Brophy modf1.1 Introdução a Eletrônica

Prefácio
A medição eletrônica e o controle ocupam todos os recantos da ciência e da enge-
nharia. A enorme força e a versatilidade dos dispositivos eletrônicos e, consequente-
mente, sua vasta aplicação tornam imperativo que os estudantes de engenharia e ciên-
cias obtenham familiaridade no trato com a eletrônica. Esta familiaridade, entretanto,
não necessita ser tão intensa quanto a conseguida no treinamento de engenheiros do
ramo elétrico.
Este livro foi escrito com o intuito de dqr aos estudantes não diplomados um
entendimento básico dos dispositivos e circuitos eletrônicos, suficiente para capacitá-
1os a avaliar a operação e as caracteristicas dos muitos instrumentos que usarão em
suas carreiras profissionais. E dada ênfase a análise dos circuitos, em vez de a seus
projetos, visto que, mesmo como profissionais, somente projetarão os circuitos mais
simples.
A base física dos circuitos foi acentuada, mas, deliberadamente, evitada ênfase na
complexidade matemática, o que tem o efeito de incrementar as aplicações dos circui-
tos eletrônicos em medidas e instrumentos sem reduzir o nível de sofisticação. Supõe-
se que os estudantes possuam um conhecimento geral de eletricidade e das proprieda-
des elétricas dos materiais, ensinadas nos cursos iniciais de física. A teoria dos circui-
tos é conduzida, todavia, a partir de correntes contínuas, de modo que partes dos
capítulos iniciais podem ser usadas para recordação da matéria.
Como este texto foi escrito sob o ponto de vista de um experimentador, é alta-
mente recomendada a experiência concomitante em laboratório. Quase todos os circui-
tos analisados apresentam valores reais e podem facilmente servir de base para expe-
riências apropriadas. Não foi feita tentativa alguma para sugerir tais experimentos em
detalhes, por causa da diversidade de equipamentos que provavelmente serão encon-
trados nos laboratórios das diferentes universidades. Por outro lado, foram escolhidos
problemas que requerem respostas quantitativas e, portanto, podem substituir, de
algum modo, os trabalhos de laboratório onde um curso separado com este fim não
seja possível.
Esta terceira edição foi modificada em várias áreas, mas mantém a ênfase e a
força do texto original. O tratamento dos dispositivos semicondutores é dirigido para a
compreensão e o uso dos circuitos integrados, uma vez que são muito versáteis e
empregados na prática. Os circuitos a válvula são discutidos separadamente em apên-
dice, porque muitos instrumentos eletrônicos ainda requerem um estudo de suas carac-
tensticas. E dada bastante ênfase à eletrônica digital, tendo em vista o campo sempre
em expansão do controle e instrumentação digitais.
Há muitos anos eu venho sentindo que a familiaridade no trabalho com a eletrô-
nica contribui incomensuravelmente para a carreira profissional do engenheiro ou do
cientista. Se este texto tornar possível a outros conseguirem tal familiaridade, ficarei
bastante satisfeito. Sou profundamente grato aos vários colegas que, através de suas
publicações, forneceram muito material para este livro. Devo, também, expressar
meus sinceros agradecimentos aqueles que gentilmente leram e criticaram o manus-
crito e aos instrutores e estudantes que têm apresentado sugestões, resultados do uso
das edições anteriores. Finalmente, somente através da colaboração e encorajamento
de Muriel, minha esposa, este projeto pôde ser terminado.
James J. Brophy

índice
I CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA, 1
Conceitos Introdutórios, 2
Corrente, tensão e resistêncialLei de OhmlLei de Joule
Elementos de Circuito, 4
Resistores/Baterius
Circuitos Simples, 9
Circuitos em sérielCircuitos em paralelolRede~
Análise de Circuitos, 13
Leis de KirchhoffIPonte de WheatstonelCircuito potenciométrico
Circuitos Equivalentes, 21
Teorema de Thévenin/Teorema de Norton/Máxima transjerência de potência
Medidas Elétricas, 25
O medidor de d'Arsonval/Amperímetros e voltímetros/Ohmímetros e multímetros
Sugestões para Leitura Complementar, 31
Exercícios, 31
2 CORRENTES ALTERNADAS, 35
Sinais Senoidais, 36
Frequência, amplitude r fase/Valor eficaz/Fator de potência
Capacitância e Indutância, 39
Reatância capacitiva/Capacitores/Reatância indutiva/lndutores
Circuitos Simples, 44
Filtro RL/Filtro RC/Circuitos integradores e dijerenciadores
Correntes Transitórias, 50
Constante de Tempo/Transitórios ca/Repique
Formas de Onda Complexas, 57
Série de Fourier/Valor eficaz/Resposta a onda quadrada/Osciloscópio
Exercícios, 68
3 ANÁLISE DE CIRCUITOS CA, 69
Impedância, 70
Lei de Ohm para ca/lmpedância complexa
Circuitos RLC, 73
Ressonância série/Ressonância puralela/Fator Q
Circuitos em Ponte, 80
Pontes de indutância e de capacitância/Ponte de Wien/Circuitos em ponte-T e
T-geminado
Transformadores, 88
Indutância mútua/Relação de transformação/Transformadorespráticos
Exercícios, 91
4 CIRCUITOS COM DIODOS, 94
Componentes não Lineares, 95
Características tensão-corrente10 retificador ideal/O diodo de junção

Circuitos retificadores, 98
Retificador de meia-onda/Retificador de onda-completalRetificador em ponte1
Dobrador de tensão
Filtros, 101
Filtro capacifivo/Filtroem LIFiltro em IT
Reguladores áe Tensão, 106
Diodos zener/Retificadores controlados
Circuitos com Diodos, 112
Limitadores/Grampeadores/VoltimetroscalDetectores
Exercícios, 118
5 DISPOSITIVOS SEMICOND~TORES,120
Semicondutores, 121
Bandas de energialElétrons e, buracos/Semicondutores extrínsecos
Diodos Semicondutores, 124
A junção pn/O diodo túnel/Injeçãode portadores minoritários
Transistores de Junção, 130 /
Características de coletor/Ret$icador controlado de silíciol0 transistor unijun-
ção/Fabricação de transistores
Transistores de Efeito de Campo, 139
Características de dreno/A característica de transferêncialIGFET e MOSFET
Circuitos Integrados, 146
Princhios dos circuitos integrados/Processos de fabricação/Circuitos práticos
Exercícios, 150
6 AMPLIFICADORES TRANSISTORIZADOS, 152
O Ponto de Operação, 153
Retas de carga/Polarização/Parâmetrosincrernentais
Amplificadores com FET, 161
Seguidor de fonte/Voltimetro a FET/Amplificador com MOSFET
Amplificador com Transistor de Junção, 165
Circuitos de polarização/Circuito equivalente TIParâmetros híbridos
Circuitos com Transistor de Junção, 172
Emissor comumlBnse comum/Seguidor de emissor/Ampl$icador diferencial
Amplificadores Especiais, 180
Simetria complementar/Configuração DarlingtonlMOSFET em circuito inte-
grado
Sugestão para Leitura Complementar, 183
Exercícios, 183
7 CIRCUITOS AMPLIFICADORES, 186
Amplificadoresde Tensão, 187
CascatalGanho em baixa freqÜêncialGanho em alta freqüêncialDesacopla-
mento
Amplificadores de Potência, 194
Acoplamento por transformador/Ampl$icador simétrico{Circuitos especiais
Amplificadores Sintonizados, 202
Acoplamento sintonizado/Neutralização
Amplificadores de Pulso, 206
Tempo de subida/Decaimento

Amplificadores CC, 209
Acoplamento direto/Amplificadores conversores/Ampl~cadoramarrado
Exercícios, 218
8 AMPLIFICADORES OPERACIONAIS, 219
Realimentação Negativa, 220
Realimentação de tensão/Realimentação de correntelEstabilidade
Realimentação Operacional, 228
A terra virtual/Operações matemáticas/Amplificador simples
Amplificadores Operacionais, 232
Amplificadores práticos/Circuito integrador e diferenciador/Amplificador loga-
rítmico/Filtro ativolComparador
Computadores Analogicos, 244
Simulação/Oscilador harmônico amortecido
Exercícios, 246
9 OSCILADORES, 248
Realimentação Positiva, 249
Osciladores RC, 249
Oscilador de deslocamento de fase/Oscilador em ponte de Wien
Osciladores com Circuitos Ressonantes, 253
Osciladores LC/Osciludores a cristal
Osciladores de Resistência Negativa, 260
Análise da estabilidade/OsciEador a diode túnel
Osciladores de Relaxação, 264
Geradores dente-de-serra/Multivibradores
Geradores de Sinais, 277
Bomba a diodo/Rampas/Pulsos
Exercícios, 282
10 MEDIDAS ELÉTRICAS, 285
Circuitos de Controle, 286
Reguladores de tensãolServos
Transdutores, 293
Transdutores mecânicosl0 medidor de pHIFotocélulas
Instrumentos Analógicos, 303
Osciloscópios/Analisador de ondaslGravador magnético/Eletrômetro
Ruído, 311
Ruído térmicolRuído de correntelRuído em transistores/Blindagem e aterra-
mento
Linhas de Transmissão, 316
Impedância característicalTempo de retardolRef2exões e ressonâncias/Guias
de onda
Exercícios, 324
li ELETRONICA DIGITAL, 327
Lógica Digital, 328
Números binários/Portas lógicas/Álgebra booleana

Circuitos Lógicos, 337
Sinais Eógicos/Lógicas DTL, TTL e ECLISomudores
Registradores de Informação, 344
F1ip-flops/Contadores/Registradores
Indicadores Visuais, 353 C
Indicadores de elemento Iínico/Indicadores de sete segmentos/Decodificador
lógico
Circuitos de Memória, 361
Memórias apenas de leituru/Memórias de registradores de deslocamento
MOSIMemórias de acesso aleatório
Exercícios, 369
12 MEDIDAS DIGITAIS, 371
Instrumentos Digitais, 372
Medidores de intervalo de tempo/Medidorde frequência/Voltímetro digital
Conversão A-D e D-A, 375
Integraçao úe dupla rampa/Conversor de aproximaç6e.s sucessivus/Estruturus
escalonadas D-A
Processadores Digitais, 380
Filtro digital/Cowelatores de sinais/Registrador de transitórios
Computadores Digitais, 385
Organizaçuo/Microcumputadores/~in~uagensde .programaçuo
Exercícios, 391
APÊNDICE I CIRCUITOS COM VÁLVULAS A VÁCUO, 393
O Diodo a Vácuo, 394
Emissão ter~~zoifi~zica/Lrrtle Child
Válvulas a Vácuo, 396
A gr.atIe/Pentodos/Or~trasv ú l v ~ ~ l u ~nzultigratle~
O Amplificador com Triodo, 401
Polarizaqão de catodo/Pur6nzetros de pequeno. sinai~/Circuifoequivalente do
rriodo
I N DICE ALFABÉTICO, 409

CIRCUITOS DE CORRENTE CONTINUA
A operação de qualquer dispositivo eletrônico seja ele complicado, como um receptor
de televisão, ou simples, como uma lanterna, pode ser entendida pela determinação
da amplitude e do sentido das correntes elétricas em todas as partes de sua unidade
funcional, o circuito. De fato, não é possível avaliar como um dado circuito funciona
sem um detalhado conhecimento das correntes em seus componentes.
Mesmo os circuitos mais complicados podem ser examinados em estágios fáceis,
considerando-se, inicialmente, cada parte em separado e, a seguir, observando-se
como os vários subcircuitos se encaixam. Em conseqüência, a análise de circuito co-
meça pelo tratamento das configurações elementares, sob as condições mais simples
possíveis. Os circuitos nos quais as correntes são estacionárias e não variam com o
tempo são denominados circuitos de corrente contínua. Estes circuitos cc, considera-
dos neste capítulo, são importantes e relativamente simples de entender.

CONCEITOS INTRODUTÓRIOS
Corrente, tensão e resistência
O movimento de cargas elétricas (por exemplo, os elétrons num material condutor)
constitui uma corrente elétrica. Especificamente, a corrente I é a razão instantânea
com a qual a carga Q passa por um determinado ponto, ou seja,
A corrente elétrica é medida em coulomb por segundo, unidade que é denominada
ampère (A), em homenagem ao cientista francês André-Marie Ampère.
Um grande número de materiais, especialmente o cobre e a prata, contém muitos
elétrons livres, os quais se movem em conseqüência de campos elétricos originários de
cargas elétricas externas, sendo por isso capazes de conduzir corrente elétrica. Cada
elétron livre, num fio de metal que conduza corrente, é acelerado pelo campo elétrico
até perder sua velocidade devido a uma colisão no interior do metal. Então, é nova-
mente acelerado até que sofra nova colisáo. A energia necessária para as sucessivas
acelerações e para o movimento do elétron de um ponto a outro é denominada dife-
rença de potencial elétrico entre os dois pontos. A diferença de potencial V é medida
em termos de trabalho por unidade de carga, ou
Em virtude de a diferença de potencial ser frequentemente utilizada na análise de cir-
cuitos elétricos, o trabalho por unidade de carga é chamado de volt (V), em reconhe-
cimento a um dos pioneiros da eletricidade: Alessandro Volta.
A resistência ao movimento de cada elétron livre devido as múltiplas colisões num
condutor depende de uma propriedade do material denominada resistividade, p. As
resistividades típicas de vários metais e ligas, a temperatura ambiente, são mostradas
na Tabela 1.1. Além da resistividade, a forma do condutor é importante, de modo que
Tabela 1.I Resistividade de ligas e metais
Resistividade
Material R . m
Alumínio 2,6
Bronze 6
Carvão 3,5 x
Constantan (Cu 60, Ni 40) 50
Cobre 1,7
Manganin (Cu 84, Mn 12, Ni 4) 44
Nicromo 100
Prata 1,5
Tungstênio 5,6
a resistência R de um fio de L metros de comprimento e área da seção reta de A
metros quadrados é dada por

CIRCUITOSDE CORRENTECONTINUA 3
De acordo com essa expressão, a resistência de um fio longo e fino é maior do que a
de um outro, de mesmo material, porém curto e grosso.
A unidade de resistência foi denominada ohm após Georg Simon Ohrn ter desco-
berto a relação entre corrente, tensão e resistência, a ser discutida na próxima seção.
O símbolo adotado para a resistência de um condutor em ohms é a letra grega
Ômega, Em geral, é mais conveniente descrever a capacidade de condução de cor-
rente em termos de recíproco da resistência: a condutância, que é medida em recí-
proco de ohms: mho ou siemens.
Lei de Ohm
É necessário mais energia - e daí maior diferença de potencial - para manter uma
grande corrente do que uma pequena corrente num mesmo condutor. A constante de
proporcionalidade entre corrente e diferença de potencial é, justamente, a resistência
do condutor, ou
Esta equação é conhecida como a lei de Ohm. De acordo com ela, quando passa uma
corrente I em um condutor de resistênciaR , uma diferença de potencial, ou tensão V,
deve aparecer entre os terminais do condutor. Esta relação é fundamental em análise
de circuitos e é usada repetidamente nas seções subseqüentes.
Lei de Joule
A energia cinética dos elétrons, resultante da aceleração pelo campo elétrico, é dissi-
pada nas colisões inelásticas dentro do condutor e convertida em energia térmica. Em
conseqüência, a ternperatura do condutor aumenta ligeiramente, ficando evidente que
a potência é gasta com a passagem da corrente através da resistência do condutor.
A potência P que deve ser fornecida ao condutor é dada por
onde as definições de diferença de potencial, Eq. (1.2), e corrente, Eq. (1 .1), já foram
dadas. Esta expressão pode ser escrita em termos de resistência do condutor,
utilizando-se a lei de Ohm. O resultado,
ficou conhecido como lei de Joule, depois que Sir James Prescott Joule descobriu
experimentalmente que a taxa de desenvolvimento de calor numa resistência é propor-
cional ao quadrado da corrente.
De acordo com a lei de Joule, é dissipada potência elétrica num condutor sem-
pre que por ele circule corrente. Esse efeito é empregado nas lâmpadas incandescen-
tes, onde um filamento metálico é aquecido, até o calor branco, pela corrente; e tam-
bém nos fusíveis, condutores que se fundem quando a corrente excede um valor prede-
terminado. Por outro lado, o tamanho dos fios, e conseqüentemente sua resistência, é
selecionado de modo que a perda de potência seja pequena e, o aumento de tempera-
tura, desprezível quando a corrente é menor que o máximo permitido em projeto. O

efeito Joule num condutor é comumente chamado de perda "R-I ao quadrado". Em
geral, a unidade de potência, de acordo com a Eq. (1.5), é o Joule por segundo, sendo
denominada watt (W)em honra a James Watt, que desenvolveu a máquina a vapor.
ELEMENTOSDE CIRCUITO
Resistores
Um componente elétrico usado com muita freqüência em circuitos eletrônicos é o
resistor, que é o elemento de circuito com um valor de resistência especificado. Os
valores de resistência comumente encontrados abrangem uma faixa desde uns poucos
ohms a milhares de ohms, ou quiloohms (abreviadamente e, até, milhões de ohms,
ou megohms (abreviadamente Ma). As resistências concentradas que os resistores
introduzem no circuito são grandes, comparadas com as dos fios e contatos. De
acordo com a lei de Ohm, aparece uma diferença de potencial nos terminais do resis-
tor, como resultado da corrente neste, e no local do circuito onde o resistor está inse-
rido. O símbolo convencional para um resistor num diagrama de circuito é uma linha
em ziguezague, como está ilustrado na Fig. 1.1.
Fig. 1.1 Símbolosde circuito convencionais para resistores fixos e variáveis.
Alguns resistores são construídos com um longo e fino fio enrolado num suporte
isolante. Os valores de resistência podem ser aumentados com a diminuição da área da
seção reta do fio e com o aumento em seu comprimento, como mostra a Eq. (1.3), e,
ainda, pela escolha de fios com material de alta resistividade (v. a Tabela 1.1). Esses
resistores de fio empregam normalmente fios de liga metálica com resistividades relati-
vamente independentes da temperatura. Os materiais típicos são o manganin e o cons-
tantan. Os resistores de fio são usados onde se fizer necessário dissipar bastante calor
por efeito Joule, de modo que a temperatura no resistor se eleve de maneira signifi-
cante. Suas resistências podem ser determinadas com precisão pela escolha apropriada
do comprimento do fio, de modo que os resistores de fio são também utilizados nas
aplicações em que se desejem valores precisos de resistência.
Os resistores de película fina são fabricados com a deposição de um filme fino de
metal num suporte cilíndrico isolante. Valores altos de resistência são conseguidos
com a pequena espessura dessa camada. Em virtude da dificuldade em produzir pelícu-
las uniformes, não é possível o controle tão preciso da resistência, como no caso dos
resistores de fio. Entretanto, os resistores de filme fino são isentos dos problemas dos
efeitos indutivos comuns as unidades de fio (Cap. 2), o que é importante em altas-
freqüências. Resistores de película fina fabricados com materiais não metálicos, parti-
cularmente carvão granulado, são também comuns. O carvão, por si só, tem uma

CIRCUITOSDE CORRENTECONTINUA 5
resistividade muito alta, aumentada pelos pontos de contato entre os grãos. De fato, é
possível conseguir tão altas resistências com grânulos de carvão que, em muitas situa-
ções, é absolutamente desnecessário o emprego de filmes finos, e o elemento de resis-
tência é um simples tarugo de grãos de carvão comprimidos. Essas unidades são co-
nhecidas como resistores decomposição.
Tanto os resistores de composição quanto os de película fina são providos de
isolamento e de terminais de fio para facilitar sua inserção nos circuitos. E comum
colocar marcas coloridas para indicar o valor da resistência de cada unidade, de
acordo com um código de cores de resistores universal. E mais, o tamanho físico do
resistor é uma indicação aproximada da máxima potência que a unidade é capaz de
dissipar sem aumento apreciável na temperatura, causada pelo efeito Joule. Assim, por
exemplo, as máximas potências nos resistores são, normalmente, 1 W, 112 W e 114 W,
embora outros valores sejam também utilizados. São mostrados, na Fig. 1.2, exemplos
típicos de resistores de película fina e de composição.
Frequentemente é necessário variar a resistência de um resistor enquanto conec-
tado ao circuito. Esses resistores variáveis empregam um cursor mecânico ou braço
que desliza sobre um elemento resistivo, selecionando, assim, a extensão do elemento
incluído no circuito. Os elementos de resistência, tanto nos resistores de fio quanto
nos de composição, são normalmente circulares, de modo que a posição do cursor
pode ser ajustada por meio de um eixo. Os símbolos de circuito para os resistores
variáveis são de dois tipos, como se vê na Fig. 1.l, dependendo da existência de dois
ou de três terminais para conexões externas. Se um resistor deste tipo apresenta dois
terminais, é denominado reostato, ao passo que o de três terminais é conhecido como
potenciômetro. Obviamente, um potenciômetro, com seus terminais em cada extremi-
dade e o terceiro terminal ligado ao cursor, pode ser empregado como reostato se um
dos terminais da extremidade não for utilizado.
Fig. 1.2 Resistoresde composiçãotípicos (Allen-BradleyCo.).
Baterias
De conformidade com a lei de Joule, qualquer condutor dissipa energia elétrica quando
por ele circula corrente. Nos circuitos simples cc, a fonte dessa energia, que deve ser
fornecida para manter a corrente, é amiúde urna bateria química. Outros tipos serão
vistos num capítulo posterior. Numa bateria, a energia química é convertida em elé-
trica e as reações químicas mantêm uma diferença de potencial entre seus terminais,
haja ou não corrente. Esta diferença de potencial é chamada de força eletromotriz,
abreviada fem, de modo a distingui-la da diferença de potencial que aparece numa
resistência, de acordo com a lei de Ohm. A medida que a bateria continua a fornecer a

energia necessária para manter a corrente no circuito, os elementos químicos consti-
tuintes eventualmente se esgotam, e diz-se que a bateria está descarregada. Depen-
dendo da natureza química e particular da bateria, pode ser possível carregá-la, isto é,
restaurar sua composição química original, atravessando-a por uma corrente no sen-
tido oposto ao da fem interna. O símbolo utilizado para representar uma bateria num
diagrama de circuitos (Fig. 1.3) consiste em uma linha curta e grossa em paralelo com
uma outra mais longa e fina. Supõe-se sempre, salvo indicação em contrário, que a
linha longa representa o terminal mais elevado, ou positivo, da fem. Como esta é uma
diferença de potencial, sua unidade é o volt.
A bateria de carvão-zinco é a mais comum e menos dispendiosa fonte de energia
elétrica. Embora seja convencionalmente chamada de elemento ou célula seca, ela
consiste, de fato,em uma mistura de cloreto de zinco, cloreto de amônia e dióxido de
manganês (denominada eletrólito) existente entre um eletrodo de zinco e um de car-
vão, que servem de terminais. O funcionamento de um elemento desse tipo é expli-
cado sucintamente a seguir. No eletrodo de zinco, os átomos deste material são dis-
solvidos na solução como íons de zinco duplamente carregados. O eletrodo de zinco
torna-se carregado mais negativamente porque cada átomo dissolvido deixa dois elé-
trons. No eletrodo de carvão, os íons de amônia, reagindo com o dióxido de manga-
nês, retiram elétrons do carvão, que fica carregado positivamente. Se o eletrodo nega-
tivo de zinco for ligado externamente ao eletrodo positivo de carvão por meio de um
circuito, haverá um fluxode elétrons entre eles para completar a reação química.
Fig. 1.3 Símbolode circuitoconvencional para bateria.
Observe que, para possibilitar a continuidade da reação, os íons de zinco devem
sair do eletrodo negativo, e os produtos da reação junto ao eletrodo de carvão devem,
do mesmo modo, deixá-lo. A corrente, então, circula no interior da bateria por meio
dos íons que se movimentam no eletrólito, o que se constitui numa fonte de resistência
interna. A passagem de corrente por essa resistência reduz a tensão nos terminais da
bateria, que decresce lentamente com o uso, à medida que a resistência interna au-
menta, em virtude do desaparecimento do dióxido de manganês. Essa resistência pode
se tornar tão elevada que abateria ficaimprestável.
Se o elemento é deixado em repouso por algum tempo, antes de se descarregar
completamente, há diminuição gradativa da resistência interna devido a difusãointerna
dos íons. Por outro lado, se se permite ao elemento envelhecer por longo tempo (mais
de um ano), a difusão iônica aumenta a resistência de tal modo que ele se torna inope-
rante, embora possa nunca ter sido usado. A fem de uma célula recém-preparada é de
1,5 V . Obtêm-se tensões mais elevadas com a associação dos elementos necessários
(Fig. 1.4); de fato, o termo bateria origina-se de tais associações. As baterias secas de
1,5,9,22,5,45,67,5 e 90 V são as mais comuns de encontrar.
A tão familiar bateria de acumuladores, usada nos automóveis é um exemplo de
bateria que pode ser repetidamente recarregada. O eletrodo positivo dessa bateria,
carregada completamente, é uma camada porosa de dióxido de chumbo sobre uma
grade metálica de chumbo. O eletrodo negativo é de chumbo também, e ambos são

CIRCUITOS DE CORRENTE CONTINUA 7
imersos num eletrólito de ácido sulfúrico com densidade específica de 1,3 aproxima-
damente. Durante a descarga, o dióxido é transformado em sulfato de chumbo, que é
pouco solúvel e adere a placa positiva. Esta reação retira elétrons do eletrodo,
carregando-o positivamente. No eletrodo negativo, os íons de sulfato da solução pro-
duzem sulfato de chumbo e liberam elétrons. Novamente o sulfato adere ao eletrodo e,
durante a descarga, ambos os eletrodos são quase que inteiramente transformados em
sulfato de chumbo. A perda de íons de sulfato pela solução, durante a descarga, reduz
a densidade específica para cerca de 1,16, de modo que o estado da bateria pode ser
determinadoatravés da medição da densidade do eletrólito.
Tais reações são facilmente reversíveis, e a entrada de corrente pelo terminal
positivo age no sentido de restabelecer a composição química original do eletrodo. A
carga requer uma fonte externa que forneça energia elétrica, após o que a bateria pode,
outra vez, fornecer energia durante a descarga. Em conseqüência, uma bateria desse
tipo armazena energia elétrica na forma química. Além disto, tendo resistência interna
muito baixa, a bateria chumbo-ácido é capaz de fornecer correntes de várias centenas
de ampères por curtos espaços de tempo. Um elemento completamente carregado tem
uma fem de cerca de 2,1 V, existindo, comercialmente, baterias de 6, 12 e 24 V. E
importante manter uma tal bateria, quando em repouso, completamente carregada, sob
pena de os eletrodos se transformarem lentamente num sulfato impossível de ser rege-
nerado pela corrente de carga. Neste caso, a capacidade energética da bateria fica
reduzida.
A resistência interna da bateria de mercúrio, recentemente desenvolvida, não
muda de maneira apreciável durante a descarga. Isto significa que a tensão nos termi-
nais permanece essencialmente constante durante seu tempo de vida útil. Ela decresce
Fig. 1.4 Quatro baterias conectadas em série.
Elemento da
bateria seca
C
o 10
20 30 40 50
Horas de uso continuo
Fig. 1.5 Curva de descarga de um elemento carvão-zinco comparada com a da bateria de mercú-
rio.

Fig. 1.6 Baterias modernas típicas (Union Carbide Co.).
abruptamente quando a bateria está esgotada, como ilustrado na Fig. 1.5. A tensão
constante, característica das baterias de mercúrio, é importante nas aplicações eletrô-
nicas, nas quais a operação correta do circuito depende, de modo crítico, da tensão da
bateria. Tais situações não são incomuns nos circuitos transistorizados e valvulares
Além disso, a característica tensão constante significa que a bateria de mercúrio pode
ser usada como padrão de tensão em circuitos de medidas elétricas. Essa bateria tem
um eletrodo de amálgama de zinco e outro de óxido de mercúrio e carvão. Neles, as
reações químicas são um tanto semelhantes as da célula seca, e a diferença de poten-
cial nos terminais é de 1,35 V.
Tipos mais recentes incluem as baterias alcalinas e as de níquel-cádmio. A alca-
lina é, quimicamente, bastante parecida com a bateria seca, mas tem um eletrólito
básico muito forte. Isto, juntamente com uma estrutura modificada do eletrodo, dimi-
nui a resistência interna, aumenta a capacidade energética e a vida útil. A de níquel-
cádmio pode ser recarregada repetidas vezes, como a de acumuladores, mas é comple-
tamente selada, uma vez que o movimento do gás durante a carga atua como meca-
nismo auto-regulador, a fim de evitar o aparecimento de uma grande pressão pelo
próprio gás. Esta característica e o fato de não necessitar de eletrólito líquido compen-
sam seu custo elevado. Baterias modernas típicas são mostradas na Fig. 1.6.

CIRCUITOSDE CORRENTECONTINUA
CIRCUITOS SIMPLES
Circuitos em série
Se vários componentes elétricos, como os resistores, são conectados de forma que a
corrente seja a mesma em cada um, diz-se que eles formam um circuito em série.
Consideremos o circuito em série simples, constituído pela bateria e pelos três resisto-
res, ilustrado na Fig. 1 . 7 ~ .A corrente I provoca uma diferença de potencial em cada
resistor, dada pela lei de Ohm; isto é,
'
Claramente, a soma dessas tensões é igual a fem da bateria, ou
Fig. 1.7 (a) Circuitoem série simplese (bj seu equivalente.
A Eq. (1.8)constitui um exemplo simples de um princípio utilizado em circuitos ele-
trônicos e que será considerado em maiores detalhes na próxima seção. Esta equação
mostra que a soma algébrica das diferenças de potencial em torno de qualquer circuito
completo é igual a zero. Observe a distinção de polaridade entre a diferença de poten-
cial nos terminais de um resistor e a fem da fonte: o sentido da corrente é para dentro
do terminal positivo da resistência e para fora do terminal positivo da fonte. Além
disto, como a tensão diminui no sentido da corrente através da resistência, a diferença
de potencial é geralmente chamada de queda de tensão RI no resistor.
Se as quedas de tensão da Fig. (1.7)forem substituídas na Eq. (1.8),o resultado é
V = IR, + IR2 + IR3= I(Rl + R, + R,)
Assim, a corrente no circuito em série é
onde a resistência equivalente R,, é definida como

Fig. 1.8 Circuito divisor de tensão.
Evidentemente, a resistência equivalente de qualquer número de resistores ligados em
série é igual à soma das resistências individuais. No que diz respeito à corrente, o
circuito da Fig. 1.7b que contém um único resistor R,, é equivalente ao da Fig. 1.7a,
que tem três resistores.
Um circuito útil baseado na conexão em série de resistores é o divisor de tensão
(Fig. 1.8), no qual a junção entre cada par de resistores é ligada ao terminal de uma
chave seletora múltipla. Pela posição da chave em cada uma de suas várias deriva-
ções, é possível conseguir uma determinada fração da tensão V da bateria nos termi-
nais de saída. A divisão do potencial V entre as vánas.derivações depende dos valores
das resistências no divisor de tensão. Obviamente, se os resistores são substituídos
por um potenciômetro, a tensão de saída pode ser qualquer fração de V. Este é o
princípio do controle de volume dos receptores de rádio e televisão.
Circuitos em paralelo
Uma outra maneira de ligar componentes elétricos, como os resistores, é mostrada na
Fig. 1.9. Aqui, a diferença de potencial em cada resistor é a mesma; esta forma de
conexão é denominada de circuito ern paralelo. A corrente em cada resistor é dada
pela lei de Ohm, e é
Neste caso, a soma das correntes é igual a corrente da bateria
que, substituindo as correntes dadas pela Eq. (1.1I), transforma-se em
Agora, a fim de determinar a resistência equivalente aos resistores em paralelo, defi-
nimos R,,, usando a lei de Ohm, como
V = IR,, (1.14)

Inserindo a Eq. (1.14) na Eq. (1.13),
Fig. 1.9 Associação de resistores em paralelo
De modo que
mostra que, para qualquer número de resistores em paralelo, o inverso da resistência
equivalente é igual a soma dos inversos de cada resistência.
Redes
As conexões em rede de resistências em série e em paralelo podem ser analisadas com
a sucessiva aplicação das Eqs. (1.10) e (1.16). Consideremos, por exemplo, o circuito
da Fig. 1.10~1,com os valores de resistência indicados no diagrama de circuito. A
combinação em paralelo de R, e R,, cada uma com 10 R , pode ser substituída por um
resistor de 5 a,desde que, de acordo com a Eq. (1.16),
Em conseqüência, o circuito fica reduzido ao que é mostrado na Fig. 1.10b. Em se-
guida, a combinação de R,, com R, (= 10 R ) é, pela Eq. (1.10),
R,,= R,, +R4 = 5 + 10 = 15 C? (1.18)
e o circuito é, agora, o da Fig. 1.10~.Ré, e R, estão em paralelo, de modo que seu
equivalente é
Finalmente, a combinação em série deR:,, R, e R, é, simplesmente,

e o circuito completo da Fig. 1.10~pode, então, ser substituído pelo seu equivalente
mais simples da Fig. 1.10e, onde R, representa a resistência total do circuito. A cor-
rente na bateria é, por conseguinte,
Fig. 1.10 Redução de circuitoatravés de equivalentes em série e em paralelo.

CIRCUITOS DECORRENTE CONTINUA 13
Suponhamos que se deseje determinar a corrente I, em R,. Isto é conseguido, pri-
meiro,calculando-se a diferença de potencial V, entre os pontos b e c do diagrama de
circuito. A queda de tensão através de R, é IR, = 2 x 5 = 10V; o mesmo valor existe
em R,. De acordo com a Eq. (1.7).
Então,
A corrente em R, é, em conseqüência,
Através de raciocínio similar, é possível determinar a corrente em cada resistor.
ANALISE DE CIRCUITOS
Leis de Kirchhoff
Não é possível reduzir muitos dos importantes circuitos eletrónicos a simples
combinaçóes série-paralelas, de modo que se torna necessário usar métodos analíticos
mais poderosos. Duas extensões simples das Eqs. (1.8) e (1.12), conhecidas como leis
de Kirchhoff, são bastante úteis neste caso. Consideremos inicialmente o circuito para-
lelo da Fig. 1.9, redesenhado na Fig. 1.11, para ilustrar a idéia de interseção de ramos,
ou nó, de um circuito. Um nó é o ponto no qual três (ou mais) condutores se juntam.
A primeira lei de Kirchhoff diz que a soma algébrica das correntes em qualquer nó é
zero. Simbolicamente,
Observe que a Eq. (1.25) é essencialmente uma asserção da continuidade da corrente;
pode também ser encarada comoresultado da conservação da carga elétrica.
A segunda lei de Kirchhoff já foi aplicada, implicitamente, ao se usar a Eq. (1.25)
para calcular I, na Fig. 1.10~.Ela diz que a soma algébrica das diferenças de potencial
em torno de qualquer laço de um circuito é zero. Simbolicamente,
Um laço é qualquer caminho fechado, como abcda na Fig. 1 .lOal. Outros exemplos de
laços no mesmo circuito são befgcb e daefgd. A Equação (1.26) é conseqüência da
conservação da energia.
Quando se aplicam as leis de Kirchhoff a qualquer circuito, o primeiro passo é
assinalar um sentido arbitrário de corrente em cada resistência. A polaridade da tensão
em cada resistor é marcada, então, no diagrama de circuito, usando-se a convençãojá
citada de que a corrente entra pelo terminal positivo da resistência. As polaridades das
'N. T. -Se o circuito for planar, o laço pode ser chamado de malha, desde que não contenha outro laço em
seu interior. (Se for possível desenhar o diagrama de circuito numa superfície plana, sem que haja cruzamento
de ramos, diz-se que ele é planar.)

fontes de tensão, naturalmente, já estão especificadas. As leis de Kirchhoff são, então,
aplicadas aos vários nós e laços para se obter um número suficiente de equações simul-
tâneas, que possibilitam a determinação de todas as correntes desconhecidas.
1 v Fig. 1.11 Os nós de um circuito em paralelo simples.
É verdade que, se o circuito contém rn nós e n correntes a determinar, há m - 1
equações independentes resultantes da Eq. (1.25). Da mesma forma, há n - (rn - 1) =
n - m + 1 equações independentes originadas da Eq. (1.26). O número total dessas
equações obtidas das leis de Kirchhoff aplicadas a qualquer circuito é, por conse-
guinte, (m - I) + n - (m - 1) = n. Esta é justamente a quantidade de correntes
desconhecidas e, por isso, a solução do circuito está completamente determinada. Ge-
ralmente é possível escrever mais equações do que as necessárias, mas só n delas são
realmente independentes.
A solução dessas equações resulta, com frequência, em que certas correntes
sejam negativas. Isto significa que o sentido arbitrado originalmente para a corrente
está, de fato, incorreto e que o sentido real é o oposto. Assim, não é necessário co-
nhecer, antecipadamente, o sentido. Uma vez calculadas as várias correntes, a queda
de tensão em qualquer parte do circuito pode ser determinada pela lei de Ohm.
A técnica da aplicação das leis de Kirchhoff a um circuito pode ser ilustrada me-
lhor com alguns exemplos. Consideremos, primeiramente, o circuito simples de resis-
tores em paralelo da Fig. 1.12. O sentido da corrente em cada resistor foi escolhido
arbitrariamente e, a polaridade das quedas de tensão, marcada de acordo com as dire-
ções assinaladas. Observe que este circuito tem apenas dois nós: um em b e o outro
em e; em conseqüência, há somente 2 - 1 = 1 equação de nó independente. Conside-
rando o nó em b, vem, da Eq. (1.25),
Observe que a equação da corrente no nó e é
A Eq. (1.28) é, claramente, o negativo da Eq. (1.27) e, por conseguinte, as duas rela-
ções não são independentes. Ambas podem ser utilizadas para a solução do circuito.
Consideremos agora a malhaabef. De acordo com a Eq. (1.26),
Do mesmo modo, em torno do laço abcdef,

V+12R2=0
Como existem três correntes incógnitas, deve haver 3 - 2 + 1 = 2 equações de malha
independentes, e estas são justamente (1.29) e (1.30). Note, entretanto, que, em torno
n
do laçobcde,
é d- f Fig. 1.12
Esta não é uma relação independente, como pode ser mostrado subtraindo-se a Eq.
(1.29) da 11.30). O resultado é a Eq. (1.31). Em vista disso, estas três equações de laço
não são independentes e quaisquer das duas podem ser usadas para resolver o circuito.
A escolha das Eqs. (1.27), (1.29) e (1.31), como as três independentes, soluciona o
problema. A resolução é conseguida iniciando-se com a Eq. (1.29) para se obter I,:
Em seguida,I, é determinada de (1.31):
Substituindo (I .33) em (1.27)
Substituindo I, dada por (1.32),
A corrente I é, então,
que é bem semelhante a solução correspondente à Eq. (1.13), a qual se chegou
considerando-se os resistores em paralelo.

Finalmente, I, é determinada substituindo-se I, na Eq. (1.33):
De acordo com o sinal menos na Eq. (1.38), esta corrente está de fato no sentido
contrário ao pressuposto na Fig. 1.12. Similarmente, a queda de tensão em R, tem
polaridade oposta a mostrada no diagrama de circuito.
Circuitos mais complicados requerem mais de três equações, e normalmente con-
vém empregar o método dos determinantes para resolver o conjunto de equações si-
multâneas. Esta técnica, ilustrada na seção seguinte, oferece a considerável vantagem
de possibilitar obter a solução apenas das correntes de interesse. Com freqüência,
somente uma ou duas das correntes num circuito são de interesse direto e, neste caso,
a solução completa é supérflua.
Pontede Wheatstone
Nesta seção, usaremos as leis de Kirchhoff para analisar o circuito em ponte de
Wheatstone ilustrado na Fig. 1.13. Este circuito extremamente útil foi desenvolvido,
em 1843, por Charles Wheatstone e é amplamente usado em instrumentos elétricos
para a determinação dos valores de resistências desconhecidas. O seu modo de em-
prego pode ser compreendido através da análise do circuito. Aplicando-se a lei de
Kirchhoff aos nós a , b e d,
Como há quatro nós neste circuito, essas três equações são independentes, de modo
que a quarta, referente ao nó c, não será usada.
Aplicando a lei de Kirchhoff aos laços abdefa, acba e bcdb, obtêm-se as equações
Observe com cuidado as polaridades indicadas para as várias quedas de tensão RI, ao
se percorrer cada laço. Uma vez que há seis correntes desconhecidas, são necessárias
6 - 4 + 1 = 3 equações de malha, sendo redundantes quaisquer outras.
As Eqs. (1.39) e (1.40) formam um sistema de'seis equações a seis incógnitas.
Assim, para se aplicar o método dos determinantes a essas equações, é necessário
resolver dois de sexta ordem para se determinar cada corrente. A solução completa
envolve sete determinantes dessa ordem. Embora a resolução de determinantes de
sexta ordem seja correta e existam métodos comuns para a redução de ordem antes do

CIRCUITOS DE CORRENTECONTINUA
Fig. 1.13 Ponte de Wheatstone.
resultado final, a solução completa fica bastante trabalhosa. Por isso, ainda que a
princípio a resolução do conjunto das Eqs. (1.39) e (1.40) seja correta, é útil procurar
métodos alternativos.
A análise de circuitos complexos pode, geralmente, ser simplificada com o uso
das correntes de malha. Esta técnica ficou conhecida como método de Maxwell, de-
pois que James Clerk Maxwell aplicou, com efeito, simultaneamente, ambas as leis de
Kirchhoff, reduzindo, em conseqüência, o número de equações simultâneas necessá-
rias. As correntes de malha são desenhadas em torno de qualquer delas, como as três
ilustradas para o caso da ponte de Wheatstone na Fig. 1.14. Em seguida, as polarida-
des das quedas de tensão são indicadas de acordo com as direções das correntes, e
escrevem-se as equações das tensões. Assim, em relação a Fig. 1.14,
R3(Ic- I,) + &(Ic - I,) + = O
Observe novamente, aqui, as polaridades das quedas de tensão e os sentidos das cor-
rentes. Rearranjando,
A solução das Eqs. (1.42) para qualquer corrente, digamos, I,, usando-se determi-
nantes é encontrada formando-se uma relação, na qual o denominador é o determi-
nante dos coeficientes das correntes e o numerador é um determinante similar, com os
coeficientes da corrente incógnita substituídos pelo membro direito da equação. Isto é,
a resolução para I, é

onde A simboliza o denominador. Semelhantemente, I, é
Agora, a corrente em R,, que, na Fig. 1.14, está indicada como 15,é
Fig. 1.14 Análise das correntes de laço da ponte de Wheatstone.

A Equação (1.45) é a relação mais importante da ponte de Wheatstone. Observe
que, se
acarreta que I, é nula, independentemente da tensão aplicada. Se as resistências nos
ramos da ponte obedecerem as relações indicadas na Eq. (1.46),diz-se que a ponte
está balanceada. Assim, por exemplo, se R,, R, e R, são conhecidas e I, é zero, o
valor de R, pode ser calculado imediatamente pela condição de balanceamento da Eq.
(1.46).
Na versão comum de uma ponte de Wheatstone, as resistências R, e R, são co-
nectadas a uma chave, para possibilitar valores em década da relação R,/Rl, e R, é um
resistor variável calibrado. Uma vez balanceada a ponte, pelo ajuste de R,, o valor de
R, é simplesmente (R2/RJR3.Os'valores em década da relação (R,/RJ podem abranger
de 10-3, 10-' e 1OP' até 1, 10, 10, e 103,de modo que uma faixa bem ampla de resistên-
cias pode ser medida. Na prática, um medidor de corrente é conectado em lugar de R,
para indicar o balanceamento. Observe que este medidor não necessita ser calibrado,
uma vez que é apenas utilizado para indicar a condição de equilíbrio, isto é, corrente
nula.
A Eq. (1.45) indica o caso em que a informação útil concernente ao circuito é
deduzida sem se levar a cabo a solução completa para todas as correntes. Pode-se
frequentemente desenhar as correntes de laço de modo a ser necessário determinar
apenas uma corrente. A facilidade em escolher correntes de laço que minimizem o
esforço dispendido para a resolução de um determinado circuito, é obtida com a expe-
riência.
Circuitopotenciométrico
Uma maneira mais precisa de comparar duas diferenças de potencial é a que utiliza o
circuito potenciométrico, cuja versão simples está ilustrada na Fig. 1.15. Um poten-
ciÔmetrol
de precisão é ligado em série com uma resistência variável e uma bateria. O
cursor do resistor de precisão é conectado a um terminal externo, através de um me-
didor de corrente, sendo um dos seus terminais ligado ao outro terminal de saída.
Suponhamos que um valor específico de corrente I = V/(R + RJ é selecionado,
ajustando-se o resistor variável R,. Assim, o potencial V' do cursor em R é, simples-
mente, IR', sendo R' a resistência entre o terminal e o cursor do potenciômetro. Como
I e R são conhecidas, a posição do cursor pode ser calibrada, em termos da diferença
de 'potencial, em volts. Se uma tensão desconhecida (por exemplo, uma bateria) for
ligada aos terminais de saída e o cursor ajustado de modo a ser zero a corrente indi-
cada no medidor M, o valor dessa tensão e igual a IR'.
O potenciômetro é um dispositivo de medida por comparação que determina o
valor de uma diferença de potencial desconhecida em termos da tensão de uma
bateria-padrão. Para saber como isto acontece, observe o circuito prático da Fig. 1.16.
V, é a fem de uma bateria-padrão, a qual pode ser de mercúrio ou, mais usualmente,
uma célula de Weston, que é uma bateria especial de fem extremamente estável. Su-
'N. T.: Potenciômetro significa tanto o resistor variável com um cursor central, e que pode servir como divisor
de tensão, quanto o instrumento para medirdiferenças de potencial descrito nesta seção.

ponha, agora, que R, seja ajustada até que o medidor M , indique corrente nula. Isto
significa que
Neste circuito, a resistência variável de precisão é composta de nove resistores idênti-
cos em série, de valor R, e uma resistência variável R'. A corrente no circuito de
saída, indicada por M,,é ajustada em zero, com a fonte de tensão desconhecida V,
conectada aos terminais. Isto é conseguido com a seleção adequada da posição da
chave e do cursor. Quando a corrente em M, é nula,
Tensáo
desconhecida
Fig. 1.15 Circuitopotenciométnco simples para medição de tensões.
I1
+
I
+
---r-'
Ajuste
v,- Tensão desconhecida +
Fig. 1.16 Circuitopotenciométncoprático.
onde n é o número de derivações da chave seletora. Substituindo na Eq. (1.48) o valor
de Idado pela Eq. (1.47),tem-se:

De acordo com esta expressão, a tensão desconhecida é determinada inteiramente em
função da fem padrão e das resistências do circuito de medição. Observe que nem a
corrente I nem a tensão V da bateria necessitam ser conhecidas.
A precisão do circuito potenciométrico depende da precisão com que os vários
resistores são construídos e da estabilidade mecânica do cursor da resistência variável.
A precisão pode ser melhorada combinando-se resistores fixos, selecionados por uma
chave seletora, com o resistor continuamente variável, como na Fig. 1.16. Isto é feito
porque a queda de potencial através do resistor variável é somente 1/10 da existente no
circuito da Fig. 1.15 e os erros de tensão provocados por irregularidades mecânicas.no
cursor são reduzidos pelo mesmo fator.
A grande virtude do potenciômetro é a ausência de fluxo de corrente no circuito
de medida balanceado. Isto significa que o potencial desconhecido é medido efetiva-
mente sob condições de circuito aberto e que a medição não é perturbada pelas quedas
de tensão internas. Na prática pode existir uma pequena corrente, dependendo da
sensibilidade do indicador de nulo, sendo, por isso, frequentemente usados amplifica-
dores eletrônicos, em lugar do medidor, para minimizar a corrente de nulo.
CIRCUITOSEQUIVALENTES
Teoremade Thévenin
Muitas vezes a análise de circuitos eletrônicos fica facilitada com a substituição total
ou parcial destes circuitos por outro equivalente que, para certos propósitos, tem as
mesmas características do original. Um exemplo dessa possibilidade já foi abordado
em conexão com a combinação em série e em paralelo de resistores. Assim, um cir-
cuito inteiro de resistências foi substituído por uma simples resistência equivalente, a
fim de possibilitar o cálculo da corrente. Em outras situações, particularmente quando
se trata de circuitos transistorizados ou valvulares, os circuitos equivalentes podem ser
utilizados para representar o comportamento dos dispositivos eletrônicos.
Circuito
aFig. 1.17 (a) Circuito de dois terhnais e (b) seu equivalente Thévenin.
Um dos circuitos equivalentes mais úteis é o que resulta do teorema de Thévenin.
Este teorema estabelece que qualquer circuito de resistores e baterias tendo dois ter-
minais de saída podem ser substituídos pela combinação de um resistor e de uma
bateria em série, como ilustrado na Fig. 1.17. A forma do circuito equivalente Théve-
nin mostra, de imediato, como os valores de V,, e R,, podem ser determinados sem
que se conheça a configuração real do circuito em si. A fem equivalente é o potencial
nos terminais de saída, quando a corrente de carga é nula, ou seja, é a tensão de
circuito-aberto. A residtência equivalente é a razão entre V,, e a corrente de carga
quando R, = 0, isto é, a corrente de curto-circuito.

Observe também que R,, é igual a resistência de carga quando a queda de tensão
nesta é metade de V,,. Isto se torna útil nas situações em que a corrente de curto-
circuito não pode ser determinada facilmente. A forma do circuito equivalente Théve-
nin (Fig. 1.17b) também mostra que R,, é a resistência vista dos terminais de saída do
circuito, quando se considera V,, substituída por um curto-circuito. Esta maneira ana-
lítica de determinação de R,, é útil quando a configuração do circuito é conhecida, uma
vez que, usualmente, envolve apenas simples reduções de circuito. O emprego de um
ou outro desses métodos de determinação da fem e da resistência interna equivalentes
depende apenas da maior facilidade que possam apresentar em cada situação particu-
lar.
Consideremos, por exemplo, o equivalente Thévenin do circuito simples da Fig.
1.18. A femequivalente é
- 1
Fig. 1.18-
Substituindo a bateria por um curto-circuito, a resistência vista dos terminais é o para-
lelo de R, e R,. Destaforma,
A corrente de carga é, então,
O membro da direita da Eq. (1.52) pode ser encontrado através da análise direta da
Fig. 1.18.
Para ilustrar a força do método do circuito equivalente, consideremos o circuito
em ponte de Wheatstone da Fig. 1.19~.A corrente em R, é analisada substituindo-se o
restante do circuito pelo seu equivalente Thévenin. Em seguida, a substituição da ba-
teria por um curto-circuito põe R, em paralelo com R, e, esta combinação, em série
com o paralelo de R, e R,, quando se olha dos terminais de saída, como ilustra a Fig.
1.196. Em conseqüência, R,, no circuito equivalente da Fig. 1.19~é

A tensão de circuito-aberto nos terminais de saída é simplesmente a diferença de po-
tencial entre a junção de R, com R, e a junção de R, com R,. Esta diferença de
potencial é encontrada subtraindo-se a queda de tensão em R, da queda em R,. Por
conseguinte, a fonte de tensão equivalente é
Fig. 1.19 (a) Circuito em ponte de Wheatstone convencional;(6)após a substituiçãoda fonte por
um curto-circuitoa fim de se calcularR,,; (c)oequivalente Thévenin.
Finalmente, de acordo com o circuito equivalente da Fig. 1.19c, a corrente l5é
A facilidade e a rapidez com que este resultado foi obtido poderiam ser comparadas as
que são necessárias quando se aplicam as leis de Kirchhoff. Observe que a condição
de balanceamento [Eq. (1.46)] segue-se imediatamente das Eqs. (1.54) e (1.55), uma
vez que 1, = O, em equilíbrio.
Teoremade Norton----
Uma segunda forma de circuito equivalente, útil nas situações em que as fontes de
corrente apresentam maior interesse que as de tensão, como, por exemplo, nos circui-
tos transistorizados, é aquela dada pelo teorema de Norton. Este teorema estabelece
que qualquer circuito composto de baterias e resistores e que tenha um par de termi-
nais de saída pode ser substituído pela combinação em paralelo de uma fonte de cor-
rente I,, e uma resistência R,,. A fonte de corrente I,, é a corrente de curto-circuito
nos terminais de saída, enquanto a resistência R,, é a mesma do teorema de Thévenin.
O circuito equivalente Norton é mostrado na Fig. 1.20, onde o triângulo repre-

senta a fonte de corrente I,,. Nenhum componente elétrico simples atua como fonte de
corrente do modo como uma bateria atua como fonte de tensão. Não obstante, a idéia
de fonte de corrente é, conceitualmente, muito útil em análise de circuitos.
Já que é possível representar qualquer circuito tanto pelo equivalente Thévenin
quanto pelo Norton, deve ser possível a conversão de um circuito equivalente para o
outro. Com referência as Figs. 1.21~e b, a corrente de curto-circuito na carga é V,,/
R,, no equivalente Thévenin, e é igual a I,, no Norton. Para que ambos os equivalen-
tes representem o mesmo circuito, deve ser verdade que
Então, é simples a conversão de um equivalente no outro. Representar um dado cir-
cuito por um outro equivalente é questão; apenas, de escolha e conveniência.
Máxima transferênciade potência
Em muitos circuitos eletrônicos, como um radiotransmissor ou um amplificadoi de
gravador de som, é importante transferir eficientemente a máxima quantidade de po-
tência elétrica do circuito para a carga, que pode ser uma antena ou alto-falante. Em
conseqüência, é de interesse determinar as condições de circuito para as quais é possí-
Fig. 1.20 Circuito equivalente Norton.
Fig. 1.21 Relaçãoentre os circuitos(a) equivalente Thévenin(b) equivalente Norton.
vel obter a máxima transferência de potência. Suponhamos que o circuito seja repre-
sentado por seu equivalente Thévenin, mostrado na Fig. 1.22, e que a carga conectada
aos terminais de saída seja representada pela resistência R,. Os índices da fonte de
tensão e resistência equivalentes foram eliminados por conveniência.
Segundo a lei de Joule, a potência entregue a resistência de carga é

De acordo com a Eq. (1.55), a potência na carga é zero se a resistência de carga for
muito pequena ou muito grande. Então, deve haver uma resistência de carga ótima
para a qual a potência em RLseja máxima.
Para se encontrar a condição de máxima transferência de potência, deriva-se a
Eq. (1.57) em relação a RLe iguala-se o resultado a zero,
de modo que
Isto significa que a máxima potência é entregue a carga quando a resistência de carga é
igual à resistência interna do circuito que está fornecendo a potência. Quando isto
acontece, diz-se que a carga está casada ao circuito.
Como o circuito equivalente da Fig. 1.22 representa qualquer circuito, a resistên-
cia é aplicável igualmente a todos eles. O emprego do conceito de circuito equivalente
tornou possível, então, provar esse resultado genérico com bastante facilidade.
Fig. 1.22 Circuito equivalente Théveninusado para verificaçãoda máxima potência transferidaa
resistênciade cargaR,.
MEDIDAS ELÉTRICAS
O medidorde D'Arsonval
O dispositivo mais comum empregado nos instrumentos de medidas elétricas através
de corrente é o medidor de dlArsonval, nome tomado ao seu inventor. Uma bobina
multiespiras, feita de um fio enrolado em torno de um quadro de alumínio, é centrada
sobre um eixo entre os pólos de um ímã permanente em forma de ferradura (Fig. 1.23).
Duas finas molas espirais servem para posicionar a bobina e para conduzir a corrente a
ser medida. Um ponteiro preso a bobina indica, numa escala, a intensidade da corrente
a medida que a bobina gira em resposta h interação entre a corrente que nela atua e o
campo magnético do ímã. Um pedaço de ferro magneticamente mole é fixado entre os
pólos do ímã, de modo a movimentar a bobina em sentido ortogonal a um campo
direcionado radialmente.
Com essa construção, a deflexão do ponteiro é diretamente proporcional a cor-

Molas de suspensãoA
Fig. 1.23 Desenhodas partescomponentesessenciais do medidor de d'Arsonva1.
rente. A sensibilidade do medidor, isto é, a deflexão a uma determinada corrente, é
melhorada pelo aumento do campo magnético do ímã, da área da bobina e do número
de espiras desta, ou pela diminuição do torque das molas.
O tamanho da bobina e das molas é ditado pela rigidez mecânica, já que uma
bobina grande, suspensa por molas fracas, está sujeita a danos por choque mecânico e
vibração. Além disso, não convém aumentar o número de espiras desmesuradamente,
num esforço para melhorar a sensibilidade, uma vez que também ocorre aumento na
resistência da bobina. Isto pode afetar de maneira adversa a operação do medidor,
conforme explicamos numa seção subseqüente. O campo magnético é limitado ao dis-
ponível nos ímãs permanentes convencionais. A despeito dessas limitações práticas,
medidores de dlArsonval comuns têm deflexões de fundo de escala para correntes tão
pequenas quanto 10-% (1 rniliampère, abreviadamente mA), ou ainda 50 x 10-6 A (50
microampères, abreviadamente pA). OS instrumentos de laboratório dotados de amor-
tecedores de choque e, em conseqüência, projetados para máxima sensibilidade, são
capazes de medir 10 x 1OPi2 A (lOpicoampères, abreviadamente pA).
Amperímetrose voltímetros
O medidor de d'Arsonval é um dispositivo sensível à corrente ou amperírnetro. Quase
sempre, é preciso alterar a corrente necessária para deflexáo plena, de modo a aumen-
tar a faixa de corrente para a qual o medidor é útil. Consegue-se isto pelo desvio de
parte da corrente do medidor através de uma resistência em paralelo, como ilustrado
na Fig. 1.24. Observe que a resistência interna da bobina do amperímetro, R,, está
explicitamente indicada. Segundo as leis de Kirchhoff, I = I, + I, e I, R, = I,R,, de
modo que a corrente a ser determinada é
Se, por exemplo, a resistência em paralelo for um nono da resistência do medidor, 1 +
R,/R, = 10, a deflexão a plena escala sofrerá uma expansão 10 vezes maior que a
sensibilidade própria do medidor.
E sempre necessário considerar o efeito da resistência do medidor no circuito.
Suponhamos que se deva medir a corrente em R, do equivalente Thévenin da Fig. 1.25

usando-se um amperímetro com resistência interna R,. Conectando-se este amperíme-
tro ao circuito, a corrente é
Fig. 1.24 Aumento da faixa de medição de um ampenmetro pelo emprego de um resistor em
paralelo com a resistência do medidor.
Fig. 1.25 Efeito da resistência do ampenmetro na corrente do circuito.
A menos que R, R + R,, a corrente indicada pelo medidor será diferente da cor-
rente verdadeira. Por esta razão é sempre preferível que a resistência interna de um
amperímetro seja pequena. Por outro lado, quando a resistência interna não for com-
parável as do circuito, é possível corrigir a influência perturbadora da existência do
medidor e, então, determinar a verdadeira corrente.
Como a deflexão a plena escala de um ampenmetro pode ser atribuída a tensão V,
= R, I através da sua resistência R,, um medidor de d'Arsonval é também um voltí-
metro. Aqui, pode ser igualmente útil alterar a faixa de qualquer voltímetro
introduzindo-se uma resistência em série com o medidor. Com referência ao circuito
da Fig. 1.26, a tensão a ser medida é
V = I,(R, + R,)
sendo óbvio que a resistência R, em série aumenta a tensão máxima de fundo de escala
do medidor. Na prática, costuma-se colocar várias resistências multiplicadoras em
série, a fim de permitir a utilização do medidor numa larga faixa de tensão.
Deve-se considerar o efeito da ligação do voltímetro ao circuito da mesma forma
que no caso do amperímetro. Isto ocorre por requerer o voltímetro uma pequena cor-

Fg,. 1.26 Utilização do medidor de d'Arsonva1 como voltímetro com resistor multiplicador em
sene.
rente para defletir o ponteiro, devendo esta ser fornecida pelo circuito. Se a corrente
do medidor não for desprezível em comparação com as correntes normais no circuito,
diz-se que o voltímetro está carregando o circuito, e deve-se corrigir a leitura indicada
pelo medidor a fim de se determinar a verdadeira tensão existente sem a influência
perturbadora do medidor.
Os sensíveis medidores de dlArsonval são úteis como voltímetros, pois necessi-
tam apenas de correntes muito pequenas para deflexão a plena escala. Costuma-se
especificar a sensibilidade de um voltímetro, em função da resistência interna para a
tensão de fundo de escala, em unidades de ohms por volt. Observe que, segundo a Eq.
(1.63), a razão entre R, + R, e a tensão necessária para deflexão plena é simplesmente
a sensibilidade de corrente do medidor, e, em conseqüência, as duas especificações se
equivalem. Por exemplo, um voltímetro que use um medidor de d'Arsonva1 com sen-
sibilidade de 1 mA é especificado como tendo 1/10-3 = 1000 RlV. Isto significa que o
voltímetro possui uma resistência interna de 100 000 R na escala de 100 V, etc. Da
mesma forma, um voltímetro de 20 000 R/V (empregando um medidor de 50 pA) tem
uma resistênciade 2 megohms (Ma) na escala de 100 V.
Uma técnica conveniente para determinar a resistência de qualquer parte do cir-
cuito é medir a corrente e a tensão e aplicar a lei de Ohm. Ha dois modos distintos de
conectar o medidor neste método voltímetro-amperímetro (Figs. 1.27 a e b). A escolha
entre as duas opções depende dos valores relativos entre as resistências dos medidores
e as do circuito, como pode ser mostrado a seguir. Consideremos, inicialmente, o
circuito da Fig. 1.27~.Das leis de Kirchhoff,
onde Ve A são as leituras nos medidores. A resistência desconhecida é dada por
que mostra ser a resistência real menor que a razão VIA indicada.
De modo análogo a corrente A, no circuito da Fig. 1.27b, divide-se entre RVe R, e
assim

Fig. 1.27 Dois modos de conectaro voltímetroe o ampenmetroparamedida da resistênciaR.
Resolvendo para R, e após alguns ari.anjos, o resultado é:
De acordo com as Eqs. (1.65) e (1.67), o primeiro circuito mostra-se mais útil quando a
resistência do amperímetro é pequena comparada com a desconhecida (ou com VIA),
enquanto o segundo se aplica quando a resistência do voltímetro é grande, se compa-
rada a desconhecida. Em ambos os casos, a resistência a determinar é dada, simples-
mente, pela razão VIA.
Ohmímetrose multímetros
Numa extensão simples, a configuração do circuito anterior pode ser usada como oh-
mímetro, no qual a escala do medidor é calibrada diretamente em ohms. No circuito
típico da Fig. 1.28, o mesmo medidor é utilizado sucessivamente para medir, a princí-
pio, a tensão sobre o resistor desconhecido e, a seguir, a corrente neste resistor. O
modo pelo qual a escala é calibrada em ohms pode ser compreendido através da se-
guinte análise. Primeiramente, suponha que os terminais a e b da Fig. 1.28 (os quais
são em geral conectados a pontas de prova para facilitar a ligação do ohmímetro ao
resistor desconhecido) sejam curto-circuitados. O voltímetro medirá, então, a tensão V
da bateria.
Em seguida, as pontas de prova são conectadas a resistência que se pretende
conhecer. Se a tensão medida sobre R, for VR,pela lei de Ohm
Resolvendo para R,,
De acordo com a Eq. (1.69), a resistência pode ser calculada diretamente das duas
leituras, mas é mais útil calibrara escala diretamente em ohm do modo a seguir.

/Ajuste de zero ohm
a
,.e
R, Pontas de prova R"
v
+I,-
1' b Fig. 1.28 Circuito simplificado do ohmímetro.
Entrada
Fig. 1.29 Diagrama de circuito de um volt-ohm-miliamperimetro (VOM) simples.

A resistência variável R, é usada para ajustar a indicação do medidor para o fundo
da escala, quando as pontas de prova são curto-circuitadas. Este ponto na escala é,
então, "zero ohms", sendo, assim, marcado. Suponhamos que, quando as pontas de
prova são conectadas ao resistor, o ponteiro se deflexione até a metade da escala. Isto
significa que V, = V12 e, de acordo com a Eq. (1.69), R, = R,. Assim, o ponto central
da escala pode ser marcado com o valor da resistência correspondente a R,. Do
mesmo modo, observe que a indicação de um quarto de escala, V , = V/4,corresponde
a 3R,, enquanto uma leitura zero indica circuito aberto ou resistência infinita. A es-
cala de um ohmímetro é claramente não linear, embora não seja difícil usá-la, uma vez
que está diretamente calibrada em ohms.
De acordo com a Eq. (1.69), a leitura de meio de escala depende de R,; assim,
com a seleção de diferentes valores de R,, é possível abranger uma larga faixa de
medição. A Eq. (1.69) supõe que a corrente no medidor seja desprezível, o que pode
não ser verdade nas faixas de alta-resistência, onde R, é grande. Em conseqüência, os
circuitos dos ohmímetros são, na prática, ligeiramente mais complicados do que o
básico ilustrado na Fig. 1.28, mas o princípio de funcionamento é idêntico. Observe
que o ohmímetro não pode ser utilizado para se determinar valores de resistências num
circuito em funcionamento, pois ocasionará leituras erradas, em virtude das quedas de
tensão devidas ao próprio circuito.
E conveniente juntar as funções de um voltímetro, de um amperímetro e de um
ohmímetro num único instrumento, uma vez que os três empregam o mesmo medidor
de d'Arsonval básico. Um instrumento deste tipo, comumente chamado de multímetro
ou VOM (volt-ohm-miliamperímetro), seleciona, por meio de chaves e terminais, a
função e a faixa a serem utilizadas. O circuito da Fig. 1.29 é um exemplo de um
instrumento elementar que possui quatro faixas de tensão, duas de corrente e uma
única escala de ohms. Copiando com cuidado, através de papel transparente, é possí-
vel retirar desse diagrama os circuitos funcionais simples para cada utilização e, deste ,
modo, subdividir a análise em estágios fáceis.
O VOM da Fig. 1.29 emprega uma chave múltipla, com três seções mecanica-
mente acopladas para serem movimentadas em conjunto. Multímetros mais elaborados
têm chaveamento consideravelmente mais complicado, de modo a possibilitar o acrés-
cimo de faixas adicionais e outras funções.
SUGESTOESPARA LEITURA COMPLEMENTAR
A. M. P. Brookes: "Basic Electric Circuits," The Macmillan Company, New York, 1963.
Leigh Page and Norman Ilsley Adams: " Principles of Electricity," D. Van Nostrand Company, Inc.,
Princeton, N.J., 1931.
M. E. Van Valkenburg: " Network Analysis," Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1955.
1.1 Calcule a resistência de um fio de cobre de 1 m de comprimento e 0,s mm de diâmetro.
Repita o processo para um fio de nicromo de mesmas dimensões.
Resp.: 8,65 x 10-?R;5,1R
1.2 Qual a corrente máxima num resistor de 1 MR 1 W? E num resistor de 100000 112W?
Resp.: 10-3A; 7,07 x 10-3A
1.3 Se a capacidade máxima de corrente de uma lanterna de bateria seca é 0,s A, qual a resistên-
cia interna da bateria? Compare com a resistência interna de uma bateria de acumuladores cuja
corrente máxima é de 500 A.
Resp.: 3Cl; 4,2 x 10-3R
1.4 Suponha que a Fig. 1 . 7 ~represente uma fonte conectada a carga R, por meio de um fio de
cobre de resistências R, e R,. Se V = 10 V, a carga é de 5 R e os fios são de 0,s mm de diâmetro

e 100 m de comprimento, calcule a corrente, a potência entregue a carga, a potência perdida nos
fios e a queda de tensão no resistor de carga.
Resp.: 1,07A; 5,7 W; 4,9 W; 5,4 V
1.5 Projete um divisor de tensão (Fig. 1.8) no qual sejam possíveis tensões de saída de 1,0, 2,0,
5,Oe 10,OV, se a bateria tem 10 V de tensão e não há corrente nos terminais de saída.
1.6 Quantos resistores idênticos de 1 W, e de que valor de resistência, são necessários para
formar um resistor equivalente de 1000 R 10 W? Obtenha duas soluções diferentes.
Resp.: Dez resistores de 10 KR em paralelo; 10 resistores de 2,5 KR numa combinação
série-paralela.
1.7 Determine a corrente em cada resistor da Fig. 1.10~.Verifique que a perda total PR nos
resistores é igual àpotênciafornecida pela bateria.
Resp.: 2 AemR, eRg;1 AemR,eR,l:0.5AemR5eR,
1.8 Determine a corrente total fornecida pela bateria na Fig. 1.30, se R, = 2CL, R, = 5 CL, R, =
2 R , R , = 5 N . R i = 1 0 n e V = IOV.
Resp.: 2,18 A
Fig. 1.30
1.9 Determine a resistência do circuito da Fig. 1.31 vista dos terminais de entrada. Que tensão
aplicadaàentrada ocasiona uma corrente de 1 A no resistor de 4 CL?
Resp.: 8 R; 72 V '
Entrada
( 6 c $4 Salda
I Y V G - - I M , I - , I O
2 2 2 2 2 Fig. 1.31
1.10 Com o auxílio das leis de Kirchhoff, determine a corrente no resistor de 4 R do circuito da
Fig. 1.32.
Resp.: 0,12 A
I 2
Fig. 1.32

CIRCUITOS DE CORRENTE. CONTINUA
1.11 Determine a corrente em cada resistor do circuito da Fig. 1.33.
Resp.: 1,15 A; 0,883 A; 0,267 A
f l +,5V
Fig. 1.33
1.12 Observe que, com a ponte de Wheatstone (Fig. 1.13) balanceada, I, = O. Usando esta con-
dição, compare as quedas de tensão nos braços da ponte e, em conseqüência, determine a condi-
ção de equilibrio, Eq. (1.46).
1.13 Resolva o circuito em ponte de Wheatstone da Fig. 1.14, desenhando as correntes de laço
de modo a haver somente uma corrente em R,. Use a expressão para esta corrente a fim de
determinar a condição de equilíbrio.
1.14 No circuito em ponte de Wheatstone da Fig. 1.13, faça R, = R, = 100 a , R, = 100 a,V =
12 V e R, um resistor variável calibrado. Faça um gráfico da tensão no detetor, R, = 100 a,em
função de R,, na região próxima do balanceamento. Repita o procedimento para R, = R, =
1000 n.Que configuração é mais sensível?
Resp.: A primeira
1.15 Valores experimentais da corrente de carga e da tensão nos terminais do circuito desconhe-
cido da Fig. 1.34 estão relacionados na Tabela 1.2. Determine o circuito equivalente Thévenin a
partir desses dados, se um voltímetro de 1000 O/V foi usado na escala de I V. Faça o gráfico da
potência VI na carga e da resistência medida V/[, em funçáo de V, e compare a resistência de
carga correspondente ao ponto de máxima potência com R,,.
Resp.: 67 0,0,5 V, 65 0,55 Q
Tabela 1.2
I , -mA V, volts
O (R, = w)
1,o
2,o
3,O
4 8
5,O
6,O
6,4 (R, = O)

1.16 Projete uma derivação Ayrton como a da Fig. 1.35 para um medidor de 50 y A com resistên-
cia interna de 1000 R, se as faixas desejadas de corrente são 10 mA, 100 mA, 1 A e 10 A.
Resp.:4,523 R; 0,4523 R; 4,523 x 10-2R; 5,025 x 10-3Cl
O
O Entrada 6 Fig. 1.35
1.17 Suponha que, no circuito da Fig. 1.25, R = 1000 R, R, = 5000 R e R, = 1000 R. Se a
corrente indicada é 1,5mA, qual é a corrente real quando o amperímetro não está presente?
Resp.: 1,75mA
1.18 A tensão num circuito, medida com voltímetro de 20 000 R/V na escala de 500 V, é 200 V.
Na escala de 100 V, a leitura é 95 V. Qual é a tensão verdadeira?
Resp.: 278 V
1.19 Quais são as leituras nos instrumentos, nas duas versões do método do voltímetro-
amperímetro da Fig. 1.27, se o voltímetro é de 1000 RIV, a resistência interna do amperímetro é
100 R, a resistência "desconhecida" é 1000 R e a tensão aplicada é 10 V? Qual das duas versóes
é mais satisfatória?
Resp.: 10 V, 9,l x lOW A; 9,008 V, 9,92 x 10-3A;o circuito b é melhor.
1.20 Desenhe a escala de um ohmímetro, supondo que, na Eq. (1.69),R, = 10000 R.

CORRENTES ALTERNADAS
As correntes e tensões, na maioria dos circuitos eletrônicos práticos, não são constan-
tes, mas variam com o tempo. Por exemplo, quando um circuito é usado para medir
alguina quantidade física, como a temperatura de uma reação química, a tensão ou
corrente que a representa pode variar de maneira significativa. Da mesma forma, a
detecção de desintegrações nucleares resulta numa série de pulsos de tensão rápidos e
de duração muito pequena. Para se compreender esses efeitos, torna-se necessário o
estudo das propriedades das correntes variantes no tempo.
A corrente variante no tempo mais simples alterna o sentido periodicamente,
sendo, por isso, denominada corrente alternada, abreviadumente ca. Obviamente um
circuito ca é caracterizado pela presenga de correntes ativas alternadas, podendo,
não obstante, existir também c.orrente.s contínuas. Em sua maior parte, os conceitos
desenvolvidos para circuitos cc no capítulo anterior são válidos para circuitos ca.
Doi5 novos elementos, além da resistência, mostram-se importantes nestes circuitos, e
são abordados no presente capítulo.

SINAIS SENOIDAIS
Freqüência, amplitude e fase
A mais simples forma de onda alternada é a tensão ou corrente senoidal, que varia
senoidalmente no tempo. Esta forma de onda é gerada pela variação da componente
vertical de um vetor que gira no sentido anti-horário com velocidade angular w,como
ilustrado na Fig. 2.1. Cada revolução completa é denominada ciclo, e o intervalo de
tempo necessário a um ciclo é o período T. O número de ciclos por segundo é a
freqüência f, que é o inverso do período. As freqüências encontradas em circuitos
eletrônicos atingem valores tão pequenos quanto poucos ciclos por segundo, que são
chamados de herts (abreviadamente Hz) em homenagem a Heinrich Hertz, descobri-
dor das ondas de rádi0.A faixa de frequência estende-se até quilohertz (kHz, 103 Hz) e
megahertz (MHz, 106Hz), subindo a gigahertz (GHz, 109Hz).
Como há 2.rr radianos numa revolução completa, que requer T segundos, a fre-
qüência angular o é 2z-f. Se o comprimento do vetor rotativo for V,, o valor instantâ-
neo em qualquer tempo t será V , sen ot, onde V, é a amplitude máxima ou de pico da
onda senoidal.
Os sinais senoidais de mesma frequência mas que passam pelo zero em instantes
diferentes são ditos defasados, e o ângulo entre os dois vetores rotativos é denomi-
nado ângulo de fase. Na Fig 2.2, a tensão v, está adiantada em relação à tensão
senoidal v, porque passa primeiro pelo zero, e a diferença de fase é o ângulo 4. Note
que só é possível especificar o ângulo de fase entre dois sinais senoidais se ambos têm
Fig. 2.1 Geração da onda senoidal pela componente vertical do vetor rotativo.
Fig. 2.2 Ilustração do ângulo de fase (defasagem) entre duas tensóes senoidais.

CORRENTES ALTERNADAS 37
a mesma freqüência. Uma tensão senoidal fica completamente descrita por sua fre-
qüência e amplitude, a menos que seja comparada com outro sinal de mesma freqüên-
cia. Neste caso, deve-se usar uma equação mais geral para a tensão, incluindo O ân-
gulo de fase.
u = 6 sen (ot+ 4) (2.1)
Observe que são utilizadas letras minúsculas para indicar as tensões (e correntes) va-
riantes no tempo, enquanto as letras maiúsculas se referem a valores constantes ou a
quantidades cc.
Valor eficaz
Frequentemente se necessita comparar a amplitude de uma corrente senoidal com a de
uma contínua. Isto é feito comparando-se a dissipação por efeito Joule provocada
pelas duas correntes num resistor; isto é, o valor eficaz de uma corrente senoidal é
igual a corrente contínua que produz a mesma dissipação da corrente alternada. Para
determinar este valor, o efeito do aquecimento de uma corrente alternada é calculado
pela média das perdas RP num período completo; ou seja, a potência média é dada por
Como a potência dissipada num resistor, devida a uma corrente contínua, é RI2
,O
valor eficaz I, da corrente alternada é, simplesmente,
De acordo com a Eq. (2.4), o valor eficaz de um sinal senoidal é, simplesmente, o
valor de pico dividido pela raiz quadrada de dois. Este valor é também conhecido
como valor rms (do ing. root-mean-square). Os voltímetros e amperímetros capazes de
medir sinais ca são quase universalmente calibrados,para leituras em valor eficaz, vi-
sando facilitar a comparação com os medidores cc. E consenso geral que as tensões e
correntes ca são caracterizadas por seus valores eficazes, a menos que especificadas
de outra forma.
Fator de potência
Suponhamos que a tensão e a corrente em alguma parte de um circuito sejam dadas
Por
onde o ângulo de fase foi introduzido para levar em conta a possibilidade de os sinais
não estarem em fase. A potência instantânea p é, então,
p = ri = VpI,senot sen(ot + q5) (2.6)

De acordo com a Eq. (2.6),a potência instantânea nessa parte do circuito varia com o
tempo e pode, até, tornar-se negativa, como mostram as formas de onda da Fig. 2.3. A
interpretação de potência negativa na Eq. (2.6) é que, durante um trecho do ciclo, essa
parte fornece potência ao resto do circuito. Durante o restante do ciclo o circuito é
que fornece potência a essa parte que está sendo observada.
A potência média é determinada tirando-se a média da Eq. (2.6) num período
completo
Expandindo-se o fator dentro da segunda integral, com auxílio das identidades trigo-
nométricas,
Ambas as integrais são comuns e podem ser resolvidas diretamente, dando
VPI P
P = - cos 4
2
P = VI cos 4 (2.10)
onde V e I são valores eficazes.
O significado da Eq. (2.10) é que a potência útil nos circuitos ca não depende
somente da tensão e da corrente no circuito, mas também da defasagem entre elas. O
termo cos 4 é denominado fator de potência do circuito. Observe que, quando a defa-
sagem é de 90°, o fator de potência é nulo e nenhuma potência é fornecida. Em virtude
Fig. 2.3 Potência instantânea em um circuito ca.
disso, é possível haver correntes e tensóes grandes e, em conseqüência, potência ins-
tantânea elevada, ainda que a potência média seja zero. Por outro lado, quando cor-
rente e tensão estão em fase, o fator de potência é unitário e a potência é igual a
corrente vezes tensão, como num circuito cc.

Reatância capacitiva
Imagine duas placas metálicas paralelas separadas por um estreito intervalo e conecta-
das aos terminais de uma bateria. A diferença de potencial da bateria aparece entre as
placas, e a carga elétrica positiva da placa ligada ao terminal positivo é atraída para a
carga negativa da placa ligada ao terminal negativo da bateria. A capacidade das duas
placas em manter carga elétrica é proporcional a tensão, tal que
onde C é uma constante de proporcionalidade denominada capacitância. Esta é um
fator geométrico que depende do tamanho, forma e separação entre dois condutores
quaisquer, como as placas.
A capacitância é importante nos circuitos ca, porque uma tensão que muda com o
tempo dá lugar a uma carga variante no tempo, o que é equivalente a corrente. Por
exemplo, derivando-se ambos os termos da Eq. (2.11) em relação ao tempo e usando-
se a definição de corrente da Eq. (1.I), obtém-se
Em particular, se a tensão é senoidal, a corrente na capacitância,
d
i = C (V, sen o t ) = oCV, cos wt = wCVpsen
dt
é também senoidal e adiantada de .ir12 da tensão.
Em termos de valores eficazes, a Eq. (2.13) pode ser escrita
mostrando que a corrente ca na capacitância aumenta com a tensão ca aplicada, como
no caso resistivo. Realmente, a forma da Eq. (2.14) é similar à lei de Ohm, Eq. (1.4).
O fator de proporcionalidade entre tensão e corrente, IlwC, é denominado reatância
capacitiva. A reatância capacitiva é análoga a resistência nos circuitos cc, exceto,
naturalmente, pelo fato de variar com a freqüência. Observe que a resistência é me-
dida em ohms, uma vez que é a relação entre tensão e corrente.
capacitores
Os elementos de circuito que têm valores especificados de capacitância são conheci-
dos por capacitores. A maioria dos capacitores usados em circuitos eletrônicos con-
siste em duas placas condutoras separadas por um pequeno intervalo, no qual pode
existir apenas ar ou uma fina camada de material isolante. A capacitância desses capa-
citares de placas paralelas é aumentada quando se faz a área das placas grande ou, a
separação entre elas, pequena. A unidade de capacitância é o farad, em homenagem a
Michael Faraday. Na prática, os valores dos capacitores utilizados nos circuitos ele-
trônicos variam de 10Vfarads (1 rnicrofarad, abreviado pF)até 10-'2 farads (1 picofa-
rad, abreviado pF).
Acontece que o material isolante entre as placas aumenta a capacitância do com-
ponente, porque o isolador, com efeito, permite uma carga maior nas placas para uma

mesma tensão aplicada. O aumento da capacitância é explicado pela constante dielé-
trica do isolador. Por exemplo, a constante dielétrica da mica é cerca de 6 e, a do
papel, aproximadamente 2, de modo que as capacitâncias dos capacitores fabricados
com estes materiais são maiores, pelos fatores de 6 e 2, respectivamente, do que um
capacitor de placas paralelas com ar entre elas.
Os capacitores convencionais são feitos de duas folhas metálicas delgadas separa-
das por um fino isolador ou dielétrico, como o papel e a mica. Este "sanduíche" é
então enrolado ou dobrado, compactamente, e coberto com isolante. Um terminal
axial de fio é ligado a cada folha. A fim de aumentar a capacitância, o isolador deve ser
tão fino quanto possível. Isto só pode ser obtido as expensas do limite máximo da
tensão que pode ser aplicada antes da ruptura do isolador pelo intenso campo elétrico.
Outro importante fator é a resistividade do isolador. Sua forma fina e de larga superfí-
cie aumenta a corrente de fuga entre as placas, degradando, por isso, o capacitor. Os
capacitores de mica e de papel são obteníveis na faixa de 0,001 a 1 pF e podem ser
empregados nos circuitos cuja tensão máxima seja da ordem de centenas de volts.
Os capacitores de cerâmica ou plástico são também usados e, em geral, com pla-
cas de película metálica depositadas diretamente no dielétrico. Os dielétncos plásticos
têm resistividade muito alta, o que significa corrente de fuga extremamente reduzida.
A grande constante dielétrica de muitos materiais cerâmicos possibilita valores eleva-
dos de capacitância numa embalagem pequena.
Em várias aplicações, notadamente em circuitos transistorizados, desejam-se va-
lores muito altos de capacitância, sendo as resistências de fuga de interesse se-
cundário. Os capacitores eletrolíticos, fabricados com uma folha de metal oxidado
imersa numa pasta ou solução condutora, são usados para se conseguir capacitâncias
elevadas. A fina película de óxido é o dielétrico entre a folha metálica e a solução. Em
virtude de a película ser extremamente delgada, a capacitância é bastante alta. Vários
metais, entre eles o tântalo e o alumínio, podem ser utilizados na sua fabricação, e
obtêm-se valores na faixa de 1 a 104pF. As capacitâncias maiores podem ser úteis nos
Fig. 2.4 capacitores típicos. (SpragueElectric Company).

aumenta com a taxa de variação desta, de acordo com a Eq. (2.15). Isto significa que a
indutância do circuito impede que neste a corrente varie instantaneamente.
A indutância dos circuitos mais simples é muito pequena, de modo que a fem
induzida pode, normalmente, ser ignorada. Isto é verdade, exceto em freqüências
muito altas, nas quais a taxa de variação da corrente se torna excessivamente alta. Os
circuitos usados nessas frequências são montados tão compactamente quanto possível,
a fim de minimizar os efeitos indutivos. Em contraste, é possível produzir componen-
tes elétricos de indutância apreciável, o que se mostra bastante útil nos circuitos ca.
Consideremos o caso de uma corrente senoidal numa indutância desse tipo. A fem
nela induzida é também senoidal, pois, de acordo com a Eq. (2.15),
d
v = L- (I, sen o t )= wL1, cos o t = wL1, sen wt +-
dt ( 2) (2.16)
e, neste caso, a corrente se atrasa da tensão de um ângulo de fase de ~ / 2 .Expressando
a Eq. (2.16) em termos de valores eficazes,
o que mostra que a corrente ca numa indutância aumenta com a tensão ca aplicada,
exatamente como nos casos do resistor e do capacitor. A quantidade wL é chamada de
reatância indutiva, sendo medida em ohms. Observe que sua amplitude aumenta com
a freqüência, em contraste com a da reatância capacitiva.
Indutores
Os componentes elétricos com indutância apreciável são denominados indutores e, em
algumas aplicações, chokes (palavra inglesa que significa obstrução).' Consistem em
várias espiras de fio, enroladas umas as outras no mesmo suporte. Deste modo, cada
espira enlaça o fluxo magnético produzido pela corrente em todas as outras espiras, e
o fluxo total interceptado por todas as espiras juntas pode ser bem grande. A unidade
de indutância é denominada henry, homenagem a Joseph Henry, um americano pio-
neiro na investigação dos efeitos indutivos.
Circuitos eletrônicos de alta freqüência empregam bastante indutâncias da ordem
de 10-'j henrys (microhenry, ou pH), que podem ser um enrolamento helicoidal de
poucas espiras num suporte de mais ou menos 1 cm de diâmetro. Umas poucas deze-
nas de espiras produzem indutâncias na faixa de 10-3 henrys (milihenry, ou mH). As
indutâncias elevadas, para uso em baixas freqüências, são obtidas com o enrolamento
de muitas centenas de espiras de fio em torno de um núcleo de material ferromagnético
como o ferro. A propriedade magnética desses materiais são tais que o fluxo magné-
tico é aumentado de maneira apreciável. Desta forma, obtêm-se indutâncias de várias
centenas de henrys. Alguns indutores típicos estão desenhados na Fig. 2.6.
Os indutores com núcleo de ferro têm estes laminados a fim de impedir as corren-
tes induzidas neste metal pela variação do fluxo magnético. Isso reduz as perdas no
ferro ocasionadas pelas chamadas correntes de fuga. As lâminas são empilhadas e
separadas com verniz isolante, para obtenção de um núcleo do tamanho desejado. O
símbolo de circuito para o indutor é um enrolamento helicoidal, conforme mostrado na
Fig. 2.7. As linhas paralelas ao longo do enrolamento, também ilustrado na mesma
figura, indica a existência de núcleo magnético.
'N.T. São assim denominados os indutores utilizados num circuito.com a finalidade principal de evitar que
sinais de determinadas frequências circulem por ele.

Fig. 2.6 Indutores tipicos utilizados em circuitos eletrônicos. (J. W . Miller Co. e Essex Intrrna-
rional, In<.)
h
A
Fig. 2.7 Símbolos de circuito para (a)indutor e (b)indutor com núcleo de ferro.
--% Indutâncias variáveis podem ser obtidas movendo-se uma quantidade de espiras
em relação a outra, mas tal procedimento não é empregado amplamente e, em sua
maioria, os indutores são fixos. Em muitas aplicações, é necessário levar em conta a
- resistência dc fio nos enrolamentos e a capacitância entre as camadas de espiras, a fim
de se determinar o efeito de um chokr no circuito ca.
---. Na prática, a componente resistiva do indutor pode incluir também a perda de
potência no material magnético, resultante da variação rápida do campo magnético no
núcleo. Como já foi mencionado anteriormente, núcleos metálicos devem ser lamina-

dos para reduzir as perdas devidas as correntes de fuga, e a espessura da laminação
determina a freqüência máxima de utilização do indutor. Esta técnica chega ao seu
limite prático nos núcleos de ferro pulverizado, nos quais o ferro existe como finas
partículas. Núcleos de fernte, feitos com materiais ferromagnéticos de alta resistivi-
dade, são usados em altas freqüências porque a alta resistividade torna desprezíveis as
perdas devidas às correntes de fuga. Esses materiais, em baixas freqüências, não são
Úteis como o ferro porque os efeitos da saturação magnética limitam os níveis de po-
tência do indutor.
CIRCUITOSSIMPLES
FiltroRL
A associação em série de um resistor e um indutor forma um circuito ca simples,
porém útil. Suponhamos que estefiltro RL seja conectado a uma fonte de tensão se-
noidal, simbolizada no diagrama de circuito da Fig. 2.8 por um círculo contendo um
ciclo de onda senoidal em seu interior. A corrente e a tensão no circuito são determi-
nadas da maneira descrita a seguir. De acordo com as leis de Kirchhoff, a soma das
-
-- 4
!j
.. -
Fig. 2.8
tensões em torno da malha deve ser igual a zero em cada instante. Isto significa que a
fonte de tensão deve ser igual a tensão induzida no indutor mais a queda no resistor,
OU
onde i é a corrente; supondo que esta seja senoidal,
i = I, sen wt
a derivada é
di
- = ol, cos wt
dt
Substituindoas Eqs. (2.19) e (2.20) na equação do circuito, Eq. (2.18), a tensão é dada -Por
II
vi = RI, sen ot +oLI,cos wt (2.21) -
Esta expressão pode ser colocada numa forma mais ilustrativa, através da introdução r-
do ângulo de fase entre a tensão e a corrente, com a ajuda da Fig. 2.9. Expressando os
coeficientes de sen wt e cos wt em termos de cos 6 e sen 4, a Eq. (2.21) torna-se -

oi= I, Jw(cos 4 seno t +sen 4 cos o t )
A expressão entre parêntesis é, justamente, a identidade trigonométrica de sen
(ot + 4),de modo que
onde
wL
4 = arctan -
R
(2.24)
Note que, de acordo com a Eq. (2.24), a corrente se atrasa em relação a tensão, como
foi observado anteriormente em conexão com a Eq. (2.16). Observe também que a
reatância indutiva e a resistência são ambas importantes na determinação da corrente
neste circuito ca.
Suponhamosque a queda de tensão em R seja considerada como a tensão de saída
do circuito. Assim, usando a Eq. (2.19),
v, = RI, sen wt (2.25)
Fig. 2.10 Característicade freqüênciade um filtroRL passa-baixas.
A razão entre os valores eficazes das tensões de saída e de entrada é, das Eqs. (2.23) e
(2.251,

De acordo com a Eq. (2.27), em baixas freqüências, onde wL/R + O, a tensão de
saída é igual a de entrada. Em altas freqüências, a tensão de saída é menor que a de
entrada, como mostra o gráfico da Eq. (2.27) na Fig. 2.10, sendo que, por isso, o
circuito é conhecido como filtro passa-baixas. Consideremos a freqüênciafo, onde
De acordo com a Eq. (2.27), isto acontece onde
Como a potência de saída em R é proporcional ao quadrado da tensão, f, é denomi-
nada freqüência de meia-potência. Com efeito, sinais de entrada acima desta frequên-.
I cia são barrados pela indutância; e s g -
I
-- -I
I Filtro RC
Um circuito elementar, mas de muita utilidade, emprega um capacitor e um resistor
em série, como na Fig. 2.11. Estefiltro RC é conectado a uma fonte de tensão senoidal
I
I r, = C, sen wr (2.30)
1 Fig. 2.11 FiltroRC.
I
as quedas de tensão em torno da malha acarretam
onde i é a corrente. Derivando cada termo em relação ao tempo e fazendo i = dQ/dt, a
Eq. (2.31) transforma-se, depois de arrumada, em
di 1
R + - i = w V p c o s o t
dt C
Para resolver esta equação diferencial, suponhamos que a corrente seja dada por
i = Ipsen(wt+ 4) (2.33)
onde I, e C#J são incógnitas. Derivando a Eq. (2.33),
I
di- = wIp cos (ot +4)
dt

i-'-, CORRENTES ALTERNADAS 47
I
As Eqs. (2.33) e (2.34) são agora substituídas na equação diferencial do circuito, Eq.
- (2.32). O resultado é
I
RUI, cos (wt +4 ) t 2 sen (wt +4 ) = Vpw cos wt (2.35)
C
- e a equação é resolvida escolhendo-se valores para I, e 4 que tornem a Eq. (2.35)
verdadeira para todos os valores de-t. Esta substituição transformou a equação dife-,---------- "- -- ------
rencial numa tngonométrica.
- ( Os valores de I, e + que satisfazem a Eq. (2.35) são encontrados expandindo-se,- '
inicialmente, cada termo e usando-se identidade trigonométrica. Isto dá, depois de
dividir por wl,,
-. R(COSo t cos 4 -sen wt sen 4)
1
+ -- (senwt cos 4 +cos o t sen 4)= cos o t (2.36)
w c I,
7 Reunindo os termos em sen wt e cos wt,
-4
Agora, consideremos que t = 0; então, sen ot = O e
- -
R
1 VP - 0
R c o s 4+-- s e n 4 - - - (2.38)
w c I"
--I
II
Semelhantemente, suponhamos que wt = a/2, de modo que cos wt = O. Então,
I
7
1
- - cos 4 - Rsenqi = O (2.39)
w c
-. A fim de que a Eq. (2.37) se verifique para todos os valores de t. tanto a Eq. (2.38)
h
quanto a (2.39) devem ser satisfeitas. Esta última pode ser resolvida imediatamente em
- relação a 4,
1
-cos 4 = R s e n 4
oc
s e n 4 1
tan 4 = --= --
tos 4 R o C
de modo que
1
4 = arctan -- (2.40)
RwC
- A solução de +é usada na Eq. (2.38) para encontrar I,. Isto é feito exatamente como
R
no caso do filtro RL, Eq. (2.21). A Eq. (2.38) torna-se

Assim, finalmente,
Então, a corrente no circuito é
2 = -- v~ sen (wt +4) (2.43) r
, / R ~ + ( I / O C ) ~
onde
Observe que, de acordo com a Eq. (2.38), o ângulo de fase é positivo. Isto signi-
fica que a corrente se adianta em relação a tensão, o que é caractenstico do circuito
capacitivo. Quando I/oRC 4 O em altas frequências, o ângulo de fase é nulo e a
corrente está em fase com a tensão. Em frequências muito baixas, o ângulo de fase se r
aproxima de 7112. -A tensão de saídana resistência é
-
v, = RI, sen (wt + 4) (2.44)
-t
Fig. 2.12 Característica de freqüência de um filtroRC passa-altas.
o que significa que a razão entre os valores eficazes das tensões de saída e de entrada,
encontradas das Eqs. (2.30), (2.42) e (2.44), é I-
O gráfico da Eq. (2.45), Fig. 2.12, indica que a tensão de saída V, é muito pequena r'
em baixas frequências e igual a de entrada em altas frequências. Como só as baixas

- CORRENTES ALTERNADAS 49
r-.
freqüências são atenuadas, este circuito é chamado de filtro RC passa-altas. A fre-
- qüênciaf,em que

é denominada freqüência de meia-potência, como no
Circuitosintegradores e diferenciadores
Suponhamos que a resistência e a capacitância em sé
suficientementepequenas para tornar oRC 1 numa
condição, a tensão de saída é, das Eqs. (2.44) e (2.45),
v, = VpoRCsen ( o t +z/2)
= V,oRC cos ot
mas observe que a derivada do sinal de entrada em relação ao tempo é
doi
-= ovpcos o t
dt
I-
Em conseqüência, combinando as Eqs. (2.47) e (2.48), 2)-
- I i
*;
dv
I--- u,, = RC- (2.49)
dt
f-
A interpretação da Eq. (2.49)é que, quando wRC < 1, o circuito do filtroRC executa a
r-
operação de diferenciação; ou seja, a tensão de saída é a derivada, em relação ao
tempo, da tensão de entrada. Esta propriedade útil é extensamente aplicada nos circui-
tos eletrônicos, mais notadamente nos computadores.
,-C
I
Fig. 2.13 FiltroRC passa-baixas. i 6
Da mesma forma, a tensão no capacitor é, pela Eq. (2.12),a integral da corrente
I
-- c &
h
1 I
Yt- i;= - j I, sen (cor + 4) (ir = - cor (wt +4) (2.50)
C . w c
--.
Suponhamos, agora, que wRC * 1, o que pode ser obtido fazendo-se R e C muito
P. grandes. Então, I, = VJR, = O, e a Eq. (2.50)torna-se
da/ i
4./'$ cos wr LCc = - --
RCo i
,, Introduzindo a integral da tensão de entrada, resulta em i/----,
I
I
- -
L< = - ). ri dr
- R C .
t '
,
,!, " >.. -R '

o que significa que, nessas condições, o circuito RC executa a operação de integração.
A tensão de saída é apenas uma pequena fração da tensão de entrada, quando o cir-
cuito é usado para diferenciar ou integrar, de acordo com as Eqs. (2.49) e (2.52). Isto,
no entanto, não constitui séria desvantagem nas aplicações práticas, uma vez que o
sinal de saída pode ter sua amplitude elevada com auxílio dos circuitos amplificadores
descritos em capítulos posteriores.
É possível ignorar os limites de integração na determinação da Eq. (2.52), porque
estamos interessados somente nas condições de estado estacionário, ou seja, depois de
haver desaparecido quaisquer tensões transitórias iniciais capazes de ocorrer ao se
excitar o circuito. A possibilidade de efeitos transitórios nos circuitos RC será consi-
derada na próxima seção. O circuito RC é um filtro passa-baixas, quando a tensão de
saída é tomada sobre o capacitor, como na Fig. 2.13. A freqüência de transição de um
domínio para o outro é marcada, aproximadamente, pela frequência de meia-potência,
onde o,RC = 1, como no caso do filtro passa-altas.
CORRENTES TRANSITÓRIAS
Constante de tempo
Desde o estudo dos circuitos ca até este ponto, foi suposto, implicitamente, que os
valores eficazes das fem senoidais eram constantes. Os efeitos transitórios são asso-
ciados com variações rápidas nas tensões aplicadas aos circuitos, como, por exemplo,
ao se ligar a fonte de tensão. Essas correntes transitórias desaparecem rapidamente,
I deixando no circuito apenas as correntes estacionárias, que permanecem enquanto aI
fem ca está aplicada. Embora o interesse principal seja, com mais frequência, pelas
I correntes estacionárias, em muitos casos os efeitos transitórios são importantes tam-
bém. Isto acontece sobretudo na determinação da resposta do circuito a pulsos de
1 tensão isolados.
Os transitórios são encontrados através da solução da equação diferencial do cir-
cuito, levando-se em conta a amplitude da corrente no instante em que a tensão apli-
cada muda. A soma da corrente transitória com a estacionária é a solução completa da
I equação diferencial. Geralmente, basta considerar os dois aspectos da análise de cir-
I
I
cuito ca separadamente, porque, na maioria das vezes, o interesse pela resposta do
I circuito está ligado apenas a fem estacionária ou aos efeitos transitórios, isoladamente.
Convém dar início ao estudo das correntes transitórias pelo circuito série RC mais
simples, ao qual foram incorporadas uma bateria e uma chave de duas posições, como
mostra a Fig. 2.14. Suponhamos que a chave seja subitamente conectada ao terminal
1. A equação diferencial do circuito é, pela lei de Kirchhoff,
I
I
I Derivando em relação ao tempo e reagrupando,
Para resolver esta equação, reescrevemo-la da seguinte maneira:

--. CORRENTES ALTERNADAS 51
-
Os dois lados da igualdade da Eq. (2.55) são diferenciais comuns, de modo que, após a
'-integração,
onde K é uma constante a ser determinada das condições iniciais. Uma outra forma de
escrever a Eq. (2.56) é
Fig. 2.14
onde A substitui exp K por simplicidade. A fim de calcularmos A, observemos que a
corrente é igual a VIRquando a chave é fechada, em t = O. Em conseqüência,
_ De acordo com a Eq. (2.58), a corrente neste circuito decresce exponencialmente,
quando a chave é ligada a posição 1. A quantidade RC, que tem a dimensão de segun-
dos, é denominada de constante de tempo. Ela determina a rapidez com que a corrente
diminui.
A tensão no capacitor em qualquer instante pode ser encontrada integrando-se a
corrente de conformidade com as Eqs. (1.1) e (2.11)
= V(1 - e-rIRC
1 (2.59)
O decaimento da corrente de carga e o crescimento da tensão no capacitor são simétri-
cos, de acordo com as Eqs. (2.58) e (2.59) e como mostra a Fig. 2.15. Observe que a
tensão começa em zero e aumenta exponencialmente até a tensão da bateria. Após o
intervalo de tempo correspondente a uma constante de tempo, a tensão é igual a 1 -
e-' = 1 - 0,356 = 63 por cento do valor final. O tempo real necessário para que essa
tensão seja atingida depende dos valores da resistência e da capacitância. Um tempo
longo é necessário se esses valores forem grandes, e vice-versa.
O crescimento da corrente após a ligação da chave a posição 2, quando o capaci-
tor se descarrega através do resistor, é o mesmo daquele dado pela Eq. (2.58). Isto
pode ser visto escrevendo-se a equação da tensão no circuito para este caso

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