Eulermascheroni

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Eulermascheroni

  1. 1. 1“Read Euler, read Euler, He is the master of us all.” (Laplace) La constante de Euler – Mascheroni Extraído de “Euler, The master of Us All” [The Mathematical Association of America] William Dunham  n 1 Teorema. Existe el lim n→∞  ∑ k =1 − ln ( n + 1)  , y este límite es finito.  k Prueba. Sea n 1 cn = ∑ − ln ( n + 1) k =1 ky hagamos dos observaciones.En primer lugar:  n+1 1   n 1  cn +1 − cn =  ∑ − ln ( n + 2 )  −  ∑ − ln ( n + 1)   k =1 k   k =1 k  1 = − ln ( n + 2 ) + ln ( n + 1) n +1 1 n+2 1 = −∫ dx > 0 n +1 n +1 xporque, como se ve en la Figura 1 , la integral es el área sombreada bajo lahipérbola y = 1/ x mientras que1/( n + 1) es el área rectangular, mayor, que incluyeel gráfico de la hipérbola. y 1 y= x x n +1 n+2 Figura 1Se sigue que c1 < c2 < ... < cn < cn+1 < ... , así que la sucesión {cn } es creciente.En segundo lugar, está claro en la Figura 2 que la suma de los bloquesrectangulares es menor que la correspondiente área bajo la curva. Porconsiguiente,
  2. 2. 2 n n 1 1 1 ∑k =1 + ∑k < 1+ n k =1 k =2 ∫ 1 x dx = 1 + ln n < 1 + ln(n + 1) y 1 y= x x . . . . 1 2 3 n–1 nDe aquí Figura 2 n 1 cn = ∑ − ln(n + 1) < 1 para todo n . k =1 kJuntas, estas observaciones demuestran que {cn } es una sucesión crecienteacotada superiormente por 1 . La completitud de los números reales garantiza laexistencia de γ = lim n→∞ cn .Como breve comentario al margen notemos que la definición de la constante deEuler que figura en los textos modernos está ligeramente modificada:  n 1  γ = lim  ∑ − ln n  n →∞  k =1 k El cambio del " ln(n + 1)" original de Euler, al moderno "ln n " no producediferencia, porque  n 1   n 1  γ = lim  ∑ − ln n  = lim  ∑ − ln ( n + 1) + ln ( n + 1) − ln n  n →∞  k =1 k  n →∞  k =1 k   n 1   1 = lim  ∑ − ln ( n + 1)  + lim ln 1 +  n →∞  k =1 k  n→∞  n  = γ +0=γJunto con sus primos más conocidos π y e , el número γ figura entre las másimportantes constantes de la matemática, y fue señalado por Euler como “digno deseria atención”. Al igual que π y e , γ hace apariciones sorpresivas de tanto entanto. Es central para una comprensión de la función gamma en análisis avanzado,y figura en formulas bellas aunque peculiares como las siguientes tres: ∞ +∞  1 1 1  + ∞ cos x  1 1 γ = −∫ e − x ln x dx γ = − + − ... − ∫ dx γ = lim ∑  x − n   2.2! 4.4! 6.6!  n =1  n x  + 0 1 x x →1exhibiendo esta última una deliciosa simetría en x y n.
  3. 3. 3Como tantas ideas profundas en matemática, la constante de Euler ha sido reacia aentregarnos todos sus secretos.Por ejemplo, el geómetra italiano Lorenzo Mascheroni (1750-1800), en un trabajotitulado Adnotationes ad calculum integrale Euleri, computó γ con la impresionanteexactitud de 32 lugares. Unos pocos años más tarde, Johan Georg von Soldner(1776-1833) publicó un valor de γ que difería del de Mascheroni en el vigésimolugar decimal, algo que creó una situación levemente embarazosa. Nada menosque el matemático Carl Friedrich Gauss (1777-1855) solicitó a un tercer individuo,un tal F.B.G. Nicolai (1793-1846), al que describió como “un calculador infatigable”,que resolviera el asunto. Eso fue lo que hizo Nicolai, determinando 40 decimalesde la constante, demostrando así que von Soldner tenia razón y que Mascheroniestaba equivocado.Esta mini-crisis sobre la aproximación de una constante bien definida nos recuerdacuán lejos hemos llegado. Cuando las computadoras calculan rutinariamente unospocos centenares de millones de lugares de π , una discrepancia en el vigésimolugar de gamma parece casi risible.A propósito, fue Mascheroni quien introdujo el símbolo γ para este númeroespecial. A pesar de que lo había calculado mal, γ es a veces conocida como laconstante de Euler-Mascheroni. A la luz de las circunstancias, parece injusto que elnombre de Mascheroni haya sido gloriosamente unido al de Euler con un guión.El misterio más perdurable acerca de la constante de Euler es tambiénfundamental: ¿ γ es racional o irracional? Euler mismo dijo que era “una cuestiónde gran importancia” la caracterización de este número. Sin embargo el problemabásico de su racionalidad / irracionalidad ha desafiado hasta hoy a la comunidadmatemática. Continúa siendo un problema no resuelto.Esto ocurre a pesar del hecho que todo el mundo sabe cuál será la respuesta. Algotan complicado como γ no está cerca de ser un número racional, una simplefracción con la expansión decimal repetida. Pero, si su irracionalidad estáuniversalmente sospechada, jamás ha sido probada. Al igual que la existencia denúmeros perfectos impares, la irracionalidad de γ es un digno desafío paracualquiera que sueñe con alcanzar la inmortalidad matemática.Los potenciales aspirantes, sin embargo, deben estar advertidos: este problema haderrotado a algunas de las mentes más lúcidas de los últimos siglos, y seguramentehay caminos más fáciles para hacerse famoso.William DunhamPreparado por Mario Augusto Bunge para http://www.rinconmatematico.comTraducción de Leonardo O. Aiello.

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