76495211 modul-matematika-trigonometri

www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS 1
Penyusun : Dra. Nuning Sulistyowati
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
I. Pengukuran Sudut
Sebelum membahas satuan pengukuran sudut,kita ulang terlebih dahulu
tentang pengertian sudut. Sudut adalah suatu daerah yang dibatasi oleh dua
sinar(garis) yang bersekutu pada titik pangkalnya. Perhatikan pada gambar dibawah
ini:
Garis dan garis bersekutu di titik O
Membentuk sudut AOB ditulis ∠AOB
Sudut satu putaran penuh 3600 atau 2 radian(dalam radian). Dengan demikian besar
sudut satu derajat (1°) didefinisikan sebagai ukuran sudut yang besarnya putaran
penuh dapat dituliskan :
putaran
°
1 ° =
1
360
B
Ukuran sudut lainnya adalah radian.
Satu radian(1 rad) didefinisikan sebagai besarnya sudut pusat suatu lingkaran yang
menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran
tersebut (lihat gambar).
Dapat dituliskan besar POR adalah 1 rad.
Untuk satu putaran penuh nilainya sama dengan
keliling lingkaran yaitu 2 ,oleh karena itu
1 putaran penuh =
2 ⋅π ⋅ r = 2 rad
r
Hubungan derajat dan radian
2 rad = 3600
rad = 1800
1 rad =
180°
π
π
1 rad = 57,30 atau radian
°
° =
180
1
Contoh
1.Ubahlah besar sudut dalam satuan derajat ke dalam satuan radian
30 x =
1
90 x =
1
1 = = °
⋅ 180 45
1
2 = = °
⋅ 180 120
2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
a. 300 =
°
180
°
6
b. 900 =
°
180
°
2
2. Ubahlah besar sudut dalam satuan radian ke dalam satuan derajad
a.
4
°
4
π
π
b.
3
°
3
π
π
O A
r
r
r
O
P
R
1 rad

II. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DARI SUATU SUDUT
Trigonometri terdiri dari sinus(sin), cosinus(cos), tangens(tan),
cotangens(cot), secan(sec), dan cosecan(cosec). Trigonometri merupakan nilai
perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Cartesius atau segitiga
siku-siku.
Misal lingkaran L berjari-jari r. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L dan
OP = r , OP membentuk sudut α dengan sumbu x positif.
⎞
⎟ ⎟⎠
ordinat
cosα a α
⎞
absis
⎞
ordinat
absis
⎞
⎞
jari jari
tanα y
⎛
= = ⎛
⎛ −
⎞
jari jari
⎛ −
α = c
secα = c
tanα = b
cotα = a
α = 3 = tan α = 1 =
3 3
⎛
⎜ ⎜⎝
−
sinα b
= =
jari jari
r
⎟⎠
cotα x
= = ⎛
⎜⎝
ordinat
y
⎟⎠
⎜⎝
secα r
= =
absis
x
α r
cosec ⎟⎠
⎜⎝
= =
ordinat
y
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku maka definisinya adalah
sebagai berikut:
sin a = b
c
cosec
b
cosα = a
c
a
Contoh
Jika sin 2
α = 1 dan 0O < α < 90O, tentukan nilai cosα dan tanα
Jawab:
sin 2
α = 1 dapat digambarkan pada segitiga siku-siku.
cos 1
3 2
2
1
3
α
c
b
a
α
1 2
3
⎟⎠
⎜⎝
absis
x
a
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
−
= =
jari jari
r
P(a, b)
x
y
r
O
b

1. Nilai Trigonometri Untuk Sudut-Sudut Istimewa
Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istimewa. Kelima
sudut tersebut adalah sudut-sudut yang besarnya 0O , 30O, 45O , 60O , 90O. Nilai
trigonometri untuk sudut-sudut istimewa ini disajikan pada tabel berikut:
0° 30° 45° 60° 90°
Sin α 0
1 2 2
2
1 3 2
1 1 3 -
α
tan = sin
cot = cos
α
sec = 1
1 1
Cos α 1 3 2
1 2 2
1 0
1 2
Tan α 0 3 3
Cosec α - 2 2 3 3 2
1
Sec α 1 3 3 2
2 2 -
1 0
Cot α - 3 1 3 3
A. Rumus-Rumus Identitas Trigonometri
9
α
α
cos
9
α
α
sin
9
α
α
cos
9 cosec
= 1
α
α
sin
9 sin 2α + cos2α = 1
9 tan 2α +1 = sec2α
9 cot 2α +1 = cosec2α
B. Perbandingan trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran.
1. Sudut pada kuadran
Sumbu-sumbu pada koordinat membagi bidang koordinat menjadi empat
daerah yang disebut dengan kuadran. Sehingga besar sudut α dapat
dikelompokkan menjadi 4 daerah seperti yang terlihat pada gambar berikut :
Y
900 – 1800 00 – 900
X
1800 – 2700 2700 - 3600
Pembagian sudut pada tiap kuadran :
Kuadran I = 0o < α < 90o
Kuadran II = 90o < α < 180o
Kuadran III = 180o < α < 270o
Kuadran IV = 270o < α < 360o
Kuadran I
( x, y)
Kuadran II
( -x, y)
Kuadran III
( -x, - y)
Kuadran IV
( x, - y)

Dari gambar tersebut nilai ( tanda ) perbandingan trignometri diberbagai
kuadran dapat dilihat pada tabel sebagai berikut :
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I
Kuadran
II
Kuadran
III
P(x,y)
x
x
Kuadran
IV
Sinus α + + - -
Cosinus α + - - +
Tangen α + - + -
Cosecan α + + - -
Secan α + - - +
Tangen α + - + -
2. Sudut Berelasi
a. Sudut di kuadran I ( 0o < x < 90o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y)
Dapat disimpulkan bahwa :
Sin (90o – a ) = Cos ao
Cos (90o – a ) = Sin ao
Tan (90o – a ) = Cot a o
b. Sudut di kuadran II ( 90o < x < 180o )
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I, titik P (x,y) dan titik p’ ( -x,y)
Dari beberapa rumusan diatas dapat disimpulkan :
Sin ( 180o – ao) = Sin a o
Cos ( 180o – ao) = – Cos a o
Tan ( 180o – ao) = – Tan a o
Sin ao = y/r
Cos ao = x/ r
Tan ao = y/ x
Sin ( 90o - a) = x/r
Cos ( 90o - a) = y/r
Tg ( 90o - a) = x/y
Sudut di kuadran I
Sin ao = y/r
Cos ao = x/r
Tan ao = y/x
P(x,y)
Sudut di kuadran II
Sin ( 180o – a) = y/r
Cos ( 180o – a) = – x/r
Tan ( 180o – a) = y/–x
a
90°– a
O A
y
r
a
90°– a
O A
y
r
P(–x,y)
r
a
y
–x
(180°– a)

c. Sudut di kuadran III ( 180o < x < 270o )
a
P(x,y)
90°– a
r
x
O A
y
P(–x, –y)
(180°+ a)
r
a
Perhatikan segitiga OAP di kuadran I dan titik P ( x,y) dan
titik P’ (–x, –y) di kuadran III. Diperoleh relasi sebagai berikut :
Sudut di kuadran I
Sin ao = y/r
Cos ao = x/ r
Tan ao = y/ x
Sudut di kuadran III
Sin ( 180o + a) = – y/r
Cos ( 180o + a) = – x/r
Tan ( 180o + a) = y/x
Dari beberapa rumusan diatas, dapat disimpulkan :
Sin ( 180o + ao) = – Sin ao
Cos ( 180o + ao) = – Cos ao
Tan ( 180o + ao) = Tan ao
d. Sudut di kuadran IV ( 270o < x < 360o )
Dengan cara yang sama didapat hubungan(relasi) sebagai berikut :
Sin (360o– ao) = – Sin ao
Cos (360o– ao) = Cos ao
Tan (360o– ao) = – Tan ao
Contoh :
1. Tentukan nilai trigonometri berikut :
a. Sin 600
b. Sin 1200
c. Cos 2100
d. Tan 2400
e. Sin 3150
f. Cos 3000
Jawab :
a. Sin 600 = Sin (900 – 300) = Cos 300 = 1
3 2
1
b.Sin 1200 = Sin (1800 – 600) = Sin 600 = 3 2
1
c. Cos 2100 = Cos (1800 + 300) = – Cos 300 = – 3 2
–y
–x

d. Tan 2400 = Tan (1800 + 600) = Tan 600 = 3
e. Sin 3150 = Sin (3600 – 450) = – Sin 450 = – 1
2 2
1
f. Cos 3000 = Cos (3600 – 600) = Cos 600 = 2
C. Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub/Polar.
P(x,y)
x
a. Merubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub
Diketahui koordinat P(x, y) →P(r, ao) = …..?
Lihat ΔOAP siku-siku di A
= y
ao = arc Tan ⎟⎠ ⎞
r = x2 + y2 ; Tan ao x
⎜⎝ ⎛
y
x
b. Merubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius
Diketahui koordinat P(r, ao) →P(x, y) = …..?
Lihat ΔOAP siku-siku di A
Sin ao = x
r
a y
a = arc tan(–1) maka a = 1350 ( dikuadran II sin (+) dan cos (-))
Jadi koordinat kutub titik B(2 ,1350 )
tan ° = = 2 =
y
; Cos ao = r
y = r Sin a° x = r Cos a°
Contoh
1.Tentukan koordinat kartecius dari titik A( 2,1350)
Jawab
x = r Cos a° y = r Sin a°
= 2 cos 1350 = 2 sin 1350
= 2 cos(1800 – 450) = 2 sin (1800 – 450)
= 2. – cos 450 = 2 sin 450
= 2 . – = 2 .
= – =
Jadi Koordinat kartecius titik A(– , )
2.Tentukan koordinat kutub dari titk B(- 2, 2)
Jawab
r = = = 2
- 1
- 2
x
ao
O A
y
r

Latihan 1
1. Nyatakan dalam bentuk derajat :
a rad b. rad c. rad d. rad
2. Nyatakan dalam bentuk radian :
a. 1200 b. 1750 c. 720 d. 480
3. Tentukan nilai berikut :
a.Sin 1500 c.tan 3300 e. Cos
b.Cosec 450 d.Sin f. Sin
4. Hitunglah nilai dari :
a. Cos π
5 + Sin π
tan150 cos60
° + °
tan150 cos60
4 , tentukan nilai trigonometri berikut:
3 2
– Cos π
3
3 2
b. Sin 600.Cos 3300 + tan 2250
c. (Cos 3000 – Sin 2100) x ( Cos 3000 + Sin 2100 )
d.
° − °
e. Jika Cot ß =
3
* Sin ß dan tg ß. * Sec ß dan Ctg ß.
* ( Sin ß )2 + (Cos ß)2 * Cos ß dan Cosec ß
5. Nyatakan titik –titik berikut dalam koordinat kutub !
a. A( 4 4 ) b. B( 5,6 ) c. C(–5, –5 ) d.D(–2,2 )
6. Nyatakan titik-titik berikut dalam koordinat Cartecius
a. A( 6,300 ) b.( 9,1500 ) c.C( 12,2400 ) d.D( 4,1500)
III. Aturan Sinus dan Kosinus
a.Aturan Sinus
Dalam segitiga ABC seperti pada gambar berikut :
Dalam ADC, kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin α
Sin α = maka DC = AC Sin α → DC = b Sin α ........1
Dalam BDC,kita tentukan panjang DC ditinjau dari Sin β
Sin β = maka DC = BC Sin β → DC = a Sin β.......2
Dari persamaan 1 dan 2 :
DC = DC
b Sin α = a Sin β
= ...............1
a
b
c

Sama dengan diatas coba tentukan panjang AE jika ditinjau dari Sin β dan Sin γ.
Sin β = → AE = AB Sin β maka AE = c. Sin β dan
Sin γ = →AE = AC Sin γ maka AE = b. Sin γ
Dari kedua pernyataan diatas diperoleh :
c. Sin β = b. Sin γ = .........2
Sehingga dari pers. 1 dan 2 diperoleh aturan sinus berikut :
c
a = b
=
α Sin
β Sinγ
20 cm
Sin
Contoh :
1. Diketahui : PQR dengan sisi p = 10 cm dan q = 10 cm, P = 600 dan Q = 300
Tentukan : a. R ,
b.panjang sisi r
Jawab :
a. R = 1800 – ( P + Q)
= 1800 – ( 600 + 300 )
= 900
b. Panjang sisi r → =
=
r =
r = = 3
3
b. Aturan Cosinus
Dalam Segitiga ABC sembarang telah diketahui ukuran sebuah sudut dan dua
sisi yang mengapitnya.Bagaimana menentukan panjang sisi lainnya?perhatikan
gambar dibawah ini
Pada gambar diatas ABC segitiga lancip dan CD AB
Misal AD = x maka BD = (c – x )
Pada ADC ; CD2 =.........( 1)
Pada BDC ; CD2 = a2 – ( c – x)2 =...... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
CD2 = CD2
b2 – x2 = a2 – c2 + 2cx– x2
b2 = a2 – c2 + 2cx
atau
a2 = b2 + c2 – 2bc.....(3)
Dalam ADC Cos A = x = b cos A........(4)
Dari persamaan( 3) dan( 4) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

Dengan cara yang serupa dapat kita buktikan pula bahwa :
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B dan c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Aturan Cosinus :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC panjang AB = 7 cm,AC = 8 cm,dan BC = 5 cm
besar sudut-sudut segitiga ABC.
Jawab :
Misal AB = c = 7 cm,AC = b = 8 cm, BC = a = 5 cm
= , = , =
Degan aturan cosinus diperoleh
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
= = 0,7857
Jadi = arc cos 0,7857 α= 38,21°
Sudut dapat ditentukan dengan cara berikut :
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
Cos =
= = = 0, 1429
Jadi = arc cos 0,1429 β = 81,790
Dengan demikian, kita dapat menentukan yaitu :
= 1800 – 38,210 – 81,790 = 600
1 x alas x tinggi
c. Luas Segitiga
Misal diketahui segitiga ABC sembarang
Jika panjang alas dan tinggi segitiga diketahui maka
kita dapat menentukan luas daerah yaitu:
L =
2
Rumus luas segitiga tersebut dapat dikembangkan
menjadi luas segitiga yang lain dengan menggunakan
Unsur trigonometri.
• L = x alas x tinggi
L = x c x t

Pada segitiga ACP Sin A = t = b.sin A
Sehingga L = x c .b.sin A
• L = x alas x tinggi
L = x c x t
Pada segitiga BPC Sin B = t = a.sin B
Sehingga L = x c .a.sin B
• Pada aturan sinus berlaku :
Sin B =
L = x a.c.sin B L = x a.c.
Sehingga, L = x a.b.sin C
• Berdasarkan penjelasan diatas,Luas daerah segitiga ABC dapat ditentukan
apabila panjang dua sisi dan satu sudut apitnya diketahui.
Luas Δ ABC = 1
.a.b.sinC 2
Luas Δ ABC = 1
.a.c.sin B 2
Luas Δ ABC = 1
.b.c.sin A 2
Luas segitiga ABC dapat pula ditentukan apabila panjang ketiga sisinya diketahui
L = s(s − a)(s − b)(s − c)
Dengan S =
1 keliling =
2
1 (a+b+c)
2
Contoh :
1. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui a = 3 cm,b = 6 cm,dan = 450
Jawab :
L = a.b. sin C = 3.6.sin 450 = 18 = cm2
2. Tentukan luas segitiga ABC bila diketahui panjang sisi- sisinya, masing-masing
AB = 4 cm,AC = 5 cm dan BC = 7 cm!
Jawab :
Keliling segitiga = AB + AC + BC
= 4 + 5 + 7 = 16 cm
Sehingga :
S = x 16 = 8 cm
L =
L = = = 4 cm2

A B
tan +
tan
−
A B
tan −
tan
+
Latihan 2.
Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!
1. Dari segitiga ABC , jika diketahui dengan panjang a = 2 cm, panjang b = 2 3
cm, dan besar sudut C = 30O. Tentukan Panjang sisi c = ....
2. Pada segitiga PQR sudut P = 300,p = 4 cm,dan q = 5 cm.Tentukan dan
panjang sisi r !
3. Pada segita ABC,diketahui BC =4 cm,AC = 5cm dan = 450,Tentukan
panjang AB dan besar sudut B!
4. Suatu segitiga ABC diketahui = 450, = 650 jika panjang c = 18
cm.Tentukan luas segitiga tersebut!
5. Tentukan luas segitiga ABC,jika diketahui panjang AB = 10 cm, BC = 8
cm,dan AC = 6 cm.
6. Dalam segitiga PQR diketahui panjang PQ = 6 cm dan PR = 10 cm jika luas
segitiga PQR = 15 cm2,tentukan panjang QR tersebut!
7. Pada segitiga ABC diketahui = 500, = 700 ,dan panjang b = 12
Tentukan panjang sisi a dan c
IV. Rumus-Rumus Fungsi Trigonometri Untuk Jumah dan Selisih Dua Sudut
a. cos(A+ B) = cos A.cosB − sin A.sin B
b. cos(A− B) = cos A.cosB + sin A.sin B
c. sin(A+ B) = sin A.cosB + cos A.sin B
d. sin(A− B) = sin A.cosB − cos A.sin B
e. tan(A+ B) =
A B
1 tan .tan
f. tan(A− B) =
A B
1 tan .tan
Contoh
1. Hitunglah Cos 150 dan Cos 1050 tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
a.Cos 150 = Cos( 45 – 30)0
= cos 450.cos 300 + sin450 sin300
= ( )(. ( ) +( )( )
= +
= ( )
b. Cos 1050 = Cos ( 600 + 450 )
= cos 600cos 450 – sin 600 sin 450
= . ( ) - ( ) ( )
= -
= ( - )

2. Buktikan bahwa cos ( ) + cos ( ) = cos a
Bukti :
Ruas kiri = cos ( ) + cos ( )
=( cos cos a – sin sin a ) + ( cos cos a + sin sin a )
= 2 cos cos a
= 2( ) cos a
= cos a
= Ruas kanan (terbukti)
3. Hitung nilai Sin 750 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel matematika
Jawab :
Sin 750 = Sin(450 + 300 )
= sin 450 cos 300 + cos 450sin 300
= ( )( ) + ( )( )
= +
= ( + )
4. Diketahui sin A = ,cos B = ,sudut A dan B lancip.Hitunglah nilai
tan( A – B )!
Jawab :
AP =
=
=
= = 4 tan A =
RS =
=
=
= = 5 tan B =
Tan (A – B ) =
=
=
= x
=

V.Rumus-Rumus Sudut Rangkap
a. sin 2A = 2sin A.cos A
b. cos 2A = cos2 A − sin 2 A
=1− 2sin2 A
= 2cos2 A−1
A A1 tan2
Tan A A1 tan2
c.
A
tan 2 2 tan
−
=
Contoh
1.Diketahui Sin A = dan sudut A lancip
Hitunglah sin 2A,cos 2A,tan 2A
Jawab :
Perhatikan gambar disamping
Sin A = maka BC = 4,dan AC = 5
AB =
=
= = 3 Sehingga Cos A = =
Tan A =
Dengan demikian :
Sin 2A = 2 sin A.cos A
= 2( )( )
=
Cos 2A = -
=( )2 – ( 2
= – = –
A
2 2tan
−
=
= = = x - = - =

VI. Rumus Perkalian Cosinus Dan Sinus
a. 2.cos A.cosB = cos(A+ B)+ cos(A− B)
b. 2.sin A.sin B = cos(A+ B)− cos(A− B)
c. 2.sin A.cosB = sin(A+ B)+ sin(A− B)
d. 2.cos A.sin B = sin(A+ B)− sin(A− B)
Contoh
1.Hitunglah nilai dari (cos 750 sin 150),tanpa menggunakan tabel matematika
atau kalkulator.
Jawab :
2 cos A.sin B = sin(A+B) – sin(A – B)
Cos A.sin B =
Sehingga :
Cos 750.sin 150 =
= (sin 900 - sin 600 )
= ( 1 - )
= 1
3
4
1 −
2
VII. Rumus Jumlah dan Selisih Cosinus dan Sinus
( ) ( )
a. cosC + cosD = 2cos C + D C −
D 2
.cos
2
b. cosC − cosD = ( ) ( )
2cos C D C D + −
2
.cos
2
−
c. sinC + sinD = ( ) ( )
2sin C D C D + −
2
.cos
2
( ) ( )
d. sinC − sinD = 2cos C + D C −
D 2
.sin
2
Contoh
1. Nyatakan bentuk perkalian berikut dan sederhanakan jika mungkin
a. Sin 750 + Sin 150
Jawab :
Sin C + Sin D = 2 sin (C + D).cos (C – D).maka
Sin 750 + Sin 150 = 2 sin ( ).cos ( ).
= 2 sin 450.cos 300
= 2( )( )
=

b.Sin 3x – sin x
Jawab :
Sin C – sin D = 2 cos (C + D).sin (C – D ) maka
Sin 3x – sin x = 2 cos (3x+ x).sin (3x – x )
= 2 cos 2x .sin x
Latihan 3
Kerjakan soal-soal berikut dengan jawaban yang tepat!
1. sin 3A =....
2. sin 4A =....
3. 2 sin 500 cos 400 + 2 cos 200 sin 100 =.........
4. Jika
π
α + β = dan
6
cosα.cosβ = 3 , maka cos (α −β ) = ....
4
5. Jika tan = a , maka cos 2 = .......
6. sin 4x.sin3x − cos4x.cos3x = ....
7. Untuk semua nilai A, bentuk sin (A + 30O) + cos (A + 60O) sama
dengan ....
8. sin3x + sin 7x = ....
9. Tan 700 + tan 200 =.....
10. 4 cos (15 + a)0 cos( 15 – a )0 =....
== oOo ==

76495211 modul-matematika-trigonometri

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a 76495211 modul-matematika-trigonometri

Similar a 76495211 modul-matematika-trigonometri (20)

Último

Último (20)

76495211 modul-matematika-trigonometri