C´lculo para la ingenier´ a                      ıa       Salvador Vera     29 de abril de 2003
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´Indice general3. Derivaci´n de funciones de varias variables.           o                                                ...
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Cap´   ıtulo 3Derivaci´n de funciones de varias        ovariables.Salvador Vera Ballesteroswww.satd.uma.es/matap/svera3.1....
6          CAP´                ´              ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.Funciones de dos variab...
3.1. DERIVADAS PARCIALES.                                                                       7Soluci´n.      o∂f       ...
8           CAP´                ´               ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.La funci´n derivada p...
3.1. DERIVADAS PARCIALES.                                                                9      b) De la misma forma, fijem...
10           CAP´                ´                ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.3.1.3.       Funcio...
3.1. DERIVADAS PARCIALES.                                                               11Del mismo modo puede definirse la...
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3.1. DERIVADAS PARCIALES.                                                                 13En efecto, la existencia de fx...
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´3.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES                                                                           ...
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´3.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES                                                             17            ...
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  1. 1. C´lculo para la ingenier´ a ıa Salvador Vera 29 de abril de 2003
  2. 2. 2
  3. 3. ´Indice general3. Derivaci´n de funciones de varias variables. o 5 3.1. Derivadas parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5 3.1.2. Definici´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6 3.1.3. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10 3.1.4. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 11 3.1.5. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales . . . . . . . . . . . . o e 12 3.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14 3.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.2. Relaci´n entre la derivada direccional y las derivadas parciales . . . . o 20 3.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 22 3.4.2. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4.3. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o 35 3.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 35 3.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3
  4. 4. 4 ´ INDICE GENERAL 3.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . . . . . . . . 45 3.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . . . . . . . . . . o 47 3.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . . . . . . 56 3.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 58 3.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . . . . . . . . . . o 61 3.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . . . . . . . . . . a 63 3.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . . . . . . . . 69 3.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 81 3.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.10.3. Criterio del hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . 87 3.10.5. M´ximos y m´ a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
  5. 5. Cap´ ıtulo 3Derivaci´n de funciones de varias ovariables.Salvador Vera Ballesteroswww.satd.uma.es/matap/svera3.1. Derivadas parciales.3.1.1. Introducci´n. oFunciones de una variable. Para una funci´n de una variable f : D ⊆ R → R definida oen el intervalo abierto D de R, se define la derivada de f en x0 ∈ D, denotada por f (x0 ),como el valor del siguiente l´ ımite, si existe y es finito. dy f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = (x0 ) = l´ ım = l´ ım dx h→0 h x→x0 x − x0Si f (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n a oy = f (x) en el punto x0 , f (x0 ) . El valor de f (x0 ) tambi´n representa la raz´n de cambio e oinstant´neo de y respecto de x. aNota: La raz´n de definir la derivada en un punto perteneciente a un conjunto abierto oD (dominio de la funci´n), es para poder asegurar que para h ∈ R peque˜o, se tenga o n(x0 + h) ∈ D y que as´ tenga sentido la expresi´n f (x0 + h) que aparece en la definici´n ı o ode derivada.La importancia de estudiar el concepto de derivada radica en que a partir de la derivadade una funci´n en un punto se puede obtener informaci´n sobre el comportamiento de la o opropia funci´n, aunque esta informaci´n es s´lo local , es decir, a partir de f (x0 ) obtenemos o o oinformaci´n sobre el comportamiento de f , pero s´lo alrededor de x0 . As´ por ejemplo, el o o ı,simple hecho de la existencia de f (x0 ) se˜ala un comportamiento suave de la gr´fica de n ala funci´n en los alrededores del punto x0 , f (x0 ) ; el signo de f (x0 ) se˜ala el crecimiento o no decrecimiento de la funci´n alrededor del punto, etc. Esta informaci´n, aunque s´lo es o o olocal, es muy importante. No obstante, a partir de la funci´n derivada f (x) podemos oobtener una informaci´n m´s global del comportamiento de la funci´n. o a o 5
  6. 6. 6 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.Funciones de dos variables. El concepto de derivada se puede generalizar a funcionesde dos variables z = f (x, y). La idea intuitiva responde a la siguiente cuesti´n: ¿C´mo o ose va a ver afectada una funci´n de dos variables por una variaci´n de una de sus varia- o obles, mientras que la otra variable permanece fija?. Podemos responder a esta cuesti´n oconsiderando cada vez s´lo una de las variables. Esto es, hacemos la derivada de la funci´n o ocada vez con respecto a una variable, manteniendo constante la otra. Este proceso seconoce como derivaci´n parcial, y su resultado se llama derivada parcial de la funci´n o orespecto a la variable independiente elegida. Para ello partimos de la idea del conceptode derivada de funciones de una variable “el l´mite, cuando el incremento de la variable ıtiende a cero, del cociente del incremento de la funci´n dividido entre el incremento de ola variable”. Suponemos que una de las variables es constante e incrementamos s´lo la ootra, es decir, hacemos la derivada suponiendo que la funci´n depende s´lo de una de las o ovariables. Con ello se reduce la discusi´n al caso uni-dimensional considerando una funci´n o ode varias variables como una funci´n de una sola variable (cada variable separadamente), omanteniendo fijas las dem´s. a3.1.2. Definici´n. oSupongamos que en cierto entorno del punto (x0 , y0 ) est´ dada la funci´n z = f (x, y). Si a ofijamos la variable y: y = y0 , obtenemos una funci´n de una sola variable x: z = f (x, y0 ). oLa derivada habitual de esta funci´n en el punto x = x0 se llama derivada parcial de la o ∂f (x0 , y0 )funci´n f (x, y) en el punto (x0 , y0 ), respecto de x, y se denota por o . ∂xDe esta forma, ∂f (x0 , y0 ) def ∂f (x, y0 ) = ∂x ∂x x=x0nota: Se˜alemos que la designaci´n de la derivada parcial respecto de la variable x por n o∂f (x0 , y0 ) ∂f ∂f es tradicional. Aunque es m´s correcto escribir a (x0 , y0 ), ya que es un ∂x ∂x ∂xs´ ımbolo unico, que designa la nueva funci´n, cuyo valor se analiza en el punto (x0 , y0 ). ´ oY teniendo en cuenta la definici´n de derivada de una sola variable, resulta la siguiente, oDefinici´n 3.1. Dada una funci´n de dos variables f : D ⊆ R2 → R definida en el abierto o o 2D de R , se define la derivada parcial de f con respecto a x en el punto p = (x0 , y0 ) deD como el valor del siguiente l´ ımite, si existe y es finito. ∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂x h→0 hDel mismo modo, se define la derivada parcial de f con respecto a y en p, como el siguientel´ ımite, si existe y es finito. ∂f f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ ım ∂y k→0 kC´lculo de derivadas parciales aplicando la definici´n. a oEjemplo 3.1. Calcular las dos derivadas parciales de la funci´n f (x, y) = xy + x − y en oel punto p(0, 0).
  7. 7. 3.1. DERIVADAS PARCIALES. 7Soluci´n. o∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) h·0+h−0−0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım =∂x h→0 h h→0 h h→0 h h ım = l´ 1 = 1 = l´ ım h→0 h h→0∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) 0·k+0−k−0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım =∂y k→0 k k→0 k k→0 k −k = l´ ım = l´ −1 = −1 ım k→0 k k→0Ejemplo 3.2. Calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la funci´n: o xy 2   si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´n. o h · 02∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) 2 2 −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ h + 0 ım =∂x h→0 h h→0 h h→0 h 0 = l´ ım = l´ 0 = 0 ım h→0 h h→0 0 · k2∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım 02 + k 2 =∂y k→0 k k→0 k k→0 k 0 = l´ ım = l´ 0 = 0 ım k→0 k k→0Ejemplo 3.3. Calcular las dos derivadas parciales de la funci´n f (x, y) = 2x2 − xy + y 2 oen el punto p(1, 0).Soluci´n. o∂f f (1 + h, 0) − f (0, 0) 2(1 + h)2 − (1 + h) · 0 + 02 − (2 − 0 + 0) (1, 0) = l´ ım = l´ım =∂x h→0 h h→0 h 2(1 + 2h + h2 ) − 2 2 + 4h + 2h2 − 2 4h + 2h2 = l´ ım = l´ ım = l´ım = h→0 h h→0 h h→0 h = l´ (4 + 2h) = 4 ım h→0∂f f (1, 0 + k) − f (1, 0) f (1, k) − f (1, 0) 2 · 12 − 1 · k + k 2 − (2) (1, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım =∂y k→0 k k→0 k k→0 k 2 − k + k2 − 2 −k + k 2 = l´ ım = l´ ım = l´ (−1 + k) = −1 ım 0→0 k k→0 k k→0
  8. 8. 8 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.La funci´n derivada parcial oSi hallamos las derivadas parciales de una funci´n de dos variables z = f (x, y) en un punto ogen´rico (x, y) de su dominio, obtenemos, a su vez, funciones de dos variables, llamadas efunciones derivadas parciales. As´ı: ∂f f (x + h, y) − f (x, y) ∂f f (x, y + k) − f (x, y) (x, y) = l´ ım , (x, y) = l´ ım ∂x h→0 h ∂y k→0 kEjemplo 3.4. Hallar, aplicando la definici´n, las derivadas parciales de la funci´n: o o f (x, y) = x2 y 3 + 5Soluci´n. o∂f f (x + h, y) − f (x, y) (x + h)2 y 3 + 5 − (x2 y 3 + 5) (x, y) = l´ ım = l´ ım =∂x h→0 h h→0 h x2 y 3 + 2hxy 3 + h2 y 3 + 5 − x2 y 3 − 5 2hxy 3 + h2 y 3 = l´ ım = l´ım = 2x y 3 h→0 h h→0 h 2 3 2 3∂f f (x, y + k) − f (x, y) x (y + k) + 5 − (x y + 5) (x, y) = l´ ım = l´ ım =∂y k→0 k k→0 k x2 y 3 + 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 + 5 − x2 y 3 − 5 = l´ ım = k→0 k 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 = l´ ım = l´ 3x2 y 2 + 3x2 yk + x2 k 2 = 3x2 y 2 ım k→0 k k→0C´lculo de derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´n. a oSi observamos los resultados del ejemplo anterior, podemos concluir que no es necesarioaplicar la definici´n para calcular las derivadas parciales, sino que se pueden calcular oaplicando las reglas ordinarias de derivaci´n. Esto se deduce de la propia definici´n, ya o oque de la definici´n de las derivadas parciales, como derivadas ordinarias con la condici´n o ode que se han fijado todas las variables excepto una, respecto de la cual se toma laderivada, se deduce que al calcular las derivadas parciales se pueden utilizar las reglas delc´lculo de las derivadas ordinarias. Es decir, a ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como una derivada o ∂x ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable x, suponiendo y constante (es o decir, como si la funci´n f dependiera s´lo de x, porque y es un n´mero). o o u ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como una derivada o ∂y ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable y, suponiendo x constante (es o decir, como si la funci´n f dependiera s´lo de y, porque x es un n´mero). o o uEjemplo 3.5. Calcular las dos derivadas parciales de las siguientes funciones: 1. f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3 a) Fijemos en la f´rmula la variable y, es decir, supongamos que y es un n´mero, o u con lo cual obtenemos una funci´n de una sola variable x; y calculando su o derivada tendremos: ∂f = 2x + 2y 2 ∂x
  9. 9. 3.1. DERIVADAS PARCIALES. 9 b) De la misma forma, fijemos ahora la variable x es decir, supongamos que x es un n´mero, con lo cual obtenemos una funci´n de una sola variable y; y u o calculando su derivada tendremos: ∂f = 4xy − 3y 2 ∂y 2. z = (x2 + y 2 )e−xy ∂z = 2xe−xy + (x2 + y 2 )(−ye−xy ) = (2x − x2 y − y 3 )e−xy ∂x ∂z = 2ye−xy + (x2 + y 2 )(−xe−xy ) = (2y − x3 − xy 2 )e−xy ∂y 3. z = xyex/y ∂z 1 = yex/y + xy( ex/y ) = (y + x)ex/y ∂x y ∂z −x x2 x(y − x)ex/y = xex/y + xy( 2 ex/y ) = (x − )ex/y = ∂y y y yEjemplo 3.6. Dada la funci´n: f (x, y) = 4x3 y 2 − 4x2 + y 6 + 1. Hallar las dos derivadas oparciales en el punto (1, 1)Soluci´n. Calculamos las derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´n y luego o osustituimos las coordenadas del punto. ∂f ∂f (x, y) = 12x2 y 2 − 8x → (1, 1) = 12 − 8 = 4 ∂x ∂x ∂f ∂f (x, y) = 8x3 y + 6y 5 → (1, 1) = 8 + 6 = 14 ∂y ∂yNotaci´n: Se utilizan las siguientes notaciones: o ∂z ∂f ∂f zx = zx = = = (x, y) = fx = fx = fx (x, y) = Dx f (x, y) = D1 f (x, y) ∂x ∂x ∂x ∂z ∂f ∂f zy = zy = = = (x, y) = fy = fy = fy (x, y) = Dy f (x, y) = D2 f (x, y) ∂y ∂y ∂yCuando se trate de un punto gen´rico (x, y), normalmente no indicaremos las coordenadas, esimplemente pondremos fx . Sin embargo, cuando se trate de un punto concreto (x0 , y0 ),siempre las indicaremos, para saber de qu´ punto se trata. En este caso, en algunas eocasiones utilizaremos la siguiente notaci´n: o ∂f ∂f (x0 , y0 ) = ∂x ∂x (x0 ,y0 )
  10. 10. 10 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.3.1.3. Funciones de m´s de dos variables aEl concepto de derivada parcial se puede generalizar a funciones de cualquier n´mero de uvariables. Bastar´ con derivar la funci´n suponiendo que depende, en cada caso, de una a osola variable, con las dem´s fijas. aEjemplo 3.7. Hallar las derivadas parciales de la funci´n:o −πz f (x, y, z) = e cos 4x sen 6ySoluci´n. En cada caso, suponemos constante dos de las variables, con lo cual se obtiene ouna funci´n de una sola variable, respecto de la cual se deriva. o ∂f = −4e−πz sen 4x sen 6y ∂x ∂f = 6e−πz cos 4x cos 6y ∂y ∂f = −πe−πz cos 4x sen 6y ∂zNotaci´n vectorial para definir las derivadas parciales. El concepto de derivada parcial se extiende oa funciones de tres variables f (x, y, z) de la siguiente forma: ∂f f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) f (x, y + t, z) − f (x, y, z) = l´ ım = l´ ım ∂y ∆y→0 ∆ t→0 tAn´logamente se calculan las dem´s derivadas parciales. a aPara los incremento, ∆x, ∆y, etc., en vez de usar las letras h, k, etc., se pueden usar h1 , h2 , etc., o bien,podemos usar siempre la letra t.Del mismo modo se extiende a funciones de cuatro variables f (x, y, z, u) ∂f f (x, y + t, z, u) − f (x, y, z, u) = l´ ım ∂y t→0 tDesde el punto de vista te´rico, para definir las derivadas parciales en el caso general de funciones de on variables f : D ⊆ Rn → R, conviene usar notaci´n vectorial. Para ello consideramos los vectores oe1 , e2 , · · · , en ∈ Rn de la base can´nica de Rn , cuyas componentes son: o e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1)con lo cual, para cualquier n´mero t ∈ R, resulta: u te1 = (t, 0, · · · , 0), te2 = (0, t, · · · , 0), · · · , ten = (0, 0, · · · , t)de donde, para cualquier punto p ∈ Rn , de coordenadas p = (x1 , x2 , · · · , xn ), se tiene: p + tei = (x1 , x2 , · · · , xn ) + (0, · · · , t, · · · , 0) = (x1 , x2 , · · · , xi + t, · · · , xn )Es decir, p + tei tiene las mismas coordenadas que p, salvo la i-´sima coordenada que se ha incrementado een t. En consecuencia, podemos enunciar la siguiente definici´n: oDefinici´n 3.2 (Derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n definida en el conjunto o oabierto1 D de Rn , y sea p ∈ D. Se define la derivada parcial de f con respecto a su i-´sima variable en eel punto p, como el siguiente l´ ımite, si existe y es finito: ∂f f (p + tei ) − f (p) (p) = l´ ım ∂xi t→0 t 1 La raz´n de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto abierto D (dominio ode la funci´n), es para poder asegurar que para t ∈ R peque˜o, se tenga p + tei ∈ D y que as´ tenga o n ısentido la expresi´n f (p + tei ) que aparece en la definici´n de derivada parcial. o o
  11. 11. 3.1. DERIVADAS PARCIALES. 11Del mismo modo puede definirse la derivada parcial en un punto gen´rico x ∈ D, como e ∂f f (x + tei ) − f (x) (x) = l´ ım ∂xi t→0 t3.1.4. Raz´n de cambio oLas derivadas parciales tambi´n pueden interpretarse como la raz´n de cambio instant´neo e o ade la funci´n respecto de una variable, mientras la otra permanece fija. As´ o ı,∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la funci´n f o a o∂x cuando se conserva fija la variable y y var´a la x. ı∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la funci´n f o a o∂y cuando se conserva fija la variable x y var´ la y. ıaEs decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variaci´n parcial de la funci´n con o orespecto a cada variable, cuando las dem´s se mantienen fijas. aEjemplo 3.8. Un cilindro recto tiene 4 cm. de radio y 20 cm. de altura. Hallar la raz´n ode cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto de la altura.Soluci´n. Tenemos que V = πr2 h, luego o ∂V ∂V = 2πrh → (r = 4, h = 20) = 2π · 4 · 20 = 160π cm3 /cm de r ∂r ∂r ∂V ∂V = πr2 → (r = 4, h = 20) = 16π cm3 /cm de h ∂h ∂hEn el primer caso, si mantenemos fija la altura e incrementamos el radio, se produceun incremento del volumen de 160π cm3 /cm de r. Mientras que en el segundo caso, simantenemos fijo el radio e incrementamos la altura, se produce un incremento del volumende 16π cm3 /cm de h
  12. 12. 12 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.3.1.5. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales o e Recta tangente d z = f (x, y0 ) ‚ d z = f (x, y) Recta tangente z ............................................................... ....... .©......................................................................................... ...... ........... ...... ............ .... ... ... ... ... . z ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................©... .... . .... .... .... . .. .. P• .. .. . .. .. . ... .. .... .... . .. ..............................................• .. .. ................ .. . ............... ................................................ ...... .......................... .... ......................... .......... ...... .......... ..... .. .. ...... ..... ... .. . .. .. .. z = f (x, y) ... ...  .. .. .. .. ... .......... .............. ... .. .. .. .. ... ... ..   .. . .. .. .. .. .. ....... .. .. ... . . ... . .. ......... ........ P .. .. .. k ..  .... .  z = f (x , y) .. .. .. . .. . ... . 0 .. .. .. . .. .. .. ....... ..........     ... .............................................. ............................................... .. . . .. .. .. .. .. . .. . .. ............ . .. .......... ......... ......... ....... .. .. .. .. ........................................ ..................................... .. . .......... ......... .. ....... . .. . ............... .............. ......... ......... . . . . . . ......... .. ........... .. ....... .. ........ .. . y0 . y .. .... . . ....... ....... ..... ..... y0 y . . .. . ..     x0  • p(x0 , y0 ) x0     .. .. . . •   .. x         x   p(x0 , y0 )   Figura 3.1: Curva z = f (x, y0 ). Figura 3.2: Curva z = f (x0 , y).Desde el punto de vista geom´trico, la funci´n g(x) = f (x, y0 ) representa la curva que se e oobtiene de la intersecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 o z = f (x, y) z = f (x, y0 ) = g(x) y = y0La derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable x, en el punto p representa la opendiente de la tangente a la curva g(x) = f (x, y0 ) en el punto P correspondiente de lagr´fica, es decir, la inclinaci´n de la superficie en la direcci´n del eje x. a o oAn´logamente, la funci´n g(y) = f (x0 , y) representa la curva que se obtiene de la inter- a osecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0 o z = f (x, y) z = f (x0 , y) = g(y) x = x0La derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable y, en el punto p representa la opendiente de la tangente a la curva g(y) = f (x0 , y) en el punto P correspondiente de lagr´fica, es decir, la inclinaci´n de la superficie en la direcci´n del eje y. a o o x2 25Ejemplo 3.9. Hallar la pendiente a la superficie f (x, y) = − − y2 + en el punto 2 8P (1/2, 1, 2), en las direcciones de los ejes x e y.Soluci´n. o ∂f ∂f = −x → (1/2, 1) = −1/2 → tan α = −1/2 ∂x ∂x ∂f ∂f = −2y → (1/2, 1) = −2 → tan β = −2 ∂y ∂yContinuidad y derivadas parcialesLa existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de una funci´n. o
  13. 13. 3.1. DERIVADAS PARCIALES. 13En efecto, la existencia de fx depende del comportamiento de la funci´n s´lo en la direcci´n o o odel eje x, y la existencia de fy del comportamiento de la funci´n s´lo en la direcci´n del o o oeje y, mientras que la continuidad depende del comportamiento de la funci´n en todos los opuntos del entorno. Esto significa que una funci´n puede tener derivadas parciales en un opunto aunque no sea continua en dicho punto.Tenemos pues, que de la continuidad de las funciones de n variables en un punto dado, nose deriva la existencia de sus derivadas parciales en ese punto. Pero es m´s, cuando n ≥ 2 aincluso de la existencia de todas las derivadas parciales en cierto punto, no se deduce lacontinuidad en ese punto. (Recordemos que para n = 1, es decir, para las funciones deuna variable, de la existencia de la derivada en un punto se deriva tambi´n que la funci´n e oes continua en ese punto).Ejemplo 3.10. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas parciales en el puntop(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por: o xy   si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0)Soluci´n. o 1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ o ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante las rectas y = mx resulta: xy xy xmx m m l´ ım = l´ ım = l´ ım = l´ ım = (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 2 2 2 (x,y)→(0,0) x + m x x→0 1 + m2 1 + m2 y=mx y=mx x→0 luego el l´ ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´n la recta por u la que nos aproximemos al punto tendr´ ıamos un valor del l´ ımite u otro. 2. Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´n no es continua en el o punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto existen. En efecto: h·0 ∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) 2 + 02 −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ h ım =0 ∂x h→0 h h→0 h h→0 h 0 · k2 ∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım = l´ ım 02 + k 2 =0 ∂y k→0 k k→0 k k→0 kEjemplo 3.11. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas parciales en el puntop(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por: o 1 si xy = 0 f (x, y) = 0 si xy = 0Soluci´n. o 1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ o ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante la recta y = x resulta:
  14. 14. 14 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. l´ ım f (x, y) = l´ ım 1 = 1 = f (0, 0) = 0 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) y=x 2. Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´n no es continua en el o punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto existen. En efecto: ∂f ∂ ∂ (0, 0) = f (x, 0) = 0 =0 ∂x ∂x ∂x ∂f ∂ ∂ (0, 0) = f (0, y) = 0 =0 ∂y ∂y ∂y3.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores oDerivadas parciales de segundo ordenLas derivadas parciales de una funci´n de dos variables f (x, y), son, a su vez, funciones ode dos variables, fx (x, y), fy (x, y) y, por lo tanto, podemos obtener de ellas, nuevamente,sus derivadas parciales. Llamadas derivadas parciales de segundo orden. ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f , , , ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂yNotaci´n: Para simplificar los par´ntesis usaremos la siguiente notaci´n: o e o ∂ ∂f ∂2f (fx )x = fxx = = = D1 (D1 f ) = D11 f ∂x ∂x ∂x2 ∂ ∂f ∂2f (fx )y = fxy = = = D2 (D1 f ) = D21 f ∂y ∂x ∂y∂x ∂ ∂f ∂2f (fy )x = fyx = = = D1 (D2 f ) = D12 f ∂x ∂y ∂x∂y ∂ ∂f ∂2f (fy )y = fyy = = = D2 (D2 f ) = D22 f ∂y ∂y ∂y∂yPara evitar confusi´n con el orden de derivaci´n (fxy = D21 f ), utilizaremos el siguiente o ocriterio: se empieza derivando por la variable “m´s cercana” a la funci´n. a oEjemplo 3.12. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la funci´n o f (x, y) = sen(x2 y)Soluci´n. ofx = 2xy cos(x2 y) fxx = fx x = 2y cos(x2 y) + 2xy − 2xy sen(x2 y) = 2y cos(x2 y) − 4x2 y 2 sen(x2 y) fxy = fx y = 2x cos(x2 y) + 2xy − x2 sen(x2 y) = 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y)
  15. 15. ´3.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES 15fy = x2 cos(x2 y) fyx = fy x = 2x cos(x2 y) + x2 − 2xy sen(x2 y) = 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y) fyy = fy y = x2 − x2 sen(x2 y) = −x4 sen(x2 y)Derivadas parciales cruzadas. Las derivadas parciales fxy y fyx , se llaman derivadasparciales cruzadas y cuando son continuas coinciden.Teorema 3.1 (Teorema de Schwartz). Sea f : D ⊆ R2 → R una funci´n definida en oel abierto D de R . Si las derivadas parciales fxy : D ⊆ R → R y fyx : D ⊆ R2 → R 2 2existen y son funciones continuas en D, entonces fxy = fyxEl teorema de Schwartz tambi´n puede enunciarse en los siguientes t´rminos: Si fx , fy , y e efxy son continuas en un entorno del punto (x0 , y0 ), entonces existe fyx (x0 , y0 ) y se verificafyx (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ).Ejemplo 3.13. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la funci´n o 2 +y 2 f (x, y) = x2 yexSoluci´n. o 2 2 2 2 2 2fx = 2xyex +y + x2 y 2xex +y = (2x3 y + 2xy)ex +y 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 fxx = (6x2 y + 2y)ex + (2x3 y + 2xy) 2xex = (4x4 y + 10x2 y + 2y)ex 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 fxy = (2x3 + 2x)ex + (2x3 y + 2xy) 2yex = (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2fy = x2 ex + x2 y 2yex = (2x2 y 2 + x2 )ex 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 fyx = (4xy 2 + 2x)ex + (2x2 y 2 + x2 ) 2xex = (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex 2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2 fyy = 4x2 yex + (2x2 y 2 + x2 ) 2yex = (4x2 y 3 + 6x2 y)exEjemplo 3.14. Comprobar que las derivadas parciales cruzadas de la siguiente funci´n, oen el punto (0, 0) no coinciden.  3 3  x y − xy si (x, y) = (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´n. oSi (x, y) = (0, 0), las derivadas parciales son: ∂f ∂ x3 y − xy 3 (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2x = = = ∂x ∂x x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 3x4 y + 3x2 y 3 − x2 y 3 − y 5 − 2x4 y + 2x2 y 3 x4 y + 4x2 y 3 − y 5 = = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
  16. 16. 16 CAP´ ´ ITULO 3. DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. ∂f ∂ x3 y − xy 3 (x3 − 3xy 2 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2y = = = ∂y ∂y x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 x5 + x3 y 2 − 3x3 y 2 − 3xy 4 − 2x3 y 2 + 2xy 4 x5 − 4x3 y 2 − xy 4 = = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2En el punto (0, 0), las derivadas parciales son: h3 ·0−h·03 ∂f f (h, 0) − f (0, 0) h2 +02 −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım =0 ∂x h→0 h h→0 h 03 ·k−0·k3 ∂f f (0, k) − f (0, 0) 02 +k2 −0 (0, 0) = l´ ım = l´ ım =0 ∂x k→0 k k→0 kDe donde, aplicando directamente la definici´n de derivadas parciales, resulta: o ∂f ∂f 04 ·k+4·02 k3 −k5 ∂2f ∂ ∂f (0, k) − (0, 0) −0 (02 +k2 )2 (0, 0) = (0, 0) = l´ ∂x ım ∂x = l´ ım = −1 ∂y∂x ∂y ∂x k→0 k k→0 k ∂f ∂f 2 (h, 0) − (0, 0) h5 −4h3 ·O−h·04 −0 ∂ f ∂ ∂f ∂y ∂y (h2 +02 )2 (0, 0) = (0, 0) = l´ ım = l´ ım = +1 ∂x∂y ∂x ∂y h→0 h h→0 hDerivadas parciales de tercer ordenSi hacemos las derivadas parciales de tercer orden, resultan 23 = 8 derivadas, pero si soncontinuas se reducen a 3 + 1 = 4 derivadas distintas: fxxx fxxx fxx fxxy fxx fx fxyx fx fxxy fxy fxyy f Si son continuas → f fxy fyxx fyx fy fxyy fyxy fy fyyx fyy fyy fyyy fyyyEs decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivaci´n, sino oel n´mero de veces que se ha derivado respecto de cada variable. uEjemplo 3.15. Hallar las derivadas parciales de tercer orden de la funci´n: o f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3Soluci´n. o
  17. 17. ´3.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES 17 fxxx = 0 fxx = 2 2 fxxy = 0 fx = 2x + 2y 2 2 3 f (x, y) = x + 2xy − y fxy = 4y 2 fy = 4xy − 3y fxyy = 4 fyy = 4x − 6y fyyy = −6Derivadas parciales de orden nSi hacemos las derivadas parciales de orden n, resultan 2n derivadas, pero si son continuasse reducen a n + 1 derivadas distintas. Es decir, si las derivadas parciales son continuasno importa el orden de derivaci´n, sino el n´mero de veces que se ha derivado respecto de o ucada variable. Ahora bien, aunque el resultado final de las derivadas parciales no dependedel orden de derivaci´n, el proceso de derivaci´n puede resultar mucho m´s complicado o o aen un orden que en otro. xyEjemplo 3.16. Dada la funci´n f (x, y) = o . Hallar D2311 f y D1132 f y2 + z2Soluci´n. o y D2311 f = D231 D1 f = D231 =0 y2 + z2 x(y 2 + z 2 ) − xy2y xz 2 − xy 2 D1132 f = D113 D2 f = D113 = D113 = (y 2 + z 2 )2 (y 2 + z 2 )2 2xz(y 2 + z 2 )2 − (xz 2 − xy 2 )2(y 2 + z 2 )2z 2xz(3y 2 − z 2 ) = D11 = D11 = (y 2 + z 2 )4 (y 2 + z 2 )3 2z(3y 2 − z 2 ) = D1 =0 (y 2 + z 2 )3

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