the concepts of area and perimeter. 1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE ÁREATradicionalmente se enseñan los conceptos de área y perímetro a través de “algoritmos” y“fórmulas” que terminan olvidándose y confundiéndose entre sí al no haber un adecuado procesode construcción de los mismos. El hecho de que algunos docentes se inclinen por el manejoalgorítmico desde la primaria va de la mano con el desconocimiento del papel que como maestrosdebemos asumir frente a cimentación de estos conceptos y de las dificultades que se evidencianen pruebas nacionales e internacionales. Dada su importancia, la comprensión adecuada de área yperímetro está presente en muchas de las actividades matemáticas que se plantean a lo largo delcurrículo de matemáticas. Esto hace que sea fundamental que los maestros de esta área noscuestionemos acerca de las estrategias didácticas que pueden ser utilizadas para contribuir a lasolución de este problemaA continuación se ilustran razones fundamentales por las cuales abordar un estudio sobre laconstrucción y aprehensión de los conceptos de área y perímetroReafirmando las ideas escritas anteriormente, el doctor Carlos Vasco en una de susconferencias expresa: “…Volviendo a las áreas, se sabe ya desde comienzos de siglo que los alumnos creen que las áreas son las fórmulas de las áreas, que el área del cuadrado es el lado elevado al cuadrado, que el área del triángulo es base por altura sobre dos, etc., pero no saben propiamente qué es el área, y si uno les cambia la figura o las unidades, están completamente perdidos. Mucho menos van a poder comprender la densidad areal de una lámina en física, la velocidad areal de un planeta o las integrales dobles y las integrales de área” Carlos Vasco, (1999).
  3. 3. 2. DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO¿Qué otras cosas se pueden hacer en vez de empezar enseñando a partir de fórmulas memorísticasy de su aplicación en distintos casos? La respuesta es que existen varias actividades posibles que sepueden explorar y ampliar haciendo uso de herramientas tales como ORIGAMI (o el arte de plegarpapel) y CABRI II plus (un software de geometría dinámica). Pero ante todo se hace necesarioreflexionar frente a las estrategias que pueden contribuir a la construcción y diferenciación de losconceptos de área y Perímetro.Para el desarrollo de este proyecto se fijaron como lineamientos los siguientes:  Realizar una reflexión académica sobre teorías, tendencias y modelos estudiados desde la didáctica para la construcción de estos conceptos y revisar la pertinencia de algunas estrategias didácticas  Utilizar como herramientas Cabri y Origami a través de la selección de algunos modelos para su análisis  Diseñar, aplicar y evaluar una serie de actividades a partir de la revisión de documentos y propuestas didácticas estudiadas  Presentar estrategias de visualización pertinentes para el fin propuesto  Presentar algunos análisis que pueden darse desde los estudiantes respecto al trabajo aplicado con origami, fractales y teseladosEste trabajo se ha puesto a prueba con estudiantes en diferentes niveles de educación: en lasclases de geometría con estudiantes de grado séptimo, con jóvenes que se preparan para sermaestros de Básica Primaria en el Ciclo Complementario de la Escuela Normal Superior de Pasca(Cundinamarca) en la asignatura Geometría Dinámica y por último, con jóvenes de segundosemestre de Licenciatura en Matemáticas en la Universidad de Cundinamarca UDEC enFusagasugá. 2.1 REFLEXIÓN ACADÉMICASolamente cuando nos enfrentamos a un problema y entendemos que tal vez no tenemos a lamano el conocimiento ni las herramientas suficientes para solucionarlo es que vislumbramos quese requiere acudir a otras fuentes que pueden ser nuestros colegas, libros de texto, maestros deotras instituciones, investigadores y otras personas que han hecho públicos los resultados de sustrabajos. Luego de revisar diversos documentos se seleccionaron algunos autores que coincidenen sus apreciaciones respecto al manejo geométrico inicial que debe darse a la construcción de losconceptos de área y perímetro antes de llegar al manejo numérico. Es así que a continuación sedescriben los planteamientos realizados por Chamorro (1996) y la Ingeniería didáctica de Perrin –Glorian descrita en la tesis doctoral de Corberán (1996).“Las magnitudes espaciales, tales como la longitud, la superficie y el volumen, constituyen uncampo conceptual propio, cuya particularidad reside en el hecho de que participa tanto de lageometría como de las estructuras aditivas y multiplicativas”. Chamorro (1996). En estascondiciones, el cálculo del área de una superficie implica tener en cuenta varios elementos comoson:
  4. 4.  Sus aspectos geométricos: forma, disposición espacial, tipo de superficie, si es poligonal o no, etc. Las estructuras aditivas: encontrar el área de una superficie sirviéndose de una unidad, consiste en pavimentar dicha superficie con esa unidad, contando o sumando, el número total de estas. Las estructuras multiplicativas: considerando las dos dimensiones de la superficie, se busca el número de veces que se pueden transportar las longitudes de la unidad en cada dimensión respectivamente, el producto de esas dos razones da el número total de unidades de superficie necesarias para pavimentar totalmente.A lo largo de la Educación básica primaria, secundaria y media es necesario abordar la enseñanzaprogresiva del área. Lo anterior implica en los primeros niveles prestar mayor atención a:  Procesos de medición  Conceptos relacionados con unidades de medida  Las mediciones en sí  La estimación de mediciones  Uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículoDejar para el final:  La realización de mediciones para resolver problemas  Memorización de equivalencias entre unidades de medida  Memorización y manipulación de fórmulas  Conversión interna entre varios sistemas de medida.Para el cálculo de áreas se emplean estrategias tales como la Comparación o la Composición yreconfiguración. Las estrategias de comparación están basadas en el uso de unidades dereferencia, ya se trate de unidades estándar o de referencia propias de cada sujeto. Las decomposición y reconfiguración consisten en reorganizar una o varias subfiguras diferentes en otrafigura. Esta operación requiere tener en cuenta algunos factores de visibilidad, los cuales sepodrán apreciar en las actividades que se han diseñado para este fin.También es fundamental que se tenga claridad sobre los conceptos. Según Perrin - Glorian sedeben diferenciar los siguientes términos:  SUPERFICIE: designa una parte del plano  ÁREA: designa la magnitud física, cualidad o propiedad de la superficie  MEDIDA: designa el número que representa el lugar ocupado por la superficie del plano.Considerando el “AREA COMO MAGNITUD” , se define el área como una clase de equivalencia apartir de una aplicación de medida. Un número seguido de una unidad es un medio para designarun área.La ingeniería didáctica propuesta por Perrín Golorán y su secuencia de Enseñanza se hanseleccionado para diseñar una serie de actividades que a su vez tendrán como herramientas detrabajo Cabri y algunos modelos de origami que se derivan de múltiples transformaciones delmolinete.¿Cómo justificar la escogencia de Origami y Cabri como herramientas? Según Moreno Armella“Una característica del funcionamiento mental, es que está mediado por instrumentos materialesy por instrumentos simbólicos”, así mismo afirma que la visualización y las representaciones
  5. 5. externas (que son posibles a través de los entornos computacionales), permiten atender alproblema de la validación de los enunciados matemáticos.* Luis Moreno Armella. MatemáticaEducativa, Cinvestav. Por esta razón el software de geometría dinámica Cabri II plus resulta serclave para generar procesos mentales que van mucho más allá de la simple memorización y puesen realidad contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico y geométrico. De otra parte, eltrabajo con Origami resulta ser un medio para observar configuraciones en los pliegues de losmodelos, los cuales deben ser muy bien analizados por los estudiantes para poder serrepresentados convenientemente en Cabri, como se observará en la última etapa de estedocumento. 2.2 MODELOS BÁSICOSSe plantea la elaboración de siete modelos bidimensionales (un molinete, un florero, una pajarita,un pez, una flor y dos estrellas). Sus imágenes se tomarán como referencia para aplicar algunasestrategias para construir los conceptos de área y perímetro.A continuación se encuentran los pasos básicos para obtener los modelos anteriormentemencionados s.Con los pliegues hasta ahora realizados el reto es obtener una casita y un hexágono. Luego, apartir de estas se debe construir el molinete o rehilete.
  6. 6. El molinete es la base para obtener otros modelos que serán usados en las actividades propuestastales como: El florero, la pajarita, el pez, la flor y dos modelos de estrellas de cuatro puntas.Para el trabajo con Cabri se plantea a los estudiantes el análisis de algunas de estas figuras porseparado, estableciendo propiedades geométrics y numéricas. De otra parte se plantea el uso detransformaciones geométricas para realizar diseños de mosaicos y teselados como los que seilustran a continuación: 2.3 ACTIVIDADES.A continuación se presentan algunas actividades para ser abordadas a partir de los modelos deorigami presentados anteriormente y cuya forma de elaboración ha sido diseñada con ayuda deCabri. Estas actividades se basan en un trabajo de Perrin Glorian quien propone una Ingenieríadidáctica que tiene en cuenta unas “secuencias de enseñanza”, las cuales han sido adaptadas paraser trabajadas con Cabri y origami como se verá en seguida:ACTIVIDAD 1. COMPARANDO SUPERFICIES (Área como magnitud autónoma –independiente dela forma y desligada del número-)El hexágono ha sido recortadoen tres piezas que han sidoreorganizadas (sinsuperponerse) para construirel molinete.Al comparar sus superficiespuede afirmarse lo siguiente: a. Es mayor la del hexágono b. Es mayor la del molinete
  7. 7. c. Son igualesACTIVIDAD 2. MEDICIÓN DE SUPERFICIES NO PAVIMENTABLES CON LAUNIDAD (Recorte y pegado; Estrategias de composición y recomposición) ¿Cuántas unidades cuadradas recubren el interior de la curva cerrada?ACTIVIDAD 3. (Actividades Geométrico Numéricas: Cubrimiento con diversas unidades.Aplicación de las Estrategias de Comparación)Usando como referencialas unidades A, B, D y D,determina el área decada una de las figuras ycompleta la tabla. Unidades de medidaUNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D FIGURA UNIDAD A UNIDAD B UNIDAD C UNIDAD D MOLINETE PAJARITA PIRAÑAACTIVIDAD 4. Área como parte (cantidad) del plano ocupado por la superficie; Estimación demedidas; Relaciones y diferencias entre áreas y perímetros.A continuación se presentan las 6 formas que resultaron al plegar papel. Toma como referenciauna unidad que te permita estimar el área de estas figuras y responde las preguntas 1, 2 y 3. CASITA HEXÁGONO MOLINETE FLORERO PAJARITA PEZ
  8. 8. 1. Al comparar las superficies de la casita, el hexágono, el molinete y el florero, la que tiene menor área es: a. La casita b. El hexágono c. El molinete d. El florero2. Al comparar las superficies del molinete, el florero, la pajarita y el pez, las 2 figuras que tienen mayor área son: a. El molinete y el c. El molinete y la b. El molinete y el pez d. El florero y el pez florero pajarita3. Si se comparan el hexágono y el molinete, puede afirmarse que tienen: a. Igual área pero b. Igual perímetro c. Perímetros iguales d. Áreas y perímetros diferente perímetro pero diferente área y áreas iguales diferentes.ACTIVIDAD 5. Conservación y variación de las medidas por transformaciones.A continuación encontrarás tres figuras. Utiliza la estrategia que consideres adecuada paradeterminar sus áreas y sus perímetros y escribe frente a los enunciados falso (F) o verdadero (V)según corresponda: La figura 1 tiene igual área que la figura 2 __________La figura 1 tiene igual área que la figura 3. __________ La figura 2 tiene igual área que la figura 3. __________FIGURAS FIG. 1 FIG.2 FIG 3ÁREA La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 2.________ La figura 1 tiene mayor perímetro que la figura 3._________PERÍMETRO La figura 2 tiene mayor perímetro que la figura 3.________ACTIVIDAD 6. Actividades numéricas. Cuadriculado. Aplicación de las Estrategias de Composicióny Recomposición.Determina en unidades cuadradas el área de cada una de las siguientes figuras. Escribe en cadacaso tu mejor estimación. A= _____ u2 A= _____ u2 A= _____ u2
  9. 9. ACTIVIDAD 7. Actividades numéricas: Área del rectángulo y otros polígonos.Compara el área del rectángulo con las áreas de cada uno de los otros polígonos y completa: a. Los polígonos cuyas áreas son iguales a la del rectángulo son: _______________________ b. El polígono cuya área es la mitad de la del rectángulo es: ___________________________ c. Si se tienen en cuenta las medidas de las diagonales del rombo y del trapezoide simétrico, se puede determinar sus área a través de la operación: __________________________ACTIVIDAD 8. Actividades de comparación y diferenciación de área y perímetro.
  10. 10. 2.4 RECONFIGURACIÓN Y FACTORES DE VISIBILIDADLa reconfiguración es una operación que consiste en reorganizar una o varias sub-figurasdiferentes en otra figura. Según Padilla, V., existen diferentes factores de visibilidad que puedenintervenir en el proceso de reconfiguración. Algunos se enuncian a continuación:FACTOR 1. Que elfraccionamiento de la figura departida en partes elementales seadado al inicio o deba serencontrado.Ej: Dividir la superficie delmolinete en:  4 partes de igual forma y tamaño.  8 partes de igual forma y tamañoFACTOR 2. Que el reagrupamiento respectivo de las partes elementales forme una reconfiguraciónconvexa o no convexa Resulta más difícil destacaruna sub-figura no convexa ya que la no convexidad no respeta la ley de simplicidad del contorno
  11. 11. FACTOR 3. El número de modificaciones posicionales (rotaciones y traslaciones) a efectuar sobrela sub-figura clave para llegar a una colocación.Ejemplo: Establece al menos seis maneras de dividir el molinete en cuatro partes de igual forma yárea.FACTOR 4. Que la figura de partida esté sobre un fondo cuadriculado o noEjemplo: Establece un mecanismo para determinar el área de las siguientes figuras.FACTOR 5. El que todas las sub-figuras deban ser desplazadas al interior de la figura de partida oque algunas figuras deban salir de ese contorno.Ejemplo: Recorta y traslada o rota partes de la figura para determinar en unidades cuadradas conexactitud el área de cada figura.
  12. 12. 2.5 APLICACIONES DE LOS FACTORES DE VISIBILIDADLos cinco factores de visibilidad descritos anteriormente son esenciales a la hora de diseñar teselaspues en muchos de los casos estas resultan de construir una figura geométrica que por sí solatesele el plano, como un cuadrado, un triángulo equilátero o un hexágono. Luego, se le vansacando partes de un lado, para luego ponerlas convenientemente en otra parte de la figurautilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). El resultado puede serun oso, una flecha o cualquier imagen resultado de la creatividad de quien la diseñe, la cual tieneexactamente la misma área que la figura original. Esta deberá repetirse n veces y colocarse demodo que las teselas encajen perfectamente. Los siguientes modelos fueron realizados conestudiantes del Ciclo complementario y de la UDEC haciendo uso de Cabri II plus.
  13. 13. Así mismo puede aplicarse para el diseño de fractales como el que se ilustra a continuación y quefue recreado por la estudiante Marcela Bohórquez (del Ciclo Complementario). 2.6 ANÁLISIS REALIZADOS POR ESTUDIANTESLuego de trabajar algunos talleres con los estudiantes sobre áreas y perímetros es importanteinvitarlos a indagar sobre características métricas y geométricas de algunos modelos de Origami.Para ello es necesario que los estudiantes tengan una experiencia básica con las herramientas deCabri para la realización de construcciones y para la toma de medidas. Estas son algunasconclusiones de estudiantes de Licenciatura en Matemáticas del II semestre en la asignaturaPensamiento Geométrico. 2.6.1 ANÁLISIS ESTRELLA 1. En el diseño de este modelo de estrella se encuentran las siguientes particularidades: Los vértices de las cuatro puntas de la estrella coinciden con los vértices de un cuadrado y al interior de la estrella se forma un nuevo cuadrado. A partir de las bisectrices puede construirse con Cabri el modelo de estrella y determinar algunas relaciones métricas.Al determinar la longitud de los segmentos BC y AB se observa que están en razón de raíz de dos.
  14. 14. AAl construir una estrella con las misma característica uniendo los vértices del cuadrado interno, seestablece que las dimensiones de B’C y A’B’ se mantienen proporcionales a BC y AB. Esto indicaque puede pensarse en reproducir la estrella infinitamente en el interior de la figura como unefecto cascada. 2.6.2. ANÁLISIS ESTRELLA 2. Al continuar con un nuevo modelo puede llegarse a análisis más completos como los que realiza el estudiante Mario Bermúdez, los cuales transcribo textualmente: Antes de mencionar las curiosidades que he descubierto en esta figura debo mencionar unos aspectos que me permitirán dar entender mucho mejor lo descubierto: En la figura hay principalmente presente: Un octágono (ABCDEEFGH) que llamaremosOctágono 1Un cuadrado (IJKL) que llamaremos cuadrado 1Una estrella de cuatro puntas (NABOCDPEFMGH) que llamaremos estrella 1
  15. 15. Abreviando un poco quisiera que vieran esta figura: La diferencia es claramente observable, con los puntos “libres” de la figura anterior o puntos de intersección entre las rectas de color verde y los lados del octágono he construido un cuadrado (cuadrado 2), pero además aquí también se dejo algunos puntos “libres” o puntos de intersección del cuadrado con los lados de algunos triángulos, estos puntos se han dejado con la siguiente intención: Se puede construir otro octágono (octágono 2) con estos puntos, pero además si observamos, se ha dejado remarcado los puntos de intersección de este octágono 2 con las rectas de color verde (puntos negros en la figura) para que puedan observar cómo se puede desde aquí repetir el proceso anterior y en definitiva poder construir indefinidamente octágonos y cuadrados, por otra parte, más adelante mostrare la relación entre ellos; por el momento responderé a la pregunta ¿Qué paso con la estrella 2? Rta:
  16. 16. Si observan con atención se encuentra en tono azul la estrella 2, manteniendo una semejanza conla anterior (estrella 1), al igual que el “Cuadrado 2 y el Octágono 2” con sus respectivas figuras. ¿Será que la construcción solo se podrá realizar hacia adentro de la figura inicial? Rta: ¡NO!; Se pueden construir internamente manteniendo su semejanza y se pueden construir hacia fuera manteniendo su semejanza aplicando las propiedades adecuadas no muy distintas a la construcción de la figura inicial, observar:A continuación mostraré las características de esta figura y por qué es interesante su estudio:Si modificamos la figura de tal forma que el segmento AB uno de los lados del polígono tenga unamedida X, entonces detonaremos la medida del segmento A1B1 como X1. De esta forma existiránmedidas, X2, X3, X4, X5 para los subsecuentes octágonos construidos externamente. Luego devarios procedimientos encontré la relación siguiente:Siendo X la medida del lado del primer octágono construido, entonces: 1. octágono = x 2. octágono = x 2 x 4 3. octágono = 4. octágono = x 8
  17. 17. En este orden de ideas y de forma general podemos decir que: n 1Locta= x 2n= 1 primer octágonon=2 segundo octágono y así sucesivamente.Para calcular el perímetro: n 1P= 8x 2Luego para saber el área: n 1 2  1) * 8 x * 2 2Área octágono= (Por otra parte, para hallar 4 el valor del lado delcuadrado teniendo como base la medida x del lado del octágono tenemos: n 1Lado del cuadrado= n 1 2 x 2  2x 2Perímetro el cuadrado= n 1 n 1 2 4x 2  8x 2Sé que se pueden reducir más pero así me gustaÁrea del cuadrado= 2  2 n 1  x 2 n 1  2x   2   
  18. 18. Recordemos que x es el valor de uno de los lados del octágonoLlegamos a la parte más bonita:Perímetro de la estrella =  n 1  8 *  2 n 1  2 4x * 2n 1 *  2 4* x 2  4x * 2   2 Área de la estrella =   2  1 * 8x * 2 2 n 1     2 1 * x *2 2 n 1   4 Todo lo anterior en resumidas cuentas nos permite saber algunos datos de figuras que seconstruyen a partir del octágono y conociendo una de las longitudes de sus ladosDebo aclarar que estas características se cumplen para las figuras que se construyenexteriormente con respecto al octágono inicial, si se desea que se cumpla para las que se realizaninternamente entonces, como ya vimos antes que la todas las mediciones se hacen teniendo comobaseLocta= n 1 x 2De igual forma se realizaran teniendo, para las realizadas internamente, labase: x n 1Y con esta ecuación ya se puede desarrollar todas las demás características o 2formulas arriba mencionadas para las construcciones internas de una figurainicial y la deducción de sus medidas.“Que pena no continuar escribiendo las otras generalidades pero supongo profe que usted ya lasconoce”
  19. 19. 2.6.3 ANÁLISIS FIGURA 3. Punta de estrella.Profe trataré de evitar mucha introducción puesto que creo que ya usted conoce las generalizaciones que saldrán de la figura, así que seré breve: a= medida del lado del cuadrado inicial n= numero de la construcción Hablaré de exteriormente cuando la construcción se haga hacia fuera y de interiormente cuando la construcción se haga hacia dentro. Área del cuadrado:Exteriormente: Interiormente: 2 n 1 2 a 4 aPerímetro del cuadrado n 1 4Exteriormente: Interiormente: 4a n 1 2 4a n 1 2Como ya mencione, teniendo como base el lado del cuadrado, expresaré los siguientes datos enfunción del mismo lado “a” de esta forma el área de los triángulos dentro del cuadrado será:X= área del triángulo: 2 a x  4De esta forma para saber el área de otros triángulos conociendo el área del primero:Exteriormente: Interiormente: n 1 Estas mismas x generalizaciones con respecto al área se 4 x pueden aplicar al n 1 cuadrilátero cóncavo. 4Para hablar del perímetro del triángulo se debe tener en cuenta:
  20. 20. a y   2 Numero áureo.Entonces:Perímetro del triánguloExteriormente: Interiormente:  y 2 n 1  y 2 2 n 1 2Por último solo nos queda mencionar el perímetro del cuadrilátero cóncavo:Exteriormente: Interiormente: n 1 y2 y n 1 22.6.4. OBSERVACIONES SOBRE LOS ANÁLISIS REALIZADOS POR LOS ESTUDIANTESEn primera instancia puede apreciarse que los estudiantes han logrado realizar una buenavisualización de las figuras y usado diferentes tipos de aprehensión: Realizan una aprehensiónperceptiva en la medida en que reconocen de manera automática las diferentes unidades figuralesdiscernibles en las figuras dadas, venciendo la ley gestáltica de cierre. Luego pasan a unaaprehensión operatoria cuando dividen la figura de partida en otras sub-figuras que les facilitarealizar operaciones y por último, hacen uso de la aprensión discursiva cuando plantean hipótesisy son capaces de realizar un tratamiento matemático a partir de las propiedades observables enlas figuras para llegar a resultados concretos.Resulta muy interesante que los estudiantes identifiquen con claridad propiedades de las figuras yencuentren relaciones numéricas que los llevan a imaginar y recrear otras construccionesgeométricas para así justificar sus apreciaciones. Así mismo identifican y utilizan constantesmatemáticas como  y raíz de dos para escribir expresiones matemáticas y son capaces deestablecer generalizaciones.Al revisar las expresiones utilizadas para generalizar se observa que son correctas aunque puedenescribirse de manera más simplificada. Sin embargo, tal como están escritas dan cuenta de losrazonamientos que han realizado para encontrarlas. Por ejemplo, en el análisis de la segunda
  21. 21. estrella para facilitar la lectura de lo encontrado sobre el octágono podrían haber organizado losdatos en una tabla como la siguiente: 1 2 3 4 n n 1 LADO L  x 2OCTÁGONO (L) 1 1.41 2 2.83 ( 2  1)APOTEMA (a) 1.21 1.71 2.42 3.42 a  L 2 n 1PERÍMETRO P 8 11.31 16 22.64 P  8L  8x 2 ÁREA A 4.8 9.7 19.4 38.8 A  2 1 n  2 x  2Para todos los casos x corresponde a la longitud del lado del octágono más pequeño, en este casox = 1.Es evidente que han encontrado la inconmensurabilidad entre algunas medidas aplicando elmétodo de extracción alterna, el cual puede explicarse fácilmente usando el pentágono regular:Al trazar las diagonales del pentágono y unir visualmente sus puntos de intersección, es posibleencontrar un nuevo pentágono regular y así sucesivamente, entonces se cumple que en lospentágonos surgidos mediante el encaje, las relaciones AE=AB y BD=BE y por eso AD-AE=BE yanálogamente AE=ED=EA y BE=BD=BE y resulta AE-BE=BA y así sucesivamente, sin que se llegue al final: la diferencia entre la diagonal y el lado del pentágono mayor es igual a la diagonal del pentágono menor, la diferencia entre el lado del pentágono mayor y la diagonal del pentágono menor es igual al lado del pentágono menor; la diferencia entre la diagonal del pentágono menor y su lado es a su vez igual a la diagonal del pentágono menor inmediato, y así hasta el infinito. El proceso de extracción alterna puede continuarse, y por eso no puede hallarse una medida común máxima para la diagonal y el lado del pentágono regular, por tanto: existen segmentos recíprocamente inconmensurables.
  22. 22. CONCLUSIONESLuego de estudiar diferentes fuentes, diseñar algunas actividades y ponerlas a prueba conalumnos de secundaria y de educación superior es importante destacar que la construcción delconcepto de área y su diferenciación del concepto de perímetro requieren atención por parte delos maestros pues existen evidencias de fallas en su comprensión por parte de estudiantes detodos los niveles.Sintetizando los planteamientos relevantes realizados por Chamorro (1996) y los aspectosfundamentales de la Ingeniería didáctica de Perrin – Glorian descritos en la tesis doctoral deCorberán (1996) se tiene lo siguiente:  Es importante prestar mayor atención en los primeros niveles a los procesos de medición, los conceptos relacionados con unidades de medida, las mediciones en sí, la estimación de mediciones y el uso de mediciones e ideas geométricas a través del currículo.  Una vez realizado este proceso debe plantearse la realización de mediciones para resolver problemas, la memorización de equivalencias entre unidades de medida, la memorización y manipulación de fórmulas y la conversión interna entre varios sistemas de medida.  Es necesario abordar la enseñanza progresiva del área así: Como parte (cantidad) del plano ocupado por la superficie, Como magnitud autónoma, Como número de unidades que recubren la superficie, Como producto de dos dimensiones lineales, Como aplicación que asocia a cada región del plano un número real positivo (teoría de la medida) y Como el límite de la suma de áreas de polígonos (cálculo integral).  Es preciso generar actividades didácticas encaminadas a explorar: Concepciones del área; La unidad de área; El papel de la visualización en la comparación de áreas; La conservación del área; La relación entre el área y el perímetro; La relación entre el área y la forma de una superficie; La conservación o variación del área o del perímetro de una superficie cuando ésta es sometida a una transformación; La bidimensionalidad del área; Las fórmulas para el cálculo de áreas; La relación existente entre el área de un rombo, un romboide y un trapecio con el área de un rectángulo y, Los procedimientos utilizados en la comparación y medida de áreas.En cuanto a los resultados del trabajo realizado por los estudiantes es preciso decir que nosolamente fueron capaces de plantear y probar hipótesis a través de un tratamiento matemáticológico y secuencial, sino que además disfrutaron el proceso.Los estudiantes realizaron diversas exploraciones conducentes a solucionar algunos ejercicios yproblemas de tipo geométrico y numérico relacionados con área y perímetro, en los que laposibilidad de trabajar a través de la mediación de herramientas como Cabri y el plegado de papelfue lo que contribuyó a evidenciar la coordinación entre el tratamiento figural y el proceso devisualización utilizados para justificar sus resultados.
  23. 23. BIBLIOGRAFIAAlgar, Cristina; y otros. (2002). Área de figuras planas. http://www.ugr.es/Chamorro, C. Y Belmonte, J. M. (1989): El problema de la medida. Síntesis. MadridCorberán, R. (1996): Análisis del concepto de área de superficies planas. Estudio de sucomprensión por los estudiantes desde primaria a universidad (tesis doctoral) Valencia,Universidad de Valencia. (Publicada en 2002 Colección Tesis doctorales en Microfixes)D’Amore, Bruno. (2006). Didáctica de la matemática. Editorial magisterio. Bogotá, Colombia.DUVAL, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Traducción al español a cargo de M. Vega,realizada en la U. del Valle, del original francés del mismoMoreno, L. (1996). Matemática Educativa. Centro de Investigación y Estudios Avanzados deMéxico-CinvestavPontón Ladino, Teresa. (comp.). (2006). Articulación entre pensamiento espacial y elpensamiento métrico. El caso de la visualización. Universidad del Valle, Cali, Colombia.Segovia, I.; Rico, L. (1996) Estimación en Medida. UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, nº10.Vasco Uribe, Carlos. (1999). Las matemáticas escolares en el año 2010. Conferencia.www.cep.edu.uy/InformacionInstitucional/InspecDivDptos/InspecNacionales/Practica/Revista4/3.htm

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