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CÁLCULO PROPOSICIONAL-  Luis gimenez
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CÁLCULO PROPOSICIONAL- Luis gimenez

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CÁLCULO PROPOSICIONAL

Objetivos:

1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.
6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.

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CÁLCULO PROPOSICIONAL- Luis gimenez Presentation Transcript

  • 1. ProposiciónUna proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a sercalificado como "verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.1: Verdadero0: FalsoEjemplos: Los siguientes enunciados son proposiciones:Táchira es un municipio de Lara (falso).La semana tiene siete días (verdadero).Los siguientes enunciados NO son proposiciones:¿Qué hora es?.¡Estudie!.Notación: Las proposiciones senotarán con letras minúsculas p, q,r, s, t, ya que las letras mayúsculaslas usaremos para denotar losconjuntos.
  • 2. Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que nos permitenconstruir otras proposiciones; o simplemente unir dos o más proposiciones, a partir deproposiciones dadasOperaciones VeritativasConectivos lógicos: La negaciónSea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, quese lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado porla negación de dicha proposición.
  • 3. La conjunciónLa conjunción de p y q es la proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valorlógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:La disyunción inclusivaDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es laproposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tablasiguiente:VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).
  • 4. La disyunción exclusivaDefinición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es laproposición p vq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.En otras palabras, la disyunción exclusiva es falsa sólo cuando los valores de p y qson iguales.El condicionalDefinición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p yconsecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valorlógico está dado por la siguiente tabla:Ejemploa. Observe las proposiciones condicionales siguientes:1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
  • 5. El BicondicionalDefinición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y qa la proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria ysuficiente para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuandoVL(p) ¹ VL(q)Ejemplo Nº 1. Consideremos las siguientes proposiciones:a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3
  • 6. Leyes del Algebra de ProposicionesLeyesIdempotentesLeyes Asociativas Leyes Conmutativas Leyes DistributivasLeyes de Identidad Leyes deComplementaciónLeyes De MorganOtras Equivalencias Notables
  • 7. Métodos de Demostración•Demostración Directa:En la demostración directa debemos probar una implicación:P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante unasecuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones,teoremas o propiedades demostradas previamente.•Demostración Indirecta:Dentro de este método veremos dos formas de demostración:Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p® Cnos proporciona la Ley del contrarrecíproco: P → C = C → ~ P.Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado elmétodo del contra recíproco, según el cual, para demostrar que P C, seprueba que ~ C ~ P.
  • 8. Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p q estautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~ q) (r ^ ~ r) siendo r unaproposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.Circuitos LógicosLos circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con unaforma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle uncircuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicionalcorrespondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemossimplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma funciónque el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:Conexión en serie la cual se representa como p ^ q
  • 9. Conexión en paralelo la cual se representa como p qEstas representaciones nos servirán de base para la correspondencia entre los circuitosy las proposiciones.Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión• p (q r)