TEMA 1. LÓGICA

 ING DE SISTEMAS
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Situación 1
El profesor de matemáticas discretas dejo un
   trabajo el día lunes 27-ago-2007 para el día
   martes 04 sept...
¿¿¿¿¿Qué puede pensar el profesor???????
• ¿El trabajo no se pudo cumplir por que había un feriado?
• ¿Las demás materias ...
Situación 2
• Pepe expreso:
“Profesor debido a las obligaciones adquiridas con
  anterioridad en las demás materias, no tu...
…situaciones lógicas e ilógicas
En las historias se desarrollan argumentos coherentes que muchas veces
   responden a  la ...
…situaciones lógicas e ilógicas(2)
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  vecino un loro, éste preguntó: el...
…situaciones lógicas e ilógicas(3)

La historia sigue:
<<El vecino regresó y contó que el loro 
  murió antes de irse, que...
…situaciones lógicas e ilógicas(4)
        Explicación a la historia
•   El hombre tiene una racionalidad limitada, no acc...
"La vida es el arte de sacar
 conclusiones suficientes a
      partir de datos 
  insuficientes", Voltaire
LÓGICA
“La lógica es el estudio de
  los métodos y principios
  usados para distinguir el
 razonamiento correcto del
     ...
• Es el estudio de los razonamientos
  – Sin tomar en cuenta su contenido
  – Le interesa la corrección del proceso de
   ...
¿Para que sirve la Lógica?
1. Asignar Responsabilidades




      Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila   13
¿Para que sirve la Lógica?
2. Comunicar Con Claridad




     Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila   14
¿Para que sirve la Lógica?
3. Para evitar ambigüedad




    Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila   15
¿Para que sirve la Lógica?
4. Para definir Responsabilidades




        Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila   16
¿Para que sirve la Lógica?
5. Para Usar los símbolos Correctamente




         Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davil...
¿Para que sirve la Lógica?
6. Para distinguir el razonamiento Correcto
               del incorrecto




             Toma...
PROPOSICIÓN
Una proposición es una declaración sobre la que se
 puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir,
         ...
Proposición Atómica
• Una proposición es atómica si no puede ser
  descompuesta en proposiciones más
  simples.
• Las prop...
Proposición Molecular
• Una proposición es molecular si no es
  atómica, es decir, si puede ser
  descompuesta en proposic...
Notación
Para denotar o representar las proposiciones se usan letras
  minúsculas: p, q, r, s, ...

     p: “El aula A204 ...
Conectivos Lógicos

Conectivo   Simbolización
    y              ^
    o              v
   no          (sobre la proposici...
Proposiciones Moleculares
• Ejemplos
  – Vamos en bicicleta o vamos a pie.
  – No es cierto que Juan llegó temprano
  – Ju...
Notación
• Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las
  proposiciones atómicas.
• Ejemplo:
   – El Ing. Oscar Gal...
Notación
• Para simbolizar un proposición
  – Identificar las proposiciones atómicas
  – Simbolizar las proposiciones atóm...
Notación
• Ejemplos
  – Vamos en bicicleta o vamos a pie.
     p : “Vamos en bicicleta”.
     q : “Vamos a pie”
     Simbo...
Notación
• Ejemplo
  – La medalla no es de plata y el diploma
    parece falso.
     p : “La medalla es de plata”.
     q ...
Notación
• Ejemplo
  – Matías aprobó el examen pero Lucas no.
    r = “Matías aprobó el examen”.
    s = “Lucas aprobó el ...
Tabla de Verdad
• La tabla de verdad de una proposición
  molecular muestra todas las posibles
  combinaciones de valores ...
Negación
El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada “la
negación de p” y se denota por ¬p.
Ejemplo.
 p: Nues...
Negación
                  p         p
                 V          F
                 F          V



• Indique el valor d...
Conjunción
            p           q            p^q
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Disyunción
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Notación y Conectivos
Las proposiciones se combinan mediante conectivos,
como por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... enton...
Conectivos
La proposición resultante de conectar dos ó más
proposiciones se denomina proposición compuesta.

Ejemplo
  r :...
Conectivos

La conjunción de p y q es la proposición “p y q”
que se denota por “p ∧ q”.
La conjunción es verdadera, únicam...
Conectivos
La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se
  denota por “p ∨ q”. El “o” se usa en el sentido inc...
Tablas de verdad

Las tablas de verdad de los dos conectivos
anteriores son:


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Conectivos

La implicación es la proposición “Si p entonces q ”,
que se denota por p → q

  A p se le llama hipótesis (o a...
Conectivos

Ejemplo:
p: “Los polvos de jardín contienen veneno”
q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”.

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Conectivos
“Si p entonces q ” es verdadera,
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  es verdadera obliga a que la
    condición  ...
Conectivos
Ejemplo:
p: “La respuesta automática se puede enviar”
q: “El sistema de archivos está lleno”.

¬p → q :
“Si la ...
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Conectivos
La proposición “p si y sólo si q” se denomina bi-condicional y
se denota por “p ↔ q”
Es verdadera cuando p y q ...
Conectivos

• La tabla de verdad para el bicondicional es

                   p         q      p ↔q
                   V  ...
Construcción de tablas de verdad
• ¿Cuántas filas tiene la tabla?
  –   1 proposición         2 valores (V o F)
  –   2 p...
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Presentación de Lógica

  1. 1. TEMA 1. LÓGICA ING DE SISTEMAS
  2. 2. 2
  3. 3. Situación 1 El profesor de matemáticas discretas dejo un trabajo el día lunes 27-ago-2007 para el día martes 04 sept-2007 (donde el lunes 03-sep Fue fiesta). Pepe no pudo presentar el trabajo. El martes Pepe hablo con el Profesor y le dijo: ” No pude terminar el trabajo para hoy profesor, porque no pude trabajar en el feriado, ya que todo la semana tuve que hacer muchos trabajos de las demás materias y mi mamá se enfermo el fin de semana y tuve que cuidarla”. 3
  4. 4. ¿¿¿¿¿Qué puede pensar el profesor??????? • ¿El trabajo no se pudo cumplir por que había un feriado? • ¿Las demás materias ameritan mas tiempo que matemáticas discretas?. • ¿Planee mal el tiempo del trabajo ? Conclusión: El alumno revele una falta de planificación en sus actividades. Los alumnos comienzan hacer el trabajo el día anterior. Si hubo problema en la realización del trabajo ¿Por qué no lo reporto antes? ¿Será lógica la excusa? Recuerden que las excusas, son para entender el porque de los hechos. Se trata de razonar como Uds. 4
  5. 5. Situación 2 • Pepe expreso: “Profesor debido a las obligaciones adquiridas con anterioridad en las demás materias, no tuve tiempo de terminar el trabajo puesto en su clase. Intente realizarlo el fin de semana , pero mi Mamá se enfermo ocupando mi tiempo en toda su totalidad. El día lunes comenze hacer el trabajo pero NO alcance a Terminarlo” ¿Es lógica la excusa? 5
  6. 6. …situaciones lógicas e ilógicas En las historias se desarrollan argumentos coherentes que muchas veces responden a  la lógica y la ilógica. • El problema es el motor de la inteligencia: sin él ni la mente más curiosa puede entrar en acción, pero cuando no se resuelve se acumula generando estrés. Para que exista el  problema hay varios debes: aceptarlo, estar al alcance intelectual, querer encararlo y poder hacer algo. Sin problemas la vida sería tan aburrida que alguien los terminaría inventado.  • El capital para resolverlos es la memoria y el instrumento es  el pensamiento. Gracias a ellos se comprende la situación y se inventa la solución para actuar en consecuencia. • Cuando se conoce la solución no hay problema ni pensamiento sino aplicación de la memoria. 
  7. 7. …situaciones lógicas e ilógicas(2) <<Un señor compró un cachorro de pastor alemán y su vecino un loro, éste preguntó: el perro, ¿no se  comerá al loro?. El señor lo convenció diciendo: crecerán juntos y serán  amigos. Y así ocurrió. Hasta que en unas  vacaciones, el pastor alemán apareció con el loro entre sus dientes, muerto, con signos de violencia y suciedad. El señor recordó la frase: "el perro se comerá al loro".  Pronto volverían los vecinos: ¿Qué hacer ?, ¿sacrificar al perro?. Finalmente decidió bañar al loro y dejarlo en su casita, para que al menos los vecinos pudiesen despedirlo>>
  8. 8. …situaciones lógicas e ilógicas(3) La historia sigue: <<El vecino regresó y contó que el loro  murió antes de irse, que lo enterró y al volver estaba muerto pero en su casita.>>
  9. 9. …situaciones lógicas e ilógicas(4) Explicación a la historia • El hombre tiene una racionalidad limitada, no accede a la verdad completa  ni usa el 100 % de su capacidad, por lo tanto su razón es incierta. Confunde hechos con interpretaciones, concluye sin tomar conciencia del automatismo de su inferencia ni advertir sus consecuencias.  • En su conversación interna irrumpe primero la emoción que siente el impacto y condiciona a la razón para interpretarlo. Es un modelo simple que intenta darle sentido a lo que ocurre pero  considera al  juicio como verdadero sin molestarse en comprobarlo ni fundamentarlo.  • Al advertir esta falla sistémica de la mente es importante recolectar todo tipo de hechos y no sólo los que apoyan el discurso, tomarlos como pretendientes de datos, aplicar la solidaridad intelectual para no confundir hechos con  hipótesis, reconocer las lagunas,  que las cosas no son siempre lo que parecen y que el punto de vista con el cual se atiende genera su propio desarrollo • La paradoja que surge de la historia que relatamos  es que para tener creencias razonables hay que ser personas razonables en la manera de adquirir y aceptar las creencias
  10. 10. "La vida es el arte de sacar conclusiones suficientes a partir de datos  insuficientes", Voltaire
  11. 11. LÓGICA “La lógica es el estudio de los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto”. “La lógica se ocupa de la cuestión del peso o valor probatorio de diferentes tipos de elementos de juicio”. 11
  12. 12. • Es el estudio de los razonamientos – Sin tomar en cuenta su contenido – Le interesa la corrección del proceso de razonamiento una vez finalizado – Le interesa, particularmente, si las conclusiones se derivan de las premisas afirmadas, en cuyo caso el razonamiento es correcto 12
  13. 13. ¿Para que sirve la Lógica? 1. Asignar Responsabilidades Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 13
  14. 14. ¿Para que sirve la Lógica? 2. Comunicar Con Claridad Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 14
  15. 15. ¿Para que sirve la Lógica? 3. Para evitar ambigüedad Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 15
  16. 16. ¿Para que sirve la Lógica? 4. Para definir Responsabilidades Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 16
  17. 17. ¿Para que sirve la Lógica? 5. Para Usar los símbolos Correctamente Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 17
  18. 18. ¿Para que sirve la Lógica? 6. Para distinguir el razonamiento Correcto del incorrecto Tomado del curso: Lógica-Dr. Jacinto Davila 18
  19. 19. PROPOSICIÓN Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, falsedad es un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas. NO SON PROPOSICIONES SON PROPOSICIONES “ Pare inmediatamente!” “El 2 es un número primo”. “¿15 y 18 tienen la misma “ 25 es divisible entre 3 ”. cantidad de divisores?”. “ En realidad, no sé a qué se “ 6 + 5 = 10 ”. refiere”. “El aula A404 está en el “ Lávalo”. 2do piso”. 19
  20. 20. Proposición Atómica • Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa. • Ejemplos: – La casa es grande. (es atómica) – La casa no es grande. ( no es atómica) – Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica) 20
  21. 21. Proposición Molecular • Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. • Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace. 21
  22. 22. Notación Para denotar o representar las proposiciones se usan letras minúsculas: p, q, r, s, ... p: “El aula A204 está en el 2do piso” q: “El aula A204 es iluminada” r: “El 5 es un entero par” s: “La Tierra es el único planeta con vida en el universo” t: “El aula A204 no está iluminada” u: “Un decenio tiene 10 años” 22
  23. 23. Conectivos Lógicos Conectivo Simbolización y ^ o v no (sobre la proposición) 23
  24. 24. Proposiciones Moleculares • Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. – No es cierto que Juan llegó temprano – Juan no llegó temprano – Luis es arquitecto y Martín es médico. – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. – Matías aprobó pero Lucas no. 24
  25. 25. Notación • Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. • Ejemplo: – El Ing. Oscar Gallardo es el jefe del Dpto de Sistemas- UFPS. Si se considera p = “El Ing. Oscar Gallardo es el jefe del Dpto de Sistemas-UFPS” esta proposición puede ser simbolizada como p. 25
  26. 26. Notación • Para simbolizar un proposición – Identificar las proposiciones atómicas – Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. – Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas. 26
  27. 27. Notación • Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q – No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : p 27
  28. 28. Notación • Ejemplo – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q 28
  29. 29. Notación • Ejemplo – Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^ s 29
  30. 30. Tabla de Verdad • La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 30
  31. 31. Negación El enunciado “No se cumple p” es una proposición llamada “la negación de p” y se denota por ¬p. Ejemplo. p: Nuestro salón está en el 2do piso. ¬p : Nuestro salón no está en el 2do piso. ¬p : No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso. Si p es verdadera entonces ¬p es falsa. En cambio, si p es falsa, ¬p es verdadera. La tabla de verdad de la negación es: p ¬p V F F V 31
  32. 32. Negación p p V F F V • Indique el valor de verdad de: – El número 9 no es divisible por 3. – No es cierto que los perros vuelan. 32
  33. 33. Conjunción p q p^q V V V V F F F V F F F F • Indique el valor de verdad de : – 6 es un número par y divisible por 3. –(2+5=7) y(2*3=9) 33
  34. 34. Disyunción p q pvq V V V V F V F V V F F F • Indique el valor de verdad de : – 2 es primo o es impar. – (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5) 34
  35. 35. Notación y Conectivos Las proposiciones se combinan mediante conectivos, como por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”… Por ejemplo p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”; q: “El aula A1-204 es iluminada”. pueden combinarse como: “El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso” “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el 2do piso” 35
  36. 36. Conectivos La proposición resultante de conectar dos ó más proposiciones se denomina proposición compuesta. Ejemplo r : “El aula A1-205 está en el 2do piso pero es iluminada” r es la proposición compuesta “p y q” s: “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el 2do piso” s es la proposición compuesta “Si q entonces p” ” 36
  37. 37. Conectivos La conjunción de p y q es la proposición “p y q” que se denota por “p ∧ q”. La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas proposiciones que la componen son verdaderas. Ejemplo Sea p: “2 divide a 68” q: “2 divide a 25”. p ∧ q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”. 37 p ∧ q es falsa
  38. 38. Conectivos La disyunción de p y q, es la proposición “p o q”, que se denota por “p ∨ q”. El “o” se usa en el sentido inclusivo; como en “La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”. La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas proposiciones son falsas. Ejemplo: Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p ∨ q : “ 3 divide a 6 ó a 7” p ∨ q es verdadera. 38
  39. 39. Tablas de verdad Las tablas de verdad de los dos conectivos anteriores son: p q p∧q p∨q V V V V V F F V F V F V F F F F pyq poq 39
  40. 40. Conectivos La implicación es la proposición “Si p entonces q ”, que se denota por p → q A p se le llama hipótesis (o antecedente) y a q se le llama tesis (o consecuente). La proposición p → q, se puede leer también como   p sólo si q, p es suficiente para q, q es necesaria para p, p es condición suficiente para q, q es condición necesaria para p, 40
  41. 41. Conectivos Ejemplo: p: “Los polvos de jardín contienen veneno” q: “Los polvos de jardín son de colores brillantes”. La proposición p → q puede estar expresada como: “Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes”; “Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes”; “Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno”; “Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen 41 veneno”.
  42. 42. Conectivos “Si p entonces q ” es verdadera, cada vez que la condición p es verdadera obliga a que la condición q también es p q p→q verdadera. V V V Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento V F F de q. F V V La implicación es falsa, únicamente, F F V cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de “estar dadas las condiciones”, no se cumple la promesa. La tabla de verdad para la implicación es 42
  43. 43. Conectivos Ejemplo: p: “La respuesta automática se puede enviar” q: “El sistema de archivos está lleno”. ¬p → q : “Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno”. q → ¬p : “La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno”. q → ¬p : “La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno”. p→¬q: “Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno”. 43
  44. 44. 44
  45. 45. Conectivos La proposición “p si y sólo si q” se denomina bi-condicional y se denota por “p ↔ q” Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas son falsas. Una manera de abreviar “si y sólo si” es “sii”. “p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”. Ejemplo p : 24 es un número par. q : 24 es divisible por 2. p ↔ q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”. 45
  46. 46. Conectivos • La tabla de verdad para el bicondicional es p q p ↔q V V V V F F F V F F F V 46
  47. 47. Construcción de tablas de verdad • ¿Cuántas filas tiene la tabla? – 1 proposición  2 valores (V o F) – 2 proposiciones  4 valores de verdad – 3 proposiciones  8 valores de verdad – ......... – n proposiciones  2n valores de verdad. 47
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