Projeto Execucao

1. PONTOS NOTÁVEIS DE UM
TRIÂNGULO
Curso de Informática Educativa I
Exemplo – Projeto Execução
Luís Alberto – Tutor

2. Os Pontos Notáveis de um Triângulo
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro

3. Antes da primeira aula, solicitar aos alunos materiais
para a elaboração das atividades
Na aula anterior, antes deste tema ser abordado, o professor
deve solicitar aos alunos os materiais necessários para a
elaboração de um exercício para ser discutido em sala:
Tesoura, Papelão, Isopor, Régua, Esquadros e Fio.
Pode-se empregar também outros materiais que os alunos
possuam em suas casas, como por exemplo, pastas
plásticas, barbante, fio de nylon, cola, durex.

4. Primeira Aula – Um problema é proposto
Com os materiais que os alunos trouxeram para a sala de
aula, eles irão construir dois triângulos iguais, com os
mesmos materiais e com as mesmas dimensões.
Um triângulo eles vão guardar e o outro vão utilizar na
atividade descrita abaixo.
A pergunta é: Existe algum ponto “D” pertencente ao
triângulo, que seja possível suspendê-lo através de um fio,
deixando-o em equilíbrio?

5. Primeira Aula – Um problema é proposto
Em um dos triângulos, será solicitado aos alunos que eles
busquem determinar este ponto, de modo a suspender o
triângulo, equilibrando-o através deste fio, a partir de um
ponto localizado pelos alunos no triângulo.
Discutir os problemas?
Existe alguma técnica para resolver este problema?
Posso empregar os Pontos Notáveis de um Triângulo:
Baricentro, Incentro, Circuncentro, Ortocentro, para resolver
este problema.

6. Segunda Aula: O professor irá apresentar as Teorias
sobre Pontos Notáveis num Triângulo
Na apresentação das teorias sobre pontos notáveis de um
triângulo será empregado o software dinâmico Geogebra.
Para esta atividades os alunos deverão estar no laboratório
de informática, o software Geogebra instalado no
laboratório.
Algumas funções do software Geogebra deverão ser
apresentadas aos alunos para que eles se familiarizarem
com os recursos deste software.

7. Terceira Aula: Cálculo dos Pontos Notáveis de um
Triângulo através do software Geogebra
Determinação dos Pontos Notáveis de um Triângulo através
do software Geogebra.
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro

8. Iniciando o Geogebra – Determinação do Baricentro

9. Na função “Novo ponto”, determinar três novos pontos
quaisquer, por exemplo, A, B e C.

10. Na função “Segmento definido por dois pontos”, traçar
segmento de reta dos pontos AB, BC e CA.

11. Na função “Mediatriz”, Determinar a mediatriz dos
segmentos de reta AB, BC e CA.

12. Na função “Novo ponto”, marcar os pontos D, E e F,
mediatriz dos segmentos AB, BC e CA.

13. Na Janela de Álgebra, em outros objetos, desmarcar as
retas “d, e, f”. Estas retas vão sumir da tela.

14. Na função “Segmento definido por dois pontos”, traçar os
segmentos de reta AE, BF e CD.

15. Na função “Novo ponto”, marcar o ponto G, interseção
dos segmentos AE, BF, CD.

16. G é o baricentro do triângulo. O triângulo estará em
equilíbrio se suspendendo por este ponto. Propriedade:
GA = 2 GE; GB = 2 GF; GC = 3 GD.

17. Iniciando o Geogebra – Determinação do Incentro

18. Na função “Novo ponto”, determinar três novos pontos
quaisquer, por exemplo, A, B e C.

19. Na função “Segmento definido por dois pontos”, traçar
segmento de reta dos pontos AB, BC e CA.

20. Na função “Bissetriz”, determinar a bissetriz dos ângulos
dos vértices A, B e C.

21. Na função “Novo ponto”, marcar os pontos da interseção
da bissetriz dos ângulos com os segmentos de reta do
lado oposto, gerando os pontos D; E; F.

22. Na Janela da Álgebra, em Objetos Dependentes,
desmarcar (bolas em verde) “d, e, f”, apagando as
bissetrizes dos ângulos A, B, e C.

23. Na função “Segmento definido por dois pontos”:
Traçar segmento de reta dos pontos AD, BE e CF.

24. Na função “Novo ponto”, marcar o ponto G, interseção
dos segmentos AD, BE, CF. Este é o incentro do
triângulo.

25. O ponto G é o centro da circunferência inscrita no
triângulo.

26. Na função “Perpendicular”, traçar perpendicular do ponto
G aos segmentos AB, BC e CA, marcando os pontos I e
H.

27. A circunferência será tangente no pontos F, H e I, que
são perpendiculares aos segmentos AB, BC e CA.

28. Iniciando o Geogebra – Determinação do Circuncentro

29. Na função “Novo ponto”, determinar três novos pontos
quaisquer, por exemplo, A, B e C.

30. Na função “Segmento definido por dois pontos”, traçar
segmento de reta dos pontos AB, BC e CA.

31. Na função “Mediatriz”, determinara a mediatriz dos
segmentos AB, BC, CA.

32. Na função “Novo ponto”, marcar os pontos da interseção
da mediatriz dos segmentos AB, BC, CA, assinalando os
pontos D; E; F.

33. Na Janela da Álgebra, em Objetos Dependentes,
desmarcar (bolas em verde) “d, e, f”, apagando as
mediatrizes dos segmentos de retas AB, BC, CA.

34. Na função “Retas Perpendiculares”, traçar
perpendiculares aos segmentos de reta AB, BC e CA,
nos pontos D, E e F.

35. A interseção destas perpendiculares vai determinar o
ponto G.

36. Na função “Círculo dado o centro e em de seus pontos”,
selecionar o ponto G, e qualquer ponto, A, B ou C,
traçando a circunferência.

37. Iniciando o Geogebra – Determinação do Ortocentro

38. Na função “Novo ponto”, determinar três novos pontos
quaisquer, por exemplo, A, B e C.

39. Na função “Segmento definido por dois pontos”, traçar
segmento de reta dos pontos AB, BC e CA.

40. Na função “Reta perpendicular”, selecionar o ponto A e o
segmento oposto BC, selecionar o ponto B e o segmento
oposto CA, selecionar o ponto C e o segmento oposto
AB.

41. O ponto das interseções destas retas perpendiculares
gera o ponto D que é o Ortocentro o triângulo.

42. Outro exemplo de Ortocentro de triângulo obtusângulo.
Observa-se que o ortocentro está fora do triângulo.

43. Outro exemplo de Ortocentro. Observa-se que o
ortocentro está dentro do triângulo.

44. Outro exemplo de Ortocentro. Neste triângulo retângulo o
ortocentro coincide com um dos vértices do triângulo.
Neste caso coincidiu com o vértice A.

45. Quarta Aula: Pesquisa sobre o tema, pontos notáveis de
um triângulo, e discussão sobre os recursos do
Geogebra para determinar estes pontos
Os alunos apresentarão suas pesquisas.
Os recursos do Geogebra empregados para construir serão
discutidos.
Execução de exercícios no laboratório de informática
empregando os recurso do Geogebra. Estes exercícios
serão propostos aos alunos para serem feitos no
laboratório. Esta atividade é para ser realizada em grupo.

46. Quinta Aula: Traçar o baricentro no outro triângulo que
havia sido construído previamente
Com os triângulos que os alunos construíram na primeira
aula, os alunos agora vão traçar no triângulo, com auxílio de
esquadro, régua e compasso, o seu baricentro.
O triângulo ao ser suspenso pelo fio que passa pelo
baricentro, determinado pelos alunos (deverá estar em
equilíbrio).
Discutir com os alunos as conclusões desta tarefa,
possíveis erros na determinação do baricentro.
Discutir erros, espessura dos materiais que são
desconsiderados nesta atividade.

47. Sexta Aula: Desafios através de exercícios, empregando
conceitos de pontos notáveis de um triângulo, e
empregando os recursos do Geogebra
Problemas – Desafios (utilizando recursos do Geogebra
para resolvê-los no laboratório de informática):
1) Sua família tem um terreno em forma triangular. Eles
querem instalar uma luminária em cada lateral do terreno de
modo a gastar a menor quantidade possível de fio para
instalar três luminárias, uma em cada parede (aresta), do
terreno de sua família a partir de um ponto no interior do
terreno, eqüidistante das três laterais do triângulo. Como
determinar um ponto eqüidistante de todas as paredes
(arestas) de um triângulo.
Resposta:
(Através da determinação do Incentro do Triângulo nos
conseguimos resolver este problema do dia a dia. É o raio
do círculo inscrito no triângulo).

48. Solução do Problema Um
Resposta: Através da determinação do Incentro do Triângulo
nos conseguimos resolver este problema do dia a dia.
Solução:
- Determinar três pontos no plano, A, B e C;
- Traçar os segmentos de retas unindo os pontos A, B e C;
- Este é o terreno triangular;
- Temos que colocar luminárias na paredes do terreno
(arestas) o mais próximo do centro, eqüidistantes, desta
forma vamos economizar fio para instalação das luminárias
nas paredes;
- Traçar a bissetriz dos vértices, A, B e C;
- Marcar a interseção da bissetriz com os segmentos
opostos;
- Apagar as bissetrizes traçadas;
- Traçar os segmentos AD, BE e CF;
- A interseção dos segmentos AD, BE e CF, é o Incentro;
- Traçar circunferência de centro G;

49. Solução do Problema Um
Resposta: Através da determinação do Incentro do Triângulo
nos conseguimos resolver este problema do dia a dia.
Solução:
- Traçar circunferência de centro G;
- Traçar perpendicular do ponto G as arestas AB, BC, CA,
determinando os pontos I, J, H (tangentes do círculo com as
retas);
- Os pontos determinados, I, J, H são a solução deste
problema;
- Nestes pontos temos que instalar as luminárias, que são
eqüidistantes do centro G.
- Estes pontos são a menor distância do centro.

50. Solução do Problema Um

51. Sétima Aula: Desafios através de exercícios,
empregando conceitos de pontos notáveis de um
triângulo, e empregando os recursos do Geogebra
Problemas – Desafios (utilizando recursos do Geogebra
para resolvê-los no laboratório de informática):
2) A pergunta é: Onde uma empresa de telefonia deve
instalar uma antena para celulares em um bairro de uma
cidade, considerando três pontos quaisquer deste bairro, de
tal forma que o sinal do celular atinja, estes três pontos,
com a mesma intensidade do sinal do celular.
Resposta:
(Através da determinação do Circuncentro do Triângulo nos
conseguimos resolver este problema do dia a dia,
instalando a antena de celulares no Circuncentro –
considerando que a mesma distância dos pontos ao centro
tenha a mesma intensidade de sinal dos celulares).

52. Solução do Problema Dois
Resposta: Através da determinação do Circuncentro do
Triângulo nos conseguimos resolver este problema do dia a
dia, instalando a antena dos celulares no Circuncentro.
Solução:
- Determinar três pontos no plano, A, B, C;
- Onde colocar a antena de modo a ficar eqüidistante dos três
pontos A, B, C;
- Traçar a mediatriz dos segmentos que unem os pontos AB,
BC, CA;
- A interseção da mediatriz determina o ponto H;
- Retirar as retas da mediatriz, para não carregar o desenho;
- Traçar uma circunferência de centro H e raio A;
- O ponto H é o ponto procurado, pois é eqüidistante de todos
os pontos A, B, C;
- O problema foi solucionado utilizando o baricentro, um dos
pontos notáveis de um triângulo.

53. Solução do Problema Dois

54. Oitava Aula: Avaliação de tarefas desenvolvidas
Avaliação dos Alunos:
Avaliação dos conhecimentos adquiridos e participação dos
alunos neste processo de aprendizagem.

55. Referência Bibliográfica
Disponível em, <http://www.geogebra.org/cms/>. Acessado em
20/10/2012.
Disponível em, <
http://www.prof2000.pt/users/secjeste/modtri01/Pg000520.htm>.
Acessado em 20/10/2012.
Disponível em, <http://www.catolica.edu.br/ubec/publicacao/download.
wsp?tmp.arquivo=2596>. Acessado em 20/10/2012.
Disponível em, <
http://www.singularsaocaetano.com.br/portal/ef2/ar/exercicios/ATT00014.pd
. >. Acessado em 20/10/2012.
Disponível em, <http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula6.pdf>.
Acessado em 20/10/2012.