Este documento presenta el cálculo de las fuerzas que actúan en una cortina de concreto. Se divide la sección en cinco dovelas y se calculan las cargas de peso propio, empujes hidrostáticos y subpresión. También se analizan los efectos del sismo en la masa de concreto y agua. Finalmente, se revisan los esfuerzos y se analiza la estabilidad y el riesgo de agrietamiento bajo diferentes condiciones de carga.

1. CÁLCULO DE LAS FUERZAS QUE ACTÚAN
EN UNA CORTINA
Hacer el análisis de estabilidad de la sección vertedora presentada, en la
siguiente figura, si se ha construido de concreto γm = 2.40 Ton/m3. Se
colocarán, drenes a 1.50 m del paramento aguas arriba. Suponer un
coeficiente sísmico K = 0.20.

2. Como puede observarse en la figura anterior la sección de la cortina se ha
dividido en cinco dovelas cuyas dimensiones se acotan en la misma.
Además se establece el siguiente sentido de los ejes: abcisas hacia la
izquierda, ordenadas hacia abajo, momento anti-horario.
SOLUCIÓN:

3. Cálculo de cargas:
Se considera que el ancho de la sección mide 1.00 m. Así, con esta
consideración y las dimensiones de la figura anterior, se pueden hacer los
siguientes cálculos.
Dovela 1
  2
m90.9
00.2
00.230.560.4 
Área
tVPesoW m 76.2340.200.190.911  

4. Posición del centro de gravedad respecto al trapecio:
  m
Bb
Bbh
X 9764.0
30.560.4
30.560.400.2
3
22
3







Para fijar la posición del centro de gravedad del trapecio con respecto al del
cimacio es necesario hacer la siguiente operación:
mx 056.49764.000.2
00.2
16.10


5. El momento del peso propio con respecto al C.G. de la sección vertedora vale:
T-mM  37.96(4.56)(23.76)
El cálculo para todas las dovelas se presenta en la siguiente
tabla :

6. Dovela
(no)
Área
(m2
)
Wi
(ton)
x
(m)
M
(ton-m)
1
2
3
4
5
Total
9.90
9.80
8.30
5.70
2.10
35.80
23.76
23.52
19.92
13.68
5.04
85.92
4.056
2.094
0.124
-1.832
-3.639
1.217
96.37
49.25
2.47
-25.06
-18.49
104.56
Cálculo de fuerzas y momentos producidos por el peso propio.

7. 2. Cálculo de empujes hidrostáticos:
Nivel al NAMO,
t
bh
Eh 11.13
0.2
)0.1()12.5)(0.1(
2
22


El momento vale
mt
h
EM h  42.22)71.1)(11.13(
3

8. Niveles del agua en la sección vertedora
Elev: 212.12
Elev: 218.27
Elev: 207.00
11.27 T/m
6.15 T/m
Nivel al NAME

9. El empuje tiene un valor de:
tEh 60.44
00.2
)27.1115.6(00.1



El punto de aplicación se encuentra en:
mh 31.2
27.1115.6
27.11)15.6)(0.2(
00.3
12.5









Y el momento:
mtM  03.103)31.2)(60.44(

10. Subpresión:
Considerando que se colocarán drenes, se tienen las siguientes
situaciones:
Nivel al NAMO, ver la siguiente figura:
Diagrama de subpresión;
nivel al NAMO
Línea de drenes
1.50 m
10.16 m
5.08 m
1.707
h=5.12
Sp2
Sp1

11. Cálculo de SP1 y SP2
 
t
SP
12.5
0.2
)50.1(707.112.5)0.1(
1



 
t
SP
39.7
0.2
66.8)(707.1)0.1(
2


Fza. (ton) x (m) M (ton-m)
-5.12 4.455 -22.81
-7.39 0.696 -5.14
Totales -12.51 -27.95
Momentos con respecto al
centro de gravedad

12. Cálculo de SP1 y SP2: Nivel al NAME:
1.50 m
10.16 m
5.08 m
3.76
h=11.27
Sp2
Sp1
 
t
SP
27.11
00.2
)50.1(76.327.11)0.1(
1



 
t
SP
28.16
0.2
66.8)(76.3)0.1(
2



13. Cálculo de SP1 y SP2
Fza.
(ton)
x
(m)
M
(t-m)
Totales
-11.27
-16.28
27.55
4.455
0.696-
-50.20
-11.33
-61.53
Momentos con respecto al
centro de gravedad

14. 4.1 Sismo en la masa de concreto
Para la dovela 1 se tiene:
0.70 m
4.60 m
A= 0.70 m2
A= 9.20 m2
4.60 m
Diagrama para ubicar el
punto de aplicación de la
fuerza producida por el
sismo
  2
9.9
0.2
)0.2(60.430.5
mA 


El punto de aplicación se ubica con auxilio
del diagrama
   
m
Y
479.2
70.020.9
70.0)(833.430.2)(20.9




4. Sismo

15. Los datos para las demás dovelas se presentan en la tabla siguiente:
Dovela
(no)
Area
(m
2
)
Yi
M
AiYi
M
2
x m
TOTAL
1
2
3
4
5
9.9
9.8
8.3
5.7
2.1
35.8
2.479
2.451
2.087
1.716
0.700
27.51
24.02
17.32
9.78
1.47
80.11
El punto de aplicación de toda la
sección será:
mcY 24.2
80.35
11.80

Sismo en la masa de concreto

16. Sismo en la masa de concreto.
La fuerza sísmica vale:
tWkWs 18.17)2.0)(92.85( 
Y el momento respectivo:
tcYWkMs 49.38)24.2)(18.17( 

17. Sismo en la masa del agua.
Para calcular el empuje del agua se utiliza la ecuación recomendada
por el USBR siguiente:
2
hCkP 
Para este caso en particular C0 0.53. Por tanto el empuje vale:
mtEs /78.2)12.5)(0.1)(20.0)(53.0( 2


18. Con los datos obtenidos pueden hacerse las combinaciones de carga citadas,
como se ve en la tabla:
Sismo en la masa del agua.
Ordinaria Extraordinaria Extrema VacíaCondición
Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom.
Peso propio 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56
Empuje
hidrostático
-13.11 -22.42 -44.60 -103.03 -13.11 -22.42
Subpresión -12.51 -27.95 -27.52 -61.49 -12.51 -27.95
Sismo concreto -17.18 -38.49 17.18 38.59
Sismo agua -2.78 -5.86
Fy (ton) 73.41 58.40 73.41 85.92
Fx (ton) -13.11 -44.60 -33.07 17.18
Mz (ton m) 54.19 59.96 9.84 143.05

19. 5. Revisión de esfuerzos:
Para ello se aplica la ecuación de la escuadría
máx, y
I
M
A
N
AB 
Donde:
B,A, son esfuerzos: B de compresión si se considera el signo positivo y
A de tensión, si se considera el signo negativo
N son cargas normales, A es el área de contacto entre la cimentación y el
cimacio, M es el momento actuante, I el momento de inercia. Por último,
ymáx, es la distancia máxima al punto de análisis

20. 5. Revisión de esfuerzos:
Para el ejemplo se tendrá:
Ymáx= 5.08 m
A = (1.0)(10.16) = 10.16 m2
4
33
4.87
0.12
)16.10)(0.1(
12
m
bh
I 

21. 6. Condiciones ordinarias:
De la tabla, se tiene que:
Los dos valores son positivos, por tanto
no hay tensiones, de acuerdo con la
Figura
22
/038.1/38.10
08.5
40.87
19.54
16.10
41.73
mKgm
B


22
/408.0/08.4
08.5
40.87
19.54
16.10
41.73
mkgm
A


Distribución de esfuerzos en
la cimentación

22. 6. Condiciones ordinarias:
Con un factor de seguridad FS=3, los esfuerzos son:
2
2
/22.1)408.0)(3(
/12.3)038.1)(3(
cmkg
mkg
A
B




Por tanto, se recomienda un concreto con f’c = 70 kg/cm2, con ello se
garantiza durabilidad, no disgregación y buen aspecto. En partes expuestas
al flujo se colocará concreto mas resistente para evitar erosión.

23. 7. Análisis de deslizamientos.
El esfuerzo de fricción cortante se calcula con la ecuación.
En este caso se tiene:
hF
CANtan
CF




..
11.13
41.73


hF
N
8.0
/00.84´12.0 2


Tan
mcfC
Además:

24. 7. Análisis de deslizamientos.
Para condiciones ordinarias, F.S.= 3: Como puede verse, 69.58 > 3, por
tanto no hay problemas en este aspecto.
38.69
11.13
)16.10)(84)(80.0)(41.73(
.. CF
Sustituyendo:

25. 8. Análisis de agrietamiento.
Para este análisis es necesario calcular los esfuerzos de compresión
mínimos con la ecuación:
Como la resistencia a la tensión en concreto vale:
2
/61.9
3
)700)(05.0(
)12.5)(1)(4.0(
´
""
m
Fs
tf
hpzu

 
2
/35)700)(05.0(05.0 mff ct 

26. 8. Análisis de agrietamiento.
Como 9.61 35 /m2, se acepta esta condición.
Si se taparan los drenes y fallaran, “p” = 1, entonces;
Es decir, se permiten tensiones en estas condiciones.
2
/50.6
3
)700)(05.0(
)12.5)(1)(1( mzu 

27. 8. Análisis de agrietamiento.
El esfuerzo compresible aguas arriba, sin considerar sub-presión en
condiciones normales puede verse en la tabla;
Ordinaria Extraordinaria Extrema VacíaCondición
Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom. Fza. Mom.
Peso propio 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56 85.92 104.56
Empuje
hidrostático
-13.11 -22.42 -44.60 -103.03 -13.11 -22.42
Subpresión -12.51 -27.95 -27.52 -61.49 -12.51 -27.95
Sismo concreto -17.18 -38.49 17.18 38.59
Sismo agua -2.78 -5.86
Fy (ton) 73.41 58.40 73.41 85.92
Fx (ton) -13.11 -44.60 -33.07 17.18
Mz (ton m) 54.19 59.96 9.84 143.05

28. 8. Análisis de agrietamiento.
Como 16.77 > 6.5, no se presenta agrietamiento.
Fy = 85.92
Mz=82.14 /m2
2
/77.1608.5
40.87
05.143
16.10
92.85
mB 

29. 8. Análisis de agrietamiento.
La revisión de las demás combinaciones de carga se presenta en la tabla
siguiente:
COMBINACIONES DE CARGA
Esfuerzos Ordinaria Extraordinaria Extrema Vacía
Compresión B 3.12< 70 1.85< 70 1.56< 70 5.04
Tensión A 1.22< 70 0.46< 70 1.34< 70 0.04
Deslizamiento F.C. 69.58> 70 202 28> 2
Agrietamiento 16.77> -6.5 8.55> -6.2

30. 8. Análisis de agrietamiento.
• Puede notarse que para condiciones extremas se consideró FS. = 2,
en vez de F.S. = 1, debido a que no se conoce el “sismo máximo”
posible.
• Ya que no se sobrepasan los esfuerzos permisibles y factores de
seguridad al deslizamiento y no existe agrietamiento, la sección
vertedora se considera estable.