INSTITUTO NACIONAL
SAN RAFAEL
MATERIA
PROFESOR
ALUMNO
INSTITUTO NACIONAL DE
SAN RAFAEL
UNIDAD Nº 5:
UTILICEMOS
PROBABILIDADES
OBJETIVO DE UNIDAD:
Tomar decisiones acertadas, a
...
OBJETIVOS DE
APRENDIZAJE:
EL ALUMNO(A) DE SEGUNDO AÑO SERÁ CAPAZ
DE:
1. DEFINIR VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y
CONTINUA.
2....
VARIABLES ALEATORIAS
Variables aleatorias
discretas y
continuas.
DESARROLLO
Se llama variable aleatoria a toda función
que asocia a cada elemento del espacio
muestral E un número real.
Se...
Variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo
puede tomar valores enteros.
Ejemplos
El n...
Ejercicios resueltos de
distribuciones discretas
1. Se lanza un par de dados. Se
define la variable aleatoria X como
la su...
x p i x · p i x 2· pi
2 1/36 2/36 4/36
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Ejercicios de distribuciones discretas
2. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2
€ si aparecen una o dos caras. Por otra...
Ejemplo
3. Supongamos que se lanzan dos monedas al
aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de
resultados elemental...
4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número
primo, gana tantos cientos de euros como marca el
dado, pero si no s...
Ejercicios resueltos de distribuciones
discretas
5. Si una persona compra una papeleta
en una rifa, en la que puede ganar ...
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
Sea X una variable aleatoria discreta
cuya función de probabilidad es:
6. Calcular, representar gráficamente la
función de distribución.
7. Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 ...
8. Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥
= 0.75. Hallar:
La esperanza matemática, la varianza
y la desviación típica.
x p i x · p i x 2· pi
0 0.1 0 0
1 0.15 0.15 0.15
2 0.45 0.9 1.8
3 0.1 0.3 0.9
4 0.2 0.8 3.2
2.15 6.05
μ =2.15
σ² = 6.05 - ...
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  1. 1. INSTITUTO NACIONAL SAN RAFAEL
  2. 2. MATERIA
  3. 3. PROFESOR
  4. 4. ALUMNO
  5. 5. INSTITUTO NACIONAL DE SAN RAFAEL UNIDAD Nº 5: UTILICEMOS PROBABILIDADES OBJETIVO DE UNIDAD: Tomar decisiones acertadas, a partir de la determinación de la ocurrencia de un suceso, aplicando los métodos de distribución binomial o normal que conlleven variables discretas o continuas, para estimar la probabilidad de eventos en diferentes ámbitos de la vida social, cultural y económica.
  6. 6. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: EL ALUMNO(A) DE SEGUNDO AÑO SERÁ CAPAZ DE: 1. DEFINIR VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA. 2. RESOLVER EJERCICIOS DE LA TEMÁTICA. 3. MOSTRAR ESMERO E INTERESARSE POR COMPRENDER LA TEMÁTICA EN ESTUDIO.
  7. 7. VARIABLES ALEATORIAS Variables aleatorias discretas y continuas.
  8. 8. DESARROLLO Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
  9. 9. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enteros. Ejemplos El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado. Variable aleatoria continua Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Ejemplos La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.
  10. 10. Ejercicios resueltos de distribuciones discretas 1. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.
  11. 11. x p i x · p i x 2· pi 2 1/36 2/36 4/36 3 2/36 6/36 18/36 4 3/36 12/36 48/36 5 4 /36 20/3 6 100/36 6 5/36 30/36 180/36 7 6/36 42/36 294/36 8 5/36 40/36 320/36 9 4 /36 36/36 324/36 10 3/36 30/36 300/36 11 2/36 22/36 242/36 12 1/36 12/36 144/36 7 54.83
  12. 12. Ejercicios de distribuciones discretas 2. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4 μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable
  13. 13. Ejemplo 3. Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es , donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz"). Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el número de caras obtenidas. De este modo se definiría la variable aleatoria X como la función
  14. 14. 4. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego. x p i x. p i +100 1/6 100/6 + 200 1/6 200/6 + 300 1/6 300/6 - 400 1/6 -400/6 + 500 1/6 500/6 -600 1/6 - 600/6 100/6 µ =16.667
  15. 15. Ejercicios resueltos de distribuciones discretas 5. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €
  16. 16. x p i 0 0,1 1 0,2 2 0,1 3 0,4 4 0,1 5 0,1 Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
  17. 17. 6. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.
  18. 18. 7. Calcular las siguientes probabilidades: p (X < 4.5) p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9 p (X ≥ 3) p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6 p (3 ≤ X < 4.5) p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5
  19. 19. 8. Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ = 0.75. Hallar: La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
  20. 20. x p i x · p i x 2· pi 0 0.1 0 0 1 0.15 0.15 0.15 2 0.45 0.9 1.8 3 0.1 0.3 0.9 4 0.2 0.8 3.2 2.15 6.05 μ =2.15 σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275 σ = 1.19

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