Este documento resume conceptos fundamentales de matemáticas para la PSU, incluyendo números y proporcionalidad, álgebra y funciones. Explica reglas de divisibilidad, grados de polinomios, productos notables, factorización de trinomios, números primos y compuestos, razones y proporciones directas e inversas, funciones y sus elementos, y conceptos básicos de geometría como ángulos y triángulos.

1. RESUMEN PSU MATEMÁTICAS
Números y Proporcionalidad
Álgebra y Funciones
lN : números naturales {1, 2, 3...}
Reglas de Divisibilidad
- 2 : si termina en 0 o en cifra par.
- 3 : la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
- 4 : sus dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4.
- 5 : si termina en 0 o en 5.
- 6 : si lo es por 2 y por 3 a la vez.
- 7 : la última cifra de la derecha se multiplica por 2 y se resta de las cifras restantes, si la diferencia es 0 o igual a 7, entonces es divisible.
- 8 : las tres últimas cifras son 000 o es múltiplo de 8.
- 9 : la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
- 10 : si termina en 0.
( )
Grado de un término: se suman los exponentes de sus letras.
Grado de un polinomio: se considera el grado del término más alto.
Productos Notables:
( ) =
( )( )
( )( )
( )( )
Factorización:
Trinomio : el producto de los dos factores hallados es c, la suma de los dos factores corresponde a b.
Trinomio de un cuadrado perfecto: Hallar la raíz del primer y segundo término.
Trinomio cualquiera: el recíproco del número que acompaña al primer

2. Números primos : son aquellos divisibles por 1 y por el mismo número.
{2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23...}
Números compuestos : son aquellos divisibles por 1, por el mismo y por otros números.
{4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}
* El 1 no es primo ni compuesto.
Teorema Fundamental de la Aritmética : Todo número compuesto se puede descomponer de manera única como el producto de números primos.
M.C.M. : El menor número natural que es múltiplo de cada uno de los números dados.
M.C.D. : El mayor número natural que divide a cada uno de los números dados.
lN0 : números cardinales {0,1,2}
Z : números enteros {-2, -1, 0,1}
Son todos los lN0 más su parte negativa.
Número par : 2p
Número impar : 2p+1
cuadrado se multiplica por trinomio completo y éste por el número que acompaña al primer cuadrado.
Ecuaciones: se encuentran tres tipos de soluciones o raíces.
a 0, tiene 1 raíz a y b = 0, infinitas
a=0 y b 0, no tiene
Interpretación Algebráica:
n° par
2x
es
=
n° impar
2x+1
mayor que
>
cuociente
a/b
Menor que
<
exceso de a sobre b
a-b
no es mayor
≤
la mitad
x/2
a lo más
≤
aumen
tado en
a+b
no es menor
≥
de, del

al menos
≥

3. Par
+
Par
=
Par
Par
+
Impar
=
Impar
Impar
+
Impar
=
Par
* Primos relativos : números cuyo M.C.D es 1.
Valor absoluto de un entero :
| x | x , si x ≥ 0
-x , si x < 0
Propiedades en Z :
Adición y sustracción : se realiza la operación conservando el signo del número mayor.
( a, b, c  Z)
Clausura : - (a + b)  Z - (a  b)  Z Asociativa : - (a+b)+c = a+(b+c)
- (ab)  c = a  (bc) Elemento neutro : - 0 + a = a
- a1 = 1a = a
Desigualdades e Inecuaciones
Tricotomía : si se tienen dos números reales entonces se cumple solo una de las siguientes propiedades. a > b ; a = b ; a < b
Transitiva: a, b, c  lR, entonces
i) a < b y b < c  a < c
ii) a > b y b > c  a > c
Propiedad: al multiplicar por una cantidad mayor que 0, la desigualdad se mantiene, si la cantidad es menor que 0, la desigualdad cambia.
Propiedad: al transformar la desigualdad a sus respectivos recíprocos, cambia el signo, solo si estos son números positivos.
Propiedad:
a, b  lR+, a < b /( ) =
a, b  lR-, a < b /( ) =

4. Elemento inverso: - a-a=-a+a=0
- no existen
Inversos multiplicativos en Z.
Conmutativa : - a + b = b + a
- a  b = b  a
Distributiva : - a(b+c)=ab + ac
(Q) números racionales : todos aquellos números que pueden represetarse como fracción ( ) siendo a y b números enteros y b distinto de 0.
; a es el numerador y b el denominador.
Fracción propia : si | a | < | b |
Fracción impropia : si | a | > | b |
Equivalencia de números racionales
 ad = bc
Relación de orden: 
Número mixto :
Sistema de Inecuaciones: se resuelven las inecuaciones por separado y luego se intersectan las soluciones.
Propiedades del valor absoluto:
|x| 0 ; |-x| = |x| ; √ = |x|
Si a>0 [|x| = a (x = a v x = -a)]
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelve la inecuación (<, >) por separado |a + b|
(a+b) = x ; (a+b) = -x
y se unen los resultados.
Inecuaciones con igual signo = 
Inecuaciones con ≠ signo = 
Sistema de coordenadas cartesianas y Ecuaciones Lineales en dos variables:
y (ordenadas)
II I
x (abscisas)
III IV
Ecuación de la Recta: y= mx + n

5. Opuesto aditivo de
Recíproco o inverso de = [ ] =
Finito: cantidad limitada
De cifras decimales.
Decimal Infinito periódico:
tiene una parte entera más el periodo
Infinito semiperiodo:
parte entera, antepe-
riodo y un periodo.
Ej. 0,1 = ; 0,01 =
Ej. ̅
Ej. ̅
(Q*) números irracionales : no pueden representarse como fracción, no son exactas ni periodicos.
Ej. √ √ , etc.
Donde m es la pendiente y n el coeficiente de posición. (punto en el que intersecta al eje Y)
Dados los puntos (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente se calcula así:
m =
Casos :
m<0 n>0 m>0 n>0
m>0 n=0 m=0 m=∞
* Se ve de izquierda a derecha.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos : (x1,y1) y (x2,y2)
Ecuación de la recta dado punto- pendiente: (x1,y1)
y - y1 = m(x - x1)

6. Aproximaciones :
- Por defecto : más pequeño que el número original.
- Por exceso : más grande que el número original.
Redondeo : la cifra de orden n se deja como está si la siguiente cifra es menor que 5, y si es mayor o igual a 5 se aumenta una unidad.
Truncamiento : se eliminan las cifras posteriores a la coma.
Cifras decimales: 1, 2 3 4 5 6
1: unidad
2: décima
3: centésima
4: milésima
5: diez milésima
6: cien milésima
Notación Científica : el producto entre un número entre 1 y 10 y una potencia de 10. El exponente de dicha potencia corresponde a la cantidad de ceros.
Ej: 10  = 0,02
Ej: 10  = 100
Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares:
Paralelas: Cuando las pendientes de las rectas son iguales y sus coeficientes de posición distintos.
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2
* Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.
Coincidentes: Cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición también.
Perpendiculares: L1  L2 cuando m1·m2 = -1.
Distancia entre dos puntos:
d =√( ) ( )
Ecuación del punto medio:

7. (lR) números reales : Q  Q*
Q*
+
Q*
=
Q*
Q*

Q*
=
depende
Q*
:
Q*
=
depende
Razones y Proporciones
Razón : comparación entre dos cantidades mediante una división.
 a : b = K , donde a es el antecedente y b el consecuente.
Proporción : igualdad de dos razones.
 a : b = c : d , donde a y d son extremos, y b y c son medios.
Teorema Fundamental:
 a  d = b  c
√ √ √  √
Potenciación:
BASE
exponente
positiva
negativa
par
+
+
impar
+
-
Propiedades:


 

 ( ) 


Radicación:
Suma y resta de raíces: Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes.
Producto y división de raíces:
Del mismo índice:
lR
Q
lN+
0
lN-
Q*

8. Serie de razones : igualdad entre más de dos razones.
Proporción discontinua : todos los términos son distintos y cada uno de estos se llaman cuarta proporcional.
Proporción contínua : sus términos medios o extremos son iguales; el término repetido se llama media proporcional y los no repetidos, tercera proporcional.
Proporción directa :
Línea recta que
pasa por el
origen.
Proporción inversa : a  b = k
y
Corresponde a
una hipérbola
equilátera.
√ √ √ √ √(  ) (  ) √  √  √√ √ √
De distinto índice:
Raíz de una raíz: Se multiplican los índices.
Potencia de exponente racional:
Propiedad: √ √ √
Propiedad: √ √ √
Racionalización de monomios irracionales: multiplicar por el mismo número ambas partes de la fracción.

9. Proporción compuesta : se deja la incógnita al medio y si es p.directa se multiplica cruzado; si es p.inversa se multiplica hacia al lado y se forma una ecuación.
Porcentaje e Interés:
a% =
a% del b% de N =  
Porcentajes Especiales :
4%
5%
10%
20%
25%
40%
60%
75%
80%
Racionalización de binomios irracionales: utilizar suma por diferencia en ambas partes de la fracción.
Producto Cartesiano : Dados los conjuntos A {1, 2, 3} y B {s, f} entonces, (AB)={(1s),(1f),(2s),(2f),(3s),(3f)}
Relación : subconjunto de un producto cartesiano que cumple una o más condiciones. Por ejemplo, en un dado {(x,y)  ss / 2x = y} , {(1,2), (2,4), (3,6)}.
Funciones : A cada elemento de A le corresponde uno de B. AB ; f(x) = y
Conjunto A : Dominio (Dom) o conjunto de partida. Es la variable independiente (x) que contiene las preimágenes que se calculan reemplazando la x por el valor dado. Conjunto B : Codominio o conjunto de llegada. Recorrido : (Rec) todos los valores posibles de f(x). Es el subconjunto del codominio que contiene las imágenes o variables dependientes (y), que se calculan igualando al valor que se pide. (y o f(x) = n)
Para calcular el dominio de una función, se busca la manera en que ésta no de un número real.

10. Problemas de compra y venta :
$ de venta = $ de compra + ganancia (%)  $ de compra
$ de venta = $ de compra – pérdida (%)  $ x
Ganancia = $ final – $ invertido
Interés Simple : Cf = Ci (1 + n)
I. Compuesto :Cf = Ci ( )
interés en fracción o decimal
n número de periodos (días, meses, años, etc.)
* Recordar :
= cuociente +
Dividendo = divisor  cuo + resto
¿Qué me falta para echar a perder la máquina? Para calcular el recorrido se iguala la función a y, despejando x y luego ver qué número no puede incluirse dentro de éste.
¿Qué número nunca va a salir de la máquina?
Clasificación de funciones :
Inyectiva: imagen de B es una de A (no más de una) Epiyectiva: Cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, es decir no hay elementos de B solos. Biyectiva: Inyectiva y epiyectiva a la vez.
Función Inversa : se despeja la X, y luego a de éste resultado intercambiar la x por la y, y la y por la x; la función obtenida es inversa a la función dada.
Evaluar Funciones: x se reemplaza por el valor dado.

11. Geometría
Álgebra y Funciones
Ángulos y Triángulos:
360°= 2
Agudo: más de 0° y menos de 90° Obtuso: + de 90° y - de 180°
Consecutivos: tienen el vértice y un lado común Adyacentes: 180°, tienen el mismo vértice, un lado en común y estos sobre una recta.
Opuestos por el vértice: =
Complementarios: suman 90°
Suplementarios: suman 180° Alternos: miden lo mismo Correspondientes: son iguales Colaterales: son suplementarios
Triángulos: la suma de dos lados es siempre mayor que el tercero.
La diferencia positiva es siempre mayor que el tercer lado. Sus ángulos interiores suman 180°. Sus ángulos exteriores suman 360°, un ángulo exterior es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores.
Aspectos a estudiar en el gráfico de una función :
Intersección con el eje X: igualar la función f(x) o y a cero, los valores de x son los puntos que se intersectarán al este eje.
Intersección con el eje Y: reemplazamos el x de la función por 0 y el resultado es el punto de intersección con el eje y.
Función Afín (ax + b): no pasa por el origen. Intersecta en (0,b)
a>0 a<0
Función Lineal (ax + (b=0)): pasa por el origen (0,0). El dominio y el recorrido son todos los reales.

12. Bisectriz : incentro (2 ángulos =’s)
Altura :otrocentro (ángulo de 90°)
Transversal de gravedad : centro de gravedad (lados iguales)
Simetral : circucentro (h + t)
Área: √s(s-a)(s- )(s-c)
s= perimetro/2
Equilátero: (la o)2√ 4; h = la o√ 2
Euclídes: a2= c 2= c 2= 
h = a c
En un triángulo isósceles: h=t=b=s
* tg: divide en el punto medio.
√ 2 4ac2a
Función Identidad ((a=1)x): asociada a la proporción directa.
Función Cuadrática (ax2+bx+c): forma e ará ola,con a ≠ 0, cuyo ominio son todos los reales y su recorrido desde el vértice (hacia arriba o abajo) los puntos de intersección con el eje x corresponden a las soluciones de la ecuación dada. Concavidad: a acompaña al x2, si a > 0, a = , si a < 0, a = .
Intersección con el eje Y: si c>0 entonces la parábola se ubica por encima del eje x, si c<0, la parábola se ubica por debajo del eje x.
Intersección con el eje X: factorización o la siguiente fórmula.
Discriminante ( 2-4ac): determina en cuántos puntos corta al eje x.
C
D
B
A

13. Trigonometría:
sen
Cos
tg
Cotg
sec
cosec
co
ca
coca
caco
ca
co
Identidades Fundamentales:
 Sec = 1cos
 cosec = 1sen
 tg = sen cos
 cotg = cos sen
 sen2 cos2 =1
 sec2 =1 tg2
 cosec2 =1 cotg2
F(x)
30
45
60
sen
12
√22
√ 2
cos
√ 2
√22
12
tg
√
1
√
Congruencia: trazos de igual longitud y ángulos de igual medida.
LLL: tres la os omólogos =’s. LAL: el ángulo formado entre sus la os omólogos =’s, es =.
x= x1 x22= 2a 2a, 4ac 24a 2a, ( 2a) (x) (x) =0, ( 2a)
Δ > 0 = 2 soluciones reales y ≠
Δ=0 =2 soluciones iguales (1 to)
Δ < 0 = no lo toca (soluciones imaginarias y ≠)
Eje de Simetría: divide a la parábola en dos ramas congruentes.
Vértice: hay 3 formas para calcular el vértice (x,y) los cuales representan el máximo o el mínimo de la parábola.

14. ALA: os ángulos =’s y el la o comprendido entre ellos es el h. LLA: os ángulos omólogos =’s y el ángulo opuesto al mayor es =. Semejanza: (AA) con dos ángulos de igual medida y que sus tres lados sean proporcionales. La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes = razón entre elementos homólogos.
La razón entre las áreas de dos triágulos se. = razón entre sus e.homólogos al cuadrado.
Equivalencia: igual área.
Polígonos:
d = n-3 (n° diagonales desde un vértice)
D = ( ) (n° total de diagonales)
Si =180 (n-2) (suma ángulos interiores de un polígono)
Cuadriláteros: Sus ángulos interiores y exteriores suman 360°
Se pueden trazar dos diagonales.
Función Valor Absoluto (|x|): su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos más el 0.
|x| a -a x a
|x|=a
–a=x=a
Función Parte Entera ([x]): su dominio son todos los números reales y su recorrido todos los enteros. Solo se considera la parte entera de la función.
Función Raíz Cuadrada (√x): el dominio y el recorrido son todos los reales positivos y el cero. Función creciente (lenta).

15. m= 1 2 2
* P.Oblicuos (Rombo, romboide): lados y ángulos opuestos son congruentes, ángulos consecutivos son suplementarios, diagonales se dimidian.
Rombo: diagonales no congruentes, perpendiculares y bisectrices. Romboide: diagonales no congruentes, no perpendiculares, no bisectrices.
* P.Rectos: (Cuadrado, rectágulo): ángulos interiores 90° Cuadrado: diagonales congruentes, perpendiculares y bisectrices.
Rectángulo: diagonales congruentes, no perpendiculares y bisectrices.
* Trapecios: escalenos (no paralelos desiguales), isósceles (no paralelos iguales, basales iguales) y rectángulos (2 a.rectos)
* Deltoides: diagonales son perpendiculares, la diagonal mayor es bisectriz y dimidia a la diagonal menor.
* Para encontrar la intersección con el eje Y, hay que igualar X a 0. * Para encontrar la intersección con el eje x, hay que igualar y a 0.
Función Exponencial (ax): la función es siempre creciente (rápido) y se encontrará siempre sobre el eje x, en el primer y segundo cuadrante. Su dominio son todos los reales y el recorrido todos los reales positivos.
a>1 0<a<1
f(x) = k  ax, donde k = cantidad inicial
a = crecimiento x = tiempo

16. = 1 22
Perímetro: 2a+2b
En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de los la os o uestos son =’s.
Geometría de Proporciones:
Teorema de Apolonio: au=
a b
u v
A B C
División Interior: BB =
División Exterior: B =
División Áurea: B= BB =1,618.
Función Logarítmica (logax): la función logaritmica tiene una base mayor que uno (crecimiento lento), es inyectiva, los números negativos no tienen logaritmo y su dominio son los reales positivos y el recorrido todos los reales. (intersección en el eje x es el punto (1,0) en ambas funciones).
x>0 x<0 0<a<1
Propiedades:
 logaa=1
 loga1=0
 loga( c)= loga logac
 loga( c)= loga - logac
 loga( c)=c loga
 loga√ n= 1n loga
 loga = logc logca
 aloga =
Estadística y Probabilidades:
Población o universo: total de individuos u objetos.

17. B=
A B C D
División Armónica: el total dividirlo en la suma de las razones dadas.
BB = =
Teorema de Thales: paralelas!
A C
= B
B= B D
A B
C D
̅ ̅
Muestra: grupo de la población. (Si es +50% es representativa).
Frecuencia Absoluta: n° de veces que se repite el dato.
Medidas de Tendencia Central
Media Aritmética: promedio; se suman todos los valores y se divide por el total de casos.
Mediana: está en el centro de una distribución. Se ordenan los valores y se divide el total por 2.
Moda: lo que más se repite.
Marca de clase: valor medio de cada intervalo.
Medidas de Dispersión
Desviación Media: el valor absoluto de las distancias hacia la media, dividido en el total de valores entregados.
Desviación Estándar: la raíz cuadrada de la distancia entre la media y los valores al cuadrado, dividido en el total de casos.

18. A D
B E
C F
Circunferencias:
· Perímetro: 2 p r
· Área del círculo: p r2
· Á. Sector circular: r2 60
· P. del sector circular: 2 r 60 +2r
· Longitud de Arco: 2 r 60
· Ángulo del centro: arco=ángulo.
<AOC = 2<ABC
√( ̅) ( ̅) n
Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):
Intervalos [x, y[
Frecuencia Relativa: porcentajes de cada f.absoluta.
Frecuencia Absoluta Acumulada F.A. + la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa (% de la frecuencia relativa del intervalo + la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores).
Gráfico circular: los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados
Probabilidades: 0<p(x)<1, se representa en % o fracción.

19. B= B 2 Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.
= -B 2
PA  PC = PB  PD
PB  PA = PD  PC
Laplace: casos a ora lescasos osi les
Suceso Imposible: 0
Suceso Seguro: 1
Sucesos Independientes: producto de ambas p(x).
Probabilidad Total: p(x) de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Si los eventos son excluyentes (A  B = ):
P(AB)=P(A)+P(B)
Probabilidad Condicionada:
Con reposición: Los eventos son incluyentes si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A:
P(AB)=P(A)P(B)

20. PC2 = PB  PA
Ángulos inscritos miden lo mismo
El ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito.
olución etos
Sin Reposición:
P(AB)=P(A)P(B/A)
* Para saber cuántos elementos saldrán en un espacio muestral de un diagrama de árbol: