Poder facilitar el aprendizaje sobre la longitud de curva a través de diversos ejemplos y tipos de curva

1. En matemática, la longitud de una curva es la medida
de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron
usados varios métodos para curvas específicas, la llegada
del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener
soluciones cerradas para algunos casos.
La idea para calcular la longitud de una curva
contenida en el espacio consiste en dividir en segmentos
pequeños, escogiendo una familia finita de puntos en “C”.
Y luego aproximar la longitud mediante longitud de
poligonal que pase por ambos puntos.
Cuantos más puntos escojamos en “C” mejor será el
valor obtenido como aproximación de la longitud de “C”.
Longitud de una Curva

2. Sea “C” una curva regular y simple en .
Sea ∝: [a, b] → una parametrización de “C” se
define la longitud de C como.
Si “C” es una curva regular a trozos, se define su
longitud como la suma de las longitudes de cada trozo
regular.
Si “C” es una curva cerrada simple, se puede dividir
por tres puntos y considerarla como una curva regular a
trozos.
𝑅 𝑛
𝑅 𝑛
∫( 𝑐) = ∫ ‖∝ (𝑡)‖ 𝑑𝑡
𝑏
𝑎

3. Curva Elemental
Un conjunto γ de puntos del espacio se denominará curva
elemental si es la imagen obtenida en el espacio por una aplicación
topológica de un segmento abierto de recta.
Sea γ una curva elemental y sea a < t < b el segmento abierto del
que se obtiene la aplicación f de la curva correspondiente al punto
t del segmento. El sistema de igualdades
x = f1(t), y= f2(t), z= f3(t) se denominan ecuaciones de la curva γ
en forma paramétrica
Curva Suave
Se le llama curva suave a la curva que no posee puntos
angulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola,
etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo,
una cicloide.
Formalmente, dada una curva C representada por
la ecuación paramétrica:
En un intervalo I cualquiera, es suave si sus derivadas son
continuas en el intervalo I y no son simultáneamente nulas,
excepto posiblemente en los puntos terminales del intervalo.
Tipos de Curvas

4. Curva Simple
Las curvas, según esta definición, pueden ser muy
intrincadas, de muy diverso tipo. Con el objetivo de evitar auto
intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el
concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo
punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual admite
una representación de clase con .
Un conjunto δ de puntos del espacio se denominara curva
simple si es conjunto conexo y si para todo punto W del mismo
existe un entorno tal que la parte de δ comprendida en él forma
una curva elemental
Curva Plana
Una curva plana es aquella que reside en un solo plano y
puede ser abierta o cerrada. La representación gráfica de una
función real de una variable real es una curva plana.

5. Curva Diferenciable
Una curva se llama diferenciable cuando la
función es diferenciable. Si además la función
anterior es inyectiva en el intervalo entonces la curva admite
un vector tangente único en cada punto y es rectificable (lo cual
significa que su longitud de arco está bien definida y es posible
calcular su longitud. La curva :
Es continua pero no diferenciable, por lo que su longitud entre el
punto (0,0) y cualquier otro punto de la misma no puede calcularse.
Curva Cerrada
Se llama curva cerrada a aquella curva
simple homeomorfa con una circunferencia. Se llama entorno de
un punto W de una curva simple δ la parte común de la curva δ y
un entorno espacial del punto W. Por tanto, todo punto de una
curva simple posee un entorno que conforma una curva elementa.
Una curva diferenciable es cerrada cuando cuando
. Si además, la función es inyectiva en el
intervalo entonces se dice que la curva es una curva
cerrada simple. Una curva cerrada simple es homeomorfa al
círculo , es decir, tiene la misma topología de un anillo. La
curva dada por: