1. Números naturales
Sistema decimal de numeración
Emplea diez símbolos y agrupa los elementos de diez en diez
Los símbolos son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Unidades
1-5-4
sueltas
1er orden 10 unidades forman 1decena
2do orden 100 u → 10 decenas → 1 centena
3er orden 1000 u →100 decenas → 1 unidad de mil
4to orden 10000 u → 1000 decenas → 1 decena de mil
5to orden 100000 u → 10000 decenas → 1 centena de mil
6to orden 1000000 u → 100000 decenas → 1 unidad de millón
Valor absoluto y valor relativo
Valor absoluto es el número de unidades que la cifra tiene por sí sola.
Valor relativo es el que tiene la cifra de acuerdo con el lugar que ocupa en el número.
Ejemplo:
924 4 854
Valores absolutos Valores absolutos

2. 4 unidades 4 unidades
2 unidades 5 unidades
9 unidades 8 unidades
4 unidades
Valor relativo Valor relativo
4 unidades simples 4 unidades simples
2 decenas simples 5 decenas simples
9 centenas simples 8 centenas simples
4 unidades de mil
Billones Millones Unidades
Mil de billones Billones Mil de millones Millones De mil Simples
c d u c d u c d u c d u c d u c d u
Setecientos veinte mil trescientos dieciocho 7 2 0 3 1 8
Nueve millones cuatrocientos cincuenta y tres mil seis 9 4 5 3 0 0 6
Doscientos cuatro millones cinco mil setecientos
2 0 4 0 0 5 7 5 3
cincuenta y tres
Cuatro mil doscientos veinticuatro millones
4 2 2 4 0 0 0 8 2 5
ochocientos veinticinco
Novecientos ocho mil
seiscientos setenta millones 9 0 8 6 7 0 0 1 5 3 7 0
quince mil trescientos sesenta
Siete billones quinientos
cuarenta y tres mil
7 5 4 3 0 0 0 6 0 4 2 0 7
millones seiscientos
cuatro mil doscientos siete
Nombre correcto de algunos números
De 10 a 19

3. Diez - veintiuno - once - doce - trece - catorce - quince - dieciséis - diecisiete - dieciocho -
diecinueve
De 20 a 29
Veinte - veintiuno .veintidós - veintitrés - veinticuatro - veinticinco - veintiséis -
veintisiete - veintiocho - veintinueve
De 30 a 99 se escriben dos palabras separadas por la letra "y".
34, treinta y cuatro; 87, ochenta y siete.
De 100 a 999 se escribe el nombre de las centenas y seguidamente el nombre del número
formado por las otras dos cifras.
184, ciento ochenta y cuatro; 805, ochocientos cinco.
1 000 000 se lee un millón
1 000 000 000 000 se lee un billón.
Composición y descomposición de números naturales
Componer
5 billones + 9 decenas de millón + 5 centenas de mil + 2 unidades simples =
5 000 000 000 000
90 000 000
500 000
2
5 000 090 500 002 Se lee: cinco billones noventa millones quinientos mil
dos
Composición polinómica
5 . 1012 + 9 . 10 7+ 5 . 105 + 2 . 100 = 5.000.090.500.002
Descomponer
352.016 = 6 u + 1 d + 2u de mil + 5d de mil + 3c de mil

4. 352.016 = 6.10 0+ 1.101 +0.102 + 2.103 + 5.10 4+ 3.10 5
Operaciones con números naturales
Adición de varios números naturales
5 + 3 + 8 +1 = Los números 5, 3, 8 y 1 se llaman sumandos o términos.
8+ 8 + 1 =
16 + 1 = 17 El número 17 se llama suma
Se suman los dos primeros ,el resultado se suma con el tercero.el nuevo resultado con el
cuarto y así sucesivamente.
Resta de números naturales
Prueba
584 231
- 231 + 353
353 584
El número 584 se llama minuendo, el 231 sustraendo. Ambos números son los términos
de la resta. El resultado 353, es la diferencia.
Multiplicación
Prueba
823 205
x 205 x 823
4115 615
16 460 410
168715 1640
168715
Cambiando el orden de los factores
no se altera el producto

5. El número 823 se llama multiplicando y el 205, multiplicador.
Ambos números también se llaman factores.
El resultado 168715, es el producto.
División
El número 982 se llama dividendo; 23, divisor; 42, cociente; y 16 resto .
Cuando el resto es 0, la división es exacta.
La división también se puede indicar
982 : 23 = 982 =
23
Propiedades de los números naturales
Sumas algebraica: toda operación que combina sumas y resta, es una suma algebraica
20 + 5 - 3 - 2 + 1 - 4 =
25 - 3 - 2 + 1 - 4=
22 - 2 + 1 - 4 =
20 + 1 - 4 =
21 - 4 = 17
Uso de paréntesis
{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 =
Debe resolverse primero la operación encerrada entre paréntesis,luego la encerrada
entre corchetes y por último la encerrada entre llaves.La colocación de un
paréntesis(corchete o llave) puede cambiar la operación

6. Ejemplo:
8 - 2 + 4 = 10
Si se coloca un paréntesis así:
(8-2)+4=
6 + 4 = 10 Si se coloca un paréntesis así:
8 - ( 2 + 4 )=
8-6=2
El paréntesis debe ser respetado, resolviendo la operación que encierra para no alterar el
resultado del ejercicio.
{ [ ( 50- 8 ) - 2 ] + 5 } - 1 =
{ [ 42 - 2] + 5 } - 1 =
{ 40 + 5} - 1 =
45 - 1 = 44
Números racionales
Números naturales Números enteros
Números negativos Números fraccionarios puros
Fracción Número decimal
1/4 propia es siempre < 1 1 : 4 = 0,25
7/2 impropia es siempre >
7 : 2 = 3, 5
1
1 / 10 es decimal 1: 10 = 0,1
1/9 periódica 1: 9 = 0,11111........
Números fraccionarios puros
El número fraccionario puro es un cociente entre dosnúmeros enteros , distintos de cero
y tales que el dividendo no sea múltiplo del divisor.
Fracción pura :1 numerador Siempre es < 1. 1: 4 = 0,25
4 denominador
Fracción impura :5 numerador Siempre es > 1 5: 2 = 2,5
2 denominador

7. Fracción aparente :8 numerador es múltiplo del denominador 8:4
=2
4 denominador
Fracción decimal : 1 ; 5 ; 7
10 100 1000
Números decimales
Representar en la recta numérica
1/4 - 3/4 - 4/4 - 9/4 - 12/4
____,____,____,____,____,____,___,____,____,____,____,____,______________
1/4 3/4 4/4 8/4 9/4 12/4
1 2 3
Suma de fracciones de igual denominador
a) 2/7 + 4/7 = 6/7
Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador
2+4=6 7
b) 2/9 +5/9 + 1/9= 8/9
Sumo los numeradores Dejo el mismo denominador
2+5+1=8 9
Suma de fracciones con distinto denominador
3/4 + 1/6 =
Factoreo
m.c.m = 2 2 . 3 = 12 Divido 12 ( m.c.m) por cada uno de los denominadores
12 : 4 = 3.3 = 9
12 : 6 = 2.1 = 2
9 /12 + 2 /12 = 11 /12

8. Número mixto
23/5
De número mixto a fracción
5.2 + 3 = 13/ 5
De fracción a número mixto
13 : 5 = 2
resto = 3
Resta de números fraccionarios
De igual de nominador
2/4 - 1/4 = 1/ 4
De diferente denominador
2 /3 - 1/4 =
8/12 - 3/12 = 5 /12
Encuentro m.c.m entre 3 y 4 = 12
12: 3 = 4 4.2=8
12 : 4 = 3 3.1=3
Mínimo común múltiplo :m.c.m
Multiplico los números comunes y no comunes con su mayor exponente.
Máximo común divisor :d.c.m
Multiplico los números comunes con su menor exponente.
Divisibilidad

9. Factorizar
6:2
3:3
1:1
6 = 2 .3 . 1 [el número 6 expresado en sus factores primos]
9:3
3:3
1:1
9 = 32 . 1 [ el número 9 expresado en sus factores primos]
Multiplicación División
→
5 . 4 = 20 5 : 4 = 35
3 7 21 3 7 12
a) 5 .7 = 35
4 .3 12
b) 5 . 7 = 35
3 4 12
Simplificación
9 . 14 = 9: 3 . 14 :2= 3 . 7 = 21 : 3 = 7

10. 16 27 16: 2 27 :3 8.9 72 :3 24
Ampliación o fracción equivalente
1 . 2 = 2 . 3= 3
2 2 4 3 6
En la simplificación puedo dividir por un mismo número En la división solo puedo:
numerador y denominador de distintas fracciones, dividir por un mismo número
solo una vez y por un mismo número. al numerador y denominador
de una misma fracción.
Si aplico la regla de invertir
la segunda fracción:
24 . 12 =
36 15
ya puedo simplificar como en la
multiplicación.
Radicación
Propiedad distributiva / 81/100 . 9/4 =
( Se aplica con la multiplicación y división )
9/10 . 3/2 = 27/20
Raíz de índice par y radicando positivo tienen 2 resultados, √ 16/9 =
que son 2 números opuestos. 4/ 3 y - 4/3
Raíz de índice impar y radicando positivo tiene resultado 3
positivo
√ 27/8 = 3/2

11. 3
√ - 27/8 =
Raíz de índice impar y radicando negativo resultado negativo.
- 3/2
Raíz de índice par y radicando negativo carece de solución en
el campo de los números racionales.
√ - 4/9 =∃
Se simplifican la raíz y la potencia . (√ 1/4 )2 = 1/4 .
Potenciación
Potencia 0 ( 5/8 ) 0 = 1
Potencia 1 ( 5/8 )1 = 5/8
( 5/8 ) - 1 = 8/5
Potencia negativa
( 5/8 )- 2 = ( 8/5 )2 = 64/25
( - 5/3 )- 2 = (-3/5)2=9/25
Base y exponente negativo
(-2/3)-3= (-3/2)3= - 9/4
Base negativa, exponente par es siempre positivo (-3/5)2=9/25
Base negativa exponente impar es siempre negativo (-3/5)3
Producto de potencias de igual base 1/4 . ( 1/4 )2 = 1/4(1+2)= 1/43 = 1/64
División de potencias de igual base ( 1/3 ) 7 : ( 1/3 )2 = 1/3 (7 - 2) = 1/3 5
Potencia de potencia [ ( 1/2 )2 ] 3= 1/2(2×3) = 1/26
Números decimales
Número
Fracción
decimal
1/4 propia es siempre < 1 1 ÷ 4 = 0,25
7/2 impropia es siempre > 1 7 ÷ 2 = 3,5
8/2 aparente 8÷2=4
1/10 decimal 1 ÷ 10 = 0,1
1÷ 9 =
1/9 periódica
0,11111........

12. Lectura de números decimales
2, 124....................... dos enteros , ciento veinticuatro milésimos
15, 4............................. quince enteros , cuatro décimos
18, 35.......................... dieciocho, treinta y cinco centésimos
Fracciones decimales
1/10 1/100 1/100
un décimo un centésimo un milésimo
La fracción decimal 8/10 puede representarse por un número decimal
8/10 ocho décimos------------------------------------------0,8 cero enteros,ocho décimos
Cada cifra escrita inmediatamente a la derecha de la coma pertenece a la parte decimal
de nuestro sistema de numeración y representa unidades diez veces menores.
4,97624 = 4 + 0,9 + 0,07 + 0,006 + 0,0002 + 0,00004
En todo número decimal los ceros agregados a la derecha de la última cifra significativa
no alteran su valor:
0,47 = 0,470 = 0,4700 = son números decimales equivalentes.
Adición
0,8 + 2,25 + 4,129 =
0,8
+ 2,25
4,129
_____________
7,179
Sustracción
9,5 - 0,028 =
9,500

13. 0,028
_______
9,472
Multiplicación por la unidad seguida de ceros
5,29 x 10 = 52,9
5,29 x 100 = 529
División por la unidad seguida de ceros
5,29 : 10 = 0,529
5,29 : 100 = 0,0529
Multiplicación
5,8 1 lugar decimal
x 0,008
3 lugares decimales
______
0,0464 4 lugares decimales
División
0,675 : 0,32 =
67,5 |__32___
035 2,109
0300
12
Como el divisor tiene dos lugares decimales y conviene que quede espresadocom número
entero,se multiplican dividendo y divisor por 100.
0,675 x 100 = 67,5
0,32 x 100 = 32
Potencia de base 10
100 1

14. 101 10
102 100
103 1000
104 10000
105 100000
6
10 1000000
100 1
10-1 0,1
10-2 0,01
10-3 0,001
10-4 0,0001
10-5 0,00001
10-6 0,000001
Composición polinómica de un número
8. 104 + 5. 102 + 3. 101 + 2 . 100 + 7. 10-2 =
8. 10.000 + 5 . 100 + 3. 10 + 2. 1 + 7. 0,01=
80.000 + 500 + 30 + 2 + 0,07 = 80.532,07
Transformar un número decimal en fracción decimal
0,37 ( se lee cero entero treinta y siete centésimos) = 37/100 ( se lee treinta y siete
centésimos )
Transformar una fracción decimal en número decimal
145/10 ( se lee ciento cuarenta y cinco décimos ) = 14,5 ( se lee 14 enteros cinco décimos)
Notación cientifica
Número Notación científica
450.000 4,5 . 105

15. 0,008543 8,543 . 10-3
50.000 5. 104
0,00009 9 . 10-5
Números Reales
El conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los
números reales.
√2= 1,41421356237309............... no es una expresión decimal periódica, no puede
expresarse como un número racional.
Número irracional : Son números de infinitas cifras decimales no periódicas y que en
consecuencia no pueden representarse por un número racional.
Entre los números irracionales se encuentran las raíces cuadradas de los números que
no son cuadrados perfectos , el número π que establece larelación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro y el número e que se eligió como base en los primeros
sitemas de logaritmos.
π = 3,14159265358979 .............
e = 2,71828182845904............
Operaciones con números reales
Propiedades de la radicación
Reducir a mínimo común índice
6
√a5 ;4√2 y 3√x2
El m.c.m de los índices 6, 4 y 3 es 12. Luego, 12 es el mínimo común índice buscado.
Como 12 ÷ 6 = 2. Luego el exponente de multiplicarse también por 2
6
√a5 = 6.2
√a5.2 = 12
√a10

16. Como 12 ÷ 4 = 3
4 3.4 1.3 12
√2 = √2 = √23
Como 12÷ 3 = 4
3
√x2 = 4.3
√x4.2= 12
√28
Extraer los factores fuera del radical
Se realiza el cociente entre el exponente del número o letra que se está dentro de la raíz y
el índice de la raíz.
Introducción de factores dentro del radical
Se realiza la multiplicación entre el exponente del factor que se desea introducir y el
índice de la raíz
x2 3
√a =
=
Multiplicación de radicales
Se reduce a mínimo común índice los radicales. En este caso: 2 . 3 = 6

17. División de radicales
El m.c.m es de 4 y 6 es 12
Al tener ambas el mismo esponente, se dividen:
Racionalización
1)
a
5
√x2
a 5√x3 a . 5√x3 a 5√x3 a 5√x3
________ = _________ = _______ = __________
5
√x2. 5√x3 5
√x2. x3 5
√x5 x
2)
2
√5 - 1

18. 2 .( √5 + 1 ) = 2√5 + 2 = 2√5 + 2 =
2√5 + 2
________________ ____________ ________
________
(√5 - 1 ) . ( √5 + 1 ) (√5 )2 - ( 1 )2 5-1
4
__↑diferencia de cuadrados_
Simplificando
2√5 + 2 = √5 + 1
2 2
Números complejos
Números complejos C : En los números reales no hay solución de por ejemplo
√-25 porque -5 .--5 = +25
5 . 5 = +25
Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números introduciendo
nuevos números llamados imaginarios.
Número racional : a/b en orden y siendo b diferente de 0 ,determinan el número
fraccionario a/b,del cual el primer número a es el numerador y el segundo número b es
el denominador.
Análogamente, un par de números reales a y b, dados en un cierto orden, definen un
número complejo que se representa ( a ; b ), del cual el primer número a se llama
componente real, y el segundo b,componente imaginaria.
( -1 ; 4 )
La componente real es -1 y la componente imaginaria es 4
Los números imaginarios se representan por la componente imaginaria seguida de la
unidad imaginaria i
Adición de números complejos:

19. Se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente
real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las
componentes imaginarias de los números sumandos.
Suma = ( 2 ; 3 ) + ( 4; 5 ) =[ ( 2 + 4 ) ; ( 3 +5 )] = (6 ; 8 )
Representar en forma binómica
( 2/3 ; 5 ) = ( 2/3 + 5i ) ( 1/3 ; -2 ) = ( 1/3 - 2i)
Complejos conjugados :
Son iguales en valor absoluto tanto reales como imaginarios,pero éstos últimos tienen
diferente signo.
Suma (3 + 2i ) + (3 - 2i ) = 3 +3 = 2.3 Su resultado es el DUPLO REAL
Resta ( 3 + 2i ) - ( 3 - 2i ) = 2i+2i = 2.2 = 4i Su resultado es DUPLO IMAGINARIO
Potencia de números complejos
i0 = 1 i4 = 1 i8 = 1
i1 = i i5 = i i9 = i
i2 = -1 i6 = - 1 i10= -1
i3= - i i7= - i i11 = - i
Multiplicación
Producto de una unidad imaginaria
( 2 + 4i ) .( 1 - 2i ) = Se aplica propiedad distributiva
( 2 . 1 ) + ( 2 . - 2i ) + ( 4i . 1 ) + ( 4i . - 2i ) = 2 4i + 4i + 4i2=
2+4.-1=
2 - 4 = -3
Complejosconjugados :
El producto de dos complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de las dos
componentes

20. ( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) = ( 3 )2 - ( 2i )2 =
9 - 4i2 = 9 - 4 . -1 =
9 + 4 = 13
Aplicandopropiedaddistributiva
( 3 + 2i ) . ( 3 - 2i ) =
( 3 . 3 ) + ( 3 . - 2i ) + ( 2i . 3 )+ ( 2i . - 2i ) =
9 - 6i + 6i - - 4i2 =
9 - 4 . - 1=
9 + 4 = 13
Ejemplo de no conjugado
( 3 + 2i ) . ( 4 - 3i ) =
( 3 . 4) + ( 3.- 3i ) + ( 2i . 4 )+ ( 2 i. - 3i ) =
12 - 9i +8i - 6i =
12 -9i + 8i - 6 .(- 1)=
12 - i + 6 =
( 18 - i )
División de números complejos
5 - 2i =
4 + 3i
( 5 - 2i ) . ( 4 - 3i )=
( 4 + 3i) . ( 4 - 3i )
20 - 8i - 15i + 6i2 =
42 + 32
20 - 8i - 15i - 6 =
16 + 9
14 - 23i =
25

21. ( 14/25 - 23/25i )
Raíces de índice par de números negativos
√-25 no tenía solución en el conjunto de los números reales, pero al considerar los
números complejos este problema queda resuelto.
√-25 = + 5 y - 5
+ 5i . + 5i = ( 5i )2 = 25i2 = -25
- 5i . - 5i = ( - 5i )2 = 25i2= - 25
Representación geométrica o gráfica de los números Complejos
A cada complejo le corresponde el punto del plano cuya abscisa es la componente real y
su ordenada la componente imaginaria.
1) Al número complejo ( - 3; 2 ) = - 3 + 2i le corresponde el punto A de abscisa - 3 y
ordenada 2
2) A todo número imaginario que tiene componente real 0, tiene el punto que le
corresponde sobre el eje de las ordenadas:
a) ( 0 ; 3) = 3i le corresponde el punto B
b) ( 0 ; - 2 ) = - 2i le corresponde el punto C
c) (0 ; 1) = 1i le corresponde el punto U
3) Todos los números reales, que son complejos que tienen componente imaginaria 0,
están representados por el eje de las x
a) ( 5 ; 0 ) = 5 le corresponde el punto D.
Forma polar trigonométrica

22. Si se considera el vector que tiene por origen O de coordenadas y
por estremo el punto P, es decir ,semirrecta OP, el módulo de este vector se llama módulo
del complejo ( a ; b ).
Lo denominamos módulo δ de ( a ; b )
El ángulo que forma dicho vector con el semieje positivo de las x en el sentido contrario
a las agujas del reloj, en este caso ω, se llama argumento del número complejo ( a ; b )
Se tiene que:
cos ω = a ⇒a= δ. cos ω
δ
senω = a ⇒b= δ. senω
δ
bi = δ. sen ω i
Sumando miembro a miembro [ 1 ] y [ 2 ]
a + bi = δ. cosω + δ. senω
Sacando factor común:
a + bi = δ.( cosω + i senω )
Ejemplo:
a = √3 y b=1

23. + √4 = + 2
cos ω = √3
2
sen ω = 1
2
⇒ ω = 30º
La forma trigonométrica del número complejo dado:
√3 + i = 2 ( cos 30º + i sen 30º )
Conjuntos
Es un grupo de elementos que tienen una característica común.
Por ejemplo:
Un conjunto de lápices.
Un conjunto de flores.
Un conjunto de países.
Comprensión
Un conjunto está definido por comprensión cuando se da un criterio que permite decidir
si un elemento pertenece o no al conjunto.
Notas musicales
Vocales
Libros de historia
Extensión
Un comjunto está definido por extensión cuando se nombran cada uno de sus elementos.

24. Do - Re - Mi - Fa - Sol - La - Si
a-e-i-o-u
Lenguaje simbólico
Para representar por símbolos los conjuntos, los elementos y la relación de pertenencia
se tiene en cuenta las siguientes convenciones:
Los elementos que forman un conjunto se encierran entre llaves.
Los conjuntos se designan con letra mayúscula de imprenta.
A = { do, re, mi, fa, sol, la, si}
se lee: "A es igual al conjunto formado por do, re, mi, fa, sol, la, si"
Los elementos se designan con letras minúsculas.
a = do b = re c = mi d = fa e= sol f = la g = si
A = { a, b, c, d, e, f, g}
Mientras trabajamos con este conjunto a, b, c, d, e, f, g mantienen siempre el mismo
significado a designa sólo a do y g sólo a si,
a - b - c - d - e - f - g, son constantes.
Para indicar que un elemento pertenece al conjunto se escribe:∈
Para indicar que no pertenece al conjunto se escribe:
Lenguaje gráfico
Los conjuntos se representan por un curva cerrada.
Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores a la
curva.
Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos exteriores a la
curva.
Ningún punto se representa sobre la curva.
Diagrama de Venn
Comjuntos infinitos

25. A = { los peces del mar}
B= { los números impares}
C = {las estrellas del universo}
Conjuntos según el número de elementos
A tiene 3 elementos→ A es una Terna
B tiene 2 elementos → A es un Par
C tiene 1 elemento →C es un Conjunto Unitario
D no tiene elementos →D es un Conjunto Vacío
Conjunto vacío
Definir un conjunto vacío por comprensión equivale a enunciar una propiedad que no es
cumplida por ningún elemento.
Z = {vacas que vuelan}
T = { peces que corren en la pradera}
Z={Ø}
T= {Ø}
Conjunto referencial o universal
Es el conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia.
Paralelogramo, trapecio, rectángulo, rombo, romboide, cuadrado.
El referencial = {cuadriláteros}
Si el universal es:
{x/x es un número menor o igual que 50}
"No existen" los números 51 - 70 ó 94, ningún punto puede representarse fuera del
diagrama de referencia.
Ejemplo:

26. U = {x/x es una flor}
A = {es un clavel}
Los siguientes elementos:
a = clavel
b = rosa
c = gusano
aε A
bε A
El gusano no tiene sentido representarlo porque no es flor.
Complemento
Se llama complemento de A al conjunto de elementos que no pertenecen a A
En símbolos
---
A = {x/x ε A}
Si P = {vocales} = {a, e, i, o, u}
y A = {vocales abiertas} = {a, e, o}
entonces
---
A = {vocales cerradas} = {i, u}
Conjuntos iguales
Cuando están formados por los mismos elementos.
A = {alumnos que tocan la guitarra}

27. A= {Molina, Gasparino, Baltazarre}
B={alumnos que forman parte del equipo de natación}
B= {Molina, Gasparino, Baltazarre}
A=B
Partes de un conjunto
Inclusión
Un conjunto B está estrictamente incluído en un conjunto A si todo elemento de B
pertenece a A pero no existe por lo menos un elemento de A que no pertenece a B.
B⊂ A B⊆ A B=A
Un conjunto B está incluído en otro conjunto A si y sólo si todo elemento de B pertenece
aA
A = B ⇔→ x ε A ⇒ x ε B ⇒ A ⊆ B
A = B ⇔→ x ε B ⇒ x ε A ⇒ B ⊆ A
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si cada uno de ellos está incluído en el otro.
A = B ⇔A ⊆ B y B ⊆ A
El conjunto vacío está incluído en todo conjunto
Ø⊆A
Propiedades de la inclusión
1)
Propiedad reflexiva :
A⊆A Todo conjunto está incluído en sí mismo.
2) A ⊆B y B ⊆ A ⇒ A ≠ B

28. A ⊆B y B ⊆A⇒ A = B
A⊆ByB⊆A⇒A=B Propiedad antisimétrica
A ⊆ By B ⊆ C⇒ A ⊆ C Propiedad transitiva
Diferencia entre la relación de pertenencia y la relación de inclusión
La relación de pertenencia vincula un elemento con un conjunto.
La relación de inclusión vincula dos conjuntos.
Ejemplo:
D = {vocales} = {a, e, i, o, u}
F= {vocales abiertas} = {a, e, o}
G = {vocales cerradas} = {i, u}
F⊂D
C⊂D
Si relacionamos elementos:
aε A aεB
iεA
Conjuntos de partes A
Se llama potencial de A y se escribe: P(A)
P(A)= {{a,b}, {a}, {b}, {Ø}}
{a,b} → 1 par
{a}, {b} → 2 conjuntos unitarios
Ø → 1 conjunto vacío
Total 4 subconjuntos o partes de A
Operaciones con conjuntos

29. Intersección
De dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A
y a B.
A = {estudiantes de inglés}
B = {estudiantes de francés}
A ∩ B = {estudiantes de inglés y francés}
Representación gráfica. Diagrama de Venn
A ∩ B = { 2, 3 }
Conjuntos disjuntos
Si dos conjuntos no tienen elementos comunes la intersección es vacía.
A = {a, b, c}
B = {k, m}
A ∩B = Ø no hay ningún elemento que pertenezca a A y a B.
Unión
Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B.
A = {naranja, verde, azul}
B = {amarillo, gris}
A ∪ B = {naranja, verde, azul, amarillo, gris}

30. Diferencia
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
B - A = {4, 5}
Diferencia simétrica
Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenenecen a A o a B pero no a
ambos.
A Δ B = ( A - B) ∪(B - A)
A ΔB = {1, 2, 4, 5}
Complemento
Es el conjunto formado por todos los elementos que no pertenecen a A.
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A=U-A
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 2, 3}
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A = {4, 5, 6}