“ La PyMe de Martín”: Una propuesta pedagógica con aplicaciones TIC para el desarrollo de la función lineal

TRABAJO FINAL MATEMÁTICA Y TIC II
Autor: Patricia M. Szraibman
Materia: Módulo Matemática y Tic II
Profesora: Noemí Haponiuk
Aula: 002
Ministerio de Educación de la Nación
Secuencia didáctica: Función Lineal
Fecha de presentación: 25/04/2014
Curso: 2º año C.B. ( Técnico)
Patricia Szraibman – A002 Página 1

Asignatura: Matemática
Propósitos
- Introducir a los alumnos en la modelización de
situaciones extra-matemáticas e intramatemáticas que
requieran funciones lineales, y en el estudio de las
mismas al variar los parámetros.
- Promover el uso y la importancia de recursos
tecnológicos para la exploración y formulación de
conjeturas, para anticipar y estudiar el comportamiento de
funciones lineales, para la resolución de problemas que
las involucren y para el control y la verificación de los
resultados obtenidos.
- Promover el trabajo colaborativo, la discusión y el
intercambio entre pares.
Objetivos
Que los alumnos:
- Interpreten gráficos y fórmulas que modelicen variaciones
lineales.
- Modelicen y analicen variaciones lineales expresadas
mediante gráficos y/o fórmulas, interpretando sus
parámetros (la pendiente como cociente de incrementos y
las intersecciones con los ejes).
- Determinen la ecuación de una recta a partir de diferentes
datos.
- Vinculen las relaciones entre rectas con las variaciones
de sus parámetros.
Contenidos
- Nociones de dependencia y variabilidad.
- Diferentes tipos de representaciones (fórmulas, gráficos,
tablas).
- Puntos de intersección con los ejes.
- Lectura e interpretación que brindan los gráficos
cartesianos, tablas y fórmulas.
Saberes previos
necesarios
 En relación con la disciplina:
- Operaciones con números N, Z y Q.
- Ejes cartesianos.

- Representación de puntos en los ejes cartesianos.
Función: concepto. Dominio e imagen. Raíces,
ordenada al origen, Crecimiento y decrecimiento.
 En relación con las TIC:
- Uso del Geogebra. Gráfico de puntos. Diferentes
vistas. Introducción de fórmulas. Uso de tabla.
Utilización de las herramientas básicas.
- Uso del Graphmatica: Introducción de fórmulas, uso
de tabla. Rango de la cuadrícula, copiar gráficos.
- Uso del procesador de cálculo a partir de la
utilización de fórmulas.
Actividades
Encuentro 1
Horas: Tiempo previsto: 80 minutos
Actividad de apertura
Tiempo parcial: 10 minutos
Introducción
El docente comienza proponiendo que se dividan en grupos de a
dos y les plantea un problema para el que tendrán que realizar
luego una secuencia de análisis.
Para realizar este tipo de trabajo utilizarán, lápiz papel, y el
graficador de funciones GeoGebra, por lo cual deben tener la
precaución de traer a clases sus computadoras con baterías, con
carga suficiente como para trabajar en la clase sin inconveniente.
a) El problema:
Martín, recién recibido de técnico en computación, comenzó
a trabajar para algunas personas conocidas, amigos de tíos,
primos, etc., en general por recomendación.
Como su trabajo inicialmente consistía en reparar las pc,
solo cobraba la mano de obra, que era la cantidad de horas
que le requería la reparación, para hacerse de clientela, y
no cobraba la visita cuando iba a retirar y a entregar la

computadora a los distintos domicilios para su reparación.
Así para simplificar se construyó una tabla con los
siguientes datos:
Tiempo: (t ) 1 4 7 10
Costo: (c) 100 300
Ayuden a Martín completando los datos que faltan.
Para dar inicio a resolución del problema, el docente lee
con todo el grupo el enunciado para asegurarse la
comprensión del mismo por parte de todos los alumnos. Si
hay alguna duda solo se aclaran aquellas que estén relacionadas
al enunciado sin responder cuestiones propias del cálculo que
les permita completar la tabla y/o responder el cuestionario.
Se solicita a los alumnos que lo resuelvan en papel y que hagan
todas las anotaciones que consideren necesarias, destacando
que todas las ideas cuentan para poder resolver el
problema y que les servirá para analizar la situación
problemática.
Actividad de desarrollo
- Cada pareja comienza con la búsqueda de los valores
para completar la tabla pensando que para 4 horas le
pagan $ 100.
- Mientras los alumnos trabajan en pareja, el docente
recorre el aula observando el trabajo, sin interrumpir a
menos que la situación lo amerite.
- Transcurridos 10 minutos de clase, el docente solicita que
alguno de los grupos transcriba en el pizarrón la tabla
completa. Es el momento en donde pueden los restantes
grupos acordar con ella o indicar que modificarían y por
qué.
- Una vez que todos los grupos están de acuerdo con los

datos de la tabla, el docente les realiza, para que
respondan entre todos, las siguientes preguntas:
b) Las preguntas ( para esta actividad se dispone de 15
minutos)
(Las preguntas quedarán proyectadas en el pizarrón para
que todos puedan verlas)
b1) ¿Cuáles son las variables con las que estamos
trabajando?
b2) ¿Cuál es la variable dependiente?, Por qué? ¿Y la
independiente? ¿Cómo se dan cuenta?
b3) ¿Es posible que c sea 0? ¿En qué caso? ¿Qué significa
eso para Martín?
b4) ¿Cuál es la fórmula matemática que les permitió
encontrar el costo?
b5) Si ahora por 5 hs de trabajo cobra $ 200, ¿Cuánto
cobrará por 3 hs?, ¿estamos hablando de la misma
fórmula? ¿Por qué?
La intencionalidad de las preguntas es lograr una
sistematización de la información que los lleve a identificar cada
una de las variables que intervienen y también la “fórmula”.
En esta instancia, antes de pasar a la parte c) los alumnos van
escribiendo las respuestas y fórmulas obtenidas, en sus
carpetas.
c) La representación ( para esta parte de la actividad se
dispone de 20 minutos)
Para la realización de la siguiente actividad se requiere
que los alumnos enciendan sus computadoras e inicien el
programa GeoGebra

• Abrir la Guía de Referencia Rápida de GeoGebra para
disponer de las orientaciones necesarias.
• Iniciar GeoGebra y seleccionar la vista ‘álgebra y
gráficos’.
• Los alumnos, de manera individual, representarán
en GeoGebra los pares de valores encontrados en la
tabla (que se corresponderán con los puntos).
• Luego, utilizando la opción recta que pasa por dos
puntos, marcan el primero y luego el último punto
graficado ( aquí verán realmente que queda
determinada una recta)
• Una vez obtenida la gráfica, el docente indicará a los
alumnos con el botón derecho del mouse, tocando la
recta, elegir ecuación y = ax+b.
• Les pedimos ahora que representen los nuevos los
puntos encontrados en b5) y encuentren la recta uniendo
los dos puntos. Con el botón derecho volvemos a elegir
ecuación.
El docente luego que todos realizaron esta actividad, hace lo
mismo proyectándolo con el cañón para que todos comparen y
verifiquen lo obtenido.
Actividad de Cierre
El docente organiza nuevamente la puesta en común.
Les pregunta a cerca de las variables independiente y
dependiente y analizan el caso del costo 0, y su significado.
Comparan la fórmula que encontraron en la parte b4) con la
obtenida en Geogebra, lo mismo realizan con la recta obtenida
en b5).
Se comparan ahora ambas rectas y se realiza el análisis de la
inclinación de cada una de ellas.

A partir de la puesta en común se define:
- Función de proporcionalidad f(x) = a.x ( a ≠ 0 )
Las gráficas de estas funciones son rectas que contienen
al origen de coordenadas.
El número a y su relación con la proporcionalidad y su
asociación con la inclinación de la recta.
Les recuerda además que para las próximas 3 clases también
deberán traer la netbook cargada para poder seguir trabajando
con ella.
Recursos
Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pc. Pizarrón, proyector
Guía de actividades
Bibliografía: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.
Traducción de Liliana Saidon
Evaluación
La observación directa del docente es fundamental en esta etapa
inicial de la secuencia para orientar el razonamiento que les
permita completar la primera tabla, y responder a las preguntas.
Participar como oyente en los grupos de trabajo le permite al
docente, de alguna manera anticipar si fueron comprendidas las
consignas, y además poder ver como interactúa cada uno de los
integrantes del grupo, es decir que participación tiene cada uno.
La formulación de preguntas está orientada a provocar la
argumentación de las respuestas dadas y en particular la
respuesta al problema planteado.
Actividades
Encuentro 2
Tiempo previsto: 80 minutos
Apertura
El docente retoma el problema inicial trabajado la clase anterior,
y para continuar el relato, les comenta que a Martín, le está

yendo muy bien en su emprendimiento, y ya tiene muchos
clientes que viven en diferentes zonas de la Ciudad, con lo cual
para llevar y traer las computadoras y no perder su tiempo,
contrató un servicio de motos que cobra $ 50 para llevar y traer
las computadoras, ese valor, Martín se los cobra a sus clientes.
Con esta información, el docente les solicita a los alumnos que
trabajen en parejas como lo hicieron la clase anterior, que
piensen y luego anoten en la carpeta cuál es la nueva fórmula
que utiliza Martín, y que realicen una tabla con los costos de 10
primeras horas de trabajo.
Desarrollo
Cada pareja de alumnos comienza a pensar como modificar la
fórmula anterior, y realizar una tabla*
en la carpeta como la
siguiente:
Tiempo ( en hs) Costo ( en $ )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
Se les pide a los alumnos que luego de hacerla en la
carpeta, enciendan sus computadoras e inicien Excel, y con
la fórmula nueva obtenida en la carpeta, completen la misma
tabla en sus computadoras.
Mientras tanto y en toda la actividad el docente pasea por los
bancos escuchando las posibles soluciones.
Transcurridos 15 minutos les pide a las diferentes parejas que
expongan cuál ha sido la fórmula que han encontrado y

acuerden o refuten los diferentes resultados obtenidos,
fundamentándolo.
También se corrobora que todos hayan realizado la tabla y
acuerden sus resultados, indicando que alguno de los grupos la
escriba en el pizarrón.
Una vez que todos están de acuerdo que la fórmula de la función
lineal es f(x) = 25x+50, les pide a los alumnos que cada uno en
sus computadoras, abra el GeoGebra y:
- Grafique la función hallada escribiéndola en el cuadro de
entrada : y = 25x + 50
Les pregunta si la configuración que tienen los ejes, les permite
ver la intersección de la recta con los ejes, de no ser así deberán
cambiar la configuración de uno o ambos ejes.
El docente sigue pasando por los bancos y ayuda a los alumnos
en caso que tuvieran alguna dificultad.
A continuación escribe las siguientes consignas en el pizarrón,
para que cada uno siga trabajando la misma función con
GeoGebra:
- Elijan 3 puntos: A que será el punto donde la recta corta
al eje x, B que será el punto donde la recta corta al eje y,
y C que será de coordenadas (0; 0)
- Indiquen las medidas de los segmentos formados y
, y analicen si existe alguna relación entre los valores
de los segmentos y la pendiente de la recta.
Puesta en común:
El docente realiza los mismos pasos que los alumnos para
obtener la misma representación gráfica mostrándola con el
proyector.
Al iniciar la puesta en común, les pregunta a los alumnos las
diferencias que encontraron con esta nueva ecuación, y = 25x +
50 , y la anterior y = 25x

(Se espera que los alumnos indiquen que en la nueva ecuación
están incluidos los $50 para el retiro y entrega de las
computadoras.)
Entonces podemos decir que a ese valor se lo llama ordenada al
origen, ( en nuestra ecuación de la recta es b ) y es el punto
donde la recta corta al eje y, por lo tanto sus coordenadas para
nuestro problema son ( 0 ; 50)
Luego les pregunta si pudieron encontrar alguna relación entre
las medidas de los segmentos trazadas y la pendiente de la
nueva recta.
Como mide 2 y mide 50, si dividimos por , ese
valor lo llamamos pendiente (a igual que la función de
proporcionalidad, allí recuerden que b, la ordenada al origen
es cero) y representa cuanto varía f(x) por cada unidad que
aumenta x y gráficamente está asociada a la inclinación de la
recta.
Por lo tanto 25 es a, nuestra pendiente.
El punto A que marcamos, es la raíz de la función, es el valor
donde la recta corta al eje x. ¿Si tuviéramos que calcularlo
teniendo la ecuación de la recta y no su gráfica, podríamos
calcularlo?, les pide que lo prueben en sus carpetas, y a
continuación un grupo lo realiza en el pizarrón.
Ese valor que encontraron para nuestro problema tiene algún
significado? ¿Por qué?
Los alumnos indicarían que como el valor hallado es -2 Martín
no podría trabajar -2 hs, por lo tanto para nuestro problema solo
podríamos tomar los valores mayores o iguales que cero.
Actividad de Cierre
Para el cierre de esta segunda clase, el docente les indica a los
alumnos que deben realizar la tarea que subió al grupo de
Edmodo, y también por la misma plataforma deben cargar la

resolución de la misma, en la fecha que está estipulada en la
consigna.
También les indica que si tienen alguna duda, disponen del
espacio del grupo de Edmodo, para realizar todas las consultas
necesarias.
Guía de actividades para Edmodo:
(Esta es la consigna que verán los alumnos al entrar a Edmodo,
teniendo en cuenta de los alumnos tienen clase martes,
miércoles y jueves:)
La siguiente actividad, deberá ser entregada como máximo el día
domingo, ya que el lunes ya no estará disponible para su
entrega. Tienen desde hoy y todo el fin de semana para
realizarla.
( La actividad pedida, que está escrita a continuación, estará en
un archivo de Word como adjunto)
Lee y completa las siguientes actividades:
1) Sea y = 4x + 3
a) Completá el siguiente cuadro:
Ordenada al origen:
Pendiente:
Raíz:
f( -1 )
Si f(x) = 19, escribí cuál es el
valor de x que lo verifica:

b) Realizá la representación gráfica correspondiente,
utilizando alguno de los programas vistos en clase,
GeoGebra, Graphmatica, (tené en cuenta que será
conveniente poner en la vista, que se muestre la
cuadrícula), luego copiala como imagen, y pegala
aquí.
c) Verificá con la gráfica obtenida, si las respuestas que
escribiste en a) son correctas.
2) Sea y = - 4x + 3
a) Completá el siguiente cuadro:
Ordenada al origen:
Pendiente:
Raíz:
f( -1 )
Si f(x) = 19, escribí cuál es el
valor de x que lo verifica:
b) Realizá la representación gráfica correspondiente,
utilizando alguno de los programas vistos en clase,
GeoGebra, Graphmatica, (tené en cuenta que será
conveniente poner en la vista que se muestre la
cuadrícula), luego copiala como imagen, y pegala
aquí.
Imagen obtenida
Imagen obtenida

c) Verificá con la gráfica obtenida, si las respuestas que
escribiste en a) son correctas.
3) Analizá el comportamiento de ambas rectas, es decir si
crecen o si decrecen, y si ese comportamiento tiene
alguna relación con la pendiente.
Escribí tus conclusiones aquí:
4) Guardá este archivo con el siguiente nombre: Act 2_de_
(tu nombre y apellido), y a continuación cárgalo en la
tarea pedida en Edmodo.
Recursos
Herramientas disponibles: lápiz , carpeta, Pc, Procesador de
texto, procesador de cálculo, Pizarrón, proyector
Bibliografía: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.
Guía de Actividades
Otros: Edmodo
Evaluación
El docente evaluará:
La interpretación de las consignas.
El trabajo colaborativo y la discusión entre pares.
La forma y uso del software durante la realización individual,
ubicación de los puntos, la gráfica de la recta, los segmentos.
Uso de las herramientas y comandos.
La validación y argumentación para la nueva fórmula de la
ecuación de la recta, y las conclusiones que hayan obtenido para
la tarea pedida.
Uso del precesador de cálculo trabajando con fórmulas.
Conclusiones:

El cumplimiento de la tarea en tiempo y forma.
Actividades de cierre
Encuentro 3
Horas: Tiempo previsto 80 minutos
Apertura
Tiempo parcial 20 minutos
Puesta en común: Se inicia la clase, retomando y discutiendo las
respuestas obtenidas por los alumnos en la actividad realizada
en Edmodo, hasta obtener acuerdos.
Además se hace nuevamente y entre todos, el análisis de
crecimiento o decrecimiento de cada una de las rectas
propuestas en la tarea y su relación con la pendiente.
El docente a través de e-Learning Class, les realiza a cada uno
de los alumnos las devoluciones con las correcciones de los
trabajos realizados en Edmodo.
Luego el docente les pregunta si al recibir la corrección de la
tarea, y habiendo realizado la puesta en común, tienen todavía
alguna duda, y en caso que surjan las debate entre todos.
Desarrollo
El docente les propone a los alumnos que se agrupen de a tres o
cuatro alumnos, se acerca a uno de los grupos y les entrega una
hoja de papel para que anoten número de grupo e integrantes y
que lo vayan pasando para que cada grupo haga lo mismo y al
final le entreguen la lista con los grupos conformados.
Una vez armado los grupos, les pide que acuerden por grupo, y
piensen y escriban en sus carpetas, las ecuaciones de dos
rectas, una que sea creciente, y otra decreciente (no
necesariamente en ese orden). Luego les pide que enciendan

sus computadoras, abran el Graphmatica y que grafiquen cada
una de ellas, las copien como gráfico BMP color, y las peguen
en un archivo de Word;
Deberán quedar de la siguiente manera:
Gráfica 1
Gráfica 2
Una vez realizado, guarden el archivo con el nombre
Act3_A_(grupo nro ....) y un integrante de cada grupo se lo envía
al docente a través de E-Learning Class.
Una vez recibidos los archivos de todos los grupos, le reparte un
archivo a través de E-Learning Class a cada uno de los
integrantes de cada grupo cuidando no enviarle su trabajo al
grupo que lo creó.
Cada uno de los integrantes de cada grupo abre el archivo
recibido, y ahora debatiendo y acordando con su grupo, debajo
de cada una de las imágenes, deberán escribir:
( Las consignas estarán escritas en el pizarrón)

- La pendiente
- La ordenada la origen
- La raíz
- Si es creciente o decreciente
- La ecuación de cada una de las rectas.
Deberán además fundamentar cada una de las respuestas.
Al finalizar, guardan el archivo con el nombre (al nombre original
solo le agrega lo que está en color azul) Act3_A_(grupo nro...)
B_ (grupo nro....), y uno por grupo, se lo envían nuevamente al
docente a través de E-Learning Class
Mientras los alumnos realizan la actividad pedida, el docente
realiza un registro con que cada uno de los alumnos ha trabajado
y aportando al grupo.
Cierre
Tiempo parcial 20 minutos
El docente abrirá de a uno por vez de los archivos, (les
recordará a cada grupo que tienen las ecuaciones de las rectas
escritas en la hoja) y al proyectarlos en el pizarrón les pedirá al
grupo que creó las imágenes que observen las respuestas de
sus compañeros y fundamentando, indiquen si son correctas o
no, y hagan en caso de ser necesario las correcciones
correspondientes.
Recursos
Herramientas disponibles: lápiz y papel. Pc. Pizarrón, proyector,
E-Learning Class.
Guías de actividades
Bibliografía: - Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2.
Evaluación Final
Tiempo previsto: 80 minutos
La evaluacion final, se realizará a mediante un cuestionario,
(Quiz), utilizando E-Learning Class, que luego será corregido por

el docente.
Utilizando el E-Learning Class, el docente le envía a cada uno
de los alumnos un documento (donde está el enunciado de la
evaluación final, y la imagen asociada que les servirá para
analizar) y les indica que tienen disponible en E-Learnig Class,
el cuestionario (Quiz) “Los repuestos que vende Martín”, que se
realizará de manera individual, ( ver al final Quiz) y que luego
será corregido por el docente.
Documento para la evaluación final:
Algunos clientes de Martín, comenzaron a pedirle solo los repuestos sin requerir
su mano de obra. Martín entonces pensó qué valor de venta les pondría, ya que no
podía cobrarles solo el costo como hacía en las reparaciones y todos los repuestos
no tienen el mismo costo.
Después de mucho pensar, se le ocurrió una función lineal, donde las variables
son el precio de costo y el precio de venta, la gráfica que la representa es la
siguiente:

Quiz “ Los repuestos que vende Martín“

Bibliografía:
Pietrovzki, P. (2013). Clase 1: Las TIC como potenciadoras del trabajo matemático.
Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior
en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
Pietrovzki, P. (2013). Clase 2: “Cuando las TIC aportan a la construcción del
conocimiento matemático”. Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2.
Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio
de Educación de la Nación.
Pietrovzki, P. (2013). Clase 3: “Marcando el rumbo”. Propuestas Educativas II.
Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC.
Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
Pietrovzki, P. (2013). Clase 4: Ideas en acción. Matemática y TIC 2. Especialización
docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de
la Nación.
Pietrovzki, P.. (2013). Clase 5: “Anticipación para la implementación”. Propuestas
Educativas II. Matemática y
TIC 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires:
Ministerio de Educación de la Nación.
Pietrovzki, P. (2013). Clase 6: Matemática y TIC, cambios en la Evaluación.
Propuestas Educativas II. Matemática y TIC 2. Especialización docente de nivel
superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, Matemática. CICLO BÁSICO EDUCACIÓN
SECUNDARIA 1° y 2° / 2° y 3° Años. Ministerio de Educación. República Argentina.
Buenos Aires, octubre de 2011.
Pietrovzki, P. (2013). Secuencia N°1/ Secuencia N° 2 / Secuencia N°3. Propuesta
Educativa II. Matemática y TIC II. Especialización docente de nivel superior en
educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.

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