1. FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS
1- Breve histórico
Em meados do século passado George Boole desenvolveu um sistema
matemático de análise lógica. Esse sistema é conhecido como Álgebra de
Boole.
No início da era Eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemas
analógicos, também conhecidos por sistemas lineares.
Com o avanço da tecnologia , esses mesmos problemas começaram a ser
solucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica emprega
nas suas máquinas, tais como: computadores, processadores de dados,
sistemas de controle e de comunicação digital, codificadores,
decodificadores etc., apenas um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos,
que são conhecidos como portas lógicas OU, E, NÃO e Flip-Flops.
Através da combinação desses circuitos, criou-se a Lógica Combinacional
e foi possível implementar todas as expressões geradas pela Álgebra de
Boole.

2. 2- FUNÇÕES: E , OU, NÃO, NE e NOU
Para i início da nossa análise, façamos as seguintes considerações:
Nível 0 – Chave aberta – Lâmpada apagada
Nével 1 – Chave fechada – Lâmpada acesa
2.1 – Função “E” ou “AND”
A função “E” é aquela que opera a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias.
S = A . B onde se lê, S = A e B
Representação da função E através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
Ch A e Ch B => são chaves;
S => é a saída que está representada
por uma lâmpada.

3. 2.1.1 – Montagem da tabela verdade do circuito apresentado.
Chave A Chave B Lâmp - S
Aberta Aberta Apagada
Aberta Fechada Apagada
Fechada Aberta Apagada
Fechada Fechada Acesa

4. 2.1.2 - Tabela Verdade de uma função E ou AND
A B Saída
0 0 0
0 1 0 Obs: A e B são as variáveis de entrada
1 0 0 da porta E, ou seja, 2 variáveis, logo, 4
combinações possíveis.
1 1 1 O nº de combinações será igual a 2N ,
onde N é o nº de variáveis de entrada.
2.1.3 - Simbologia da porta E ou AND

5. 2.1.4 - Simbologia da porta E de 3 entradas
S=A.B.C => é a expressão
Booleana resultante da submissão
das 3 variáveis a porta E ou AND.
2.1.5 - Tabela Verdade da porta E com 3 variáveis de entrada
N = 3 pois temos 3 variáveis de entrada (A,B e C),
logo o nº de combinações possíveis é igual 23, ou
seja, 8 combinações como podem ser observadas
na tabela verdade.

6. 2.2 - Função OU ou função OR
É aquela que assume valor 1 (um) quando uma ou mais variáveis forem
iguais a 1 (um) e assume valor 0 (zero), se e somente se, todas as variáveis
forem 0 (zero).
A representação algébrica para duas variáveis de entrada é:
S = A + B, onde se lê, S = A ou B.
Representação da função OU através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
Ch A e Ch B => são chaves;
S => é a saída que está representada
por uma lâmpada.

7. 2.2.1 - Tabela Verdade do circuito (ckt) apresentado:
Ch A Ch B Lamp - S
Aberto = 0;
Aberta Aberta Apagada
Apagado = 0;
Aberta Fechada Acesa Fechado = 1;
Aceso = 1
Fechada Aberta Acesa
Fechada Fechada Acesa

8. 2.2.2 - Tabela Verdade da porta OU ou porta OR
A B Saída
0 0 0
0 1 1 Obs: A e B são as variáveis de entrada
da porta OU, ou seja, 2 variáveis, logo, 4
1 0 1 combinações possíveis.
O nº de combinações será igual a 2N ,
1 1 1 onde N é o nº de variáveis de entrada.
2.2.3 - Simbologia da porta OU ou porta OR

9. 2.2.4 - Simbologia da porta OU de 4 entradas.
S=A+B+C+D => é a
expressão Booleana resultante da
submissão das 4 variáveis a porta
OU ou OR .
2.2.5 - Tabela Verdade da porta OU com 4 variáveis de entrada.
N = 4 pois temos 4 variáveis de entrada (A, B, C e
D), logo o nº de combinações possíveis é igual 24,
ou seja, 16 combinações como podem ser
observadas na tabela verdade.

10. 2.3 - Função NÃO ou NOT
A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da
variável, ou seja, se a variável estiver em 0 (zero), a saída vai para 1
(um) e se estiver em 1 (um), a saída vai para 0 (zero). É representada
algebricamente da seguintes formas:
S = A ou S = A’ ; onde se lê A barra ou NÃO A.
2.3.1 - Representação da função OU através de um circuito elétrico.
E => é uma bateria;
R => é uma resistência que limita a
corrente de curto circuito;
Ch A => é uma chave;
S => é a saída que está representada
por uma lâmpada.

11. 2.3.2 - Análise do ckt apresentado.
Aberto = Apagado = 0 (zero)
Fechado = Aceso = 1 (um)
1ª condição => Chave A aberta
Qd a chave A está aberta, a corrente atravessa a resistência R, passando pela
lâmpada S e fazendo com que fique acesa.
2ª condição => Chave A fechada
Qd a chave A está fechada, a corrente do ckt atravessa a resistência R e
retorna pela chave A, ou seja nenhuma corrente passa pela lâmpada S,
fazendo com que fique apagada.

12. 2.3.3 - Tabela Verdade da porta NÃO ou NOT
A S
0 1
1 0
2.3.4 - Simbologia do INVERSOR
O Inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO ou NOT.

13. 2.4 - Função NÃO E , NE ou NAND
Conforme o nome NÃO E, essa função é uma composição da função E com a
função NÃO, ou seja, teremos a função E invertida.
A representação algébrica é a seguinte: S = (A . B) , onde o travessão em
cima do produto, significa que o resultado dessa operação será invertido.
2.4.1 - Tabela Verdade da função NE ou NAND
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

14. 2.4.2 - Simbologias da porta NE ou NAND
Simbologias do Inversor ,
da porta NÃO
OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados AND, NAND
e NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NAND seja
estabelecida a partir de portas AND e NOT separadamente conforme a figura.

15. 2.5 - Função NÃO OU, NOU ou NOR
Da mesma forma que a função NE, a função NOU é a composição da função
NÃO coma a função OU, ou seja, a função NOU será o inverso da função OU.
A representação algébrica e da seguinte forma: S = (A + B), onde o travessão
indica a inversão da soma Booleana (A +B)
2.5.1 – Tabela Verdade da função NOU ou NOR
A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

16. 2.5.2 – Simbologias da porta NOU ou NOR
Simbologias do Inversor ,
da porta NÃO
OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados OR, NOR e
NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NOR seja
estabelecida a partir de portas OR e NOT separadamente conforme a figura.

17. 2.6 – Quadro RESUMO

18. 3 – Expressões Booleanas obtidas de Circuitos Lógicos
Todo ckt lógico executa uma expressão booleana e por mais complexo que
seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas.
Podemos obter a expressão boolena que é executada por um ckt lógico
qualquer.
3.1 - Vejamos o exemplo a seguir.
Para facilitar a análise vamos dividir o ckt em duas partes distintas.
S1= A . B
S = S1 + C , logo
S = (A . B) + C

19. 3.1.1 – Exercício Resolvido
Escreva, ou determine a expressão booleana executada pelo ckt abaixo:
Comecemos escrevendo a expressão de saída de cada bloco (porta),
submetendo-as ao último bloco (porta).
S = (A + B) . (C + D)

20. 3.1.2 – Exercícios Propostos
a)
b)
c)

21. 3.2 – Circuitos obtidos a partir de Expressões Booleanas
Assim como foi possível obter expressões Booleanas de CKTs lógicos, é
possível que CKTs lógicos sejam estabelecidos a partir de expressões
Booleanas, como se estivéssemos executando uma engenharia reversa.
Conhecida uma determinada expressão Boolena, deve-se buscar a
identificação da função das porta lógicas dentro da expressão dada. Veja o
exemplo a seguir:
S = (A + B) . C . (B + D)
Para a solução a partir de expressões, devemos sempre respeitar a
hierarquia das funções aritméticas, ou seja, para exemplo apresentado,
iniciaremos avaliando os conteúdos entre parênteses. Pode-se identificar com
facilidade que tem-se duas somas Boolenas entre parênteses, que são: (A+B)
que chamaremos de expressão 1 e (B+D) que chamaremos de expressão 2.
Logo, S = Expressão 1 . C . Expressão 2.
Passo 1 - A solução para a expressão 1 é a porta OU.

22. Passo 2 - A solução para a expressão 2 também é a porta OU.
Passo 3 – A solução é a multiplicação através de uma porta AND de 3 entradas.
Passo 4 – A solução final e como deve ser apresentada é a seguinte:

23. Desenhe o ckt que executa a expressão Booleana a seguir:
S = A . B .C + (A + B) . C
Passo 1 – Identificar e separar as portas lógicas na expressão dada.
Passo 2 – Definir as portas lógicas que compõem cada segmento.

24. Passo 3 – Montar o ckt final com todas as portas lógicas interligadas.
Desenhe os CKTs para as seguintes expressões:

25. 3.3 – Tabelas Verdade Obtidas de Expressões Booleanas
Como vimos anteriormente quando estudamos as Portas e Funções lógicas
(OR, NOR, AND e NAND), uma maneira de se fazer o estudo de uma função
Booleana, é um mapa onde se colocam todas as situações possíveis de dada
expressão, juntamente com o valor por esta assumido. Para que se extraia a
tabela verdade de uma dada expressão, segue-se o seguinte procedimento:
1º - Identifica-se quantas variáveis compõem a expressão;
2º - Monta-se a o quadro de possibilidades baseado na seguinte fórmula: 2N ,
onde N é o nº de variáveis que compõem a expressão. Veja o exemplo.
2 variáveis (A e B) – 22 – 4 possibilidades;
3 variáveis (A, B e C) – 23 – 8 possibilidades;
4 variáveis (A, B, C e D) – 24 – 16 possibilidades;
5 variáveis (A, B, C, D e E) – 25 - 32 possibilidades.
3º - Montam-se colunas para os vários membros da expressão;
4º - Preenchem-se essas colunas com os respectivos resultados das
expressões;

26. Para o melhor entendimento deste processo, vamos utilizar a expressão a seguir:
S=A.B.C+A.D+A.B.D
Temos na expressão, 4 variáveis: A, B, C e D, logo , teremos 24 possibilidades de
combinação de entrada.
Vamos, a seguir, montar o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, 3
colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão e uma coluna para
o resultado final (S).

27. Um outro modo de resolução para a expressão anterior, que é mais prático,
mas requer mais atenção, consiste em montar a tabela de possibilidades sem
utilizar as colunas auxiliares, ou seja, apenas as possibilidades e o resultado
final.
Façamos a tabela verdade para a expressão: S = A + B + A . B . C
Primeiramente, monta-se o quadro de possibilidades com 23 linhas ou
possibilidades

28. Logo após, vamos preencher a tabela utilizando os casos notáveis, que
permitem a conclusão do resultado final imediato:
1 – Nos casos onde A = 0 (A = 1), temos a o resultado da expressão S = 1, pois,
sendo A = 1, temos na expressão: S = 1 + B + A . B . C = 1 (qualquer que sejam
os valores assumidos pela variável B ou pelo termo A . B . C).
2 – Nos casos remanescentes onde B = 1, temos S = 1, pois da mesma forma
que nos casos anteriores S = A + 1 + A . B . C = 1.
3 – O termo A . B . C será igual a 1 somente no caso remanescente 100.
4 – Por exclusão, ou ainda por substituição dos valores, concluímos que no
último caso (101), temos na saída S = 0

29. Exercícios
Prove as identidades abaixo relacionadas:
a) A . B ≠ A . B
b) A + B ≠ A + B
c) A . B = A + B
d) A + B = A . B
Levantar a tabela verdade dos termos das identidades apresentadas
como se os termos pertencessem a uma mesma expressão S

30. Solução para as identidades apresentadas

31. Levante a tabela verdade da expressão:
S = (A + B) . (B . C)
Monte a tabela verdade da expressão:
S = [ (A + B) . C ] + [ D . (B + C) ]
Analise o comportamento do CKT abaixo:
Expressão de S = ?
Tab. Verdade = ?

32. 3.4 - Expressões Booleanas obtidas de Tabelas da Verdade

33. Determine a expressão Booleana em função da tabela abaixo.
Dada a expressão, estabeleça o ckt lógico
correspondente

36. Monte o ckt lógico correspondente a expressão apresentada
3.5 -

38. Simbologia da porta OU EXCLUSIVO
OBS : Existe disponível no mercado de componentes eletrônicos o
circuito integrado TTL de nº 7486, que é um QUAD GATE OU
EXCLUSIVO ( 4 x portas OU EXCLUSIVO)

39. DATASHEET do CI 7486 do fabricante
FAIRCHILD

40. DATASHEET do CI 7486 do fabricante
FAIRCHILD

41. DATASHEET do CI 7486 do fabricante
FAIRCHILD

42. DATASHEET do CI 7486 do fabricante
FAIRCHILD
Detalhes referentes
ao encapsulamento
do CI

44. Determine o sinal de saída (S) em função dos sinais de entrada

46. Determine a expressão de saída e monte a tabela verdade para o
ckt apresentado.

47. DICA
Enumere as portas lógicas envolvidas e realize a expressão Boolena
referente a cada uma.

49. A porta lógica NE com as entradas curtocircuitadas, ou
interligadas como na figura abaixo, funciona como se fosse uma
porta NÃO.

51. Um outro caminho para que se obtenha a porta NÃO a partir de uma
porta NOR.
Esta é uma das identidades, ou
equivalências obtidas através do Teorema
de De Morgan.

55. Agora vamos substituir cada porta lógica pelo equivalente composto
por portas NE
Observando o ckt, verificamos que surgiram portas inversoras
consecutivas, o que nos permitirá realizar uma simplificação do ckt acima.

56. Ckt simplificado com a exclusão das portas NÃO consecutivas.

57. Como primeiro passo, implemente o ckt conforme a expressão e em seguida,
realize a equivalência com portas NOU.

58. Após a entrada das portas NOU devemos verificar a existência de portas NÃO
que estejam em série e em seguida eliminá-las. O ckt abaixo já está
simplificado, ou seja, com as portas NÃO em série eliminadas.

59. S=?
Não esqueça que na resolução deste tipo de exercício, para facilitar a
análise, devemos montar a expressão Booleana de cada uma das portas
lógicas apresentadas.

63. 1-
2-
3-

68. Postulados da COMPLEMENTAÇÃO
Chamaremos A o complemento de A :
1º ) Se A = 0, logo A = 1
2º ) Se A = 1, logo A = 0
Através deste postulado, podemos estabelecer a seguinte identidade:
Se A= 1 , temos: A = 0 e se A = 0 , A = 1
Se A = 0 , temos A = 1 e se A = 1 , A = 0
Postulado da ADIÇÃO
Este postulado mostra como são as regras da Adição na Algebra de Boole.
1º) 0 + 0 = 0
2º) 0 + 1 = 1
3º) 1 + 0 = 1
4º) 1 + 1 = 1

69. Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:
A + 0 = A , para qualquer valor de A.
A + 1 = 1 , para qualquer valor de A.
A + A = A , para qualquer valor de A.
A + A = 1, para qualquer valor de A.
Postulado da MULTIPLICAÇÃO
É o postulado que determina as regras da multiplicação Booleana:
1º) 0 . 0 = 0
2º) 0 . 1 = 0
3º) 1 . 0 = 0
4º) 1 . 1 = 1
Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:

70. A . 0 = 0 , para qualquer valor de A.
A . 1 = A , para qualquer valor de A.
A . A = A , para qualquer valor de A.
A . A = 0 , para qualquer valor de A.
PROPRIEDADES
As principais propriedades algébricas no manuseio e simplificação de expressões
Boolenas são:
Comutativa
Associativa
Distributiva

71. Propriedade Comutativa
Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.
Adição: A + B = B + A
Multiplicação: A . B = B . A
Propriedade Associativa
Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.
Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
Multiplicação: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C
Propriedade Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C

72. A . (B + C) = A . B + A . C

75. 1ª)

76. 2ª)

77. 3ª)

78. IMPORTANTE
TER EM MENTE
AS
PROPRIEDADES,
OS
POSTULADOS,
OS TEOREMAS E
AS IDENTIDADES
DESTE QUADRO
RESUMO

79. Utilizando a Álgebra de Boole podemos simplificar expressões
e conseqüentemente os circuitos que realizam as funções
lógicas dessas expressões.
Para efetuar simplificações existem dois métodos que são:
1 – Simplificação através da Álgebra de Boole;
2 – Simplificação através do diagrama de Veitch Karnaugh.
Ao utilizarmos a Álgebra de Boole para a simplificação, é o
mesmo que dizer que vamos nos valer dos postulados,
identidades e teoremas para simplificar ao máximo as
expressões apresentadas.

80. De Morgam demonstra
que: C + B = C . B
Utilizando as
identidades da
ADIÇÃO

81. Sublinhados os termos
envolvidos, onde foi aplicado
ALGEBRISMO MATEMÁTICO

82. Sublinhados os termos
envolvidos, onde foi aplicado
ALGEBRISMO MATEMÁTICO
Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :

83. Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :
Aplicando a teremos :

84. Aplicando-se a Propriedade Distributiva que é puro algebrismo
matemático teremos:
Aplicando identidade da Multiplicação teremos:
S=AC+BC
Colocando-se C em evidência teremos:
S = [ C ( A + B )]

85. Aplicando a teremos :
Aplicando a
IMPORTANTE
Sem parênteses;
Sem duplos travessões;
CIs de duas entradas (E e OU);
4 portas lógicas (2 x NÃO; 1 E ;
1 OU)

89. Aplicando a propriedade Distributiva no 1º termo entre parênteses e De Morgan
no 2º termo entre parênteses internos aos colchetes teremos:
X+Y+Z=X.Y.Z

90. De
Morgan

92. Expressão final que não
permite mais
simplificações

98. Retirando da tabela a expressão de S apenas nos casos
verdadeiros S = 1, teremos:

102. Já simplificados pelo por
Karnaugh

110. ATENÇÃO com a quadra formada na letra (c), devemos
imaginar um cilindro estabelecido, como se uníssemos
uma folha de papel retangular

113. Minimize o ckt que realiza a tabela abaixo:

120. LÓGICA COMBINACIONAL CIRCUITOS FLIP - FLOP

130. ENTRADAS SET e RESET

146. GERADOR DE
PRODUTOS
CANÔNICOS

154. ENCADEAMENTO DE MUX p/ OBTER MUX MAIORES