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Iniciación a
la Resistencia de los Materiales
•TENSIONES Y
DEFORMACIONES EN
MATERIALES ELÁSTICOS
•de J.A.G. Taboada
Texto de referencia:
PARTE 1 : Resistencia
Objeto:
COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS
DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE
MATERIALES.
CAPITULO III:
VIGAS
---------
DIAGRAMAS DE
SOLICITACIONES
Lección 6:
2011
Lección 6 :
• 6.1 .- Definiciones y generalidades.
• 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación
entre ellas.
• 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad.
• 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante,
momento flector. Convenio de signos
• 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales,
cortantes y momentos flectores.
• 6.6 .-Concepto de deformada o elástica.
2 Acciones permanentes
• 2.1 Peso propio
• 1 El peso propio a tener en cuenta es el de los elementos estructurales, los cerramientos y elementos
• separadores, la tabiquería, todo tipo de carpinterías, revestimientos (como pavimentos, guarnecidos,
• enlucidos, falsos techos), rellenos (como los de tierras) y equipo fijo.
• 2 El valor característico del peso propio de los elementos constructivos, se determinará, en general,
• como su valor medio obtenido a partir de las dimensiones nominales y de los pesos específicos
• medios. En el Anejo C se incluyen los pesos de materiales, productos y elementos constructivos típicos.
• 3 En el caso de tabiques ordinarios cuyo peso por metro cuadrado no sea superior a 1,2 kN/m2 y cuya
• distribución en planta sea sensiblemente homogénea, su peso propio podrá asimilarse a una carga
• equivalente uniformemente distribuida. Como valor de dicha carga equivalente se podrá adoptar el
• valor del peso por metro cuadrado de alzado multiplicado por la razón entre la superficie de tabiquería
• y la de la planta considerada. En el caso de tabiquería más pesada, ésta podrá asimilarse al
• mismo valor de carga equivalente uniforme citado más un incremento local, de valor igual al exceso
• de peso del tabique respecto a 1,2 kN por m2 de alzado.
• En general, en viviendas bastará considerar como peso propio de la tabiquería una carga de 1,0 kN por
cada m2 de superficie construida
3 Acciones variables
• 3.1 Sobrecarga de uso: La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por
razón de su uso. La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por razón de su uso.
6.1 .- Definiciones y generalidades
Vigas
Pilares
Cimentación
Fibra media
Plano medio
Prisma elemental
Ley de Hooke
Pº Saint Venant
Hip. Bernouilli
Rigidez relativa
Pº Superposición
No ∆secciones br
6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas.
Relación entre ellas.
Cargas
Concentradas
Repartidas
Permanentes
Sobrecargas
Reacciones
Representación Símbolo Ecuaciones
Existe en el apoyo:
MF, N, V
Empotramiento
No existen:
δv, δh, Φ
Articulado fijo
Existe en el apoyo:
N, V, Φ
No existen:
δv, δh, MF
Representación Símbolo Ecuaciones
Existe en el apoyo:
V, δh, Φ
Articulado móvil
No existen:
δv, Fh, Mf
Articulación intermedia
Existen en ella:
N, V, Φ
No existen:
δv, δh, Mf
GRADO DE HIPERESTATICIDAD
Es la diferencia existente en un sistema entre el
número de reacciones incognitas a resolver y la
cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para
su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos
singulares).
El Grado de Hiperestaticidad indica el número de
ecuaciones de deformación que es necesario plantear
para resolver el sistema.
G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.
6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo.
Estabilidad.
• Resolución de una viga:
– hallar las reacciones en los apoyos.
– NR = nm + 2·nf + 3·ne
– Siendo
• NR el nº de reacciones a calcular
• nm el nº de articulaciones móviles
• nf el nº de articulaciones fijas
• neel nº de empotramientos
– Si NR es igual a 3 el sistema es isostático
Solicitación
• Esfuerzo Normal
• Esfuerzo Cortante
• Momento Flector
• Momento Torsor
Efecto
⇒ Alargamiento
⇒ Deslizamiento
⇒ Giro de Flexión
⇒ Giro de Torsión
N
V
Mf
Mt
δ
γ
Φ
θ
6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante,
momento flector, momento torsor.
Solicitación
• Esfuerzo Normal
• Esfuerzo Cortante
• Momento Flector
• Momento Torsor
N
V
Mf
Mt
6.4 .- Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos
+
+
+
6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.
• Los diagramas de esfuerzos son la representación
gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo
largo del prisma mecánico.
• En ellos se representan los puntos de máximos y por
tanto se detectan las secciones en donde se producen
para poder proceder a su análisis.
• El Objetivo es diseñar una estructura que resista el
punto donde se produce una mayor Solicitación.
6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores.
• Relación entre “q”, “V”, “Mf”:
Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo
Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte.
Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo
Si q = 0 en un tramo => V = Cte.
El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf.
La carga unitaria es la pendiente del diagr. V
Si hay una carga concentrada V varía brúscamente
Para tener un ∆ brúsca del Mf ha de estar aplicado
Mf
Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº
sup)
 dx 
q
Mf + dMfMf
V+dV
V
ΣFv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx
ΣMf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx
despreciando – q·d2
x / 2
FORMULAS UNIDADES
A B Concepto Simbolo Valor Unidades
Carga Vertical P = 3.000 Kg
P Carga Horizontal Fh = 0 Kg
L Carga a Flexión M = 0 Kg∙cm
Longiud L = 600 cm
Canto sección h = 60 cm
N = 0 Base sección b = 12 cm
Módulo Elasticidad E = 2.100.000 Kg/cm2
Momento Inercia Iz = 216.000 cm4
V = +P Módulo Poisson µ = 0,30 -
Reacciones
Ra = P Ra = 3.000 Kg
M = -PL Ha = 0 Ha = 0 Kg
Ma = -PL Ma = -1.800.000 Kg∙cm
Sección 1
M = 0 x = 0 en B x = 600 cm
0< x < L
N = Ha = 0 Nx = 0 Kg
A B V = P Vx = 3.000 Kg
M = - P∙x Mx = -1.800.000 Kg∙cm
SOLICITACIONES Y DEFORMADA
VALORES
-
+
6.6 .-Concepto de deformada o elástica.
• Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones
exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico.
• Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el Mf es la
pendiente de la tangente en cada punto.
r
dx
dφ
y
r / dx = y / dx· ε
ε = y / r
σ = ε·E = (y / r) ·E
σ / (y ·E) = 1/r
 dx dx· ε 

y


r

Mf = E·Iz / r
Mf / E·Iz = 1/ r
E·Iz : Rigidez a Flexión :
Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse.
Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (Iz)
Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse.
Mf = Σ(σ·y·dS)
= E/r · Σ(y2
·dS)
= E·Iz / r
σ / (y ·E) = 1/r
Deformada de un prisma mecánico
Viga apoyada
ΣFH = 0
ΣFV = 0
ΣMA = 0
L/2 L/2
A
B
HA = 0
RA + RB = P
1/2 P·L -RB ·L = 0
Hoja de cálculo de
Microsoft Excel
Pórtico
ΣFH = 0
ΣFV = 0
ΣMA = 0
HA = 0
RA + RB = P
1/2 P·L -RB ·L = 0
L/2 L/2
A
B
Resolución de Pórtico
D
A
C
B
L
L
I
I I
P
D
A
C
B
L
L
I
I I
P
Resolución de Pórtico
ΣMF = 0
ΣFV = 0
ΣFH = 0
M1 = HB·x = 0 0 < x < L
M2 = RB·x 0 < x < 1/2L
M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L
M4 = RB·L - P·1/2·L = 0 0 < x < Lx
x
x
x
RB
RA
HA
P = RA + RB
RA = ½·P
RB = ½·P
HA = 0
+
-
L/2
A
B
N1 = RB
-
-
+
DC
L
L
P
-
-
M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x
V1 = 0
Sección1 => x = 0 en B
M1 = 0
N2 = 0
V2 = - RB
Sección2 => x = 0 en D
M2 = RB · x
N3 = 0
V3 = P - RB
Sección3 => x = 0 en E
N4 = RA
V4 = HA = 0
Sección4 => x = 0 en A
M4 = HA · x= 0
RA = ½·P
RB = ½·PHA = 0
L > x > 0
½·L > x > 0 ½·L > x > 0
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07prismas solicitaciones deformada

  • 1. Iniciación a la Resistencia de los Materiales •TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS •de J.A.G. Taboada Texto de referencia: PARTE 1 : Resistencia Objeto: COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE MATERIALES. CAPITULO III: VIGAS --------- DIAGRAMAS DE SOLICITACIONES Lección 6: 2011
  • 2. Lección 6 : • 6.1 .- Definiciones y generalidades. • 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas. • 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad. • 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector. Convenio de signos • 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores. • 6.6 .-Concepto de deformada o elástica.
  • 3. 2 Acciones permanentes • 2.1 Peso propio • 1 El peso propio a tener en cuenta es el de los elementos estructurales, los cerramientos y elementos • separadores, la tabiquería, todo tipo de carpinterías, revestimientos (como pavimentos, guarnecidos, • enlucidos, falsos techos), rellenos (como los de tierras) y equipo fijo. • 2 El valor característico del peso propio de los elementos constructivos, se determinará, en general, • como su valor medio obtenido a partir de las dimensiones nominales y de los pesos específicos • medios. En el Anejo C se incluyen los pesos de materiales, productos y elementos constructivos típicos. • 3 En el caso de tabiques ordinarios cuyo peso por metro cuadrado no sea superior a 1,2 kN/m2 y cuya • distribución en planta sea sensiblemente homogénea, su peso propio podrá asimilarse a una carga • equivalente uniformemente distribuida. Como valor de dicha carga equivalente se podrá adoptar el • valor del peso por metro cuadrado de alzado multiplicado por la razón entre la superficie de tabiquería • y la de la planta considerada. En el caso de tabiquería más pesada, ésta podrá asimilarse al • mismo valor de carga equivalente uniforme citado más un incremento local, de valor igual al exceso • de peso del tabique respecto a 1,2 kN por m2 de alzado. • En general, en viviendas bastará considerar como peso propio de la tabiquería una carga de 1,0 kN por cada m2 de superficie construida
  • 4. 3 Acciones variables • 3.1 Sobrecarga de uso: La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por razón de su uso. La sobrecarga de uso es el peso de todo lo que puede gravitar sobre el edificio por razón de su uso.
  • 5. 6.1 .- Definiciones y generalidades Vigas Pilares Cimentación Fibra media Plano medio Prisma elemental Ley de Hooke Pº Saint Venant Hip. Bernouilli Rigidez relativa Pº Superposición No ∆secciones br
  • 6. 6.2 .- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas. Cargas Concentradas Repartidas Permanentes Sobrecargas Reacciones
  • 7. Representación Símbolo Ecuaciones Existe en el apoyo: MF, N, V Empotramiento No existen: δv, δh, Φ Articulado fijo Existe en el apoyo: N, V, Φ No existen: δv, δh, MF
  • 8. Representación Símbolo Ecuaciones Existe en el apoyo: V, δh, Φ Articulado móvil No existen: δv, Fh, Mf Articulación intermedia Existen en ella: N, V, Φ No existen: δv, δh, Mf
  • 9. GRADO DE HIPERESTATICIDAD Es la diferencia existente en un sistema entre el número de reacciones incognitas a resolver y la cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos singulares). El Grado de Hiperestaticidad indica el número de ecuaciones de deformación que es necesario plantear para resolver el sistema. G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.
  • 10. 6.3 .- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad. • Resolución de una viga: – hallar las reacciones en los apoyos. – NR = nm + 2·nf + 3·ne – Siendo • NR el nº de reacciones a calcular • nm el nº de articulaciones móviles • nf el nº de articulaciones fijas • neel nº de empotramientos – Si NR es igual a 3 el sistema es isostático
  • 11. Solicitación • Esfuerzo Normal • Esfuerzo Cortante • Momento Flector • Momento Torsor Efecto ⇒ Alargamiento ⇒ Deslizamiento ⇒ Giro de Flexión ⇒ Giro de Torsión N V Mf Mt δ γ Φ θ 6.4 .- Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.
  • 12. Solicitación • Esfuerzo Normal • Esfuerzo Cortante • Momento Flector • Momento Torsor N V Mf Mt 6.4 .- Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos + + +
  • 13. 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores. • Los diagramas de esfuerzos son la representación gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo largo del prisma mecánico. • En ellos se representan los puntos de máximos y por tanto se detectan las secciones en donde se producen para poder proceder a su análisis. • El Objetivo es diseñar una estructura que resista el punto donde se produce una mayor Solicitación.
  • 14. 6.5 .- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores. • Relación entre “q”, “V”, “Mf”: Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte. Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo Si q = 0 en un tramo => V = Cte. El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf. La carga unitaria es la pendiente del diagr. V Si hay una carga concentrada V varía brúscamente Para tener un ∆ brúsca del Mf ha de estar aplicado Mf Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº sup)  dx  q Mf + dMfMf V+dV V ΣFv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx ΣMf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx despreciando – q·d2 x / 2
  • 15. FORMULAS UNIDADES A B Concepto Simbolo Valor Unidades Carga Vertical P = 3.000 Kg P Carga Horizontal Fh = 0 Kg L Carga a Flexión M = 0 Kg∙cm Longiud L = 600 cm Canto sección h = 60 cm N = 0 Base sección b = 12 cm Módulo Elasticidad E = 2.100.000 Kg/cm2 Momento Inercia Iz = 216.000 cm4 V = +P Módulo Poisson µ = 0,30 - Reacciones Ra = P Ra = 3.000 Kg M = -PL Ha = 0 Ha = 0 Kg Ma = -PL Ma = -1.800.000 Kg∙cm Sección 1 M = 0 x = 0 en B x = 600 cm 0< x < L N = Ha = 0 Nx = 0 Kg A B V = P Vx = 3.000 Kg M = - P∙x Mx = -1.800.000 Kg∙cm SOLICITACIONES Y DEFORMADA VALORES - +
  • 16. 6.6 .-Concepto de deformada o elástica. • Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico. • Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el Mf es la pendiente de la tangente en cada punto. r dx dφ y r / dx = y / dx· ε ε = y / r σ = ε·E = (y / r) ·E σ / (y ·E) = 1/r  dx dx· ε   y   r 
  • 17. Mf = E·Iz / r Mf / E·Iz = 1/ r E·Iz : Rigidez a Flexión : Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse. Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (Iz) Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse. Mf = Σ(σ·y·dS) = E/r · Σ(y2 ·dS) = E·Iz / r σ / (y ·E) = 1/r
  • 18. Deformada de un prisma mecánico
  • 19. Viga apoyada ΣFH = 0 ΣFV = 0 ΣMA = 0 L/2 L/2 A B HA = 0 RA + RB = P 1/2 P·L -RB ·L = 0 Hoja de cálculo de Microsoft Excel
  • 20. Pórtico ΣFH = 0 ΣFV = 0 ΣMA = 0 HA = 0 RA + RB = P 1/2 P·L -RB ·L = 0 L/2 L/2 A B
  • 22. D A C B L L I I I P Resolución de Pórtico ΣMF = 0 ΣFV = 0 ΣFH = 0 M1 = HB·x = 0 0 < x < L M2 = RB·x 0 < x < 1/2L M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x 0 < x < 1/2L M4 = RB·L - P·1/2·L = 0 0 < x < Lx x x x RB RA HA P = RA + RB RA = ½·P RB = ½·P HA = 0
  • 23. + - L/2 A B N1 = RB - - + DC L L P - - M3 = RB·(1/2·L+x) - P·x V1 = 0 Sección1 => x = 0 en B M1 = 0 N2 = 0 V2 = - RB Sección2 => x = 0 en D M2 = RB · x N3 = 0 V3 = P - RB Sección3 => x = 0 en E N4 = RA V4 = HA = 0 Sección4 => x = 0 en A M4 = HA · x= 0 RA = ½·P RB = ½·PHA = 0 L > x > 0 ½·L > x > 0 ½·L > x > 0 L > x > 0

Notas del editor

  1. Vigas: Elementos prismáticos, generalmente horizontales, soportan las acciones exteriores (cargas y momentos: P y M) que provienen de peso propio, viento, nieve y del de los elementos (máqinas, personas, techo, tabiques, ...) que descansan sobre ellas. Se apoyan sobre pilares que transmiten la carga al suelo por medio de la cimentación. Pilares: son primas mecánicos normalmente rectos y verticales. Se diferencian de las vigas en la distinta forma de trabajar (ellas a flexión, estos a compresión) y en la posición en las estructuras. Cimentaciónes: Son elementos estructurales que sirven para repartir las cargas concentradas en cargas distribuidas en el suelo. Son asimilables a pilares (pilotes) o vigas (zapatas corridas) pero confuncionamiento inverso. Características de los prismas mecánicos VIGAS: La longitud y radio de curvatura con considerablemente mayoresque las dimensiones de su sección trasversal.(entre 5 y 30 veces) Sus secciones rectas,perpendiculares al eje de la barra, llamadas “ plano medio ”, no tienen variaciones bruscas y trabajas normalmente a flexión. Su eje longitudinal (lugar geométrico de los centros de gravedad de la sección generadora del prisma mecánico) se llama “ fibra media ”. Por la forma pueden ser alabeadas, planas o rectas, segúnl aforma de la línea media. Las cargas son equilibradas por las reacciones en los apoyos. En vigas planas el plano medio, que contiene la fibra media, suele ser plano de simetría de las secciones y que sea vertical . Las cargas actúan en este plano y la flexión tiene lugar en él. Prisma elemental es el comprendido entre dos secciones rectas infinitésimamente próximas. Principio de Bernouilli-Navier generalizado: “Dos secciones rectas infinitésimamente próximas de una vigase alabean, en general, después de la deformaciónpero de tal forma que son superponibles por desplazamiento”.