Αλγόριθμος απαλοιφής με οδήγηση

1. Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή με οδήγηση
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
19 Οκτωβρίου 2013

2. Διαδικαστικά
Δεν θα πραγματοποιηθούν οι διαλέξεις της επόμενης
εβδομάδας. Θα αναπληρωθούν αργότερα και θα
ανακοινωθεί η αναπλήρωσή τους έγκαιρα.
Το Φροντιστήριο θα πραγματοποιηθεί κανονικά και θα γίνει
και δεύτερο Φροντιστήριο 8.00-9.00 την Δευτέρα 21.10.2013.
Και τα δύο φροντιστήρια θα πραγματοποιηθούν στο εδώ
αμφιθέατρο.

3. Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών)
Για k = 1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής)
.
Για i = k + 1, . . . , n (οι υπόλοιπες εξισώσεις)
.
p = ai,k /ak,k
.
Για j = k + 1, . . . , n (συντ. υπολοίπων αγνώστων)
.
ai,j = ai,j − p · ak,j
.
bi = bi − p · bk

4. Οδήγηση
πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής
1
αν ak,k = 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

5. Οδήγηση
πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής
1
2
αν ak,k = 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά
αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω
απο το οδηγό στοιχείο

6. Οδήγηση
πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής
1
2
αν ak,k = 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά
αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω
απο το οδηγό στοιχείο
1
αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k ) το κάνεις οδηγό
στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και
συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά

7. Οδήγηση
πριν ξεκινήσεις κάποιο (έστω κ) βήμα της απαλοιφής
1
2
αν ak,k = 0 συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά
αν ak,k = 0 ψάχνεις για ένα στοιχείο στην υποστήλη κάτω
απο το οδηγό στοιχείο
1
2
αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο (έστω το as,k ) το κάνεις οδηγό
στοιχείο αλλάζοντας την σειρά των εξισώσεων και
συνεχίζεις την απαλοιφή κανονικά
αν δεν υπάρχει τότε προχωράς στο επόμενο βήμα της
απαλοιφής

8. 
0
 2

 4
8

0 6
0 12
2 −1 6 4 

4 1 10 13 
8 −1 26 23

9. 
0
 2

 4
8


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0

2 −1 6 4
4 1 10 13 

8 −1 26 23 
0 6
0 12

10. 
0
 2

 4
8


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0

2 −1 6 4
4 1 10 13 
 →
8 −1 26 23 
0 6
0 12

11. 
0
 2

 4
8

2
 0

 0
0


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0

2 −1 6
4
0 3 −2 5 

0 3
2
7 
0 6
0 12

2 −1 6 4
4 1 10 13 
 →
8 −1 26 23 
0 6
0 12

12. 
0
 2

 4
8

2
 0

 0
0


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0


2 −1 6
4

0 3 −2 5 
 →

0 3
2
7 
0 6
0 12

2 −1 6 4
4 1 10 13 
 →
8 −1 26 23 
0 6
0 12

2 2 −1 6 4
0 0 3 −2 5 

0 0 0
4 2 
0 0 0
4 2

13. 
0
 2

 4
8

2
 0

 0
0


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0


2 −1 6
4

0 3 −2 5 
 →

0 3
2
7 
0 6
0 12
οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4,

2 −1 6 4
4 1 10 13 
 →
8 −1 26 23 
0 6
0 12

2 2 −1 6 4
0 0 3 −2 5 

0 0 0
4 2 
0 0 0
4 2

14. 
0
 2

 4
8

2
 0

 0
0


0 6
0 12
2
 4
2 −1 6 4 
 →
 8
4 1 10 13 
8 −1 26 23
0


2 −1 6
4

0 3 −2 5 
 →

0 3
2
7 
0 6
0 12

2 −1 6 4
4 1 10 13 
 →
8 −1 26 23 
0 6
0 12

2 2 −1 6 4
0 0 3 −2 5 

0 0 0
4 2 
0 0 0
4 2
οδηγά στοιχεία τα 2, 0, 0, 4,
λύση η x4 = 1/2, x3 = s, x2 = t, x1 = 2 − t + s/2 − 3/2.

15. Ερωτήσεις
΄Αλλαξε μια ή περισσότερες τιμές στον αρχικό πίνακα έτσι ώστε
το σύστημα να
1
έχει μόνον μια λύση.
2
μην έχει καμία λύση.