Ejercicios ecuaciones 4º eso

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Ejercicios ecuaciones 4º eso

  1. 1. Ejercicio nº 1.-Resuelve las ecuaciones:a) 4 ( 5x + 1) − 9 = 0 2b) 2x 4 + 9x 2 − 68 = 0Solución:a) Sabemos que si a2 = b2, entonces, o bien a = b o bien a = −b. En este caso: 2 9 3 4 ( 5 x + 1) - 9 = 0 → ( 5 x + 1) ( 5 x + 1) 2 2 2 = → =  4  2 Así: 3 1 5x + 1 = → 10 x + 2 = 3 → 10 x = 1 → x= 2 10 3 −5 −1 5x + 1 = − → 10 x + 2 = −3 → 10 x = −5 → x= = 2 10 2 1 −1 Las soluciones son x1 = y x2 = . 10 2b) 2 x 4 + 9 x 2 - 68 = 0 equivale a 2z 2 + z - 68 = 0, siendo z = x 2 . −34 −17 = 4 2 −9 ± 81+ 544 −9 ± 625 −9 ± 25 + z= = = 4 4 4 ‚ 16 =4 4 −17 −17 Si z = → x2 = → no hay solución real. 2 2 Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2 Las soluciones pedidas son x1 = 2 y x 2 = 2.Ejercicio nº 2.-Resuelve:a) 4x + 1 − 9 x − 2 = − 1 1 1 5b) + 2 = 3x x 12Solución:
  2. 2. a) 4 x + 1 = −1 + 9 x − 2 Elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación: 4x + 1 = 1 + ( 9 x − 2 ) − 2 9 x − 2 → → 4x + 1 = 9 x − 1 − 2 9 x − 2 → 2 9x − 2 = 5x − 2 Volvemos a elevar al cuadrado: 4 ( 9 x − 2 ) = 25x 2 − 20 x + 4 → → 36 x − 8 = 25x 2 − 20 x + 4 → 25x 2 − 56 x + 12 = 0 → 100 =2 50 56 ± 3136 − 1200 56 ± 1936 56 ± 44 → → x= = = 50 50 50 ‚ 12 6 = 50 25 Comprobamos las dos posibles soluciones, sustituyendo en la ecuación inicial: 4 ⋅ 2 + 1 − 9 ⋅ 2 − 2 = 9 − 16 = 3 − 4 = −1 → 2 es solución 24 54 49 4 7 2 5 6 +1− −2 = − = − = =1 → no es solución 25 25 25 25 5 5 5 25 La única solución es x 2.b) Multiplicamos ambos miembros por 12x2, que es el m.c.m. de los denominadores: 4 x + 12 = 5 x 2 → 5 x 2 − 4 x − 12 = 0 → 20 =2 10 4 ± 16 + 240 4 ± 256 4 ± 16 = → x= = = 10 10 10 ‚ −12 −6 = 10 5 Comprobación: 1 1 2+3 5 x=2 → + = = → 2 es solución. 6 4 12 12 −6 5 25 −10 + 25 15 5 −6 x= → - + = = = → es solución. 5 18 36 36 36 12 5 −6 Las soluciones son x1 = 2 y x2 = . 5Ejercicio nº 3.-
  3. 3. (Resuelve la siguiente ecuación: x 9x 2 − 1 ( 2x + 3 ) = 0 )Solución:Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que:x=0 1 19x 2 − 1 = 0 → x 2 = → x=± 9 3 −32x + 3 = 0 → x= 2 1 1 −3Las soluciones son x1 = 0, x2 = , x3 = − y x 4 = . 3 3 2Ejercicio nº 1.-Resuelve las siguientes ecuaciones: ( 2x + 5 ) ( 3x − 1) x 2 + 5 7x − 5a) + = +1 3 2 6b) 3x 4 − 10x 2 − 8 = 0Solución:a) Multiplicamos ambos miembros por 6: ( ) 2 ( 2x + 5 ) ( 3 x − 1) + 3 x 2 + 5 = 7 x − 5 + 6 → → 12x 2 − 4 x + 30 x − 10 + 3 x 2 + 15 − 7 x + 5 − 6 = 0 → → 15x 2 + 19 x + 4 = 0 → −30 =- 1 30 −19 ± 361 − 240 −19 ± 121 −19 ± 11 − → x= = = 30 30 30 ‚ −8 −4 = 30 15 −4 Las soluciones son x1 = −1 y x2 = . 15b) Haciendo x2 = z, se obtiene: 3z2 10z z 8 = 0 24 =4 6 10 ± 100 + 96 10 ± 14 = z= = 6 6 ‚ −4 −2 = 6 3
  4. 4. Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2 −2 −2 Si z= → x2 = → no hay solución real. 3 3 Las soluciones son x1 2 y x2 2.Ejercicio nº 2.-Resuelve las ecuaciones:a) 2x + 6x + 1 = 3 x 2x 15b) + = x +1 x −1 4Solución:a) 6x + 1 = 3 − 2 x Elevamos ambos miembros al cuadrado: 6x + 1 = 9 − 12 x + 4 x 2 → 4 x 2 − 18 x + 8 = 0 → 2x 2 − 9 x + 4 = 0 → 2 1 = 4 2 9 ± 81 − 32 9 ± 49 9 ± 7 → x= = = 4 4 4 16 =4 4 Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: 1 6 1 2⋅ + + 1 = 1+ 4 = 1+ 2 = 3 → x= es solución 2 2 2 8 + 24 + 1 = 8 + 25 = 8 + 5 = 13 → x = 4 no es solución 1 La única solución es x = . 2b) Multiplicamos ambos miembros por 4 ( x + 1) ( x − 1) : 4 x ( x − 1) + 8 x ( x + 1) = 15 ( x + 1) ( x − 1) → → 4 x 2 − 4 x + 8 x 2 + 8 x = 15 x 2 − 15 → → 12 x + 4 x = 15 x − 15 2 2 → 3 x − 4 x − 15 = 0 2 →
  5. 5. 18 =3 6 4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14 = → x= = = 6 6 6 ‚ −10 −5 = 6 3 Comprobamos las soluciones: 3 6 3 6 3 + 12 15 + = + = = → 3 es solución. 3 +1 3 −1 4 2 4 4 −5 −10 5 10 − − 3 + 3 = 3 + 3 = 5 + 10 = 20 + 10 = 30 = 15 → − 5 es solución. −5 −5 2 8 2 8 8 8 4 3 +1 −1 − − 3 3 3 3 −5 Las soluciones son x1 = 3 y x2 = . 3Ejercicio nº 3.- 1 1 3Escribe una ecuación cuyas soluciones sean , − y − . 2 2 2Solución:  1 1 3La ecuación  x −   x +   x +  = 0 tiene como soluciones las pedidas.  2  2  2Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuación buscada:Ejercicio nº 1.-Resuelve: 2  1 2 10a)  x −  + x =  3 3 9 4 2b) x - 48 x - 49 = 0Solución: 2 1 2 10 1 10a) x 2 − x+ + x= → x2 + = → 3 9 3 9 9 9 9 → x2 = → x2 = 1 → x = ±1 9
  6. 6. Las soluciones son x1 1 1 y x2 2 1.b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 z y obtenemos: −2 = −1 2 48 ± 2304 + 196 48 ± 50 = z 2 - 48z - 49 = 0 → z= = 2 2 ‚ 98 = 49 2 Si z = −1 → x 2 = −1 → no hay solución real Si z = 49 → x 2 = 49 → x = ±7 Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.Ejercicio nº 2.-Resuelve las ecuaciones:a) x + x −2 = 2 1 x + 2 −7b) − = x +2 x 4Solución:a) x −2 = 2− x Elevamos al cuadrado ambos miembros: x−2 = 4+x−4 x → 4 x =6 → 2 x =3 Volvemos a elevar al cuadrado: 9 4x = 9 → x= es la posible solución. 4 Lo comprobamos: 9 9 3 1 4 + −2 = + = = 2 4 4 2 2 2 9 Luego x = es la solución buscada. 4b) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x + 2): 4 x − 4 ( x + 2 ) = −7 x ( x + 2 ) 2 → ( ) 4 x − 4 x 2 + 4x + 4 = −7 x 2 − 14 x → → 4 x − 4 x − 16 x − 16 = −7 x − 14 x 2 2 → 3 x + 2 x − 16 = 0 2 →
  7. 7. 2 −2 ± 4 + 192 −2 ± 196 −2 ± 14 6 → x= = = 6 6 6 ‚ −16 −8 = 6 3 Comprobamos estas soluciones sobre la ecuación: 1 4 1 − 8 −7 − = = → 2 es solución. 4 2 4 4 −8 −2 +2 1 3 1 3 2 −14 −7 −8 − = − 3 =− − = = → es solución. −8 −8 −2 −8 2 8 8 4 3 +2 3 3 3 3 −8 Las soluciones son x1 = 2 y x2 = . 3Ejercicio nº 3.-Invéntate una ecuación que tenga por solución los valores − 1, 5, 3, y − 3.Solución:Consideramos cuatro polinomios de grado 1 cuyas ecuaciones tengan como raíces los valores−1, 5, 3 y − 3, respectivamente, y los multiplicamos entre sí igualando el resultado a 0.Se tiene, así:( x + 1) ( x − 5 ) ( x − 3 ) ( x + 3) = 0 → (x 2 )( ) − 4x − 5 x 2 − 3 = 0 →→ x 4 − 3 x 2 − 4 x 3 + 12 x − 5 x 2 + 15 = 0La ecuación pedida es: x 4 − 4 x 3 − 8 x 2 + 12x + 15 = 0Ejercicio nº 1.-Resuelve las siguientes ecuaciones: 2x 2 − 1 x − 1 1 − xa) - = 2 3 6b) x 4 − 26x 2 + 25 = 0Solución:a) Multiplicamos los dos miembros por 6:
  8. 8. ( ) 3 2x 2 − 1 − 2 ( x − 1) = 1 − x → 6x 2 − 3 − 2 x + 2 = 1 − x → 8 2 = 12 3 1 ± 1 + 48 1 ± 7 = → 6x 2 − x − 2 = 0 → x= = 12 12 ‚ −6 −1 = 12 2 2 −1 Las soluciones son x1 = y x2 = . 3 2b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 2 z: 2 =1 2 26 ± 676 - 100 26 ± 576 26 ± 24 = z 2 − 26z + 25 = 0 → z= = = 2 2 2 ‚ 50 = 25 2 Si z = 1 → x 2 = 1 → x = ±1 Si z = 25 → x 2 = 25 → x = ±5 Las soluciones de esta ecuación son x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 5 y x 4 = 5.Ejercicio nº 2.-Resuelve las siguientes ecuaciones:a) x 4 + 9 − 6x 2 + 1 = 0 8b) x + =5 2xSolución:a) x 4 + 9 = 6x 2 + 1 Elevamos ambos miembros al cuadrado: x 4 + 9 = 6x 2 + 1 → x 4 − 6x 2 + 8 = 0 Ecuación bicuadrada, que resolvemos haciendo el cambio x 2 = z: 4 6 ± 36 − 32 6 ± 2 − z − 6z + 8 = 0 2 → z= = 2 2 ‚ 2
  9. 9. Si z = 4 → x 2 = 4 → x = ±2 Si z = 2 → x 2 = 2 → x = ± 2 Comprobación: x = ±2 → 16 + 9 − 24 + 1 = 25 − 25 = 0 → x = ±2 son soluciones. x=± 2 → 4 + 9 − 12 + 1 = 13 − 13 = 0 → x=± 2 son soluciones. Las soluciones son x1 = 2, x2 = −2, x3 = 2 y x4 = − 2.b) Multiplicamos ambos miembros por 2x: 2 x 2 + 8 = 10x → 2 x 2 − 10x + 8 = 0 → x 2 − 5x + 4 = 0 → 4 5 ± 25 − 16 5 ± 9 5 ± 3 → x= = = 2 2 2 1 Comprobación de las posibles soluciones: 8 4+ = 4 +1= 5 → 4 es solución 8 8 1+ = 1+ 4 = 5 → 1 es solución 2 Las soluciones son x1 = 4 y x2 = 1.Ejercicio nº 3.-Resuelve:2x ( )( x − 1 x 2 − 5x + 6 = 0 )Solución:Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir:x=0 x −1= 0 → x =1 → x =1 3 5 ± 25 − 24 5 ± 1x − 5x + 6 = 0 2 → x= = 2 2 2Las soluciones son x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3. Ejercicio nº 1.-
  10. 10. Resuelve:a) 2 ( 2x + 1) − 3 ( 2x − 1) + 5 ( 2x − 1) ( 2x + 1) = 0 2 2b) 4x 4 − 25x 2 = 0Solución:a) Efectuamos los paréntesis teniendo en cuenta que todos son productos notables: ( ) ( 2 4 x 2 + 4 x + 1 − 3 4x 2 − 4 x + 1 + 5 4 x 2 − 1 = 0) ( ) → → 8 x 2 + 8 x + 2 − 12 x 2 + 12 x − 3 + 20x 2 − 5 = 0 → → 16 x 2 + 20 x − 6 = 0 → 8x 2 + 10x − 3 = 0 → −24 −3 = 16 2 −10 ± 100 + 96 −10 ± 196 −10 ± 14 =→ x= = = 16 16 16 ‚ 4 1 = 16 4 −3 1 Las soluciones son x1 = y x2 = . 2 4b) Ecuación bicuadrada en la que podemos extraer x 2 como factor común: ( 4 x 4 - 25 x 2 = x 2 4 x 2 - 25 ) Así: x 2 = 0 → x = 0  4x − 25 x = 0 → x 4 x − 25 = 0 →  2 4 2 2 ( 2 ) 25 5 4 x − 25 = 0 → x2 = → x=±  4 2 5 5 Las soluciones son x1 = 0 , x2 = y x3 = - . 2 2Ejercicio nº 2.-Resuelve: 81a) −1= 2 x3b) x + 4 + x −1 = 3Solución:
  11. 11. a) Multiplicamos ambos miembros por x3: 81 =3 → 81 = 3x 3 → x 3 = 27 → x =3 x3 Comprobamos si es, o no, solución en la ecuación inicial: 81 −1= 3 −1= 2 → x = 3 es solución 27b) x + 4 = 3 − x −1 Elevamos ambos miembros al cuadrado: x + 4 = 9 + x − 1− 6 x − 1 → 6 x −1 = 4 → 3 x −1 = 2 Volvemos a elevar al cuadrado: 13 9 ( x − 1) = 4 → 9x − 9 = 4 → 9 x = 13 → x= 9 Comprobamos si es, o no, solución: 13 49 7 +4 = = 9 9 3 13 4 2 7 3− −1 = 3 − =3− = 9 9 3 3 13 Ambos miembros coinciden, luego x = es la solución buscada. 9Ejercicio nº 3.- (Resuelve esta ecuación: x ( 4x + 1) ( 2x − 7 ) x 2 − 4 = 0 )Solución:Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. Así: x = 0   4 x + 1 = 0 → x = −1  ( )x ( 4 x + 1) ( 2 x − 7 ) x 2 − 4 = 0 →  7 4 2 x − 7 = 0 → x =  2  x 2 − 4 = 0 → x = ±2  −1 7Las soluciones son x = 0, x = , x = , x = 2 y x = −2. 4 2 Ejercicio nº 1.-
  12. 12. Resuelve: 2  1 2 10a)  x −  + x =  3 3 9 4 2b) x - 48 x - 49 = 0Solución: 2 1 2 10 1 10a) x 2 − x+ + x= → x2 + = → 3 9 3 9 9 9 9 → x2 = → x2 = 1 → x = ±1 9 Las soluciones son x1 1 1 y x2 2 1.b) Ecuación bicuadrada; hacemos x2 z y obtenemos: −2 = −1 2 48 ± 2304 + 196 48 ± 50 = z 2 - 48z - 49 = 0 → z= = 2 2 ‚ 98 = 49 2 Si z = −1 → x 2 = −1 → no hay solución real Si z = 49 → x 2 = 49 → x = ±7 Las soluciones son x1 = 7 y x2 = −7.Ejercicio nº 2.-Resuelve las ecuaciones:a) 2x + 6x + 1 = 3 x 2x 15b) + = x +1 x −1 4Solución:a) 6x + 1 = 3 − 2 x Elevamos ambos miembros al cuadrado: 6x + 1 = 9 − 12 x + 4 x 2 → 4 x 2 − 18 x + 8 = 0 → 2x 2 − 9 x + 4 = 0 →
  13. 13. 2 1 = 4 2 9 ± 81 − 32 9 ± 49 9 ± 7 → x= = = 4 4 4 16 =4 4 Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuación: 1 6 1 2⋅ + + 1 = 1+ 4 = 1+ 2 = 3 → x= es solución 2 2 2 8 + 24 + 1 = 8 + 25 = 8 + 5 = 13 → x = 4 no es solución 1 La única solución es x = . 2b) Multiplicamos ambos miembros por 4 ( x + 1) ( x − 1) : 4 x ( x − 1) + 8 x ( x + 1) = 15 ( x + 1) ( x − 1) → → 4 x 2 − 4 x + 8 x 2 + 8 x = 15 x 2 − 15 → → 12 x + 4 x = 15 x − 15 2 2 → 3 x − 4 x − 15 = 0 2 → 18 =3 6 4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14 = → x= = = 6 6 6 ‚ −10 −5 = 6 3 Comprobamos las soluciones: 3 6 3 6 3 + 12 15 + = + = = → 3 es solución. 3 +1 3 −1 4 2 4 4 −5 −10 5 10 − − 3 + 3 = 3 + 3 = 5 + 10 = 20 + 10 = 30 = 15 → − 5 es solución. −5 −5 2 8 2 8 8 8 4 3 +1 −1 − − 3 3 3 3 −5 Las soluciones son x1 = 3 y x2 = . 3Ejercicio nº 3.-Resuelve:2x ( )( x − 1 x 2 − 5x + 6 = 0)
  14. 14. Solución:Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir:x=0 x −1= 0 → x =1 → x =1 3 5 ± 25 − 24 5 ± 1x − 5x + 6 = 0 2 → x= = 2 2 2Las soluciones son x = 0, x = 1, x = 2 y x = 3.

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