1. Um grupo de amigos se reuniu para um almoço e foram chegando mais pessoas, preenchendo as mesas. Primeiro chegaram 4 pessoas, depois 6 e depois 8.
2. O documento explica progressões aritméticas e como calcular os termos de uma PA.
3. É apresentada uma fórmula para calcular o número de palitos necessários para formar um determinado número de quadrados.
2. 1 – Um grupo de amigos se reuniu para um almoço de
confraternização em um restaurante. Sendo que, a
disposição das mesas irá ser modificada de acordo com
a chegada das pessoas. De primeira chegaram 04
pessoas, depois foram chegando os demais, ficando
assim a distribuição.
2
1ª arrumação 2ª arrumação 3ª arrumação
3. 1ª arrumação a1= n, onde n é o número de lugares
ocupados da mesa
2ª arrumação = a2 ∴
3ª arrumação = a3∴
3
a1 = 4
a2 = 6
a3 = 8
PA (4, 6, 8,...)
PA (a1, a2, a3,...)
4. Quantas pessoas tem nessa Confraternização?
De a2 (segunda arrumação) para a a1 (primeira
arrumação), chegaram 2 pessoas. Essa diferença entre as
arrumações chama-se razão, e podemos representar
assim: a3 – a2 = a2 – a1 = r.
4
+ r - r
PA (a1, a2, a3,..., an-1, an)
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
.
. n – 1 igualdades
.
an = an-1 + r
Fórmula do Termo
Geral da PA
an = a1 + (n – 1) * r
5. Exercício 01: Usando esta arrumação, se foram colocadas
6 mesas e todos os lugares ocupados,
quantas pessoas estavam presente?
5
an = ? an = a1 + (n – 1) * r
n = 6 a6 = 4 + (6 – 1) * 2
r = 2 a6 = 4 + 5 * 2
a1 = 4 a6 = 4 + 10
a6 = 14
Exercício 02:E se comparecerem à confraternização 60
pessoas, quantas mesas serão necessárias?
a60 = ? an = a1 + (n – 1) * r
n = 60 a60 = 4 + (60 – 1) * 2
r = 2 a60 = 4 + 59 * 2
a1 = 4 a60 = 4 + 118 a60= 122
6. 2 – O que você pode observar nas figuras abaixo?
Complete a tabela:
6
Número de quadrados Número de palitos
1 4
Número de quadrados Número de palitos
1 4
2 7
3 10
... ...
7. Exercício 03: Quantos palitos são necessários para formar
15 quadrados?
7
a15 = ? an = a1 + (n – 1) * r
a1 = 4 a15 = 4 + (15 – 1) * 3
r = 3 a15 = 4 + 14 * 3
n = 15 a15 = 4 + 42 a15 = 46
9. De modo geral, se estamos no degrau de número
m, devemos subir m – n degraus. A nossa nova fórmula,
que relaciona dois termos quaisquer, é então:
9
am = an + (m – n) * r
Se você está no 6º degrau de uma escada e deseja
chegar ao 10º degrau, quantos degraus deve subir? A
resposta é simples: 04 degraus. Podemos escrever isso
em linguagem matemática: a10 = a6 + 4 * r
10. PA crescente quando r > 0
Ex: (3, 4, 5, 6, 7)
a2 = a1 + r
4 = 3 + r
4 – 3 = r r = 1
PA decrescente quando r < 0
Ex: (10, 8, 6,...)
PA constante ou estacionária quando r = 0
Ex: (5, 5, 5, 5)
10
11. 11
1. Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é
média aritmética entre o anterior e o seu posterior.
an = an-1 + an + 1
________
2
12. 12
2. A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é
igual à soma dos extremos.
PA (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23)
3 + 21 = 1 + 23 = 24
5 + 19 = 1 + 23 = 24
7 + 17 = 1 + 23 = 24
9 + 15 = 1 + 23 = 24
11 +13 = 1 + 23 = 24
13. 13
A soma Sn dos n termos de uma PA é a média
aritmética dos extremos, multiplicada pelo número de
termos.
Sn = (a1 + an) * r
________
2
14. 14
Temos uma função quadrática onde o gráfico é uma
parábola.
Os pontos (n1Sn) são tais que Sn – Sn-1 = an.
As diferenças dos valores assumidos pelas somas
estão em progressão aritmética.
(S1, S2 – S1, S3 – S2, ...., Sn – Sn-1) é uma PA.
Sn = (a1 + an) * n
2
= 1 [ a1 + a1 + (n – 1) * r ] * n
2
= 1 (2 a1 + r n – r) * n
2
Sn = r n2
= ( a1 – r ) * n
2 2
