4    TANGENCIAS Y          ENLACES          1º y 2º          BACHILLERATOwww.apuntesdedibujo.com
Diseño y desarrollo: Rafael quintero                                       INTRODUCCIÓN                                   ...
introducción
tangenciasA continuación vamos a estudiar los casos másrelevantes en la práctica del dibujo técnico, indicandoentre parént...
TRAZADO DE RECTAS=básico
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASAN POR UNEl punto está en la circunferencia.              PUNTO(Número de sol...
RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASAN POR UNEl punto es exterior a la circunferencia         PUNTO(Número de sol...
RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DE DISTINTO  Tangentes exteriores                                    RADIO (Número ...
(Número de soluciones: 2.)                                                      Tangentes interiores Sean las circunferenc...
Trazados de circunferencias conociendo el radio
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS (Rpp)Este no es un casopropiamente                de                             ...
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA RECTA     El punto está en la recta                          ...
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA RECTAEl punto es exterior                                    ...
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA El punto está en la circunferencia            ...
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIAEl punto es exterior                           ...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS QUE SE CORTAN (Rrr)Sean las rectas r y s, y el radio R:1 Se trazan dos rectas m yn,...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA   La circunferencia y la recta son exteriores   CIRCUNFERENCIA (Rrc) Dadas l...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNALa circunferencia y la recta son          CIRCUNFERENCIA (Rrc)tangentes  Dada...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA La circunferencia y la recta son secantes CIRCUNFERENCIA (Rrc)    Dadas la r...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc}Las circunferencias son exterioresDadas las circunferencias de centro...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc}      Las circunferencias son tangentesDadas las circunferencias de c...
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc}     Las circunferencias son secantesDadas las circunferencias de cen...
CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS    N                PM                 BÁSICO
CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TANGENTE A UNA                                RECTA POR UN PUNTO (ppr)          ...
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS CONOCIENDO UN                            PUNTO DE TANGENCIA (prr)                    ...
CIRCUNFERENCIA TANGENTE A TRES RECTAS (rrr)No incluido en losapuntes                          BÁSICO
CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TANGENTE A UNA                      CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO (ppc) No incluid...
CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA  CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc)Ejercicio de selectivida...
CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNACIRCUNFERENCIA CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc)                          ...
CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIACONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc)
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS         CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (pcc)                          No...
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ENLAZAR DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS ARCOS DE IGUAL               RADIO, CONOCIENDO LOS PUNTOS DE TANGENCIADadas las ...
ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE DOS ARCOS, CONOCIENDO EL                       RADIO DE UNO DE ELLOS Y LOS PU...
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  1. 1. 4 TANGENCIAS Y ENLACES 1º y 2º BACHILLERATOwww.apuntesdedibujo.com
  2. 2. Diseño y desarrollo: Rafael quintero INTRODUCCIÓN TRAZADO DE RECTAS TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO. BÁSICO ENLACES
  3. 3. introducción
  4. 4. tangenciasA continuación vamos a estudiar los casos másrelevantes en la práctica del dibujo técnico, indicandoentre paréntesis la abreviatura que identifica cada casopara su posible sistematización. El significado de cadaletra es el siguiente:R radiop puntor rectac circunferencia
  5. 5. TRAZADO DE RECTAS=básico
  6. 6. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASAN POR UNEl punto está en la circunferencia. PUNTO(Número de soluciones: 1.)Dada la circunferencia de centro O yel punto M:1 Se traza el radio OMcorrespondiente al punto dado.2 Por el punto M se traza la recta rperpendicular al radio OM. *COLOR ROJO PARA LOS DATOS TRAZADO DE RECTAS
  7. 7. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASAN POR UNEl punto es exterior a la circunferencia PUNTO(Número de soluciones: 2.)Dada la circunferencia de Bcentro O y el punto M:1 Se dibuja el segmentoOM y se halla el puntomedio A del mismo Omediante el trazado de lamediatriz. A M C2 Con centro en el punto A y radio AO =AM se traza la circunferencia que corta ala dada en los puntos B y C, puntos de 3 Se une el punto M con los puntos B ytangencia de las soluciones. C mediante las rectas r y s. TRAZADO DE RECTAS
  8. 8. RECTAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS DE DISTINTO Tangentes exteriores RADIO (Número de soluciones: 2.) Sean las circunferencias de centro 01 y O2. Y radios 1 y 2, respectivamente: 1 Con centro en O2, centro de la circunferencia de mayor radio, se traza otra circunferencia cuyo radio valga r2 - r1. D 2 Desde el centro 01 se trazan las F r rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior, de radio r2 - B r1 (para ello, con centro en el punto m medio A del segmento 0102, se O1 A O2 O2 dibuja un arco de radio AO2 que n corta a la circunferencia en los C puntos B y C, que unidos con 01 nos G s dan las tangentes m y n. r1 r1 E r2 r23 Las rectas que unen el punto O2 con B y C se cortan con la circunferencia dato en 4 Las rectas r y s quelos puntos D y E de tangencia. Los puntos de tangencia con la otra circunferencia se unen los puntos dehallan trazando por 01 las rectas paralelas a 02D y a 02E hasta cortar a la tangencia FD y GE soncircunferencia en los puntos F y G. la solución. TRAZADO DE RECTAS
  9. 9. (Número de soluciones: 2.) Tangentes interiores Sean las circunferencias de centro 01 y O2 , y radios r1 y r2, respectivamente: 1 Con centro en O2, centro de la circunferencia de mayor radio, se traza otra circunferencia cuyo radio valga r2 + r1. 2 Desde el centro 01 se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior, de radio r2 + r1; es decir, con centro en el punto medio A del segmento 0102, se dibuja un arco de radio AO2 que corta a la circunferencia en los puntos B y C, que unidos con 01 nos dan las tangentes m y n. 3 Las rectas que unen el punto O2 con B y C r1 se cortan con la circunferencia dado en los r2 puntos D y E de tangencia. Los puntos de tangencia con la otra circunferencia se hallan *COLOR ROJO PARA LOS DATOS trazando por 01 las rectas paralelas a 02D y a 02E, trazadas en sentido contrario, hasta 4 Las rectas r y s que unen los puntos de tangencia FD y cortar a la circunferencia en los puntos F y G. GE son la solución. TRAZADO DE RECTAS
  10. 10. Trazados de circunferencias conociendo el radio
  11. 11. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR DOS PUNTOS (Rpp)Este no es un casopropiamente de Ntangencias; no obstante,se incluye aquí por seguiruna cierta sistematización O1en el trazado de las O2mismas. MDados los puntos M y N, Y el Rradio R de la circunferencia: 2 Con centro en M y radio R se trazan otros dos1 Con centro en el punto M y arcos de circunferencia que se cortan con losradio R se trazan dos arcos anteriores en los puntos O1y O2, centros de lasde circunferencia. circunferencias solución. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  12. 12. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA RECTA El punto está en la recta (Rpr) rSean la recta r, el punto Mde ella y el radio R de la O1 O1circunferencia: M1 Por el punto M se traza la O2 O2perpendicular a la recta r.2 Sobre la perpendicular, y Ra partir del punto M, sellevan en ambos sentidoslas distancias MO1 y M02 3 Los puntos O1 y O2 son los centrosiguales al radio R dado. de las soluciones y M el punto de tangencia común. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  13. 13. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA RECTAEl punto es exterior (Rpr) Sean la recta r, el punto M y el radio R de la circunferencia: R 1 Por un punto A cualquiera de la recta r se traza la M perpendicular a esta y sobre O1 O2 m ella se transporta un segmento AB igual al radio R R; a continuación, por el punto B se traza la recta m r paralela a r. C D 2 Con centro en el punto M y radio R se trazan dos arcos de circunferencia que cortan a la recta m en los puntos 01 3 Por 01 y O2 se trazan las perpendiculares y O2, centros de las dos a la recta r, obteniendo los puntos C y D de soluciones. tangencia. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  14. 14. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA El punto está en la circunferencia (Rpc)Sean la circunferencia de centro O, el punto Mde ella y el radio R de las soluciones: 1 Se une el centro O con el punto M. 2 Sobre la recta anterior y a partir del punto M se lleva en ambos sentidos las distancias MO1 y M02 iguales al radio R dado. *COLOR ROJO PARA LOS DATOS 3 Los puntos 01 y O2 son los centros de las soluciones y M el punto de tangencia común. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  15. 15. CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIAEl punto es exterior (Rpc)Sean la circunferencia de centro O, el punto M yel radio R de las circunferencias solución: B A R´ 01 O41 A partir del centro O se traza una recta Gcualquiera y sobre ella se transporta el C D Osegmento OA = R; en dicha recta se Mdeterminan también los punto B y e de forma Eque AB = AC = R, siendo R el radio de la F O3circunferencia dada de centro O.2 Con centro en O y radios OB = R + R yOC = R - R se trazan sendas O2circunferencias. R 3 Con centro en el punto M y radio R se traza la circunferencia que corta a las anteriores en 4 Los puntos de intersección de la circunferencia los puntos O1, O2, 03 Y 04, centros de las dada con los segmentos 001, 002, 003 Y 004 circunferencias solución. determinan los puntos D, E, F y G de tangencia. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  16. 16. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS QUE SE CORTAN (Rrr)Sean las rectas r y s, y el radio R:1 Se trazan dos rectas m yn, paralelas a r, a unadistancia R y otras dosrectas p y q, paralelas a s, auna misma distancia R.2 Donde las cuatro rectas m,n, p y q se cortan seobtienen los centros O1, O2,03 Y 04 de las soluciones. *COLOR ROJO PARA LOS DATOS 3 Los puntos de tangencia A, B, C, etc., se hallan trazando por los centros O1, O2, 03 Y 04 las perpendiculares a las rectas r y s. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  17. 17. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA La circunferencia y la recta son exteriores CIRCUNFERENCIA (Rrc) Dadas la recta r, la circunferencia de centro O y el radio R:1. A partir del punto O 34Por recta s centro 2 trazaununa rectase Con centro La M de r se traza en O a sobre ellacualquierayy radios corta las una transporta el AsesegmentoR + =R aen 0B = OA R; y circunferen perpendicular R´ O3 C O4 O3 O4 s esta; R OC sobre Rdicha = recta -ellase ciasdeterminan también O1 O1 I O2 O2 se transporta se anteriores trazanlos puntos B y C de O un los en segmento sendasforma que AB = AC = H R´ MN = R R el NR, siendo Y porradiodepuntos O1, circunferencia se la traza una circunferencia K Jdada de 03 y O. O2, s. centro r recta s paralela D F G M E a04. r. 5 Los puntos de tangencia H, I, J Y K con la circunferencia se hallan uniendo los puntos O1, O2, 03 Y 04 con O, y los puntos de tangencia D, E, F y G con la recta r, trazando las perpendiculares a esta desde los centros anteriores. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  18. 18. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNALa circunferencia y la recta son CIRCUNFERENCIA (Rrc)tangentes Dadas la recta r, la circunferencia de centro O y el radio R: 1 Con centro en O y radios OA = R - R Y OB = R + R se trazan R dos circunferencias. siendo R el B R M radio de la circunferencia dada de A centro O. R´ O1 O1 2 Por un punto N cualquiera de la O1 O1 H I O2 O2 C recta r se traza una perpendicular a O3 O3 esta; sobre ella se transportan los R N segmentos NC = ND = R y por los puntos C y D se trazan las rectas r F E G R paralelas a r. O4 O4 D 3 Las rectas paralelas cortan a las circunferencias anteriores (o son tangentes) en los puntos 01, O2. 03 Y 04. 4 Los puntos de tangencia se determinan como en centros de las circunferencias solución. los casos anteriores. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  19. 19. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA La circunferencia y la recta son secantes CIRCUNFERENCIA (Rrc) Dadas la recta r, la circunferencia de centro O y el radio R: B1 Desde el centro O se traza un R Aradio OA arbitrario, llevando a Rpartir del punto A, y en ambos C Rsentidos, los segmentos AB = AG O= R .Y trazando a continuación O1 O1 S Edos arcos de centro O y radios 0B O2 O2 O3 O3 O4 O4 Ry OC. r2 Por un punto O cualquiera de la recta D Rr se traza una perpendicular a esta ysobre ella se transportan los t O5 O5 O6 O6 Fsegmentos DE = DF = R, trazando acontinuación por E y F las rectas s y tparalelas a r.3 Los puntos de intersección 01, O2. 03, 04. 05 Y 06 de las rectas s y t con los arcos de circunferencia trazados anteriormente sonlos centros de las circunferencias solución.4 Los puntos de tangencia se determinan como en casos anteriores. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  20. 20. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc}Las circunferencias son exterioresDadas las circunferencias de centros O y O" y el radio R: R1 A partir del centro O se traza una recta cualquiera ysobre ella se transporta el segmento 0D = R; en dicha O5recta se determinan también los puntos E y F de forma Bque DE = DF = R, siendo R el radio de la circunferencia O1dada de centro O. O4 A R´´ R´´2 Desde O" se traza otra recta, llevando sobre ella el Csegmento O"A = R y determinando los puntos B y C de O´ O8 Hforma que AB = AC = R", siendo R" el radio de la O´´circunferencia dada de centro O". O2 G R´ F3 Con centro en O y radios OE = R + R y OF = R - R Y R´con centro en O" y radios 0"B = R + R" y O"C = R - R" D E O3 O7se trazan cuatro circunferencias que se cortan en lospuntos O1, O2, 03, ..., 08, centros de las circunferencias O6solución.4 Los puntos de tangencia se determinan al unir los centros de las circunferencias de que se trate.En la figura se han dibujado solo las circunferencias de centros 01 y 06 para mayor claridad.º TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  21. 21. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc} Las circunferencias son tangentesDadas las circunferencias de centro O y O y el radio R: B O1 D1 Con centro en O y radio 0B = DA + RR y con centro en O y radio 0D = A R E COC + R se trazan dos Fcircunferencias. I2 Las dos circunferencias O O3 O´ O4anteriores se cortan entre sí en Glos puntos 01 y O2 que, junto con Hlos puntos 03 y 04 de interseccióncon la recta OO, determinan loscentros de las soluciones. O23 Los puntos de tangencia se determinan como en casos anteriores. TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  22. 22. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS {Rcc} Las circunferencias son secantesDadas las circunferencias de centro Oy O Y el radio R:1 Con centro en O y rad¡os 0B = DA + R yOC = DA – R se trazan dos circunferencias.2 Con centro en O y radios OE = 0D + R yOF = 0D – R se dibujan otras doscircunferencias.3 Las circunferencias anteriores se cortan enlos puntos 01, O2, ..., 06, centros de lassoluciones.4 Los puntos de tangencia se determinan,como en casos anteriores, uniendo centros. *COLOR ROJO PARA LOS DATOS TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO EL RADIO
  23. 23. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS N PM BÁSICO
  24. 24. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TANGENTE A UNA RECTA POR UN PUNTO (ppr) BÁSICO
  25. 25. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prr) BÁSICO
  26. 26. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A TRES RECTAS (rrr)No incluido en losapuntes BÁSICO
  27. 27. CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR UN PUNTO Y ES TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA POR UN PUNTO (ppc) No incluido en los rafa: apuntes Si los dos puntos son exteriores, ver Pág. 59 libro 2º bachillerato Editorial SM BÁSICO
  28. 28. CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc)Ejercicio de selectividad año2004 No incluido en los apuntes BÁSICO
  29. 29. CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNACIRCUNFERENCIA CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc) Ver animación No incluido en los apuntes BÁSICO
  30. 30. CIRCUNFERNCIA TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIACONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (prc)
  31. 31. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS CIRCUNFERENCIAS CONOCIENDO UN PUNTO DE TANGENCIA (pcc) No entra en el examen de primero No incluido en los apuntes BÁSICO
  32. 32. 4º.enlaces
  33. 33. ENLAZAR DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS ARCOS DE IGUAL RADIO, CONOCIENDO LOS PUNTOS DE TANGENCIADadas las rectas r y s, y los puntos M y N:1 Los centros de los arcos M restarán en lasperpendiculares trazadaspor los puntos M y N a las A O2rectas r y s. O12 Se halla el punto medio sA del segmento MN. N3 Se trazan las 4 Donde las mediatrices se cortan con lasmediatrices de los perpendiculares trazadas por M y N están lossegmentos AM y AN. puntos O1 y O2, centros de los arcos solución, que son tangentes entre sí en el punto A. ENLACES
  34. 34. ENLAZAR DOS RECTAS CUALESQUIERA POR MEDIO DE DOS ARCOS, CONOCIENDO EL RADIO DE UNO DE ELLOS Y LOS PUNTOS DE TANGENCIA Dadas las rectas r y s, los puntos de tangencia M y N, y el radio R: 1 Por los puntos M y N se trazan perpendiculares a las rectas r y s, respectivamente. R A 2 Sobre la perpendicular a r se traslada, hacia el interior del R ángulo, el segmento MO1 = R, y N O1 sobre la perpendicular a s, hacia s B el exterior, el segmento NA = R. R r O2 O1 es el centro de uno de los M arcos. 3 La mediatriz del segmento O1A corta a la perpendicular a s en el punto O2, centro del segundo arco. El punto B de tangencia entre las dos circunferencias está en la recta 0102. ENLACES
  35. 35. ENLAZAR VARIOS PUNTOS NO ALINEADOS, MEDIANTE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA, CONOCIENDO EL RADIO DE UNO DE LOS ARCOS Dados los puntos A, B, C, D, E, etc., y el radio R del arco AB: 1 Se unen los puntos A y B, trazando a continuación la mediatriz del segmento; con O3 centro en el punto A y radio R se traza un C D arco que corta a la mediatriz en el punto O1. Con centro en el punto O1 se traza el arco O2 AB. O4 2 Se unen los puntos B y C, trazando la B mediatriz del segmento, que corta a la recta E 01B en el punto O2, Con centro en el punto O2 se traza el arco BC, que es tangente al R O1 anterior en B. A R 3 Se unen los puntos C y D, trazando la mediatriz del segmento, que corta a la recta 01C en el punto 03, Con centro en 03 se traza el arco CD, que es tangente al anterior en C, y así sucesivamente. ENLACES

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