Análise Tempo-Frequência com STFT e Wavelets

1. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 04 - Analise Tempo-Frequ^encia Prof. Eduardo Simas (eduardo.simas@ufba.br) Departamento de Engenharia Eletrica Universidade Federal da Bahia

2. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Conteudo 1 Introduc~ao 2 Analise de Fourier de Tempo Curto 3 Analise usando Transformada Wavelet 4 Transformada Wavelet Discreta 5 Aplicac~oes da DWT 6 Conclus~oes

3. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Introduc~ao Em muitos casos praticos as caractersticas do sinal variam com o tempo. Por exemplo, numa musica e possvel perceber a mudanca nos componentes de frequência (graves - baixas frequências e agudos - altas frequências) ao longo de sua execuc~ao. Outros exemplos de sinais variantes no tempo: - Sinais do sistema eletrico; - Sinais de instrumentac~ao biomedica (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc); - Audio em geral (voz, musica, sinais acusticos de maquinas eletricas, etc); - Vdeo. - ... Nestes casos, e importante realizar o processamento dos sinais de modo que seja possvel explorar, ao mesmo tempo, os domnios do tempo e da frequência.

4. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequência Na analise tempo-frequência ha sempre um compromisso entre as resoluc~oes obtidas em cada domnio. Para obtermos uma boa resoluc~ao no domnio da frequência e preciso de uma maior janela de tempo e, consequentemente para curtas janelas de tempo n~ao e possvel obter boa resoluc~ao na frequência. Essa limitac~ao e mostrada na

5. gura abaixo em termos da caixa de Heisenberg ou atomo tempo-frequ^encia.

6. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Resoluc~ao nos Domnios do Tempo e da Frequência Percebe-se ent~ao que, e preciso manipular adequadamente a transformac~ao tempo-frequência de modo que os requisitos de resoluc~ao sejam atendidos em ambos os domnios. Existem duas formas mais comuns de realizar a analise tempo-frequência (que ser~ao apresentadas a seguir): A analise de Fourier de Tempo Curto (ou Janelada) A analise de Wavelet A principal diferenca entre elas e que na primeira a resoluc~ao tempo-frequência e mantida constante em toda a analise do sinal e na segunda e possvel realizar o que e de

7. nida como uma analise multi-resoluc~ao. Ou seja, a transformada Wavelet permite variar a resoluc~ao da transformac~ao tempo-frequ^encia no decorrer da analise do sinal.

8. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise de Fourier de Tempo Curto

9. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise de Fourier de Tempo Curto Na analise de Fourier de Tempo Curto (do ingl^es Short-Time Fourier Analysis) o sinal temporal e sub-dividido em janelas de curta durac~ao e a transformada de Fourier e calculada para cada janela. As janelas temporais podem ser de

10. nidas com ou sem superposic~ao entre as janelas adjacentes. As func~oes janela mais utilizadas s~ao as semelhantes as vistas anteriormente para o projeto de

11. ltros FIR: - Retangular; - Triangular; - Hamming; - Hanning; - ... Lembrando que janelas de cortes abruptos (ex. retangular) geram oscilac~oes de Gibbs nos componentes de frequ^encia estimados.

12. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada de Fourier de Tempo Curto A Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT - Short-Time Fourier Transform) e ent~ao de

13. nida, no domnio discreto como: X(m; !) = 1X 1 x[n]f [n m]ej!n sendo f [n] uma func~ao janela de comprimento limitado L. Ou seja: f [n] = 0, se jnj L=2 Numa implementac~ao pratica, o deslocamento no tempo (representado pelo par^ametro m) n~ao pode ser realizado continuamente. Neste caso, deve-se escolher um conjunto de valores discretos de m usando um espacamento m pre-determinado. Quando m L ha superposic~ao entre as janelas adjacentes.

14. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada de Fourier de Tempo Curto Para a apropriada visualizac~ao dos resultados da STFT pode-se utilizar: - Gra

15. cos 3D: onde os eixos x e y est~ao associados ao tempo e a frequ^encia, e o eixo z a amplitude dos componentes. - Gra

16. cos 2D: nos quais os eixos x e y est~ao associados ao tempo e a frequ^encia, e a amplitude e indicada por um codigo de cores. Esta visualizac~ao e normalmente chamada de Espectrograma. O espectrograma pode ser considerado como uma vista superior do gra

17. co 3D.

18. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 1

19. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Visualizac~ao 3D da STFT - Exemplo 2 As cores podem ser associadas a intensidade ou a energia associada aos componentes de frequ^encia.

20. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplo de Visualizac~ao 2D da STFT (Espectrograma) No incio o sinal n~ao tem informac~ao em qualquer frequência; Logo a seguir (p/ T 2) aparecem componentes de baixa frequência; Para T 2 comecam aparecer componentes de frequência mais alta; Quando 6 T 8 a energia esta concentrada em algumas faixas de frequência; Em T 10 percebe-se que ha energia em quase toda a faixa de frequências analisada (provavelmente representando contaminac~ao por rudo branco).

21. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Outras Transformadas Janeladas O conceito do janelamento do sinal temporal para a realizac~ao de uma analise tempo-frequ^encia tambem pode ser estendido para outras transformadas como a Transformada Discreta da Cossenos. Essa abordagem da origem a modi

22. ed discrete cosine transform (MDCT), que utiliza janelas adjacentes com sobreposic~ao de 50% e atualmente e aplicada em diversos algoritmos de compactac~ao de audio como: MP3, AC-3, Vorbis, WMA, ATRAC, Cook e AAC.

23. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Limitac~oes da STFT Conforme mencionado anteriormente, a analise tempo-frequ^encia usando janelas e transformadas com func~oes de base invariantes (senos e/ou cossenos) apresenta uma limitac~ao inerente que e a resoluc~ao

24. xa. Ou seja ha um compromisso entre as resoluc~oes possveis de serem obtidas nos dois domnios (n~ao se pode ter uma excelente resoluc~ao tanto no tempo como na frequ^encia). Isso pode se tornar um problema a depender da aplicac~ao. Um modo de contornar essa limitac~ao e utilizar transformadas com func~oes de base variaveis, como as Wavelets.

25. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplos utilizando o Matlab Para realizar analise de Fourier em janelas, o Matlab disp~oe de rotinas nativas como o spectrogram. Neste exemplo iremos utilizar exemplos de arquivos de audio (musicas) e visualizar a mudanca nos componentes de frequ^encia a medida que as musicas se desenvolvem no tempo. Foram utilizadas as musicas a seguir (disponveis para download juntamente com esse modulo de slides no arquivo ExMusicasPDSaula04.mat): - y1: Musica Carinhoso, executada pela OBMJ (Orquestra Brasileira de Musica Jamaicana); y2[-]: Musica I Could Have Died for You, executada pelos Red Hot Chili Peppers. As musicas podem ser importadas com o comando load.

26. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplos utilizando o Matlab Para desenhar o espectrograma foi utilizado o comando a seguir: figure;spectrogram(y1(1:T*fs),T*fs/100,[],Nfft,fs);, e A sintaxe do comando garante que: - O sinal y1 seja considerado no intervalo de 0 a T segundos; - Sejam utilizadas janelas de Hamming com sobreposic~ao de 50 % e durac~ao T/100; - A FFT e realizada com Nfft pontos. Neste exemplo utilizou-se para ambos os sinais y1 e y2: T=120 e Nfft=2048. Recomenda-se repetir o exemplo variando-se os par^ametros acima para veri

27. car sua in u^encia na apropriada visualizac~ao das informac~oes de interesse no sinal. Para executar os arquivos em formato de audio utilizem os comandos wavplay (que executa diretamente do Matlab, mas so funciona com SO Windows) ou wavwrite (gera um arquivo .wav para ser executado atraves de um programa apropriado).

28. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Espectrograma do sinal y1

29. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Espectrograma do sinal y2

30. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet

31. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet Para analisar estruturas de sinais com escalas diferenciadas em ambos os domnios e necessario utilizar atomos tempo-frequ^encia com diferentes suportes temporais. A transformada wavelet decomp~oe um sinal em vers~oes escalonadas e transladadas das func~oes wavelet. Uma wavelet e de

32. nida como uma func~ao 2 L2(R) com media zero: Z 1 1 (t)dt = 0; normalizada k k = 1 e centrada em torno de t = 0. Um dicionario de atomos tempo-frequ^encia e obtido do escalonamento por s e da translac~ao por u de : D = ( u;s (t) = 1 p s t u s ) u2R;s2R+

33. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise usando Transformada Wavelet A transformada Wavelet do sinal f no tempo u e escala s e de

34. nida por: Wf (u; s) = Z 1 1 f (t) 1 p s t u s dt Exemplo de uma func~ao wavelet tipo spline cubico (a) e sua respectiva transformada de Fourier (b):

35. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Analise Multiresoluc~ao usando Wavelet Um atomo tempo-frequência wavelet corresponde a uma caixa de Heisenberg centrada em (u; =s) de comprimento st no tempo e !=s na frequência. A area do retângulo permanece constante, mas a resoluc~ao no tempo e na frequência dependem do fator de escala s.

36. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes A Famlia de Wavelets Daubechies As wavelets tipo Dalbechies foram propostas por Ingrid Daubechies. S~ao func~oes wavelet ortogonais muito utilizadas em analises atraves da Transformada Discreta de Wavelet, pois s~ao func~oes limitadas no tempo.

37. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes A Famlia de Wavelets Daubechies As func~oes Wavelet podem tambem serem de

38. nidas em mais de uma dimens~ao, como por exemplo a Daubechies 20 2-d: Com func~oes wavelet limitadas no tempo (de

39. nidas por series de suporte temporal

40. nito) e possvel realizar o processamento discreto atraves da DWT (Discrete Wavelet Transform).

41. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta

42. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta Para operar em sistemas digitais a transformada Wavelet precisa ser executada de modo discreto. Um modo e

43. ciente para realizar a DWT (Discrete Wavelet Transform) e atraves de

44. ltragens sucessivas do sinal discreto x[n]. Considerando dois

45. ltros digitais (

46. ltros espelhados em quadratura) com sequ^encias de resposta a impulso

47. nitas g[n] (passa-baixas) e h[n] (passa-altas), o sinal de interesse x[n] e ent~ao decomposto em: yLow[n] = 1X k=1 x[k]g[2n k] e yHigh[n] = 1X k=1 x[k]h[2n k] Gra

48. camente temos: Percebe-se que apos a

49. ltragem, os sinais s~ao sub-amostrados por um fator de 2.

50. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta A sub-amostragem e viavel pois apos os

51. ltros temos: - em yLow[n] apenas a primeira metade dos componentes de frequência do sinal x[n] e - em yHigh[n] apenas a segunda metade dos componentes de frequência do sinal x[n]. Assim, e possvel reduzir a frequência de amostragem (por um fator igual a 2) e ainda assim manter valido o teorema de Nyquist. Os coe

52. cientes dos

53. ltros g[n] e [h[n] est~ao relacionados com as func~oes Wavelet utilizadas na decomposic~ao. Conforme de

54. nic~ao, a DWT com um unico nvel de decomposic~ao e capaz de dividir em duas faixas de frequ^encia o sinal original e gerar dois sinais temporais concentrando essas informac~oes

55. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta Se for necessario explorar outras faixas de frequência pode-se realizar sucessivas decomposic~oes: O espectro de frequências

56. ca ent~ao mapeado conforme mostrado a seguir:

57. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Transformada Wavelet Discreta Uma nomenclatura normalmente adotada para a analise via DWT considera que: - yLow[n] = g1[n] s~ao os coe

58. cientes de aproximac~ao do primeiro nvel de decomposic~ao do sinal x[n] e - yHigh[n] = h1[n] s~ao os coe

59. cientes de detalhe do primeiro nvel de decomposic~ao do sinal x[n]. Considerando um nvel de decomposic~ao generico k, temos: - gk [n] ! os coe

60. cientes de aproximac~ao do nvel k; - hk [n] ! os coe

61. cientes de detalhe do nvel k. Devido a subamostragem, gk [n] e hk [n] tem uma reduc~ao de 2k no numero de amostras em comparac~ao ao sinal original x[n]. =) Um aspecto interessante da DWT e que os sinais gk [n] e hk [n] preservam a informac~ao no domnio do tempo referente a faixas de frequ^encia espec

62. cas.

63. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Wavelet Packet Decomposition Conforme visto anteriormente, a estrutura de decomposic~ao de

64. nida na DWT normalmente envolve apenas a operac~ao sequencial sobre os coe

65. cientes de aproximac~ao, o que proporciona uma crescente resoluc~ao em baixas frequ^encias. Se for necessario explorar mais detalhadamente tambem outras regi~oes do espectro, pode-se modi

66. car a estrutura da DWT tradicional, dando origem ao que se chama Wavelet Packet Decomposition (ou WPD):

67. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Wavelet Packet Decomposition Com a WPD o espectro de frequ^encias pode ser mapeado de modo regular: Freq Freq Freq Sinal Original Decomposição de Nível 1: Decomposição de Nível 2: fm fm/2 fm fm/4 fm/2 3fm/2 fm

68. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplo - DWT Considerando um sinal acustico de curta durac~ao como: 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.05 0.1 0.15 Time (s) Amplitude (V) a b c E realizando-se uma decomposic~ao do tipo DWT: X[k] d1[k] h1[k] d2[k] h2[k] ... ... dm[k] hm[k] 2 2 2

69. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Exemplo - DWT Apos 5 nveis sequenciais de decomposic~ao chega-se a: 0.1 0.05 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Signal 0.1 0.05 0 0 500 1000 1500 d1 0.1 0.05 0 0 100 200 300 400 500 600 700 d2 0.1 0.05 0 0 50 100 150 200 250 300 350 d3 0.1 0.05 0 0 50 100 150 d4 0.1 0.05 0 0 20 40 60 80 Number of points d5 A cada nvel o sinal e sub-amostrado por um fator de 2 e representa as informac~oes de frequ^encias mais baixas.

70. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Aplicac~oes da Transformada Wavelet Discreta

71. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Aplicac~oes da DWT Entre as principais aplicac~oes da DWT (e da WPD) pode-se mencionar: - Extrac~ao de Caractersticas - Remoc~ao de Rudo - Compress~ao de Sinais No exemplo mostrado no Slide 31, a DWT foi utilizada para extrair caractersticas do sinal acustico. Naquela aplicac~ao, os coe

72. cientes de aproximac~ao de ordem 5 foram utilizados para inferir informac~oes acusticas a respeito da condic~ao de operac~ao de um transformador auto-regulado (OLTC - On-Load Tap Changer).

73. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Wavelet Denoising O processo de

74. ltragem de rudo utilizando wavelets (conhecido como Wavelet Denoising), pode ser resumido pelo diagrama a seguir: x[n] + N[n] DWT Patamar IDWT x[n] A etapa patamar se refere a eliminac~ao dos coe

75. cientes de detalhe dk [n] que sejam inferiores a um valor limite pre-estabelecido: dk [n] = 0; dk [n] m dk [n]; dk [n] m =) Escolha de m: - quanto menor m, menor a intensidade da

76. ltragem; - com valores muito elevados de m pode-se acabar eliminando o sinal de interesse.

77. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Wavelet Denoising - Exemplo Sinais original, ruidoso e

78. ltrado com Wavelet Denoising:

79. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Compress~ao da informac~ao com Wavelets De modo analogo ao realizado no processo de remoc~ao de rudo, a compress~ao da informac~ao usando Wavelets pode ser realizada a partir da eliminac~ao de um conjunto de coe

80. cientes pouco representativos da informac~ao de interesse. O sinal compactado (com menor numero de coe

81. cientes) pode ser utilizado para reconstruir a informac~ao atraves da transformac~ao wavelet inversa. Para compactac~ao podem ser utilizados esquemas DWT ou WPD.

82. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Conclus~oes

83. PDS - Aula 04 Tempo- Frequência Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Conclus~oes Para analisar adequadamente sinais com caractersticas variantes no tempo e preciso fazer uso de extens~oes dos metodos tradicionais. O processamento deve ser capaz de descrever o sinal durante todo o perodo de analise. Para esse objetivo pode-se utilizar a analise tempo-frequência. Observamos que a analise tempo-frequência pode ser executada usando a STFT (transformada de Fourier de tempo curto) ou a transformada Wavelet. Nas analises tempo-frequência ha uma relac~ao de compromisso entre as resoluc~oes possveis nos domnios do tempo e da frequência. A analise via STFT apresenta resoluc~ao tempo-frequência

84. xa, enquanto a analise wavelet permite uma analise multi-resoluc~ao.

85. PDS - Aula 04 Tempo- Frequ^encia Eduardo Simas Introduc~ao Analise de Fourier de Tempo Curto Analise usando Transformada Wavelet Transformada Wavelet Discreta Aplicac~oes da DWT Conclus~oes Bibliogra

86. a Consultada Na elaborac~ao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir: - MALLAT, S. Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way, Academic Press, 2008. - DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004. - MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005. - WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011. - ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill, 2006. Algumas

87. guras foram retiradas na ntegra das refer^encias acima.

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