MATEMÁTICA DISCRETA

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT
MATEMÁTICA DISCRETA
CUIABÁ – 04/2012
1) Prove que a função N  N  N definida por f(m,n) = 2 .3  1 é injetiva.
m n
Solução:
Devemos mostrar que dados (m1 , n1 ) e (m2 , n2 ) , tais que: f (m1 , n1 )  f (m2 , n2 ) , então
(m1 , n1 )  (m2 , n2 )
De fato!
Sejam (m1 , n1 ) e (m2 , n2 ) pertencente a N x N, tais que f (m1 , n1 )  f (m2 , n2 ) . Então
temos que:
2m1 .3n1  1  2m2 .3n2  1 , que nos leva a 2m1 .3n1  2m2 .3n2 .
Como temos potências com expoentes naturais, então podemos aplicar a divisão de
um mesmo termo em ambos os lados. Logo:
2m1 m2  3n2 n1
Esta igualdade vem das propriedades da potenciação. Como 2 e 3 são primos entre
si, temos que esta igualdade só será satisfeita quando o expoente for igual a zero,
isto é:
m1  m2  0  n2  n1 , mas isto só acontece se (m1 , n1 )  (m2 , n2 ) . c.q.d
2) Quando dividimos a soma 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! Por 15, qual é o resto?
Solução:
O resto é 3.

2. Com efeito!
Observe que a partir de 5! temos a seguinte situação: 5! = 5x4x3x2x1 = 15q, para
algum q natural.
Logo podemos de maneira análoga arrumar 6!, ..., 50! Como múltiplos de 15. Logo
temos que:
1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 1 + 2 + 6 + 24 + 15j, para algum j natural.
1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 3 + 30 + 15j = 3 + 15w, para algum w natural.
Portanto a divisão desta soma por 15 é igual a 3.
3) Os números 210, 301 e 352 escrito na base b, estão em PA. Determine b.
De maneira geral, um número natural N pode ser representado em uma base b
através do polinômio:
N  a0b0  a1b1  ...  anbn , com n natural e 0  ai  b  1 .
Sabendo disso temos que a representação destes números na base b é dada por:
210  2b2  b , 301  3b2  1 e 352  3b2  5b  2 . Como estes números estão em PA
temos que: 301 – 210 = 352 – 301, logo: 3b  1  (2b  b)  3b  5b  2  (3b  1) .
2 2 2 2
Resultando em: b²- b + 1 = 5b + 1, implicando em: b² - 6b = 0 = b(b - 6). Desta
forma b = 0 ou b = 6, logo temos que b = 6.
Transformando os números para a base decimal temos que: 210 = 78 na base dez;
301 = 109 na base 10 e 352 = 140 na base 10. Logo de fato a base é 6, pois 109 – 78
= 140 – 109 = 31. Logo r = 31 e a PA = {...,78,109,140,...}.
4) Uma quantidade de 500 reais foi investida em uma conta remunerada a
uma taxa de juros compostos anual de 10%:
Dados: i = 0,1 ao ano, Capital = R$ 500,00.

3. Pelo Teorema 2 da página 3 da unidade 9 temos que o montante daqui a n anos é
dado por: Cn  500(1.1) .
n
a) Escreva a definição recursiva da quantia P(n) na conta no início do (n)-
ésimo ano.
Chamando de Cn  P(n) , temos que a definição recursiva da quantia na conta no
início do (n)-ésimo ano é: P(n)  500(1.1) .
n
b) Depois de quantos anos a quantia investida excederá 700 reais.
Fazendo a iteração na definição da letra a, geramos a seguinte seqüência:
P(n)  {550,605,665.5,732.05,805.255,...} , logo observamos que depois de
quatro anos a quantia chegará a R$ 732,05 excedendo o valor de R$ 700,00.
5) Escreva a função recursiva de cada uma das seqüências:
a) a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, .........
Observe que:
x1  a
x2  b
x3  a  b  x2  x1
x4  a  2b  x3  x2
x5  2a  3b  x4  x3
Logo concluímos que a função recursiva é:
xn2  xn1  xn , com x1  a e x2  b .
b) p, q, p – q, p + q, p – 2q, p + 2q, p – 3q, ...........
Observe que a partir do terceiro termo temos expressões parecidas, alterando
apenas o sinal. Desta forma podemos dividir em duas subseqüências: para n
par e para n ímpar. Do terceiro termo em diante observamos a seguinte
relação entre os termos e o q da expressão: (Termo * coeficiente de q): 3 * 1,
5 * 2, 7 * 3,..., n * ((n – 1): 2) e 4 * 1, 6 * 2, 8 * 3, ...., n * (n – 2): 2). Logo
temos a seguinte situação:

4. x1  p x2  q
 3 1   4 2 
x3  p  q  p   q x4  p  q  p   q
 2   2 
 5 1   6 2 
x5  p  2q  p   q x6  p  2q  p   q
 2   2 
 5 1   8 2 
x7  p  3q  p   q x8  p  3q  p   q
 2   2 
 n 1   n 2 
xn  ímpar  p   q xn  par  p   q
 2   2 
Logo concluímos que a função recursiva é dada por:
  n 1 
n  ímpar : xn  p   2  q
  
xn  
n  par : x  p   n  2  q
  
, com x1  p e x2  q .
n
  2 
6) Calcular:
n
k
k 1
4
a)
Solução:
A idéia para solucionar este exercício é dada na Unidade 5 – página 9 – Somas
polinomiais.
Devemos partir de:
(k  1)5  k 5  5k 4  10k3  10k2  5k  1
Aplicando o somatório em ambos os lados e juntamente as propriedades, temos que:
n n n n n n
[(k  1)5  k 5 ]  5 k 4  10 k3  10 k2  5 k  1
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
Da teoria e dos exercícios temos que:
n
n(n  1)(2n  1) n
n(n  1) n n
k
k 1
2

6
k 
k 1 2 ,
1  n
k 1
k
k 1
3
, . Não temos a expressão , todavia
usando a mesma idéia inicial, isto é: (k  1)  k , chegamos à seguinte expressão:
4 4
2
n
n4  2n3  n2  n(n  1) 
k 
k 1
3
4

 2 

Logo temos que:
n n n n n n
[(k  1)
k 1
5
 k 5 ]  5 k 4  10 k 3  10 k 2  5 k  1
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

5.   n(n  1) 2 
n
 n(n  1)(2n  1)   n(n  1) 
(n  1)  1  5 k  10    10    5 n
 2  
5 4
   6   2 
k 1 
Desenvolvendo e simplificando esta igualdade chegamos em:
n
n 4
k
k 1
4

30
(6n  15n3  10n2  1)
n
1
k
k 2
2
1
b)
Solução:
n
1 n
 1 
k
k 2
2
 
 1 k 2  (k  1).(k  1)  . Vamos tentar encontrar A e B tais que:

Observe que:
n
 1  n
 A B 
  (k  1).(k  1)     k  1  k  1 

k 2   k 2 
Resolvendo um sistema de equações encontramos A = -1/2 e B = 1/2. Logo temos que:
n
1 n
 1  n  A B  n  1/2 1/2  n  1 1 
k
k 2
 
2     k  1  k  1      k  1  k  1     2(k  1)  2(k  1) 
 1 k 2  (k  1).(k  1)  k 2   k 2   k 2  
Desenvolvendo este somatório temos que:
n
 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
   2(k  1)  2(k  1)    6  2  8  4  10  6  ...  2(n  1)  2(n  3)  2n  2(n  2)  2(n  1)  2(n  1)

k 2 
Desta forma observamos que sobrarão os dois primeiros termos positivos e os dois últimos
termos negativos, isto é:
n
1 1 1 1 1 3  2(n  1)  2n  3n2  n  2
 k2  1 2 4 2n 2(n  1) 4  4n(n  1)   4n(n  1)
k 2
     
