1. Màster en Formació del Professorat
Proposta per a Alumnes 2º ESO - Applet Teorema de Pitàgores
Curs 2012 / 2013
Temporització prevista: 1 sessió
Introducció
El teorema de Pitàgores constitueix un dels principals continguts del currículum de
Matemàtiques, concretament del bloc 4 (Geometria) del segon curs d'ESO. Les justificacions
que al llarg de la història se li han atorgat per a la seva introducció dins l'àmbit escolar
oscil·len des de la seva variant purament formativa fins al seu paper útil i instrumental.
Cal destacar que no es pot posar en dubte que conèixer aquest teorema és absolutament
necessari per a l'ensenyament de posteriors continguts de caire no únicament matemàtics, sinó
també físics, com per exemple calcular distàncies o vectors a l'espai. Per tant esdevé
fonamental tenir un bon domini del que és el teorema de Pitàgores per a comprendre diferents
magnituds vectorials dins l'àmbit de la física.
No obstant, aquesta no hauria de ser la justificació central de la importància d'aquest teorema
que li hem de donar als nostres alumnes. Hem de destacar, per una banda, el seu caràcter
instrumental per a resoldre gran varietat de problemes però, a la vegada, també esdevé
fonamental fer recrear als nostres alumnes el procés de construcció d'un teorema i com es
diferencia d'altres coneixements.
Per tant, és important destacar el seu caràcter formatiu dins el procés
d'ensenyament/aprenentatge dels nostres alumnes i no exclusivament en el seu ús
instrumental. El teorema de Pitàgores permet als alumnes interactuar, experimentar i
manipular, fer estimacions, equivocar-se i aprendre dels seus errors, fer un recorregut
històric de les matemàtiques per tal d'arribar a un aprenentatge significatiu, amb totes les
avantatges pedagògiques que això implica.
1

2. El Teorema de Pitàgores
Els continguts conceptuals que s'abordaran són la relació essencial que ens estableix el
teorema de Pitàgores, és a dir, que la suma dels quadrats dels catets d'un triangle rectangle són
igual al quadrat de la seva hipotenusa, o el que és el mateix, que la suma de les àrees dels
quadrats construïts sobre cada un dels catets d'un triangle rectangle és igual a l'àrea del
quadrat construït sobre la hipotenusa.
Per tant, és necessari partir del coneixement previ que tenen els nostres alumnes dels termes
citats anteriorment, és a dir, catets, hipotenusa, triangle rectangle, acutangle i obtusangle), així
com de les operacions suma de quadrats i la relació d'igualtat en aquest cas. Tot això esdevé
les figures sintàctiques característiques de la geometria euclidiana que és precís construir.
D'aquesta manera, seria bo començar amb una pluja d'idees, és a dir, interactuar de manera
dinàmica amb el grup, per tal de fer veure els alumnes que allò que aprendran parteix dels
coneixements previs que tenen i així s'adonaran que són ells els qui construeixen els seus nous
coneixements a partir dels que ja tenien. És enllaçar el que ja saben amb el que
desenvoluparan a continuació.
Els alumnes hauran d'actuar, provar, formular, estimar, construir models, conceptes,
teories, intercanviar informació amb els seus companys,... El professor estarà de guia del seu
aprenentatge i haurà de proposar problemes i situacions properes al seu entorn i en les quals
els coneixements apareguin com a solució òptima per a resoldre-los. Per tant, el professor
haurà de mostrar el seu suport i animar als alumnes perquè acceptin el problema que els hi
ha plantejat, donant consells i fent de guia perquè les activitats es duguin a terme
correctament.
En altres ocasions, el professor haurà de simular que no sap la resposta per tal de no intervenir
en el procés de raonament dels alumnats i així ells i elles puguin construir les idees adequades
per a la resolució dels problemes plantejats. És important que el professor afavoreixi que els
alumnes identifiquin, iniciïn i desenvolupin els seus propis problemes relacionats amb les
situacions plantejades.
2

3. Primera sessió introductòria
En aquesta sessió ens centrem en oferir una visió global del tema que es desenvoluparà i
perquè així l'alumne vegi el sentit del conjunt d'activitats i fases a desenvolupar. En concret,
el teorema de Pitàgores es pot introduir dins una unitat didàctica sobre geometria a l'espai.
En primer lloc, es verbalitzarà que el que desenvoluparem a continuació està relacionat amb el
món real que ens envolta, amb la geometria, i que està relacionat amb un dels coneixements
matemàtics més universals, plantejats i resolts a través de diferents civilitzacions, com la
babilònica, egípcia, índia, xinesa, àrab, grega, etc que explica de manera abstracta i general la
relació existent entre diferents quadrats, rectangles i triangles que permeten resoldre una gran
quantitat de problemes geomètrics al pla, i generalitzant, a l'espai. Es coneix com el Teorema
de Pitàgores, i ens permetrà descobrir les característiques dels coneixements científics que
impliquen una manera de raonar, argumentar i demostrar molt específica que és el que es
coneix com a teorema.
Aquesta primera introducció pot donar peu a encomanar, al final de la sessió, un petit treball
de recerca de Pitàgores, de la contextualització històrica del seu teorema, les ternes
pitagòriques i de diferents demostracions visuals accessibles des d'un punt de vista cognitiu
per alumnes de segon d'ESO, que els alumnes podran treballar a partir del geogebra. Es podria
proposar fer-ho en petits grups, de 3 o 4 persones, i exposar-ho a la resta dels alumnes un dia
acordat entre alumnes i professors, preferiblement una de les darreres sessions de la unitat
didàctica, com a mode de síntesi.
Aquesta sessió vendrà condicionada per treballar, especialment, les competències d'autonomia
personal i tractament de les dades i de les eines tecnològiques, ja que els alumnes esdevindran
els principals protagonistes del seu procés d'ensenyament i aprenentatge tot treballant de
manera autònoma amb el seu ordinador portàtil (disponible per a cada alumne dins l'aula) tot
modelitzant a partir d'una eina tecnològica de gran abast com és el GeoGebra.
3

4. El Teorema de Pitàgores ens diu que en un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa és
igual a la suma dels quadrats dels catets: c² = a² + b². A la figura tenim quatre triangles
rectangles iguals, de catets a i b, situats a les cantonades d'un quadrat de costat a + b.
Mou el punt deslliçador i compara les àrees blanques al principi i al final.
Mou el punt E per variar la forma del triangle rectangle. També pots moure els punts A i B,
per a canviar la seva mida i posició.
1. Quin tipus de quadrilàter forma l'àrea blanca central? Explica per què i quina és la seva
àrea.
2. Llavors, el quadrat gran està dividit inicialment en ___ triangles iguals i un
_______________ de costat ___ i àrea ____.
3. Quan es mou el punt deslliçador cap a la dreta, dos dels triangles giren. Però canvien de
forma o de mida? Explica per què.
4

5. 4. Al final, de quin tipus són els dos quadrilàters blancs, i quant valen els seus costats i les
seves àrees?
5. Llavors, al final el quadrat gran està dividit en ___ triangles ________ als inicials i 2
_________ d'àrees ____ i ____.
6. Per tant, com són les àrees del _________ blanc inicial i dels dos _________ blancs finals?
7. Per tant, a2 ___ b2 ___ c2.
A continuació se'ls hi proposa la següent tasca per a que la comencin a l'aula i l'acabin a casa,
per tal de revisar-la a la pròxima sessió. Els objectius de la següent activitat són els següents:
- Els alumnes es familiaritzin amb l'ús del Geogebra.
- Utilitzin el programa Geogebra per comprovar el teorema de Pitàgores.
- Comprenguin i analitzin algunes demostracions del teorema de Pitàgores.
a) Dibuixar un triangle rectangle els catets siguin de tres i quatre unitats respectivament, i la
hipotenusa sigui de cinc unitats.
b) Utilitzar la comanda Polígon regular per dibuixar un quadrat sobre cada costat del triangle
anterior.
c) Ara calcular les àrees dels quadrats dibuixats. Per això seleccionar la comanda Àrea i a
continuació marcar cada quadrat perquè aparegui indicada la seva àrea.
d) Quina és la relació entre la suma de les àrees dels quadrats dibuixats en cada catet i l'àrea
del quadrat dibuixat sobre la hipotenusa? Es tracta que els alumnes vegin com la suma de les
àrees dels dos quadrats més petits (els construïts sobre els catets) és igual a l'àrea del quadrat
5

6. construït sobre la hipotenusa i que es tracta de la relació que es coneix com a Teorema de
Pitàgores.
e) Verificar si la relació trobada a l'ítem anterior es compleix per altres triangles rectangles i
per triangles que no són rectangles. Per això utilitzen la comanda Tria i Mou, i seleccionen
qualsevol dels vèrtexs del triangle dibuixat en l'ítem a) (per modificar i variar la mesura dels
catets i la hipotenusa). D'aquesta manera comprovaran que no sempre és així i que únicament
es compleix quan es tracta d'un triangle rectangle.
D'aquesta manera l'alumnat haurà construït per si mateix l'enunciat del teorema de Pitàgores:
la relació que han trobat a l'activitat anterior entre els catets i la hipotenusa d'un triangle
rectangle es coneix com teorema de Pitàgores.
Ara es tracta que els alumnes expliquin amb les seves paraules el teorema. D'aquesta manera
treballem la competència lingüística. Podem fer que els alumnes l'apuntin al seu quadern o a
un bloc que estiguéssim treballant.
L'objectiu de l'applet és treballar el Teorema de Pitàgores d'una manera innovadora i diferent
a la tradicional, fent ús de les eines TIC.
6