1) O documento apresenta os números naturais e os axiomas de Peano que os definem formalmente, incluindo o axioma da indução; 2) É explicado como a adição e multiplicação são definidas recursivamente usando o axioma da indução; 3) A ordenação dos números naturais é definida e suas propriedades como transitividade e monotonicidade são apresentadas.

1. MA12 - Unidade 1
N´meros Naturais
u
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM
February 25, 2013

2. Os N´meros Naturais
u
N´meros Naturais: modelo abstrato para contagem.
u
N = {1, 2, 3, ...}
Uma descri¸˜o precisa e concisa de N ´ dada pelos Axiomas
ca
e
de Peano.
No¸˜o fundamental: a de sucessor de um n´mero natural (ou
ca
u
seja, o n´mero que, intuitivamente, vem logo depois dele).
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3. Os Axiomas de Peano
a) Todo n´mero natural tem um unico sucessor;
u
´
b) N´meros naturais diferentes tˆm sucessores diferentes;
u
e
c) Existe um unico n´mero natural, chamado um e representado
´
u
pelo s´
ımbolo 1, que n˜o ´ sucessor de nenhum outro;
a e
d) Seja X um conjunto de n´meros naturais (isto ´, X ⊂ N). Se
u
e
1 ∈ X e se, al´m disso, o sucessor de todo elemento de X
e
ainda pertence a X , ent˜o X = N.
a
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4. O Axioma da Indu¸˜o
ca
O ultimo dos axiomas de Peano ´ conhecido como Axioma da
´
e
Indu¸˜o e ´ a base para um m´todo de demonstra¸˜o para
ca
e
e
ca
propriedades relativas aos n´meros naturais (demonstra¸˜es
u
co
por indu¸˜o).
ca
Seja P(n) uma propriedade relativa ao n´mero natural n.
u
Suponhamos que:
i) P(1) ´ v´lida;
e a
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica a validez de P(n ),
onde n ´ o sucessor de n.
e
Ent˜o P(n) ´ v´lida qualquer que seja o n´mero natural n.
a
e a
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5. As Duas Opera¸˜es: Adi¸˜o e Multiplica¸˜o
co
ca
ca
A soma n + p ´ o n´mero natural que se obt´m a partir de n
e
u
e
aplicando-se p vezes seguidas a opera¸˜o de tomar o sucessor.
ca
Em particular, n + 1 ´ o sucessor de n, n + 2 ´ o sucessor do
e
e
sucessor de n, etc.
Quanto ao produto, p˜e-se n · 1 = n por defini¸˜o e, quando
o
ca
p = 1, np ´ a soma de p parcelas iguais a n.
e
Entretanto, at´ que saibamos utilizar os n´meros naturais
e
u
para efetuar contagens, n˜o tem sentido falar em “p vezes” e
a
“p parcelas”.
Por esta raz˜o, ´ preciso definir estas opera¸˜es por indu¸˜o.
a e
co
ca
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6. Usando indu¸˜o para definir as opera¸˜es
ca
co
Adi¸˜o:
ca
n + 1 = sucessor de n
n + (p + 1) = (n + p) + 1 .
Multiplica¸˜o:
ca
n·1=n
n(p + 1) = np + n.
As propriedades destas opera¸˜es (comutativa, associativa,
co
etc) podem ser demonstradas por indu¸˜o.
ca
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7. A Ordena¸˜o nos N´meros Naturais
ca
u
Dados m, n ∈ N, diz-se que m ´ menor do que n, e escreve-se
e
m < n, para significar que existe algum p ∈ N tal que
n = m + p.
Propriedades:
Transitividade: Se m < n e n < p ent˜o m < p.
a
Tricotomia: Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
Monotonicidade: Se m < n ent˜o, para qualquer p ∈ N,
a
tem-se m + p < n + p e mp < np.
Boa-ordena¸˜o: Todo subconjunto n˜o-vazio X ⊂ N possui
ca
a
um menor elemento.
A boa-ordena¸˜o pode muitas vezes substituir com vantagem
ca
a indu¸˜o como m´todo de prova de resultados referentes a
ca
e
n´meros naturais.
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8. Exemplo: uma demonstra¸˜o por indu¸˜o
ca
ca
Provar a validez, para todo n´mero natural n, da igualdade
u
P(n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
Para n = 1, P(1) se resume a afirmar que 1 = 1. Supondo
P(n) verdadeira para um certo valor de n, somamos 2n + 1 a
ambos os membros da igualdade acima, obtendo
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1,
ou seja:
1 + 3 + 5 + . . . + [2(n + 1) − 1] = (n + 1)2 .
Mas esta ultima igualdade ´ P(n + 1). Logo
´
e
P(n) ⇒ P(n + 1). Assim, P(n) vale para todo n ∈ N.
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9. Exemplo: uma demonstra¸˜o por boa ordena¸˜o
ca
ca
Provar que todo n´mero natural ´ primo ou ´ um produto de
u
e
e
fatores primos
Seja X o conjunto dos n´meros naturais que s˜o primos ou
u
a
produtos de fatores primos. Observemos que se m e n
pertencem a X ent˜o o produto mn pertence a X . Seja Y o
a
complementar de X . Assim, Y ´ o conjunto dos n´meros
e
u
naturais que n˜o s˜o primos nem s˜o produtos de fatores
a a
a
primos. Queremos provar que Y ´ vazio. Com efeito, se Y
e
n˜o fosse vazio, haveria um menor elemento a ∈ Y . Ent˜o
a
a
todos os n´meros menores do que a pertenceriam a X . Como
u
a n˜o ´ primo, ter-se-ia a = m · n, com m < a e n < a, logo
a e
m ∈ X e n ∈ X . Sendo assim, mn ∈ X . Mas mn = a, o que
daria a ∈ X , uma contradi¸˜o. Segue-se que Y = ∅ ,
ca
concluindo a demonstra¸˜o.
ca
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